2015考研数学二真题及解析

2015年考研数学二真题及解析

一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定的位置上. (1) 下列反常积分收敛的是

(A)

2x +∞

?

(B)

2ln d x

x x +∞

?

(C)

2

1

d ln x x x

+∞

?

(D) 2

d x x x

e +∞

?

【答】应选(D). 【解】因

d (1)x

x

x x x e e -=-+?,则2

222

(1)3lim d (1)3x x x x x e e x e e x

x e

+∞----→++∞

∞

=-+=-+=?

,故选(D).

(2) 函数2

0sin ()lim(1)x t

t t f x x

→=+

在(,)-∞+∞内 (A) 连续 (B) 有可去间断点

(C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答】应选(B).

【解】显然0x =时,

()f x 无定义,故()f x 有间断点.又在0x ≠时,有

2

22000sin sin sin ln lim(1)lim

ln(1)lim

()x t

t t t t

x t x t

x x

t x t x f x e

e

e

e →→→++?====(0x ≠),因此0x =是()

f x 的可去间断点,故选(B).

11,0p p a >>,1,1,1p p a >>收敛发散;

,0

,0k

λλ>收敛;

11p p <,10111d p p p x x

?收敛发散.

(3) 设函数1cos ,0()(0,0)0,

0x x f x x

x α

β

αβ?>?=>>???,若()f x '在0x =处连续,则 (A) 1αβ-> (B) 01αβ<- (C) 2αβ-> (D) 02αβ<- 【答】应选(A).

【解】因()f x '在0x =处连续,故()f x 在0x =处可导,于是有(0)(0)f f +-''=,即

001cos

000lim

lim x x x x x x αβ+

-→→--=,亦即101lim cos 0x x x αβ

+-→=,因此10α->.又因为

()f x '在0x =处连续,所以0

lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-→→'''==,即0

lim ()x f x +

→'1

1

11lim(cos sin )0x x x x x

ααβββαβ+

---→=+=.由此可见10αβ-->.故选(A). (4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续,其中二阶导数()

f x ''的图形如图所示,则曲线()y f x =的拐点个数为( )

(A) 0 (B) 1

(C) 2 (D) 3 【答】应选(C).

【解】拐点须出现在二阶导数为零的点处或二阶导数不存在的点处,且在该点的左右两侧二阶导数异号.于是由的图形可见,曲线存在两个拐点.故应选(C).

(5) 设函数(,)f u v 满足22

(,)y f x y x y x +=-,则11

u v f u ==??与11u v f v ==??依次是

(A) 1,02 (B) 1

0,2

(C) 1,02- (D) 1

0,2- 【答】应选(D).

【解】方法一:(代入法) 令u x y =+,y v x =

,则1u x v =+,1uv y v

=+,从而22

(,)y f x y x y x +=-变为

2

2

2

(1)

(,)111u uv u v f u v v v v -????=-= ? ?+++????

.于是2(1)1f u v u v ?-=?+,22

2(1)f u v v ?=-?+

,

11

0u v f u ==?=?,11

1

2

u v f v ==?=-?.故选(D). 方法二:(全微分形式不变性) 将(,)f u v 分别对x ,y 求偏导,得

f f u f v

x u x v x

?????=?+??????, f f u f v y u y v y

?????=?+??????, 由于u x y =+,y

v x

=

,故上述两式化为 21()f f f y x u v x

???=?+?-???, 11()f f f y u v x

???=?+????, 又由于2

2

f x y =-,可得

2f x x ?=?,2f

y x ?=-?, 已知1u x y ==+,1y v x ==,可得12x =,12

y =, 则可将前述式子化为

1(2)f f

u v ??=

+-??, 12f f

u v

??-=

+??, 联立两式可解得11

0u v f u ==?=?,11

1

2

u v f v ==?=-?.故选(D). (6) 设D 是第一象限由曲线21xy =,41xy =与直线y x =

,y =围成的平面区域,函数

(,)f x y 在D 上连续,则(,)d d D

f x y x y =??

(A)

1

3sin 214

2sin 2d (cos ,sin )d f r r r r π

θπθ

θθθ??

(B) 34

d (cos ,sin )d f r r r r π

πθθθ?

