专题一 三角函数
专题 三角函数 2007.10.12
例1；求
20cos 20sin 10cos 2-的值.
变式1。求值：.10cos 1)
370tan 31(100sin 130sin 2?
+?+?+?
例2．已知函数2
()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。
（1）求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合； （2）证明：函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称。
变式2． 已知函数y=
2
1cos 2
x+23sinx ·cosx+1 （x ∈R ）,
（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
例 3；已知A 、B 、C 三点的坐标分别为)0,3(A 、)3,0(B 、)sin ,(cos ααC ，
)2
3,2(ππα∈，
（1=，求角α的值；
（2）若1-=?BC AC ，求α
α
αtan 12sin sin 22++的值。
变式3。在△ABC 中a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，
.0),cos ,(cos ),,2(=?=+=n m C B n b c a m 且
（1）求角B 的大小； （2）设)()(,2c o s 2
3
)c o s (c o s s i
n 2)(x f x f x C A x x x f 的周期及当求-
+=取得最
大值时的x 的值.
例4．已知向量()x x cos ,sin 2=，)cos 2,cos 3(x x =，定义函数
()()
1log -?=x f a ()1,0≠>a a
（I ）求函数()x f 的最小正周期； （II ）确定函数()x f 的单调递增区间.
变式4。已知),cos 2,(sin ),cos ,cos 35(x x b x x a ==函数.||)(2
b b a x f +?= （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；
（Ⅱ）当)(,2
6
x f x 求函数时π
π
≤
≤的值域（1）
例5；已知ABC ?的面积S 满足：2
32
3≤≤S ，且向量与,3=?的夹角为.θ
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数θθθθθ2
2
cos cos sin 32sin 3)(++=f 的最大值及最小值.
变式5。已知A 、B 、C 是ABC ?的三个内角，a ，b ，c 为其对应边，向量
.1),sin ,(cos ),3,1(=?=-=n m A A n m 且
（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若.,cos cos ),1,2(S ABC c
b
C B AB 的面积求?==
例 6；已知点A(2，0)，B(0，2)，C(cos α，sin α)，且0<α<π。
(1)若7||=+OC OA ，求OB 与OC 的夹角； (2)若BC AC ⊥，求tan α的值。
变式6。已知A (3，0)，B (0，3)，C (cos ,sin )θθ
①若AC BC ?
=－1,求θ2sin 的值；
②若||OA OC +=
且θ∈(0,π),求OB 与OC 的夹角.
变式7。已知向量1)(),cos 2,cos 3(),cos ,sin 2(-?===b a x f x x b x x a 定义函数.
（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）求函数)(x f 的单调减区间； （3）画出函数]12
5,127[),()(π
π-
∈=x x f x g 的图象，由图象研究并写出)(x g 的对称轴和对称中
参考答案
例1，解
?
?
-??+??=
??-?-?20cos 20sin )20sin 30sin 20cos 30(cos 220cos 20sin )2030cos(2 ＝2cos30o=3.变式1；略2
例2解：2
2
()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--
2sin 22cos 2)4
π
x x x =-=- (1)所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈，
所以，当2242ππx k π-=+，即38
π
x k π=+时，()f x 最大值为 (2)证明：欲证明函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称，只要证明对任意x R ∈，有
()()88
ππ
f x f x --=-+成立，
因为())]2)28842ππππ
f x x x x --=---=--=-，
())]2)28842ππππ
f x x x x -+=-+-=-+=-，
所以()()88ππf x f x --=-+成立，从而函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称。
变式2解：（1）y=
2
1cos 2
x+23sinx ·cosx+1
=
41 (2cos 2
x －1)+ 41+4
3（2sinx ·cosx ）+1 =
41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+4
5
=21sin(2x+6π)+4
5 所以y 取最大值时，只需2x+6π=2π+2k π,（k ∈Z ），即 x=6
π
+k π,（k ∈Z ）。
所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6
π
+k π,k ∈Z}
（2）将函数y=sinx 依次进行如下变换：
（i ）把函数y=sinx 的图像向左平移
6π，得到函数y=sin(x+6
π
)的图像； （ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的2
1
倍（纵坐标不变），得到函数
y=sin(2x+6
π
)的图像；
（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的2
1
倍（横坐标不变），得到函数
y=21sin(2x+6
π
)的图像； （iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+45
的图像。
综上得到y=2
1cos 2
x+23sinxcosx+1的图像。
