(完整版)全等三角形证明经典40题(含答案)
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 的长.
解：延长AD 到E,使AD=DE
∵D 是BC 中点
∴BD=DC
在△ACD 和△BDE 中
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD ≌△BDE
∴AC=BE=2
∵在△ABE 中
AB-BE ＜AE ＜AB+BE
∵AB=4
即4-2＜2AD ＜4+2
1＜AD ＜3
∴AD=2
2. 已知：BC=ED ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠
2
证明：连接BF 和EF
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF
∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)
∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF
连接BE
在三角形BEF 中,BF=EF
∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
A
D B C
3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC
过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G
CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD
DE ＝DC
∠FDE ＝∠GDC （对顶角）
∴△EFD ≌△CGD
EF ＝CG
∠CGD ＝∠EFD
又，EF ∥AB
∴，∠EFD ＝∠1
∠1=∠2
∴∠CGD ＝∠2
∴△AGC 为等腰三角形，
AC ＝CG
又 EF ＝CG
∴EF ＝AC
4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C
证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE
∵AD 平分∠BAC
∴∠EAD ＝∠CAD
∵AE ＝AC ，AD ＝AD
∴△AED ≌△ACD （SAS ）
∴∠E ＝∠C
∵AC ＝AB+BD
∴AE ＝AB+BD
∵AE ＝AB+BE
∴BD ＝BE
∴∠BDE ＝∠E
B A
C
D
F
2
1 E A
∵∠ABC＝∠E+∠BDE
∴∠ABC＝2∠E
∴∠ABC＝2∠C
5.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
证明：
在AE上取F，使EF＝EB，连接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB＝∠CEF＝90°
∵EB＝EF，CE＝CE，
∴△CEB≌△CEF(SAS)
∴∠B＝∠CFE
∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°
∴∠D＝∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC＝∠FAC
∵AC＝AC
∴△ADC≌△AFC（SAS）
∴AD＝AF
∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE
6. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD 上。求证：BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB，连接EF
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）
∴∠A=∠BFE
∵AB//CD
∴∠A+∠D=180o
∵∠BFE+∠CFE=180o
∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE , CE平分∠BCD ,CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）
∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
7.已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C
证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，则：
△AED是等腰三角形。
∴AE=DE
而AB=CD
∴BE=CE
∴△BEC是等腰三角形
∴∠B=∠C.
8.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB 在AC上取点E， 使AE＝AB。 ∵AE＝AB AP＝AP ∠EAP＝∠BAE， ∴△EAP≌△BAP ∴PE＝PB。 PC＜EC＋PE ∴PC＜（AC－AE）＋PB ∴PC－PB＜AC－AB。 9.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE 证明： 延长BE交AC于点F,可证△ABE≌△AFE ∴∠ABE=∠AFE,AB=AF,BE=FE ∴AC – AB =FC,FB=2BE ∵∠ABC=3∠C ∴∠ABE+∠FBC=3∠C ∴∠AFB+∠FBC=3∠C ∵∠AFB=∠C+∠FBC ∴∠C+∠FBC+∠FBC=3∠C ∴∠FBC=2∠C 即∠FBC=∠C ∴FB=FC ∴AC-AB=FB=2BE 10．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC． 解：延长AD至BC于点E, ∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形 ∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等腰三角形 ∴AB=AC 在△ABD和△ACD中 ｛AB=AC ∠1=∠2 BD=DC ∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边） ∴∠BAD=∠CAD ∴AE是△ABC的中垂线 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC 11．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA 证明： ∵OM平分∠POQ ∴∠POM＝∠QOM ∵MA⊥OP，MB⊥OQ ∴∠MAO＝∠MBO＝90 ∵OM＝OM ∴△AOM ≌△BOM （AAS ） ∴OA ＝OB ∵ON ＝ON ∴△AON ≌△BON （SAS ） ∴∠OAB=∠OBA ，∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB ＝180 ∴∠ONA ＝∠ONB ＝90 ∴OM ⊥AB 12.如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于 D ．求证：AD +BC =AB ． 做BE 的延长线，与AP 相交于F 点， ∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE ，BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线 ∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB 为直角三角形 在三角形ABF 中，AE ⊥BF ，且AE 为∠FAB 的角平分线 ∴三角形FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中， ∠EBC=∠DFE,且BE=EF ，∠DEF=∠CEB ， ∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 13.如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B 延长AC 到E 使AE=AC 连接 ED ∵ AB=AC+CD ∴ CD=CE 可得∠B=∠E △CDE 为等腰 ∠ACB=2∠B 14．