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高中数学的解三角形方法大全

高中数学的解三角形方法大全
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解三角形

1.解三角形:一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求

其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明,均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,则有以下关系成立: (1)边的关系:c b a >+,b c a >+,a c b >+(或满足:两条较短的边长之和大于较长边) (2)角的关系:π=++C B A ,π<

0sin >A , C B A sin )sin(=+,C B A cos )cos(-=+,2

cos 2sin

C

B A =+ (3)边角关系:正弦定理、余弦定理以及它们的变形

板块一:正弦定理及其应用

1.正弦定理:

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===,其中R 为AB

C ?的外接圆半径

2.正弦定理适用于两类解三角形问题:

(1)已知三角形的任意两角和一边,先求第三个角,再根据正弦定理求出另外两边;

(2)已知三角形的两边与其中一边所对的角,先求另一边所对的角(注意此角有两解、一解、无解

总结:若已知三角形的两边和其中一边所对的角,解这类三角形时,要注意有两解、一解和无解的可能

如图,在ABC ?中,已知a 、b 、A

(1)若A 为钝角或直角,则当b a >时,ABC ?有唯一解;否则无解。 (2)若A 为锐角,则当A b a sin <时,三角形无解; 当A b a sin =时,三角形有唯一解; 当b a A b <

实际上在解这类三角形时,我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。

板块二:余弦定理及面积公式

1.余弦定理:在ABC ?中,角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,则有

余弦定理:?????-+=-+=-+=C

ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 22222

22222 , 其变式为:????

??

?

??-+=

-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2

22222222

2.余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题:

(1)已知三角形的两边及其夹角,先由余弦定理求出第三边,再由正弦定理求较短边所对的角(或

由余弦定理求第二个角),最后根据“内角和定理”求得第三个角;

(2)已知三角形的三条边,先由余弦定理求出一个角,再由正弦定理求较短边所对的角(或由余弦

定理求第二个角),最后根据“内角和定理”求得第三个角; 说明:为了减少运算量,能用正弦定理就尽量用正弦定理解决

3.三角形的面积公式 (1)c b a ABC ch bh ah S 21

2121===? (a h 、b h 、c h 分别表示a 、b 、c 上的高); (2)B ac A bc C ab S ABC sin 2

1

sin 21sin 21===? (3)=?ABC S C B A R sin sin sin 22 (R 为外接圆半径) (4)R

abc S ABC 4=?; (5)))()((c p b p a p p S ABC ---=? 其中)(2

1

c b a p ++=

(6)l r S ABC

?=?2

1

(r 是内切圆的半径,l 是三角形的周长)

板块三:解三角形综合问题

人教A版高中数学必修五《第一章解三角形》常用变换公式及经典例题.docx

知识点: 1.正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C ===或变形:::sin :sin :sin a b c A B C =. 2.余弦定理: 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-= ??+-?=???+-=?? . 3.(1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角. (1)三角形内角和等于0180,即0180=++C B A ,灵活变形,如)(1800C B A +-=等 (2)大边对大角,即若c b a >>,则C B A >> 2.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即: R C c B b A a 2sin sin sin ===(R 为三角形外接圆半径) 变形:(1)C B A c b a sin :sin :sin ::= (2)R a A 2sin = ,R b B 2sin =,R c C 2sin =(角化边) (3)A R a sin 2=, B R b sin 2=,C R c sin 2=(边化角) 3.余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即: A bc c b a cos 2222-+= ; B ac c a b cos 2222-+= ; C ab b a c cos 2222-+= 变形: bc a c b A 2cos 222-+= ; ac b c a B 2cos 222-+= ; ab c b a C 2cos 2 22-+= C ab S sin 21=,B ac S sin 21=,A bc S sin 2 1=

高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题1

解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,C =90°,AB =c ,AC =b ,BC =a 。 (1)三边之间的关系:a 2 +b 2 =c 2 。(勾股定理) (2)锐角之间的关系:A +B =90°; (3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) sin A =cos B = c a ,cos A =sin B =c b ,tan A =b a 。 2.斜三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,A 、B 、C 为其内角,a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 (1)三角形内角和:A +B +C =π。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===(R 为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2-2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C 。 3.三角形的面积公式: (1)?S = 21ah a =21bh b =21 ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高); (2)?S =21ab sin C =21bc sin A =2 1 ac sin B ; 4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型: (1)两类正弦定理解三角形的问题: 第1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题: 第1、已知三边求三角.