例3解：（1）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=ααααBC AC
αααcos 610sin )3(cos 22-=+-=，
αsin 610-=
=得ααcos sin = 又)23,
2(
π
πα∈πα4
5
=∴ （2）由1-=?BC AC ，得1)3(sin sin cos )3(cos -=-+-αααα
32cos sin =
+∴αα9
5
cos sin 2-=?∴αα 又αααtan 12sin sin 22++=
=+
+α
ααααcos sin 1cos sin 2sin 2295
cos sin 2-=?αα 变式3解：（1）由0cos cos )2(,0=++=?C b B c a n m 得
0cos cos cos 2=++∴c b B c B a
由正弦定理，得0sin cos cos sin cos sin 2=++B C B C B A
即0)sin(cos sin 2=++B C B A
0)1cos 2(sin =+∴B A 在0sin ,≠?A ABC 中
01cos 2=+∴B .3
2
π=∴B
（2）因为,32π=B 3
π
=+∴C A
)3
2sin(2cos 232sin 21)(π-=-=
∴x x x x f ∈+=-
∴k k x x f 232)(πππ
π令的周期为 ，得125π
π+=k x （∈k ） 即当时12
5π
π+
=k x （k ∈ ）时)(x f 取最大值. 例4解：（I ）因为12cos 2sin 3cos 2cos sin 322++=+=?x x x x x
所以()?????
???? ??
+=62sin 2log πx x f a ，故ππ==22T
（II ）令()??? ?
?
+=62sin 2πx x g ，
则()x g 的单调递增的正值区间是Z k k k ∈??? ??
+-,6,12ππππ，
()x g 的单调递减的正值区间是Z k k k ∈??
?
?
?
+
+,125,6ππππ 当10< ? ?? ++,125,6ππππ 当1>a 时，函数()x f 的单调递增区间为Z k k k ∈??? ? ? +-,6,12ππππ 变式4解；x x x x x x f 2 2 2 2 sin cos 4cos 2cos sin 35||)(+++=+?= 12 2cos 152sin 3251 cos 5cos sin 352++?+=++=x x x x x 27)6 2sin(5+ + =π x ππ ==∴2 2T （2）由 6 76 22 ,2 6 ππ π π π ≤ + ≤≤ ≤x x 得 1)62sin(21≤+≤- ∴πx ].2 17,1[)(,26的值域为函数时x f x ππ≤≤∴ 例5 解：（Ⅰ）,,3θ与且=? 3=θ 又θθπ)S =-= 又2323≤≤S 1tan 3 3 ,23tan 2323≤≤≤≤∴ θθ即 （Ⅱ）12sin 3sin 2)(2 ++=θθθf 22cos 2sin 3+-=θθ 2)6 2sin(2+-=π θ 4 6 π θπ ≤ ≤ 3 6 26 π π θπ ≤ - ≤∴ 从而当6 π θ=时 .3)(m i n =θf 当4 π θ= 时 23)(m a x += θf 变式5解1=? 1cos sin 3=-∴A A 2 1 )6 sin(= - ∴π A π< π 6566 <- <- ∴A .66 ππ = - ∴A .3π = ∴A （Ⅱ）,cos cos c b C B = ∴由正弦定理，得 ,sin sin cos cos C B C B =,0cos sin sin cos =-∴C B C B 即0)sin(=-C B .B 、C 为ABC ?的内角， .C B =∴又,3 π = A .3 π = =∴C B ABC ?∴,514=+= .34 5432 == ∴AB S 例6解：∵(1)，7||=+OC OA 7sin )cos 2(22=++αα ∴21cos = α 又),0(πα∈，∴3 π α=∠=AOC 又2π=∠AOB ，∴与的夹角为6π . (2) )sin ,2(cos αα-=AC ，)2sin ,(cos -=ααBC ∵⊥，∴0=? ∴21sin cos =+αα ①∴41 )sin (cos 2=+αα ∴43cos sin 2-=+αα∵),0(πα∈ ∴),2 (ππ α∈ 又由4 7 cos sin 21)sin (cos 2=-=-αααα及0sin cos <-αα 得2 7 sin cos -=-αα ② 由①②471cos -= ?α，471sin +=α∴3 7 4tan +-=α。 变式6解答:(1)AC =(θcos －3,θsin ),BC =(θcos ,θsin －3), ∴由· =－1, 得(θcos －3)θcos +θsin (θsin －3)=－1, ∴θcos +θsin =32 , 两边平方,得1+θ2sin =94 ,∴θ2sin =－95 (2)OC OA +=(3+θcos ,θsin ),∴(3+θcos )2+θ2 sin =13, ∴θcos =21 ,∵θ∈(0,π), ∴θ=3π,θsin =23, ∴ 23 3),23,21(=?C , 设与OC 的夹角为β,则βcos =23 323 3| |||= =OC OB OC OB , ∴ β=6 π 即 为所求. 变式7．解：1cos 2cos sin 321)(2-+=-?=x x x x f ).62sin(22cos 2sin 3π +=+=x x x （1）.| |2πωπ== T （2）3 422322326 22 2πππππππ π π+≤≤+?+ ≤+ ≤+ k x k k x k )(3 26 Z k k x k ∈+ ≤≤+ ?π ππ π ).](3 2,6 [)(Z k k k x f ∈+ + ∴π ππ π的单调减区间为函数 （3） 从图象上可以直观看出，此函数有一个对称中心（0,12 - ） ，无对称轴 三 角 函 数 考点1：三角函数的有关概念； 考点2：三角恒等变换；（两角和、差公式，倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式） 考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；（定义域、值域、最值；单调区间、最小正周 期、对称轴对称中心） 考点4：函数y =Asin()0,0)(>>+???A x 的图象与性质；（定义域、值域、最值；单调区间、最小 正周期、对称轴对称中心、图像的变换） 一、三角函数求值问题 1. 三角函数的有关概念 例1. 若角θ的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠，则sin θ= ． 练习1．