(C)

13sin 214

2sin 2d (cos ,sin )d f r r r π

θπθ

θθθ??

(D)

34

d (cos ,sin )d f r r r

π

πθθθ?

【答】应选(B).

【解】通过画出D 的图形,可见

(,)d d D

f x y x y =

??34

(cos ,sin )d d f r r r r π

πθθθ?,故应选(B).

(7) 设矩阵21111214a a ?? ?= ? ?

??

A ,21d d ?? ?

= ? ???b ,若集合{1,2}Ω=,则线性方程组=Ax b 有无穷多

解的充分必要条件为

(A) ,a d ?Ω?Ω (B) ,a d ?Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω?Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答】应选(D).

【解】因=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为()()r r =A A <3,而

22111111111201111400(1)(2)(1)(2)a d a d a d a a d d ????

? ?=→-- ? ? ? ?----????

A

,于是有1a =或2a =,同时1d =或2d =.故选(D).

(8) 设二次型或123(,,)f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为222

1232y y y +-,其中

123(,,)=P e e e ,若132(,,)=-Q e e e ,则123(,,)f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为

(A) 222

123

2y y y -+

(B) 222

1232y y y +-

(C) 222

123

2y y y --

(D) 222

123

2y y y ++

【答】应选(A). 【解】方法一:

由题意, f 的标准型中平方项的系数2,1,-1是二次型的矩阵A 的特征值,矩阵P

中列向量123,,e e e 分别是A 属于特征值2,1,-1的特征向量,于是,矩阵Q 中列向量

132,,-e e e 分别是A 属于特征值2,-1,1的特征向量.又由P 为正交矩阵易见, Q

也是正交矩阵,因此f 在正交变换=x Qy 下的标准形为222

1232y y y -+.故选(A).

方法二:因在正交变换=x Py 下,有222

123()2T T T f y y y ===+-x Ax y P AP y .故

200010001T ?? ?= ? ?-??P AP .而100001010?? ?

== ? ?-??Q P PC ,于是有

200()010001T T T ??

?

== ? ?-??

Q AQ C P AP C ,因此在正交变换=x Qy 下,有

222123()2T T T f y y y ===-+x Ax y Q AQ y .故选(A).

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸．．．

指定位置上. (9) 已知3

arctan 3x t y t t

=??=+?,则221d d t y

x == . 【答】应填48.

【解】因

2222

d d 33d 3(1)d 1d d 1y

y t t t x x

t t +===++, 222222

d d d[3(1t )]

d()d()d d d d d 12(1)d(arctant)d d d d d y y t y x x t t t x x t x

t

+====+, 故221

d 48d t y x ==. (10) 函数2

()2x

f x x =?在0x =处的n 阶导数()

(0)n f

= .

【答】应填2

(1)(ln 2)

n n n --.

【解】据莱布尼兹公式有

()212

2()2(ln 2)22(ln 2)22(ln 2)n x n x n x n n n f x x C x C -=??+???+???,故

()2

2

20

(0)22(ln 2)(1)(ln 2)n x n n n x f C n n --==???=-.

(11) 设()f x 连续,

()()d x

x xf t t ?=?,若(1)1?=,(1)5?'=,则(1)f = .

【答】应填2.

【解】因为()f x 连续,所以()x ?可导,且2

220

()()d 2()x x f t t x f x ?'=

+?

;又因为

1

0(1)()d 1f t t ?==?,1

(1)()2(1)5f t dt f ?'=+=?,故(1)2f =.

(12) 函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解,且在0x =处取得极值3,则

()y x = .

【答】应填22x x e e -+.

【解】依题意,有(0)3y =,(0)0y '=.

又由特征方程220λλ+-=解得11λ=,22λ=-.所以微分方程的通解为:

212x x y C e C e -=+.将(0)3y =,(0)0y '=代入,可得12C =,21C =.于是()y x =22x x e e -+.

(13) 若函数(,)z z x y =由方程231x y z

e

xyz +++=确定,则(0,0)d z = .

【答】应填1

2

d d 33

x y --

. 【解】易见当0x =,0y =时,有0z =.又对方程两边求偏导可得

2323(3)

x y z x y z z e xy yz e x

++++?+=--?,2323()2x y z x y z z e xy xz e y ++++?+=--?.将(0,0,0)

点的值代入,即有

(0,0)13z x ?=-?,

(0,0)

23z

y ?=-?.因此(0,0)d z =12d d 33x y --. (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,-2,1, 2

=-+B A A E 其中E 为3阶单位阵,则行列式

=|B | .