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积 相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 证明： P E D C B A O E D C B A D C B A ∵DC ∥AB ∴∠CDE ＝∠AED ∵DE ＝DE ，DC ＝AE ∴△AED ≌△EDC ∵E 为AB 中点 ∴AE ＝BE ∴BE ＝DC ∵DC ∥AB ∴∠DCE ＝∠BEC ∵CE ＝CE ∴△EBC ≌△EDC ∴△AED ≌△EBC 15.如图，△ABC 中，∠BAC=90度，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线 垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD=2CE ． 证明： ∵∠CEB=∠CAB=90° ∴ABCE 四点共元 ∵∠ABE=∠CBE ∴AE=CE ∴∠ECA=∠EAC 取线段BD 的中点G ，连接AG ，则：AG=BG=DG ∴∠GAB=∠ABG 而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等） ∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB 而：AC=AB ∴△AEC ≌△AGB ∴EC=BG=DG ∴BE=2CE F E D C B A 16、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 F E D C B A 证明：∵DF=CE ， ∴DF-EF=CE-EF ， 即DE=CF ， 在△AED 和△BFC 中， ∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED ≌△BFC （SAS ） 17.如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。 求证：AM 是△ABC 的中线。 M F E C B A 证明： ∵BE ‖CF ∴∠E=∠CFM ，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM ≌△CFM ∴BM=CM ∴AM 是△ABC 的中线. 18.如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。求证：BD ⊥AC 。 D C B A ∵△ABD 和△BCD 的三条边都相等 ∴△ABD=△BCD ∴∠ADB=∠CD ∴∠ADB=∠CDB=90° ∴BD ⊥AC 19.AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF F D C B A 在△ABD 与△ACD 中 AB=AC BD=DC AD=AD ∴△ABD ≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF 与△FDC 中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF ∴△FBD ≌△FCD ∴BF=FC 20.如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 F E D C B A ∵AB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB ∴△ABE=△CDF ∵∠DCB=∠ABF AB=DC BF=CE △ABF=△CDE ∴AF=DE 21.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上. 证明：连接EF ∵AB∥CD ∴∠B=∠C ∵M是BC中点 ∴BM=CM 在△BEM和△CFM中 BE=CF ∠B=∠C BM=CM ∴△BEM≌△CFM（SAS） ∴CF=BE 22．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．∵AF=CE,FE=EF. ∴AE=CF. ∵DF//BE, ∴∠AEB=∠CFD （两直线平行，内错角相等） ∵BE=DF ∴：△ABE ≌△CDF （SAS ） 23.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 连接BD ； ∵AB=AD BC=D ∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠A BD;两角相加，∠ADC=∠ABC ； ∵BC=DC E\F 是中点 ∴DE=BF ； ∵AB=AD DE=BF ∠ADC=∠ABC ∴AE=AF 。 24．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠ 2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6． C A 证明： 在△ADC ，△ABC 中 ∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA ∴△ADC≌△ABC（两角加一边） ∵AB=AD，BC=CD 在△DEC与△BEC中 ∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD ∴△DEC≌△BEC（两边夹一角） ∴∠DEC=∠BEC 25．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF． ∵AD=DF ∴AC=DF ∵AB//DE ∴∠A=∠EDF 又∵BC//EF ∴∠F=∠BCA ∴△ABC≌△DEF（ASA） 26．已知：如图，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD． 证明： ∵BD⊥AC ∴∠BDC=90°A C D E F ∵CE ⊥AB ∴∠BEC=90° ∴∠BDC=∠BEC=90° ∵AB=AC ∴∠DCB=∠EBC ∴BC=BC ∴Rt △BDC ≌Rt △BEC （AAS) ∴BE=CD 27.如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。 求证：DE =DF ． 证明： ∵AD 是∠BAC 的平分线 ∴∠EAD=∠FAD ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴∠BFD=∠CFD=90° ∴∠AED 与∠AFD=90° 在△AED 与△AFD 中 ∠EAD=∠FAD AD=AD ∠AED=∠AFD ∴△AED ≌△AFD （AAS ） ∴AE=AF 在△AEO 与△AFO 中 ∠EAO=∠ FAO AO=AO AE=AF ∴△AEO ≌△AFO （SAS ） ∴∠AOE=∠AOF=90° ∴AD ⊥EF 28.已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 ,求AD 的长？ ∵AD ⊥AB ∴∠BAC=∠ADE 又∵AC ⊥BC 于C ，DE ⊥AC 于E 根据三角形角度之和等于180度 ∴∠ABC=∠ DAE ∵BC=AE ，△ABC ≌△DAE （ASA ） ∴AD=AB=5 29．如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。求证：MB=MC C 证明： ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵ME ⊥AB ，MF ⊥AC ∴∠BEM=∠CFM=90° 在△BME 和△CMF 中 ∵ ∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF ∴△BME ≌△CMF （AAS ） ∴MB=MC ． 30．在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ， MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由 . （1） ①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°， ∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°． ∴∠CAD=∠BCE ． ∵AC=BC ， ∴△ADC ≌△CEB ． ②∵△ADC ≌△CEB ， ∴CE=AD ，CD=BE ． ∴DE=CE+CD=AD+BE ． （2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CBE ． 