已知角α的终边上一点的坐标为（3 2cos ,32sin π π），则角α的最小正值为（ ） A 、65π B 、32π C 、35π D 、6 11π 2、公式法： 例2.设(0,)2πα∈，若3 sin 5α=)4 πα+=（ ） A. 75 B. 15 C. 75- D. 15 - 练习1．若πtan 34α??-= ??? ，则cot α等于（ ） Ａ．2- Ｂ．12 - Ｃ．12 Ｄ．2 2．α是第四象限角，5 tan 12 α=-，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513 - 3． cos 43cos77sin 43cos167o o o o +的值为 。 4．已知1sin cos 5θθ+=，且324 θππ ≤≤，则cos2θ的值是 ． 3．化简求值 例3.已知α为第二象限角，且sin α，求sin(/4)sin 2cos21 απαα+++的值 练习：1。已知sin α=，则44sin cos αα-的值为（ ） A ．15 - B ．35 - C ．15 D ．35 数学2019届高考复习基本初等函数专题强化练 习（附答案） 初等函数包括代数函数和超越函数，以下是基本初等函数专题强化练习，希望对考生复习数学有帮助。 1.(文)(2019江西文，4)已知函数f(x)=(aR)，若f[f(-1)]=1，则a=() A. -1 B.-2 C.1 D.2 [答案] A [解析] f(-1)=2-(-1)=2， f(f(-1))=f(2)=4a=1，a=. (理)(2019新课标理，5)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=() A.3 B.6 C.9 D.12 [答案] C [解析] 考查分段函数. 由已知得f(-2)=1+log24=3，又log2121，所以 f(log212)=2log212-1=2log26=6，故f(-2)+f(log212)=9，故选C. 2.(2019哈三中二模)幂函数f(x)的图象经过点(-2，-)，则满足f(x)=27的x的值是() A. B. C. D. [答案] B [解析] 设f(x)=x，则-=(-2)，=-3， f(x)=x-3，由f(x)=27得，x-3=27，x=. 3.(文)已知命题p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数.则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(p1)p2和q4：p1(p2)中，真命题是() A.q1，q3 B.q2，q3 C.q1，q4 D.q2，q4 [答案] C [解析] y=2x在R上是增函数，y=2-x在R上是减函数， y=2x-2-x在R上是增函数，所以p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数为真命题，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数为假命题，故q1：p1p2为真命题，q2：p1p2是假命题，q3：(p1)p2为假命题，q4：p1(p2)是真命题.故真命题是q1、q4，故选C. [点拨] 1.由指数函数的性质首先判断命题p1、p2的真假是解题关键，再由真值表可判定命题q1、q2、q3、q4的真假. 2.考查指、对函数的单调性是这一部分高考命题的主要考查方式之一.常常是判断单调性;已知单调性讨论参数值或取 值范围;依据单调性比较数的大小等. (理)已知实数a、b，则2a2b是log2alog2b的() 1 / 4 张喜林制 [选取日期] 高三数学第二轮专题讲座复习：求解函数解析式的几种常用方法 高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1 待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法； 2 换元法或配凑法，已知复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法； 3 消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 典型题例示范讲解 例1 (1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(1 2x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式 (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求f (x ) 命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力 知识依托 利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域 错解分析 本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错 技巧与方法 (1)用换元法；(2)用待定系数法 解 (1)令t=log a x (a >1,t >0;01,x >0;0 三角函数 2018年6月 考纲要求： 基本初等函数Ⅱ（三角函数） 1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念. （2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数 （1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 π±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =s i n x ，y =c o s x , y = t a n x 的图象，了解三角函数的周期性. （3）理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x 轴的交点等），理解正切函数在,22ππ?? - ??? 内的单调性. （4）理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x +cos 2x = 1, sin tan .cos x x x = （5）了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解参数,,A ω?对函数图象变化的影响. （6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 三角恒等变换 1．