高中数学解三角形题型完整归纳

高中数学解三角形题型目录一.正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二.余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三.三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四.射影定理 五.正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值

(4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六.图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六.解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一.正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中,解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A

最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b,则90C <;③若2 2 2 a b c +<,则90C >. 11、三角形的四心: 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点(重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1) 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点(外心到三顶点距离相等) 内心——三角形三内角的平分线相交于一点(内心到三边距离相等) 12同角的三角函数之间的关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1 (2)倒数关系:tanα·cotα=1 (3)商的关系:α α ααααsin cos cot ,cos sin tan ==

高中数学解三角形方法大全

解三角形的方法 1.解三角形:一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明,均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,则有以下关系成立: (1)边的关系:c b a >+,b c a >+,a c b >+(或满足:两条较短的边长之和大于较长边) (2)角的关系:π=++C B A ,π<A , C B A sin )sin(=+,C B A cos )cos(-=+,2 cos 2sin C B A =+ (3)边角关系:正弦定理、余弦定理以及它们的变形 板块一:正弦定理及其应用 1.正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin ===,其中R 为AB C ?的外接圆半径 2.正弦定理适用于两类解三角形问题: (1)已知三角形的任意两角和一边,先求第三个角,再根据正弦定理求出另外两边; (2)已知三角形的两边与其中一边所对的角,先求另一边所对的角(注意此角有两解、一解、无解

总结:若已知三角形的两边和其中一边所对的角,解这类三角形时,要注意有两解、一解和无解的可能 如图,在ABC ?中,已知a 、b 、A (1)若A 为钝角或直角,则当b a >时,ABC ?有唯一解;否则无解。 (2)若A 为锐角,则当A b a sin <时,三角形无解; 当A b a sin =时,三角形有唯一解; 当b a A b <

(完整版)高中数学必修五解三角形测试题及答案

(数学5必修)第一章:解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1.在△ABC 中,若0 30,6,90===B a C ,则b c -等于( ) A .1 B .1- C .32 D .32- 2.若A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( ) A .A sin B .A cos C .A tan D . A tan 1 3.在△ABC 中,角,A B 均为锐角,且,sin cos B A >则△ABC 的形状是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形 4.等腰三角形一腰上的高是3,这条高与底边的夹角为060,则底边长为( ) A .2 B . 2 3 C .3 D .32 5.在△ABC 中,若B a b sin 2=,则A 等于( ) A .006030或 B .006045或 C .0060120或 D .0015030或 6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A .090 B .0120 C .0135 D .0150 二、填空题 1.在Rt △ABC 中,090C =,则B A sin sin 的最大值是_______________。 2.在△ABC 中,若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3.在△ABC 中,若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4.在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13,则C =_____________。 5.在△ABC 中,,26-= AB 030C =,则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1. 在△ABC 中,若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么?

解三角形题型汇总.docx

《解三角形》知识点归纳及题型汇总 1、①三角形三角关系: A+B+C=180°; C=180°— (A+B); ② . 角平分线性质 : 角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③ . 锐角三角形性质:若A>B>C则60 A 90 ,0 C 60 . 2、三角形三边关系: a+b>c; a-b

的外接圆的半径,则有 a b c 2R .sin sin sin C 5、正弦定理的变形公式: ①化角为边: a2Rsin, b2Rsin, c2Rsin C ; ②化边为角: sin a, sin b, sin C c ; 2R2R2R ③ a : b : c sin:sin:sin C ; ④a b c a b c=2R sin sin sin C sin sin sin C 6、两类正弦定理解三角形的问题: ①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角,求其他边角. 7、三角形面积公式: S C1 bc sin1 ab sin C1 ac sin.=2RsinAsinBsinC=abc 2 2224R = r (a b c) =p( p a)( p b)( p c) ( 海伦公式 ) 2 8、余弦定理:在 C 中, a2b2c22bc cos,b2a2c22ac cos , c2a2b22ab cosC .9、余弦定理的推论: cos b2c2 a 2, cos a2c2b2, cosC a2b2c2. 2bc2ac2ab 10、余弦定理主要解决的问题: ①已知两边和夹角,求其余的量. ②已知三边求角