【答】应填21.

【解】因A 的所有特征值为2,-2,1,故B 的所有特征值为3,7,1,因此=|B |21.

三、解答题：（15～23小题，共94分.）

(15) （本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++,3

()g x kx =.若()f x 与

()g x 在0x →时是等价无穷小,求,,a b k 的值.

【解】方法一: 因0

lim ()lim[1(sin cos )]11x x a

f x b x x x a x

→→'=+

++=++, 20

lim ()lim30x x g x kx →→'==,故当10a +≠时, 0

0()()

lim

lim ()()

x x f x f x g x g x →→'==∞'.与题设矛盾. 于是有10a +=,即1a =-. 又2

lim ()lim[(2cos sin )]212(1)

x x a

f x b x x x a b b x →→''=-

+-=-+=++, 00lim ()lim60x x g x kx →→''==.故同理可知120b +=,即1

2

b =-. 由于3002(3sin cos )

()1(1)lim lim ()633x x a

b x x x f x a x g x x k k

→→-+'''+===-''',且0()

lim 1()x f x g x →=,所以

113k -

=,即13

k =-. 方法二:

由于233

ln(1)()23x x x x x +=-++,33sin ()6

x x x x =-+.

所以33

23()ln(1)sin []()23

x x f x x a x bx x x a x bx x =+++=+-+++

233(1)()()23

a a

a x

b x x x =++-++.

因()f x 与()g x 在0x →时等价,故10023a a b a k ?

?+=?

?

-=??

?=??

,解得1a =-,12b =-,13k =-.

(16) （本题满分10分）设0A >,D 是由曲线段sin (0)2

y A x x

π

=及直线0y =,2

x π

=

所围成的平面区域, 1V ,2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转所成旋转体的体积.若

12V V =,求A 的值.

【解】22

222

2210

1cos 2sin d d 24

x A V A x x A

x π

π

ππ

π-===?

?

. 由0A >,可得2

220

2sin d 2dcos V xA x x A x x π

π

π

π==-?

?,

220

2(cos cos d )2A x x x x A π

π

ππ=--=?

因为12V V =,即

22

24

A A ππ=,所以8

A π

=

.

(17) （本题满分10分）已知函数(,)f x y 满足(,)2(1)x xy

f x y y e ''=+,(,0)(1)x x f x x e '=+,2(0,)2x f y y y '=+,求(,)f x y 的极值.

【解】由(,)2(1)x xy

f x y y e ''=+,得2(1)()x x f y e x ?'=++. 因为(,0)(1)x

x f x x e '=+,所以()(1)x x e x x e ?+=+,得()x x xe ?=,

从而2(,)(1)x x

x f x y y e xe '=++.对x 积分得2(,)(1)(1)()x x f x y y e x e y ψ=++-+.

因为2(0,)2f y y y =+,所以()0y ψ=,从而2(,)(2)x

f x y x y y e =++.

于是(,)(22)x y f x y y e '=+,2(,)(22)x xx

f x y x y y e ''=+++,(,)2x yy f x y e ''=. 令(,)0x f x y '=,得驻点(0,1)-.所以(0,1)1xx

A f ''=-=,(0,1)0yy

B f ''=-=,(0,1)2yy

C f ''=-=.由于20AC B ->,0A >所以极小值为(0,1)1f -=-. (18) （本题满分10 分）计算二重积分

()d d D

x x y x y +??,其中

{}222(,)|2,D x y x y y x =+.

【解】因为区域D 关于y 轴对称,所以

d d D

xy x y ??.

2

()d d d d D

D

x x y x y x x y +=????

2

1

20

2d d x

x y =?

1

220

2)d x x x =? 1

1

40

22d x x x x =-??,

令x t =

,则1

2

2

440

0014sin cos d (1cos 4)d 28

x

x t t t t t ππ

π

==-=???,

又

1

40

1

d 5x x =

?

,所以2()d d 45D

x x y x y π+=-??.