和与差的三角函数公式 （1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. （2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. （3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. （十一）解三角形 1．正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 对于三角函数与三角恒等变换的考查： 1．涉及本专题的选择题、填空题一般考查三角函数的基本概念、三角恒等变换及相关计算，同时也考查三角函数的图象与性质的应用等，解答题的考查则重点在于三角函数的图象与性质的应用. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度相对不高，以三角计算及图象与性质的应用为主，高考中通常考查对三角的计算及结合图象考查性质等. 3．从考查热点来看，三角恒等变换、三角函数的图象与性质是高考命题的热点，要能够熟练应用三角公式进行三角计算，能够结合正弦曲线、余弦曲线，利用整体代换去分析问题、解决问题.同时要注意两者之间的综合. 对于解三角形的考查： 1．涉及本专题的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合. 2．从考查难度来看，本专题试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题. 3．从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用. 考向一三角恒等变换 样题1 （2017年高考北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边， 它们的终边关于y轴对称.若 1 sin 3 α=，则cos() αβ -=___________. 【答案】 7 9 - 2020新高考二轮专题复习(二)：三角函数与解三角形 ?应知已会——熟练 ?会而不对——巩固 ?对而不全——强化 ?全而不优——指导 三角函数二轮复习的目标和方向 （1）注重任意角三角函数的定义，深化公式的理解记忆 （2）二倍角公式和两角和差公式是化简的核心工具 （3）三角函数的图象与性质是核心 （4）解三角形问题要充分利用正、余弦定理以及两角和与差的三角公式 典型例题： 一.三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 例 1.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则 cos2θ=( ) A ．45- B ．35- C ．35 D ．45 变式 1.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ， (2,)B b ， 且2 cos23 α= ，则||(a b -= ) A ．1 5 B C D ．1 变式 2.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 34 (,)55 P --． (1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5 sin()13 αβ+=，求cos β的值． 例2.若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是( ) （A ）π sin()2 α+ （B ）πcos()2α+ （C ）sin(π)α+ （D ）cos(π)α+ 变式1.若tan 0α>，则( ) A. sin 20α> B. cos 0α> C. sin 0α> D. cos20α> 例3.已知α∈(0， )，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=( ) A ． B ． C ． D ． 变式1．若 ，则( ) A ． B ． C ．1 D ． 变式2．若 ，则tan2α=（ ） A ．? B ． C ．? D ． 变式3．已知，则（ ） A ． B ． C ． D ． 变式4．设(0, )2π α∈，(0,)2π β∈，且1sin tan cos βαβ+= ，则（ ） A .32 παβ-= B .22 π αβ-= C .32 π αβ+= D .22 π αβ+= 变式5．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+= ． 变式6. 已知4 sin cos 3 αα-= ，则sin 2α=_________ 二. 三角函数的图象与性质 例 1.动点(),A x y 在圆42 2 =+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周,已 知时间0t =时,点A 的坐标是)3,1(,则动点A 的纵坐标y 关于t （秒）的函数的解析式为 . 例2.若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是( ) A ． π4 B ． π2 C ． 3π4 D ．π 2 π1 5 5 3 5 3tan 4 α= 2 cos 2sin 2αα+=642548251625sin cos 1 sin cos 2 αααα+=-34344343 2 10 cos 2sin ,= +∈αααR =α2tan 344 343-34- 第二章：基本初等函数 第I 卷（选择题) 一、选择题５分一个 1.已知ｆ（ｘ）=a ｘ５ +bx 3+ｃx ＋１（a≠０),若f=ｍ，则f(﹣2０14）=( ) A ．﹣m ? B ．m ? Ｃ．０ D ．2﹣m 2.已知函数f （x ）＝lo ｇａ(6﹣ａx)在[0,2］上为减函数,则a 的取值范围是( ） A ．（０，１) B ．（1,3）?C ．（１,3]?D.［3，+∞） 3．已知有三个数ａ=( ）﹣ 2，b ＝4 ０．3 ,c ＝80.２ 5,则它们之间的大小关系是( ) A ．a 全国高中数学竞赛专题三 角函数 This manuscript was revised on November 28, 2020 三角恒等式与三角不等式 一、基础知识 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。 若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负 角，若不旋转则为零角。 