高中数学解三角形最值

高中数学解三角形最值 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2 三角形中的最值(或范围)问题 解三角形问题,可以较好地考察三角函数的诱导公式,恒等变换,边角转化,正弦余弦定理等知识点,是三角,函数,解析几何和不等式的知识的交汇点,在高考中容易出综合题,其中,三角形中的最值问题又是一个重点。其实,这一部分的最值问题解决的方法一般有两种:一是建立目标函数后,利用三角函数的有界性来解决,二是也可以利用重要不等式来解决。 类型一:建立目标函数后,利用三角函数有界性来解决 例1.在△ABC 中, ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边,且2asinA =(2b+c )sinB+(2c+b )sinC. (1) 求角A 的大小;(2)求sin sin B C +的最大值. 变式1:已知向量(,)m a c b =+,(,)n a c b a =--,且0m n ?=,其中,,A B C 是△ABC 的内角,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边. (1) 求角C 的大小;(2)求sin sin A B +的最大值. 解:由m n ?=()a c +()()0a c b b a -+-=,得a 2+b 2—c 2=ab=2abcosC 所以cosC=21 ,从而C=60 故sin sin sin sin(120)O A B A A +=+-=3sin(60 +A) 所以当A=30 时,sin sin A B +的最大值是3 变式2.已知半径为R 的圆O 的内接⊿ABC 中,若有2R (sin 2A —sin 2C )=(2a —b )sinB 成立,试求⊿ABC 的面积S 的最大值。 解:根据题意得:

【高中数学】解三角形的知识总结和题型归纳

解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,C =90°,AB =c ,AC =b ,BC =a 。(1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2。(勾股定理)(2)锐角之间的关系:A +B =90°;(3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) sin A =cos B =c a ,cos A =sin B =c b ,tan A =b a 。 2.斜三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,A 、B 、C 为其内角,a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。(1)三角形内角和:A +B +C =π。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===(R 为外接圆半径)(3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2=b 2+c 2-2bc cos A ;b 2=c 2+a 2-2ca cos B ;c 2=a 2+b 2-2ab cos C 。 3.三角形的面积公式: (1)?S = 21ah a =21bh b =21 ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高);(2)?S =21ab sin C =21bc sin A =2 1 ac sin B ; 4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】

2019高二数学解三角形公式总结

2019高二数学解三角形公式总结 解三角形问题是历年高二数学考试考查的重点,属必考内容,掌握好高二数学三角函数的公式必不可少。下面是本人给大家带来的高二数学解三角形公式总结,希望对你有帮助。 高二数学解三角形公式 高二数学学习方法 抓好基础是关键 数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用,弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提,是正确把握解题方法的依据。只有概念清楚,方法全面,遇到题目时,就能很快的得到解题方法,或者面对一个新的习题,就能联想到我们平时做过的习题的方法,达到迅速解答。弄清基本定理是正确、快速解答习题的前提条件,特别是在立体几何等章节的复习中,对基本定理熟悉和灵活掌握能使习题解答条理清楚、逻辑推理严密。反之,会使解题速度慢,逻辑混乱、叙述不清。 严防题海战术 做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。学数学要做一定量的习题,但学数学并不等于做题,在各种考试题中,有相当的习题是靠简单的知识点的堆积,利用公理化知识体系的演绎而就能解决的,这些习题是要通过做一定量的习题达到对解题方法的展移而实现的,但,随着高考的改革,高考已把考查的重点放在创造型、能力型的考查上。因此要精做习题,注意知识的理解和灵活应用,当你做完一道习题后不访自问:本题考查了什么知识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什么解题的通性?实现