又∵AC=BC ， ∴△ACD ≌△CBE ． ∴CE=AD ，CD=BE ． ∴DE=CE ﹣CD=AD ﹣BE 31．如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF （1）∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ， ∴∠BAE=∠CAF=90°， A E B M C F ∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC， 即∠EAC=∠BAF， 在△ABF和△AEC中， ∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC， ∴△ABF≌△AEC（SAS）， ∴EC=BF； （2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC， ∴∠AEC=∠ABF， ∵AE⊥AB， ∴∠BAE=90°， ∴∠AEC+∠ADE=90°， ∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等）， ∴∠ABF+∠BDM=90°， 在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°， ∴EC⊥BF． 32．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。 证明： （1） ∵BE⊥AC，CF⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC，CN=AB ∴△ABM≌△NAC ∴AM=AN （2） ∵△ABM≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM⊥AN 33．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF 在△ABF和△CDE中 ,AB=DE ∠A=∠D AF=CD ∴△ABF≡△CDE（边角边） ∴FB=CE 在四边形BCEF中 FB=CE BC=EF ∴四边形BCEF是平行四边形 ∴BC‖EF 34．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD 相等吗？请说明理由 在AB上取点N ,使得AN=AC ∵∠CAE=∠EAN ∴AE为公共, ∴△CAE≌△EAN ∴∠ANE=∠ACE 又∵AC平行BD ∴∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 ∴∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN ∵BE为公共边 ∴△EBN ≌△EBD ∴BD=BN ∴AB=AN+BN=AC+BD 35.如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ． 证明： ∵AD 是△ABC 的中线 BD=CD ∵DF=DE（已知） ∠BDE=∠FDC ∴△BDE≌△FDC 则∠EBD=∠FCD ∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）。 36.已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF ． 求证：AB CD ∥． 证明： ∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ∴∠CED=∠AFB=90o 又∵AB=CD ，BF=DE ∴Rt ⊿ABF ≌Rt ⊿CDE （HL ） ∴AF=CE ∠BAF=∠DCE ∴AB//CD 37.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD A D E C B F .34 21 D C B A ∵,∠3=∠4 ∴OB=OC 在△AOB 和△DOC 中 ∠1=∠2 OB=OC ∠AOB=∠DOC △AOB ≌△DOC ∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB 在△ACB 和△DBC 中 AC=DB ,∠3=∠4 BC=CB △ACB ≌△DBC ∴AB=CD 38.如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论. CE>DE 。当∠AEB 越小，则DE 越小。 证明： 过D 作AE 平行线与AC 交于F ，连接FB 由已知条件知AFDE 为平行四边形，ABEC 为矩形 ，且△ DFB 为等腰三角形。 RT △BAE 中，∠AEB 为锐角，即∠AEB<90° ∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90° △DFB 中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45° RT △AFB 中，∠FBA=90°-∠DBF <45° ∠AFB=90°-∠FBA>45° ∴AB>AF ∵AB=CE AF=DE ∴CE>DE 39. (10分)如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE ，求证：AE ＝DE. A C E D B A B E C D ∵AB=DC,AC=DB ，BC=BC ∴△ABC ≌△DCB ， ∴∠ABC=∠DCB 又∵BE=CE ，AB=DC ∴△ABE ≌△DCE ∴AE=DE 40．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ． 作CG ⊥AB,交AD 于H, 则∠ACH=45o,∠BCH=45o ∵∠CAH=90o-∠CDA, ∠BCE=90o-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE 又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45o ∴△ACH ≌△CBE, ∴CH=BE 又∵∠DCH=∠B=45o, CD=DB ∴△CFD ≌△BED ∴∠ADC=∠BDE A B C D E F 图9 中学全等三角形经典证明题汇总 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF 如图，四边 形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 B A D B C C B A C D F 2 1 E C D B A 8.已知：AB 知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 16．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B 17．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． 18．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 19．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE． 20、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。 21、如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC 的中线。 1已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分角BAD ，CE 垂直AB 于E ，且角B+角D=180度，求证：AE=AD+BE A B D C E 1 2 2已知，如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE 。求证：AF=CE 。 3已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 4如图，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF 5、如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。 F E A C D B A E D C B D C B E G 6、如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。 （１）请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明。 你添加的条件是：________ ___ （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：______________（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程） 7、已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E B 8、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 9. 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 10. 已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇ D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。求证：△ABC ≌△A ’B’C’。 A B C D E F O A B C D E F A B C D A' B' C' D' 1 2 3 4 全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADCBD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即 4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 5. 证明：连接BF 和EF ∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三 角形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF 。 ∵∠ABC=∠AED 。∴∠ABE=∠AEB 。∴AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴∠BAF=∠ EAF(∠1=∠2)。 6. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD ＝∠1∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG 又EF ＝CG ∴EF ＝AC 7. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C 8. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° ∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF ∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 9. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 在BC 上截取BF=AB ，连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o ∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCECE 平分∠BCDCE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ）∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD 10. 已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C AB ‖ED ，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE ， B A C D F 2 1 E D C B A F E A 七年级数学下册《全等三角形》专题练习 1、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C（做AB=AE交AC于E点） 6、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE（做AD=AF交AB于F点） 8. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求 证：BC=AB+DC。 C D B A 9、已知：AB 知：如图所示，AB ＝ AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 35．在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. A B C D D C B A F E P E D C B A D C B A M F E C B A F E D C B A F D C B F E D C B A D B C A F E 46. 如图, AB=12, CA⊥AB于A, DB⊥AB于B, 且AC=4m, P点从B向A运动, 每分钟走1m, Q 点从B向D运动, 每分钟走2m,P、Q两点同时出发, 运动几分钟后△CAP≌△PQB 试说明理由. 47、如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E. (图1) (图2) (图3) (1)试说明: BD=DE+CE. (2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD 1：已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点， AD 是整数，求AD 长。 2：已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB :3：已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 :4：已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C B A C D F 2 1 E 5：已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE : 6：.:如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 7：P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 9：已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 10：如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 11：如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ． 求证：∠OAB =∠OBA : F A E D C B 12：如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． 13：已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 14：如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 O E D C B A F E D C B A 1、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE 2、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 3、如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 4．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ． 求证：∠OAB =∠OBA 5．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线 交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． P E D C B A F A E D C B 6．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ， 若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立 请给予证明；若不成立请说明理由． 