定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴 重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到 原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α =x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=α csc 1 ，co s α =α sec 1； 商数关系：tan α=α α αααsin cos cot ,cos sin = ； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α =co s α； 平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α （奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。 单调区间：在区间????? ? +-22,22ππππk k 上为增函数，在区间 ?? ????++ππππ232,22k k 上为减函数， 最小正周期：2π. 奇偶性：奇函数 专题二 三角函数、平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．(2014·青岛模拟)将函数y ＝sin ? ???? x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π 3个单位，则所得函数图象对应的解析式为 ( )． A ．y ＝sin ? ???? 12x －π3 B ．y ＝sin ? ? ???2x －π6 C ．y ＝sin 1 2x D ．y ＝sin ? ?? ?? 12x －π6 解析 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin ? ???? 12x －π3的 图象，然后将所得图象向左平移π3个单位得到y ＝sin ?????? 12? ????x ＋π3－π3＝sin ? ????12x －π6的图象． 答案 D 2．(2013·浙江卷)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π 2”的 ( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 φ＝π2?f (x )＝A cos ? ? ???ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是 “φ＝π 2”的必要条件． 又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数?f (0)＝0?φ＝π2＋k π(k ∈Z )D /?φ＝π 2. ∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π 2”的充分条件． 答案 B 3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ? ???? π12＝0，则 ω的最小值为 ( )． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析 由f ? ????π12＝0知? ?? ?? π12，0是f (x )图象的一个对称中心，又x ＝π3是一条对称 轴，所以应有??? ω>0， 2πω≤4? ?? ?? π3－π12，解得ω≥2，即ω的最小值为2，故选A. 答案 A 4．(2013·四川卷)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π 2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是 ( )． A ．2，－π3 B ．2，－π 6 C ．4，－π 6 D ．4，π 3 解析 34T ＝5π12－? ????－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π 2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈? ???? －π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 答案 A 5．(2013·湖北卷)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单 一、简答题 1、设． （1）判断函数的奇偶性； （2）求函数的定义域和值域． 2、设函数 （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）求在区间的最大值和最小值． 3、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数． (1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|； (3)设函数g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]时的最小值． 4、经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝115－|t－15|. (1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)． 5、某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是： P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*) (1)写出第x月的需求量f(x)的表达式； (2)若第x月的销售量g(x)＝ (单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e6≈403) 6、已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋a ln x(a为常数)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程； (2)当a＞0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间． 7、某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. (1)若建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因； (2)若该公司采用模型函数y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值． 