问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有这样才会培养 自己的悟性与创造性,开发其创造力。也将在遇到即将来临的期末考试和未来的高考题目中那些综合性强的题目时可以有一个科学的方法解决它。 归纳数学大思维 数学学习其主要的目的是为了培养我们的创造性,培养我们处理事情、解决问题的能力,因此,对处理数学问题时的大策略、大思维的掌握显得特别重要,在平时的学习时应注重归纳它。在平时听课时,一个明知的学生,应该听老师对该题目的分析和归纳。但还有不少学生,不注意教师的分析,往往沉静在老师讲解的每一步计算、每一步推证过程。听课是认真,但费力,听完后是满脑子的计算过程,支离破碎。老师的分析是引导学生思考,启发学生自己设计出处理这些问题的大策略、大思维。当教师解答习题时,学生要用自己的计算和推理已经知道老师要干什么。另外,当题目的答案给出时,并不代表问题的解答完毕,还要花一定的时间认真总结、归纳理解记忆。要把这些解题策略全部纳入自己的脑海成为永久地记忆,变为自己解决这一类型问题的经验和技能。同时也解决了学生中会听课而不会做题目的坏毛病。 积累考试经验 本学期每月初都有大的考试,加之每单元的单元测验和模拟考试有十几次,抓住这些机会,积累一定的考试经验,掌握一定的考试技巧,使自己应有的水平在考试中得到充分的发挥。其实,考试是单兵作战,它是考验一个人的承受能力、接受能力、解决问题等综合能力的战场。这些能力的只有在平时的考试中得到培养和训练。 高二数学学习技巧

解三角形公式

解三角形公式

海伦-秦九韶公式 假设在平面内,有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得: 而公式里的p为半周长(周长的一半): 注1:"Metrica"(《度量论》)手抄本中用s 作为半周长,所以 和 两种写法都是可以的,但多用p作为半周长。cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2) (2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2

b^2=a^2+c^2-2ac cos B c^2=a^2+b^2-2ab cos C 注:勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。 变形公式 cos C=(a^2+b^2-c^2)/2ab cos B=(a^2+c^2-b^2)/2ac cos A=(c^2+b^2-a^2)/2bc 海伦-秦九韶公式 p=(a+b+c)/2(公式里的p为半周长) 假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得: S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 高中数学基本不用。 已知三条中线求面积 方法一:已知三条中线Ma,Mb,Mc, 则 S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb) *(Ma+Mb-Mc)]/3 ; 方法二:已知三边a,b,c ;

最新专题24解三角形中的最值、范围问题(解析版)

专题24 解三角形中的最值、范围问题 解三角形问题是高考高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角形的内角和定理,正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题,解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”,另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理实现边角互化;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”,其中的核心是“变角”,即注意角之间的结构差异,弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===,其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边,或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边,否则不可行 学/科-+网 例如:(1)2 2 2 2 2 2 sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=?+-= (2)cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=?+=(恒等式) (3) 22sin sin sin bc B C a A = 2、余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc A =+- 变式:()()2 2 21cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下,配合均值不等式可得到b c +和bc 的 最值 4、三角形中的不等关系 (1)任意两边之和大于第三边:在判定是否构成三角形时,只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件,在求最值时使用较少 (2)在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系: sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?< 其中由cos cos A B A B >?<利用的是余弦函数单调性,而sin sin A B A B >?>仅在一个三角形内有效. 5、解三角形中处理不等关系的几种方法 (1)转变为一个变量的函数:通过边角互化和代入消元,将多变量表达式转变为函数,从而将问题转化为求函数的值域(最值) (2)利用均值不等式求得最值 【经典例题】 例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形 中, ,

高中数学解三角形练习及详细答案

解三角形练习 题一:在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=32,则AC=(). A.43B.2 3 C. 3 D. 3 2 题二:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=23,c=22,1+tan A tan B= 2c b,则C =(). A.30°B.45° C.45°或135°D.60° 题三:在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b=2a sin B,则角A的大小为________. 题四:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2b-c)cos A-a cos C=0.求角A的大小. 题五:在△ABC中,内角A,B,C依次成等差数列,AB=8,BC=5,则△ABC外接圆的面积为________. 题六:在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin B(tan A+tan C)=tan A tan C. 求证:a,b,c成等比数列. 题七:某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港

口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值. 题八:如图,在△ABC中,已知B=π 3,AC=43,D为BC边上一点.若AB=AD,则△ADC的 周长的最大值为________. 题九:如图,在△ABC中,点D在BC边上,AD=33,sin∠BAD=5 13,cos∠ADC= 3 5. (1)求sin∠ABD的值; (2)求BD的长. 题十:如图,在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°,测得湖中之影的俯角为45°,则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)(). A.2.7 m B.17.3 m C.37.3 m D.373 m 题十一:在△ABC中,若sin2A+sin2B < sin2C,则△ABC的形状是(). A.锐角三角形B.直角三角形