7．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积 相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 8．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线 垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ． O E D C B A F E D C B A 七年级数学下---全等三角形证明题精选 1、已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分角BAD ，CE 垂直AB 于E ，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 2、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 3. 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 4. 已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。求证：△ABC ≌△A ’B ’C ’。 5、已知：如图，AB=CD ，AD=BC ，O 是AC 中点，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥D 于F 。求证：OE=OF 。 6.已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，AC 与BD 交于E 点，若OA=OB ，求证：AE=BE 。 7.已知：如图，AB//DE ，AE//BD ，AF=DC ，EF=BC 。求证：△AEF ≌△DBC 。 8.如图，B ，E 分别是CD 、AC 的中点，AB ⊥CD ，DE ⊥AC 求证：AC=CD （连接AD ） 9.已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，?它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线． 10、如图，已知AD 是∠BAC 的平分线， DE ⊥AB 于E ， DF ⊥AC 于F ， 且BE=CF ， 求证： (1)AD 是△ABC 的中线；(2)AB=AC ． 11.在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ． （1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD ＋BE ； （2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD －BE ； （3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 12、如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为腰CB 上的中线，CE ⊥AD 交AB 于E ． 求证∠CDA ＝∠EDB ．（作CF ⊥AB ） C B A E D 图1 N M A B C D E M N 图2 A C B E D N M 图3 1 2 C D A B C D E F A 1 2 E C D B 【第1部分全等基础知识归纳、?小结】 1、全等三?角形的定义：能够完全重合的两个三?角形叫全等三?角形。两个全等三?角形中， 互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的 ?角叫对应?角。 概念深?入理理解： （1）形状?一样，?大?小也?一样的两个三?角形称为全等三?角形。（外观?长的像） （2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三?角形称为全等三?角形。（位置变化） 2、 全等三?角形的表示?方法：若△ABC 和△A ′B ′C ′是全等的，记作“△ABC ≌△A ′B ′C ′”其中，“≌”读作“全等于”。记两个三?角形全等时，通常把表示对应顶点的字?母写在对应的位置上。 3、全等三?角形的性质： 全等是?工具、?手段，最终是为了了得到边等或?角等，从?而解决某些问题。 （1）全等三?角形的对应?角相等、对应边相等。 （2）全等三?角形的对应边上的?高，中线，?角平分线对应相等。 （3）全等三?角形周?长，?面积相等。 4、寻找对应元素的?方法 （1）根据对应顶点找 如果两个三?角形全等，那么，以对应顶点为顶点的?角是对应?角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三?角形全等时，对应顶点的字?母都写在对应的位置上，因此，由全等三?角形的记法便便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找全等三?角形对应?角所对的边是对应边，两个对应?角所夹的边是对应边； 图3 图1图2 （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三?角形各种不不同位置关系的观察和分析，可以看出其中?一个是由另?一个经过下列列各种运动?而形成的；运动?一般有3种：平移、对称、旋转； 5、全等三?角形的判定：（深?入理理解） ①边边边（SSS）②边?角边（SAS）③?角边?角（ASA）④?角?角边（AAS） ⑤斜边，直?角边（HL） 注意：（容易易出错） （1）在判定两个三?角形全等时，?至少有?一边对应相等（边定全等）； （2）不不能证明两个三?角形全等的是，㈠三个?角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中?一?角对应相等，即SSA。 全等三?角形是研究两个封闭图形之间的基本?工具，同时也是移动图形位置的?工具。在平?面?几何知识应?用中，若证明线段相等或?角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三?角形的知识。 6、常?见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯） 如：⑴过点A作BC的平?行行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂?足为D ⑶延?长AB?至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点 同?一条辅助线，可以说法不不?一样，那么得到的条件、证明的?方法也不不同。 全等三角形证明经典50题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP ,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 A D B C ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） B A C D F 2 1 E 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 的长. 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：BC=ED ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠ 2 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 A D B C 3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） ∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又，EF ∥AB ∴，∠EFD ＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2 ∴△AGC 为等腰三角形， AC ＝CG 又 EF ＝CG ∴EF ＝AC 4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E B A C D F 2 1 E A 全等三角形证明题精选 一．解答题（共30小题） 1．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO． 2．