8、已知函数图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底,); (Ⅲ)令,如果图象与轴交于,AB中点为,求 证:. 9、已知命题p：函数y＝log a(1－2x)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x 恒成立．若p∨q是真命题，求实数a的取值范围． 课题1：两角和与差公式的应用 一、【学习目标】 1、熟记两角和与差的正弦、余弦、正切公式； 2、利用公式进行三角函数式的化简和求值。 二、两角和与差的正弦、余弦、正切公式： （1）cos()αβ-= ;（2）cos()αβ+= ； （3）sin()αβ+= ;（4）sin()αβ-= ； （5）tan()αβ+= ；（6）tan()αβ-= ； 辅助角公式：sin cos )a x b x x ?+=+，其中 cos ??== 三、例1.求值： （1）sin 75 （2）7cos 12 π （3）tan105 （4）cos 20cos70sin 20sin 70- （5）sin119?sin181?－sin91?sin29? （6）001cos152+ （700 例2. 已知A 、B 均为钝角且sin A B == ，求（1）)cos(B A +；（2）A+B. 例3. 已知 324π βαπ<<<，12cos()13αβ-=，3 sin()5 αβ+=-.求sin 2α. 【同类变式】 1、求值：① 1tan151tan15+? -?= ②sin 72cos 42cos72sin 42-= ③=o 15sin ④=0 15tan 。 2、已知βα、均为锐角，5 5 sin =α ，1010cos =β，求(1))sin(βα-;(2)βα-. 3、已知βα,? ? ? ??∈ππ,43，)sin(βα+=,53-,13124sin =??? ?? -πβ求cos ??? ??+4πα 4、若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，求tan(α＋π 4)的值。 【巩固提高】 1、已知0<α<π2<β<π，cos α＝35，sin(α＋β)＝－3 5，则cos β的值为________． 2、已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010 ，α、β均为锐角，则β等于________． 3、已知cos 3()45π α-=，sin 512()413πβ+=-且β3(0,),(,)444 πππ α∈∈，求sin(α+β). 4、已知α、β∈(,)22 ππ -，且tan α，tan β是方程x 2的两个根，求α+β值。 5、已知函数()sin cos f x x x =+（1）求函数()f x 的周期、单调区间； （2）若[,]4 x π π∈- 求函数()f x 的值域。 专题 三角函数及解三角形 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )= 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（ 2 π，π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③ 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2 π为周期且在区间( 4 π， 2 π)单调递增的是 A ．f (x )=|cos2x | B ．f (x )=|sin2x | C ．f (x )=cos|x | D ．f (x )=sin|x | 4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0， 2 π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ． 15 B ． 5 C 3 D 5 5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5 x ωπ + ）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 2 sin cos ++x x x x ③()f x 在（0, 10 π ）单调递增 ④ω的取值范围是[1229 510 ，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④ 6．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π ，且4g π?? = ???38f π??= ??? A ．2- B ． C D ．2 7．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________． 8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π 6,2,3 b a c B === ，则ABC △的面积为_________． 9．【2019年高考江苏卷】已知 tan 2π3tan 4αα=-??+ ?? ?，则πsin 24α? ?+ ???的值是 ▲ . 10．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若 45BDC ∠=?，则BD =___________，cos ABD ∠=___________． 11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设 22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ； （2 2b c +=，求sin C ． 12．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2 A C a b A +=． （1）求B ； 专题三：三角函数 一、选择题 错误!未指定书签。 1．（2013年普通高等学校招生统一考试数学（理）试题）已知 2 10 cos 2sin ,= +∈αααR , 则=α2tan A. 34 B. 4 3 C.43- D.34- 【答案】C 2错误!未指定书签。 ．（2013年高考卷（理））设△ABC 的角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 【答案】B 错误!未指定书签。 3．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题）在△ABC 中, ,2,3,4 AB BC ABC π ∠== 则sin BAC ∠ = (A) 10 (B) 10 (C) 310 (D) 5 【答案】C 4错误!