第2讲 函数应用问题
第2讲 函数应用问题
一、 解应用题的一般程序
1、审清题意：
2、建立文字数量关系式：
3、转化为数学模型：
4、解决数学问题：
5、返本还原：
二、 例题与习题
1、假设你有一批资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报率如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。 试建立增长模型的函数关系.
2、某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达
到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：
0.25y x =， 7log y x =， 1.002x y =，
其中哪个模型能符合公司的要求？
3、如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形， 设直线(02)x t t =≤≤截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分） 的面积为()f t ，则函数()y f t =的图象大致是（ ）
4、某山区加强环境保护后，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么经过x 年绿色植被的 面积为y ，则函数()y f x =的图象大致为（ ）
5、客车从甲地以60km/h 的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度 行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时 间t 之间的关系图象中，正确的是（ ）
6、为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）已 知加密规则为：明文a,b,c,d 对应密文a+2b, 2b+c, 2c+3d, 4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16. 当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ）
（A ）4,6,1,7 （B ）7,6,1,4 （C ）6,4,1,7 （D ）1,6,4,7
7、如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30o 方向2 km 处，河流的没岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离 比到B 的距离远2 km. 现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头， 向B 、C 两地转运货物。经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的 费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总 费用最低是（ ）万元 （A ）（27-2）a （B ）5a
（C ）（27+1）a （D ）（23+3）a
8、某地2009年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ）
（A ）计算机行业好于化工行业. （B ）建筑行业好于物流行业. （C ）机械行业最紧张. （D ）营销行业比贸易行业紧张.
9、《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，
超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分希累进计算。
全月应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分
15%
… …
某人一月份应交纳此项税款26.78
元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ） （A ）800～900元 （B ）900～1200元 （C ）1200～1500元 （D ）1500～2800元
10、甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥
补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t
（吨）满足函数关系x =若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格），
（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； （2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额20.002y t =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进
行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？
行业名称 计算机
机械
营销
物流
贸易
应聘人数
215830 200250 154676 74570 65280
行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工
招聘人数
124620 102935 89115 76516 70436
11、某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼
x x≥层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.
房.经测算，如果将楼房建为(10)
为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
）
（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用
建筑总面积
12、某村计划建造一个室内面积为8002m的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？
13、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情知，从2月1日起的300天内，西红柿售价与上市时间
的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。
（注：市场售价和种植成本的单位：2/10kg 元，时间单位：天） （1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系()P f t =；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式()Q g t =；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
补充参考答案：
3．D 解析：法一：(
)[
]
)()(]2
0, 1121 1, 222t f t t t t ∈=+?+?∈??
法二：根据增长速度可知选D.
4．D 解：设原来植被面积为1 则()1110.4%x
y =×+ 选D.
6．C 解析：由题意得2214
292323428
a b b c c d d +=??+=?
?
+=??=? ∴选C. 7．B 解析：如图所示建立坐标系
则M 到B 的距离是到1
2
x =的2倍 ∴过C 作1
2
x =
的垂线 与曲线交于一点,既M 点 8．B 解析：
招聘人数
应聘人数
=1正合适 >1就业形势好 <1就业紧张 选B.
9．C 解析：若该人工资为1300元 则纳税500×5%=25元 ∴设该人工资为1300+x
∴x ·10%=1.78 ∴x =17.8 ∴选C. 10．解：（1
）()0w st t =
≥2
6100010s s s ?=??+
??
当6210t s =吨时 （2）甲方净收入为F = st ? 0.002 t 261269
244
1010102100.002s s s s s ×=???=?
（下面解决需用导数，以后续）
11．解：设平均综合费用为w ∴w = 560 + 480x +2160
2000x
（下面解决需用均值不等式以后续） 12．解：设温室内种植部分长为x m ，宽为y m
∴(x +2)(y +4)=800 ∴S = xy =80042x x ??
???+??
（以下均值定理，后续）
13．解：（1）()300 02002300 200<300
t t P f t t t ?+≤≤?==??≤? ()()2
1150100200g t t =?+
（2）()()()()22
1300 150100 0200200
12300 150100 200<300200t t t f t g t t t t ?
?+??+≤≤???=?????+≤??