(19) （本题满分10分）已知函数2

1

()x f x t t =

+?

?

,求()f x 零点的个数.

【解】()2(2f x x '==-()0f x '=,得驻点为

1

2x =

. 当12x <时, ()0f x '<,()f x 单调减少;当1

2

x >时, ()0f x '>,()f x 单调增加;

因为(1)0f =,所以()f x 在1

(,)2

+∞存在唯一零点.

又1()(1)02f f <=,lim ()x f x →-∞=+∞,所以()f x 在1

(,)2-∞存在唯一零点.

综上可知,有且仅有2个零点.

(20) （本题满分11分）已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温度对时间的变化率

与该时刻物体和介质的温差成正比.现将一初始温度为120C ?的物体在20C ?的恒温介质中冷却, 30min 后该物体温度降至30C ?,若要将该物体的温度继续降至21C ?,还需冷却多长时间?

【解】设该物体在t 时刻的温度为()(C)T t ?,

由题意得

(20)dT

k T dt

=--,其中k 为比例系数, 0k >. 解得()20kt

T t Ce -=+.

将初始条件(0)120T =代入上式,解得100C =.故()10020kt

T t e -=+.

将30t =,30T =代入上式得ln10

30

k =

,所以10020kt T e -=+. 令21T =,得60t =.因此要降至21C ?,还需要603030(min)-=.

(21) （本题满分11分）已知函数()f x 在区间[,)a +∞上具有2阶导数, ()0f a =,()0f x '>,

()0f x ''>.设b a >,曲线()f x 在点(,())b f b 处的切线与x 轴的交点是0(,0)x ,证明:

0a x b <<.

【解】曲线在()y f x =点(,())b f b 处的切线方程为

()()()y f b f b x b '-=-,解得切线与x 轴交点的横坐标0()

()

f b x b f b =-

'. 由于()0f x '>.故()f x 单调递增.由b a >可知()()0f b f a >=. 又()0f b '>,故

()

0()

f b f b >',即有0x b <. 由拉格朗日中值定理得()()()()()f b f b f a f b a ξ'=-=-,a b ξ<<. 因为()0f x ''>,所以()f x '单调递增,从而()()f f b ξ''<,()()()f b b a f b '<-. 由此可知00x a ->,即0x a >.综上0a x b <<.

(22) （本题满分11分）设矩阵101101a a a ?? ?

=- ? ???

A 且3=A O .

(Ⅰ) 求a 的值;

(Ⅱ) 若矩阵X 满足2

2

--+=X XA AX AXA E ,E 为3阶单位矩阵,求X .

【解】(Ⅰ)由于3=A O ,所以31

01

1001

a a a a

=-==A ,于是0a =.

(Ⅱ)由于22

--+=X XA AX AXA E ,所以2

()()--=E A X E A E .

由(Ⅰ)知110111011-?? ?-=- ? ?-??E A ,2001010102?? ?-= ? ?-??

E A ,, 因为-E A ,2

-E A 均可逆,所以

121

211201312()()111010111110100211-----??????

??? ?=--=-=- ??? ? ??? ?-??????

X E A E A .

(23) （本题满分11分）设矩阵02313312a -?? ?=-- ? ?

-??

A 相似于矩阵12000031b -?? ?

= ? ???B .

(Ⅰ) 求,a b 的值;

(Ⅱ) 求可逆矩阵P ,使1-P AP 为对角矩阵.

【解】(Ⅰ)由于矩阵A 与矩阵B 相似,所以()()tr tr =A B ,=A B . 于是32a b +=+,23a b -=,解得4a =,5b =.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 023133124-?? ?=-- ? ?

-??

A ,120050031-??

?

= ? ???B .又由于矩阵A 与矩阵B

相似,所以

2(1)(5)λλλλ-=-=--E A E B .故A 的特征值121λλ==,35λ=.

当121λλ==时,解方程组()0-=E A x ,得线性无关的特征向量为

1(2,1,0)T =ξ,2(3,0,1)T =-ξ.

当35λ=时,解方程组(5)0-=E A x ,得特征向量为

3(1,1,1)T =--ξ.

令123231(,,)101011--?? ?==- ? ???P ξξξ,则1

100010005-??

?= ? ???

P AP ,

故P 为所求可逆矩阵.