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2019年高考数学大二轮复习专题三三角函数3.1三角函数的图象与性质练习

3.1 三角函数的图象与性质

【课时作业】

A 级

1．(2018·山东寿光一模)若角α的终边过点A (2,1)，则sin ? ??

??32π－α＝( ) A ．－25

B ．－

C.55

D ．255

解析：根据三角函数的定义可知cos α＝

＝255，

则sin ? ????32π－α＝－cos α＝－255，故选A.

答案： A

2．若sin θ＋cos θ＝23，则tan θ＋1

tan θ＝( )

A.5

18 B ．－518

C.185

D ．－185

解析：由sin θ＋cos θ＝23，得1＋2sin θcos θ＝49，即sin θcos θ＝－5

18，

则tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝－18

，故选D.

答案： D

3．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A ．向右平移π

4个单位长度

B ．向左平移π

4个单位长度

C ．向右平移π

个单位长度

D ．向左平移π

个单位长度

解析： y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ? ????3x ＋π4＝2cos ? ????π4－3x ＝2cos ?

????3x －π4＝2cos ????

??3? ????x －π12，所以，为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x

的图象向右平移π

个单位长度，故选C.

答案： C

4．(2018·天津卷)将函数y ＝sin ? ????2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )

A ．在区间??????3π4，5π4上单调递增

B ．在区间?????

?3π4，π上单调递减 C ．在区间??????5π4，3π2上单调递增

D ．在区间??

?3π2，2π上单调递减解析：函数y ＝sin ?

????2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝

sin ????

??2? ????x －π10＋π5＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调增区间为??????3π4，5π4，一个单

调减区间为??

??5π4，7π4.由此可判断选项A 正确．

故选A. 答案： A

5．(2018·贵阳市适应性考试(一))把函数y ＝2sin ?

????x ＋π4＋1图象上各点的横坐标

缩短为原来的1

(纵坐标不变)，那么所得图象的一条对称轴方程为( )

A ．x ＝2π3

B ．x ＝π2

C ．x ＝π4

D ．x ＝π8

解析：根据题中变换，所得图象对应的函数解析式为f (x )＝2sin ? ??

??2x ＋π4

＋1，令2x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝π8＋k π2(k ∈Z )，取k ＝0，得x ＝π

，故选D.

答案： D

6．(2018·河南周口二模)将函数y ＝sin ? ????x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位

长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为( )

A ．y ＝sin ? ????2x ＋5π12

B ．y ＝sin ? ????x 2＋5π12

C ．y ＝sin ? ??

??x 2－π12 D ．y ＝sin ? ??

??x 2＋5π24 解析：将函数y ＝sin ?

????x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，可得y ＝

sin ? ????x ＋π4＋π6＝sin ? ????x ＋5π12的图象，再把所得图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵

坐标不变)，可得y ＝sin ? ????12

x ＋5π12的图象，故选B.

答案： B

7．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆x 2

＋y 2

＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α

A.AB B ．CD C.EF

D ．GH

解析：若点P 在AB 或CD (不包含端点A ，D )上，则角α在第一象限，此时tan α－sin α＝tan α(1－cos α)>0，与tan α

若点P 在GH (不包含端点G )上，则角α在第三象限，此时tan α>0，cos α<0，与tan α

答案： C

8．(2018·合肥市第一次教学质量检测)将函数y ＝cos x －sin x 的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到y ＝cos 2x ＋sin 2x 的图象，则φ，a 的可能取值为( )

A ．φ＝π

2，a ＝2

B ．φ＝3π

8，a ＝2

C ．φ＝3π8，a ＝1

D ．φ＝π2，a ＝1

解析： y ＝cos x －sin x ＝2cos ?

????x ＋π4的图象向右平移φ个单位长度得到y ＝2

cos ? ????x －φ＋π4的图象，该图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍得到y ＝2cos ? ????1a x －φ＋π4的图象，所以y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝2cos ? ????2x －π4＝2cos ? ????1

a x －φ＋π4，

则a ＝12，φ＝π

＋2k π(k ∈Z )．又φ>0，所以结合选项知D.

答案： D

9．(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B ．π2

C.3π4

D ．π

解析： f (x )＝cos x －sin x ＝－2?

? sin x ·

－cos x ·

22＝－ 2 sin ? ????x －π4，当x ∈??????－π4，34π，即x －π4∈??????－π2，π2时，y ＝sin ?

????x －π4单调递增， y ＝－2sin ?

x －π4

单调递减．

∵函数f (x )在[－a ，a ]是减函数，

∴[－a ，a ]?????

??－π4，34π， ∴0

故选A. 答案： A

10．设函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)?

????|φ|<π2的图象关于直线x ＝0对称，

解析：由题意得函数f (x )＝2sin ? ????2x ＋π6＋φ，因为其图象关于直线x ＝0对称，所

以2×0＋π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝π3＋k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π

3，f (x )

＝2sin ? ????2x ＋π6＋π3＝2cos 2x .当π4≤x ≤3π8时，π2≤2x ≤3π4，所以y ＝f (x )在??????π4，3π8上的值域为[－2，0]．

11．(2018·福州四校联考)函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π

个单位长度得

到函数y ＝g (x )的图象，并且函数g (x )在区间??????π6，π3上单调递增，在区间????

??π3，π2上单调递减，则实数ω的值为( )

A.7

4 B ．32 C ．2

D ．54

解析：因为将函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π

个单位长度得到函数y ＝

g (x )的图象，所以g (x )＝sin ω?