未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试数学（理）试题）将函数 sin(2)y x ?=+的图象沿x 轴 向左平移 8 π 个单位后,得到一个偶函数的图象,则?的一个可能取值为 (A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π - 【答案】B 错误!未指定书签。5．（2013年普通高等学校招生统一考试数学（理）试题）在ABC ?,角,,A B C 所对的边长 分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b += 且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56 π 【答案】A 6错误!未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案） 已知函数()=cos sin 2f x x x , 下列结论中错误的是 (A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2 x π =对称 (C)()f x 3 (D)()f x 既奇函数,又是周期函数 【答案】C §5.2 三角恒等变换 基础篇固本夯基 【基础集训】 考点 三角函数式的求值和化简 1.在平面直角坐标系中,角α的始边与x 轴的正半轴重合,终边与单位圆交于点P (-35,45 ),则sin (α+π4 )=( ) A.√2 10 B.-√2 10 C. 7√2 10 D.- 7√2 10 答案 A 2.若sin θ+cos θ= 2√10 5 ,则tan (θ+π4 )=( ) A.12 B.2 C.±12 D.±2 答案 D 3. 2sin47°-√3sin17° cos17° =( ) A.-√3 B.-1 C.√3 D.1 答案 D 4.(1+tan 18°)(1+tan 27°)的值是( ) A.√2 B.√3 C.2 D.√5 答案 C 5.已知tan α=3,则 sin2α 1+cos2α =( ) A.-3 B.-13 C.13 D.3 答案 D 6.已知sin α=√10 10 ,α∈(0,π2),则cos (2α+π6 )的值为( ) A.4√3-3 10 B.4√3+3 10 C. 4-3√3 10 D. 3√3-4 10 答案 A 7.在平面直角坐标系xOy 中,点P(x 0,y 0)在单位圆O 上,设∠xOP=α,且α∈(π4,3π 4 ).若cos (α+π4)=-45 ,则x 0的 值为 . 答案 -√2 10 综合篇知能转换 【综合集训】 考法一 三角函数式的化简方法 1.(2019山东夏津一中月考,4)cos 4π 8 -sin 4π 8 =( ) A.0 B.-√22 C.√2 2 D.1 答案 C 2.(2020届四川邻水实验学校月考一,2)2sin5°-cos25° √3sin25° =( ) A.2 B.√3 C.1 D.-1 答案 D 3.(2018山东师大附中二模,6)已知-π2<α<0,sin α+cos α=15,则1 cos 2α-sin 2α 的值为( ) A.75 B.725 C.257 D.2425 答案 C 4.(2018河北、河南两省重点中学4月联考,8)已知atan α+b=(a-btan α)tan β,且α+π6 与β的终边相同,则b a 的值为( ) A.√2 3 B.√3 3 C. 2√2 3 D.√3 4 答案 B 考法二 三角函数式的求值方法 5.(2020届福建永安一中、漳平一中联考,4)已知cos(π+θ)=-13 ,则sin (2θ+π2 )=( ) 专题5 基本初等函数与函数应用 编写：邵永芝 一、知识梳理 1、如果一个实数x 满足 ，那么称x 为a 的n 次实数方根。 2、（1）n N +∈ 时，n = ，（2）n = ；当n 为正偶 = 。 3、分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：m n a = （0,1a m n N n +>∈>、，且）；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：m n a -= （0,1a m n N n +>∈>、，且） 4、有理数指数幂的运算性质：（1）r s a a = （2）()r s a = （3）()r ab = 5、指数函数的概念：一般地， 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为 ，值域为 。 6、对数的概念：如果a (0,1)a a >≠的b 次幂等于N ，即 ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做 ，N 叫做 。 7、对数与指数的关系：若0,1a a >≠，则x a =N ?log a N = 。 对数恒等式：log a N a = ；log N a a = 。 (0,1)a a >≠ 8、对数的运算性质：如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么； （1）log a (M ·N )＝ （2）log a M N ＝ （3）log a M n ＝ 9、换底公式：log a N ＝log log b b N a (a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0)． 10、．对数函数的定义：一般地，我们把 叫做对数函数，自变量是x ；函数的定义域是(0，＋∞)．值域：R ． 11、幂函数的定义：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中底数x 是变量，指数α是常数． 12、幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)： （1）定点：α＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；α≤0时，图象过只过定点(1，1)． （2）单调性：α＞0时，在区间[0，＋∞)上是单调递增；α＜0时，在区间(0，＋∞)上是单调递减． 高三数学三角函数专题训练 1.为得到函数πcos 23y x ?? =+ ?? ? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12 个长度单位 C ．向左平移 5π6 个长度单位 D ．向右平移 5π6 个长度单位 2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则M N 的最大值为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．