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D． （1）求证：AC∥DE； （2）若BF=13，EC=5，求BC的长． 3．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD． 4．如图，点O是线段AB和线段CD的中点． （1）求证：△AOD≌△BOC； （2）求证：AD∥BC． 5．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D． 6．如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC．7．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF． 8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE． 9．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB 求证：AE=CE． 10．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF． 11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB． 12．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 13．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC． 14．如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E． 15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． （1）求证：AB=AC； （2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长． 16．如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∠D=28°，求∠GBF的度数． 17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD． 18．已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且AC∥DF． 求证：△ABC≌△DEF． 19．已知：点 A、C、B、D在同一条直线，∠M=∠N，AM=CN．请你添加一个条件，使△ABM ≌△CDN，并给出证明． （1）你添加的条件是：； （2）证明：． 20．如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C． 21．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F． 求证：BE=CF． 22．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC． 23．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2． 请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论， 组成一个真命题，并给予证明． 题设：；结论：．（均填写序号） 证明： 24．如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠B=∠1． ) 含答案题(全等三角形证明经典50 ADAD是整数，求D是BC中点，1.已知：AB=4，AC=2，A CB D 使AD=DE解：延长AD到E,BC中点∵D是∴BD=DC BDE中在△ACD和△AD=DE ADC∠BDE=∠BD=DC BDE∴△ACD≌△AC=BE=2∴ ABE中∵在△AB+BEAE＜AB-BE＜AB=4∵＜4+2即4-2＜2AD＜31＜AD∴AD=2 1ABCD?是AB中点，∠°，求证：ACB=90D2.已知：2A D BC 中点。连接AP,BP为与CDP，使DCP延长∵DP=DC,DA=DB为平行四边形∴ACBP又∠ACB=90为矩形ACBP∴平行四边形． ∴AB=CP=1/2AB 2 ∠中点，求证：∠1=，∠DF是CD3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=A 1E B DF C EFBF和证明：连接∠EDF BC=ED,CF=DF,∵∠BCF=边角边)三角形BCF全等于三角形EDF(∴∠DEF∴ BF=EF,∠CBF=连接BE中,BF=EF在三角形BEF。EBF=∠BEF∠∴ 。ABC=∠AED∵∠。∠AEB∠∴ ABE=。∴ AB=AE中和三角形AEF在三角形ABF AB=AE,BF=EF,∠AEFAEB+∠BEF=∠∠ABF=∠ABE+∠EBF= 全等。ABF和三角形AEF ∴三角形2)∠。BAF=∠EAF (∠1= ∴∠ A21F C D E B，EFCD=DE，2∠1=∠：知已． A A A CB1CDB AB?CD2A A 2121F E B C D E D F C B C DB、ABC、CE分别平分∠AB∥DC，BEABCD如图，四边形中，。上。求证：BC=AB+DCBCD，且点E在AD∠ ，连接EF在BC上截取BF=AB平分∠ABC∵BE FBE∴∠ABE=∠BE=BE又∵）（SAS∴⊿ABE≌⊿ FBE∠BFE∴∠A=DA ED C F C B B AAB知：AB∵ PC-PB 1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 2.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB = 3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 4.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC 5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C 6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 7.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 8.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB = 9.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2 10.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证： EF=AC A D B C B B A C D F 2 1 E C D B A A D B C 11.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C 12.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD 上。求证：BC=AB+DC。 13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C 14.已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C 15.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB 全等三角形证明题 一．解答题（共10小题） 1．（2013?泉州）如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD 的延长线于点F，求证：BE=CF． 2．（2013?河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现 如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是_________； ②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________． （2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究 已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA 上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长． 