??????π3，π2上单调递减，所以g ? ????π3＝sin ωπ4＝1且2πω≥π3，所以?

????

ω＝8k ＋k ∈Z ，0<ω≤6，所以ω＝2，故选C.

答案： C

12．(2018·成都市第一次诊断性检测)设函数f (x )＝sin ? ????2x ＋π3.若x 1x 2<0，且f (x 1)－f (x 2)＝0，则|x 2－x 1|的取值范围为( )

解析：如图，画出f (x )＝sin ? ????2x ＋π3的大致图象，记M ? ????0，32，N ? ????π6，32，则|MN |

＝π

6.设点A ，A ′是平行于x 轴的直线l 与函数f (x )图象的两个交点(A ，A ′位于y 轴两侧)，这两个点的横坐标分别记为x 1，x 2，结合图形可知，|x 2－x 1|＝|AA ′|∈(|MN |，＋∞)，即

|x 2－x 1|∈? ??

??π6，＋∞，故选A.

13．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2

x ＋3cos x －34? ????x ∈??????0，π2的最大值是

?????0，π2，∴cos x ∈[0,1]，

∴当cos x ＝3

时，f (x )取得最大值，最大值为1. 答案： 1

14．(2018·山西省八校第一次联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝________.

解析：由函数图象得A ＝2，所以y ＝2sin(ωx ＋φ)，因为图象过点(0，－1)，所以sin φ＝－12，因为x ＝0位于图象的单调递减区间，所以φ＝2k π－5π

6(k ∈Z )，又－

π<φ<0，所以φ＝－5π

答案：－5π

15．已知函数f (x )＝cos ? ????3x ＋π3，其中x ∈??????π6，m ? ????m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是?

???－1，－32，则m 的最大值是________．

解析：由x ∈??

??π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，

∵f ? ????π6＝cos 5π6＝－32，且f ? ????2π9＝cos π＝－1，∴要使f (x )的值域是?

???－1，－32，需要π≤3m ＋π3≤7π6，即2π9≤m ≤5π18，即m 的最大值是5π18.

答案：

5π18

16．已知函数f (x )＝sin ? ????2x －π3，如果x 1，x 2∈? ????π6，2π3，且x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2

)，

则f (x 1＋x 2)＝________.

解析：由2x －π3＝k π＋π2，k ∈Z 可得x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ，因为x 1，x 2∈? ????π6，2π3，

所以令k ＝0，得其在区间? ????π6，2π3里的对称轴为x ＝5π12，所以x 1＋x 2＝2×5π12＝5π6，所

以f ?

????5π6＝sin ? ??

??2×5π6－π3＝sin 4π3＝－32.

答案：－

B 级

1．(2018·洛阳市尖子生第一次联考)已知函数f (x )＝sin(sin x )＋cos(sin x )，x ∈R ，

则下列说法正确的是( )

A ．函数f (x )是周期函数且最小正周期为π

?π4，π2上是增函数解析： f (x )＝sin(sin x )＋cos(sin x )＝2sin ?

??－sin x ＋π4≠f (x )，所以π不是函数f (x )的最小正周期，故A 错误；f (－x )＝2sin ?

???－x ＋π4＝2sin ?

????－sin x ＋π4≠－f (x )，故B 错误；当x ∈??????0，π2时，sin x ∈[0,1]，sin x ＋π4∈??????π4，π4＋1，所以sin ?

????sin x ＋π4∈

??????22，1，则2sin ? ????sin x ＋π4∈[1，2]，故C 正确；当x ∈??????π4，π2时，

sin x ∈????

??22，1，sin x ＋π4∈??????22＋π4，1＋π4，而π2∈??????22＋π4，1＋π4，所以函数f (x )在??????π4，π2上不是单调函数，故D 错误．

答案： D

2．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．

解析： f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ?

????ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，

3．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；

(2)讨论函数f (x )在?

?????0，π2上的单调性．

解析： (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ? ????ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2.

于是f (x )＝2sin ?

????2x －π4.

令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π

8(k ∈Z )，

即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π

2＋3π

(k ∈Z )． (2)令2k π－

π2≤2x －π4≤2k π＋π

(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为????

??k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．

注意到x ∈?

?????0，π2，所以令k ＝0，

得函数f (x )在??????0，π2上的单调递增区间为?

?????0，3π8；同理，其单调递减区间为??

??3π8，π2.

4．已知函数f (x )＝2cos 2

x ＋23sin x cos x ＋a ，且当x ∈?

?????0，π2时，f (x )的最小值为

(1)求a 的值，并求f (x )的单调递增区间；

(2)先将函数y ＝f (x )的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的1

2，再将所得图象

向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求方程g (x )＝4在区间??????0，π2上所有根之

和．

解析： (1)f (x )＝2cos 2

x ＋23·sin x cos x ＋a ＝cos 2x ＋1＋3sin 2x ＋a ＝2sin ?

????2x ＋π6＋a ＋1，

∵x ∈??????0，π2，∴2x ＋π6∈??????π6，7π6，

∴f (x )的最小值为－1＋a ＋1＝2，解得a ＝2，

∴f (x )＝2sin ?

????2x ＋π6＋3.

由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π

，k ∈Z ，

可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为??????k π－π3，k π＋π6(k ∈

????4x －π6＝12， ∴4x －π6＝2k π＋π6或4x －π6＝2k π＋5π

(k ∈Z )， ∵x ∈??????0，π2，∴x ＝π12或x ＝π4， ∴所有根之和为π12＋π4＝π