2 3.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍（纵坐标不变），得到的图 象所表示的函数是( ) A .sin(2)3 y x π =-，x R ∈ B.sin( ) 2 6 x y π =+ ，x R ∈ C.s in (2)3 y x π =+，x R ∈ D.sin(2) 3 2y x π=+ ，x R ∈ 4.设5sin 7 a π=，2cos 7 b π=，2tan 7 c π=，则( ) A.c b a << B.a c b << C.a c b << D.b a c << 5.将函数sin(2)3 y x π =+ 的图象按向量α 平移后所得的图象关于点(,0) 12 π - 中 心对称，则向量α的坐标可能为（ ） A ．(,0)12π - B ．(,0)6 π - C ．( ,0)12 π D ．( ,0)6 π 6.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+ 在区间 ,42ππ?? ???? 上的最大值是( ) A.1 B.13 2 + C. 3 2 D.1+ 3 7.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =( ) A.2 1 B. 2 C.2 1- D.2- 3.2三角函数化简及恒等变换 一、选择题：每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.【四川省绵阳市2020届高三上期第一次诊断性考试数学（理）试题】 函数)0)(6sin()(>+ =w wx x f π 在?? ? ??22- ππ，上单调递增，且图像关于π-=x 对称，则w 的值为（ ） A. 32 B.35 C.2 D.3 8 【答案】A 【解析】 函数)0)(6 sin()(>+ =w wx x f π的递增区间)(22 622 -Z k k x k ∈+≤ + ≤+ππ πωππ ，化简得： ).(23232-Z k k x k ∈+≤≤+ωπωπωπωπ已知在??? ??22-ππ，单增，所以.320.2 32-32-<ω此时k=-1,所以3 2= ω 【方法总结】此题考查三角函数的对称轴和单调区间，涉及在知识的交叉点命题思路，这是高考命题的思路。题目综合性强，需要逆向思维。题目属于中等难度。 2. 【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期理科数学期中考试试题】 已知函数()2sin()(0,||)f x x ω?ω?π=+><的部分图像如右图所示，且(,1),(,1)2 A B π π-，则?的值为 （ ） A. 56 π B. 6 π C. 56π- D. 6 π - 【答案】C 【解析】由已知得：1,2==ωπT ，图像经过(,1),(,1)2A B π π-6 5-π?= 3. 【2019-2020学年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三年级上学期期中考试理科数学】 高考数学二轮专题复习 三角函数 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 三 角函数 【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能实行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱 导公式;理解同角的三角函数的基本关系式：sin 2x+cos 2x=1, sin tan cos x x x =. 3.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2π,2 π )内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解 ,,A ω?对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能使用上述公式实行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测】 从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ω?=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等. [答案] 1 2 [解析] 考查函数的奇偶性． ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，即1 2－1－1＋a ＝－1 2－1－a ，∴a ＝1 2. （四）典型例题 1.命题方向：奇偶性的判定 [例1] 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝(x －1) 1＋x 1－x ； (2)f (x )＝lg (1－x 2) |x －2|－2 ； (3)f (x )＝? ?? ?? x 2＋x x <0 x 2－x x >0； (4)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (5)f (x )＝x 2－|x －a |＋2. [解析] (1)由1＋x 1－x ≥0，得定义域为[－1,1)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数． (2)由????? 1－x 2>0|x －2|－2≠0 得定义域为(－1,0)∪(0,1)，这时f (x )＝lg (1－x 2)－(x －2)－2＝－lg (1－x 2)x ， ∵f (－x )＝－ lg[1－－x 2] －x ＝lg 1－x 2x ＝－f (x )．∴f (x )为奇函数． (3)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝(－x )2－(－x )＝x 2＋x ＝f (x ) 当x >0时，－x <0则f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ＝f (x ) ∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数． 另解：1°画函数f (x )＝? ?? ?? x 2＋x x <0 x 2－x x >0的图像．图像关于y 轴对称，故f (x )为偶函数． 2°f (x )还可写成f (x )＝x 2－|x |，故为偶函数．高三三角函数专题复习(题型全面)
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