高中数学专题练习:解三角形问题

高中数学专题练习:解三角形问题 [题型分析·高考展望]正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点主要有三个方面:一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等;二是以实际生活为背景,考查解三角形问题;三是与其他知识的交汇性问题,此类试题一直是命题的重点和热点. 常考题型精析 题型一活用正弦、余弦定理求解三角形问题 例1(1)(·广东)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=23, cos A= 3 2且b

点评在根据正弦、余弦定理解三角形问题中,要结合大边对大角进行判断.一般地,斜三角形中,用正弦定理求角时,若已知小角求大角,有两解,已知大角求小角有一解;在解三角形问题中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围,确定三角函数值的符号,防止增解等扩大范围的现象发生. 变式训练1(·课标全国Ⅱ)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC. (1)求sin B sin C; (2)若∠BAC=60°,求B. 题型二正弦、余弦定理的实际应用 例2如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为 1 260 m,经测量cos A=12 13,cos C= 3 5.

解三角形最值问题

三角形最值问题 课前强化 1.在△ABC 中,已知0 45,2,===B cm b xcm a ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则x 的取值范围是 ( ) A.222 <x< B.222≤<x C.2x > D.2x < 2.△ABC 中,若sinA :sinB :sinC=m :(m+1):2m, 则m 的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.( 2 1,+∞) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 3.在△ABC 中,A 为锐角,lg b +lg(c 1)=lgsin A =-lg 2, 则△ABC 为( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是( ) A.0 075,45,10===C A b B.080,5,7===A b a C.060,48,60===C b a D.045,16,14===A b a 5.△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,) p a c b =+ (,)q b a c a =-- ,若//p q ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23 π 6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 ( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .由增加的长度决定 最值范围问题: 7、在ABC ?中,角所对的边分别为且满足(I )求角的大小;(II )求)cos(sin 3C B A +-的最大值,并求取得最大值时角的大小. ,,A B C ,,a b c sin cos .c A a C =C ,A B

(word完整版)高中数学解三角形练习题

解三角形卷一 一.选择题 1.在△ABC 中,sin A :sin B :sin C =3:2:4,则cos C 的值为 A .23 B .-23 C .14 D .-14 2、在ABC △中,已知4,6a b ==,60B =o ,则sin A 的值为 A 、3 B 、2 C 、3 D 、2 3、在ABC △中,::1:2:3A B C =,则sin :sin :sin A B C = A 、1:2:3 B 、 C 、 D 、2 4、在ABC △中,sin :sin :sin 4:3:2A B C =,那么cos C 的值为 A 、14 B 、14- C 、78 D 、1116 5、在ABC △中,13,34,7===c b a ,则最小角为 A 、3π B 、6π C 、4 π D 、12π 6、在ABC △中,60,16,A b ==o 面积3220=S ,则c = A 、610 B 、75 C 、55 D 、49 7、在ABC △中,()()()a c a c b b c +-=+,则A = A 、30o B 、60o C 、120o D 、150o 8、在ABC △中,根据下列条件解三角形,则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C ===o o B 、60,48,60a c B ===o C 、7,5,80a b A ===o D 、14,16,45a b A ===o 二、填空题。 9.在△ABC 中,a ,b 分别是∠A 和∠B 所对的边,若a =3,b =1,∠B =30°,则∠A 的值是 . 10.在△ABC 中,已知sin B sin C =cos 22 A ,则此三角形是__________三角形. 11. 在△ABC 中,∠A 最大,∠C 最小,且∠A =2∠C ,a +c =2b ,求此三角形三边之比为 .

余弦定理公式大全

4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形 建构知识结构 1.三角形基本公式: (1)内角和定理:A+B+C=180°,sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + (2)面积公式:S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) (3)射影定理:a = b cos C + c cos B ;b = a cos C + c cos A ;c = a cos B + b cos A 2.正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明:由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得:2sin sin sin a b c R A B C === 3.余弦定理:a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA , 222 cos 2b c a A bc +-=; 证明:如图ΔABC 中, sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 2 2 sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时,类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形,结合三角公式,能解有关三角形中的问题. 4.利用正弦定理,可以解决以下两类问题:(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角; 有三种情况:bsinA