3．（2013?大庆）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C 旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H． （1）求证：CF=DG； （2）求出∠FHG的度数． 4．（2012?阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°． ①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； ②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． （2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由． 甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°； 乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°； 丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°． 5．（2009?仙桃）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE 绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题： （1）若AB=AC，请探究下列数量关系： ①在图②中，BD与CE的数量关系是_________； ②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想； 全等三角形经典例题 典型例题： 知识点一：全等三角形判定1 例1：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD ＝CB ；（2）AE ＝CF ；（3）DF ＝BE ；（4）AD ∥BC 。请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。 思路分析： 1）题意分析：本题一方面考查证明题的条件和结论的关系，另一方面考查全等三角形判定1中的三边对应关系。 2）解题思路：根据全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。首先确定命题的条件为三边对应相等，而四个论断中有且只有三个条件与边有关，因此应把论断中的（1）（2）（3）作为条件，来证明论断（4）。在证明全等之前，要先证明三边分别对应相等。 ; 解答过程： 已知：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AD ＝CB ，AE ＝CF ，DF ＝BE 。求证：AD ∥BC 。 证明：∵AE ＝CF ∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ∴AF ＝CE 在△AFD 和△CEB 中， ∵ & ∴△AFD ≌△EBC （SSS ） ∴∠A ＝∠C ∴AD ∥BC 解题后的思考：在运用全等三角形判定1判断三角形全等时，一定要找准三边的对应关系，然后给出证明。 小结：本例题一方面考查了命题的书写与证明，另一方面通过本题的严格证明锻炼学生的逻辑思维能力，进一步规范了三角形全等证明题的书写。 知识点二：全等三角形判定2 AD CB AF CE DF BE =??=? ?=? 例2：已知：如图，是和的平分线，。 * 求证：（1）△OAB ≌△OCD ；（2）。 思路分析： 1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2中的对应关系。 2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先证明两边及夹角分别对应相等。 解答过程：证明：（1）∵OP 是和的平分线， ∴∠AOP ＝∠COP ，∠BOP ＝∠DOP ∴∠AOP －∠BOP ＝∠COP －∠DOP < ∴∠AOB ＝∠COD 在△OAB 和△OCD 中， ∵ ∴△OAB ≌△OCD （SAS ） （2）由（1）知△OAB ≌△OCD ∴AB ＝CD 解题后的思考：在判断三角形全等时，一定要根据全等三角形判定2，找准对应边和对应角。 . 例3：已知：如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ，求证：AD ∥BC ，AD ＝BC 思路分析： 1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2的应用。 2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先将用于证明三角形全等的条件准备好。即如何由已知条件证明出两边和一角相等，以及如何用上AB ∥CD 这个条件。 解答过程： 连接BD ∵ AB ∥CD 、 OP AOC ∠BOD ∠OA OC OB OD ==，AB CD =AOC ∠BOD ∠OA OC AOB COD OB OD =?? ∠=∠??= ? 全等三角形证明经典题 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = 3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 5. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = A D B C C D B B A C D F 2 1 E A 6. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 7. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 8. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 一：如果abc=1,求证 11++a ab +11++b bc +11 ++c ac =1 二：已知a 1+b 1= )(29b a +，则a b +b a 等于多少？ B B A C D F 2 1 E C D B A 9. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 13. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 14.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜ AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠ CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴ A D B C ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG∥EF 交AD 的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE ＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGD EF ＝CG ∠CGD＝∠EFD 又EF∥AB ∴∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG 又 EF ＝CG ∴EF ＝AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° ∵EB ＝EF ，CE ＝CE ， ∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF ∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 7. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证： BC=AB+DC 。 在BC 上截取BF=AB ，连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCE CE 平分∠BCD CE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ）∴CD=CF B A C D F 2 1 E A中学全等三角形经典证明题汇总
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