高中数学 解三角形最值或范围-含答案

解三角形最值或范围1.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若2a -c b =cos C cos B ,b =2.(1)求B ; (2)求△ABC 的面积的最大值. 【解】(1)由2a -c b =cos C cos B ,结合正弦定理可得(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C , ∴2sin A cos B ﹣sin C cos B =sin B cos C , ∴2sin A cos B =sin C cos B +sin B cos C =sin (B +C )=sin A ,得cos B =12 ,∵B ∈(0,π),∴B =π3 ;(2)若b =2,由余弦定理得:4=a 2+c 2-2ac ?cos π3 ,即a 2+c 2﹣ac =4, 又a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac =ac ,即ac ≤4.∴△ABC 的面积的最大值为S =12 ac ?sin B =12 ×4×3 2 =3 .2.在锐角△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且a sin B -3 2 b =0.(1)求角A 的大小; (2)若a =4,求△ABC 面积的最大值.【解】(1)因为a sin B -3 2 b =0,所以sin A sin B -3 2 sin B =0,又sin B ≠0,所以sin A =3 2 ,即A =60°.(2)因为a 2=b 2+c 2﹣2bc cos A ,A =60°,a =4, 所以16=b 2+c 2-2bc ×12 =b 2+c 2-bc ,所以16≥2bc ﹣bc =bc ,即bc ≤16(当且仅当b =c =4时取等号),故S △ABC =12 bc sin A ≤12 ×16×sin60°=43 .△ABC 面积的最大值:43 . 3.在△ABC 中,a =2,2cos2A +3=4cos A . (1)求角A 的大小 (2)求△ABC 的周长L 的取值范围 【解】(1)因为2cos2A +3=4cos A , 所以2cos 2A +12 =2cos A ,所以4cos 2A ﹣4cos A +1=0,所以cos A =12 ,又因为0

(完整版)高中数学解三角形方法大全

解三角形 1.解三角形:一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明,均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,则有以下关系成立: (1)边的关系:c b a >+,b c a >+,a c b >+(或满足:两条较短的边长之和大于较长边) (2)角的关系:π=++C B A ,π<A , C B A sin )sin(=+,C B A cos )cos(-=+,2 cos 2sin C B A =+ (3)边角关系:正弦定理、余弦定理以及它们的变形 板块一:正弦定理及其应用 1.正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin ===,其中R 为AB C ?的外接圆半径 2.正弦定理适用于两类解三角形问题: (1)已知三角形的任意两角和一边,先求第三个角,再根据正弦定理求出另外两边; (2)已知三角形的两边与其中一边所对的角,先求另一边所对的角(注意此角有两解、一解、无解 【例1】考查正弦定理的应用 (1)ABC ?中,若ο 60=B ,4 2 tan = A ,2=BC ,则=AC _____; (2)ABC ?中,若ο 30=A ,2= b ,1=a ,则=C ____; (3)ABC ?中,若ο 45=A ,24=b ,8=a ,则=C ____; (4)ABC ?中,若A c a sin =,则c b a +的最大值为_____。

总结:若已知三角形的两边和其中一边所对的角,解这类三角形时,要注意有两解、一解和无解的可能如图,在ABC ?中,已知a、b、A (1)若A为钝角或直角,则当b a>时,ABC ?有唯一解;否则无解。 (2)若A为锐角,则当A b a sin <时,三角形无解; 当A b a sin =时,三角形有唯一解; 当b a A b< < sin时,三角形有两解; 当b a≥时,三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时,我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二:余弦定理及面积公式 1.余弦定理:在ABC ?中,角C B A、 、的对边分别为c b a、 、,则有 余弦定理: ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,其变式为: ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2.余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题: (1)已知三角形的两边及其夹角,先由余弦定理求出第三边,再由正弦定理求较短边所对的角(或由余弦定理求第二个角),最后根据“内角和定理”求得第三个角; (2)已知三角形的三条边,先由余弦定理求出一个角,再由正弦定理求较短边所对的角(或由余弦定理求第二个角),最后根据“内角和定理”求得第三个角; 说明:为了减少运算量,能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3.三角形的面积公式 (1) c b a ABC ch bh ah S 2 1 2 1 2 1 = = = ? ( a h、 b h、 c h分别表示a、b、c上的高); (2)B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = ? (3)= ?ABC S C B A R sin sin sin 22(R为外接圆半径) (4) R abc S ABC4 = ? ; (5)) )( )( (c p b p a p p S ABC - - - = ? 其中) ( 2 1 c b a p+ + = (6)l r S ABC ? = ?2 1 (r是内切圆的半径,l是三角形的周长)

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