可知t=50时西红柿的纯收益最大
2015年陕西省中考数学总复习考点跟踪突破：第14讲 函数的应用
考点跟踪突破14 函数的应用 一、选择题(每小题6分，共30分) 1．(2013·青岛)已知矩形的面积为36 cm 2，相邻的两条边长为x cm 和y cm ，则y 与x 之间的函数图象大致是( A ) 2．(2013·嘉兴)若一次函数y ＝ax ＋b(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标为(－2，0)，则抛物线y ＝ax 2＋bx 的对称轴为( C ) A ．直线x ＝1 B ．直线x ＝－2 C ．直线x ＝－1 D ．直线x ＝－4 3．(2014·咸宁)如图，双曲线y ＝m x 与直线y ＝kx ＋b 交于点M ，N ，并且点M 的坐标为 (1，3)，点N 的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x 的方程m x ＝kx ＋b 的解为( A ) A ．－3，1 B ．－3，3 C ．－1，1 D ．－1，3 4．(2014·德州)图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x 表示时间，y 表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是( C ) A ．体育场离张强家2.5千米 B ．张强在体育场锻炼了15分钟 C ．体育场离早餐店4千米 D ．张强从早餐店回家的平均速度是18 7 千米/小时 5．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( A )
A ．4米 B ．3米 C ．2米 D ．1米 二、填空题(每小题6分，共30分) 6．(2014·安徽)某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x 的函数关系式为y ＝__a(1＋x)2__． 7．(2013·山西)如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平面交于A ，B 两点，桥拱最高点C 到直线AB 的距离为9 m ，AB ＝36 m ，D ，E 为拱桥底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到直线AB 的距离为7 m ，则DE 的长为__48__m . 8．(2014·莲湖区模拟)A 城市距某旅游景区50千米，十月一日早晨7：30小明和几个同学骑自己行车从A 城市前往该景区.2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从A 城市前往该景区，他们行驶的路程y(千米)与小明行驶的时间x(小时)之间的函数关系如图所示， 小明父亲出发__23或4 3 __小时时，行进中的两车相距8千米． 9．(2014·苏州)如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点(不与点A 重合)，过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连接PA.设PA ＝x ，PB ＝y ，则(x －y)的最大值是__2__． 10．(2014·长春)如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限，以A 为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x ＝－2，点C 在抛物线上，且位于点A ，B 之间(C 不与A ，B 重合)．若△ABC 的周长为a ，则四边形AOBC 的周长为__a ＋4__．(用含a 的式子表示) 三、解答题(共40分) 11．(10分)(2014·孝感)我市荸荠喜获丰收，某生产基地收获荸荠40吨．经市场调查，可采用批发、零售、加工销售三种销售方式，这三种销售方式每吨荸荠的利润如下表： 销售方式 批发 零售 加工销售
第11讲 一次函数应用及综合问题(讲练)(解析版)
备战2020年中考数学总复习一轮讲练测 第三单元函数 第11讲一次函数的应用及综合问题
1、了解：一次函数的概念； 2、理解：图象中横纵坐标表示的意义，及结合实际问题中的意义； 3、会：结合函数图象确定图形面积；并根据面积确定点的坐标，进而求出一次函数解析式；会解决一次函数有关的实际问题； 4、能：解决一次函数与几何综合，并根据整数点及公共点的个数确定参数的值或范围。 1．（2019春?石景山区期末）甲、乙两名同学骑自行车从A 地出发沿同一条路前往B 地，他们离A 地的距离()s km 与甲离开A 地的时间()t h 之间的函数关系的图象如图所示，根据图象提供的信息，有下列说法： ①甲、乙同学都骑行了18km ②甲、乙同学同时到达B 地 ③甲停留前、后的骑行速度相同 ④乙的骑行速度是12/km h 其中正确的说法是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③ 【解答】解：由图象可得， 甲、乙同学都骑行了18km ，故①正确， 甲比乙先到达B 地，故②错误， 甲停留前的速度为：100.520/km h ÷=，甲停留后的速度为：(1810)(1.51)16/km h -÷-=，故③错误， 乙的骑行速度为：18(20.5)12/km h ÷-=，故④正确， 故选：B ． 2．（2018春?平谷区期末）某区中考体育加试女子800米耐力测试中，同时起跑的甲和乙所跑的路程S （米
)与所用时间t（秒)之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，下列说法正确的是() A．甲的速度随时间的增大而增大 B．乙的平均速度比甲的平均速度大 C．在起跑后50秒时，甲在乙的前面 D．在起跑后180秒时，两人之间的距离最远 【解答】解：由题意可得， 甲对应的函数图象是线段OA，由图象可知甲在匀速跑步，故选项A错误， 由图象可知，甲先跑完800米，则甲的平均速度比乙的平均速度大，故选项B错误， 在起跑后50秒时，乙在甲的前面，故选项C错误， 由图象可知，在起跑后180秒时，甲在乙的前面，此时两人之间的距离最远为200米，故选项D正确， 故选：D． 3．（2019春?海淀区校级期中）已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式为，自变量x的取值范围是． 【解答】解：220 Q， += x y ∴=-，即10 202 y x x<， Q两边之和大于第三边 ∴>， 5 x 综上可得510 <<． x 故答案为：220 =-+，510 y x <<． x 4．（2019春?海淀区校级月考）若一条直线与函数31 =-的图象平行，且与两坐标轴所围成的三角形的 y x
复变函数第2章
第二章 解析函数 1. 复变函数： ()w f z = w =f (z )又常写成w =u (x ,y )+iv (x ,y )，从而对复变函数f (z )的讨论可相应地 转化为对两个实函数u (x ,y )和v (x ,y )的讨论. 2.复变函数的极限与连续： 定义2.2 设函数w =f (z )定义在z 0的去心邻域0<|z -z 0|
(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第13课时函数模型及其应用
第二章 函数与导数第13课时 函数模型及其应用 第三章 (对应学生用书(文)、(理)33～36页 ) , 1. (必修1P 110练习1)某地高山上温度从山脚起每升高100 m 降低0.6 ℃.已知山顶的温度是14.6 ℃，山脚的温度是26 ℃，则此山的高为________m. 答案：1 900 解析：(26－14.6)÷0.6×100＝1 900. 2. (必修1P 71习题10改编)已知某种产品今年产量为1 000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为________件． 答案：1 331 解析：1 000×(1＋10%)3 ＝1 331. 3. (必修1P 35练习3改编)已知等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则该函数的定义域为________． 答案：(5，10) 4. (必修1P 110复习10)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系式为v ＝2 000ln ? ?? ??1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可以达到12 km/s. 答案：e 6 －1 解析：由2 000ln ? ?? ??1＋M m ＝12 000，得1＋M m ＝e 6，所以M m ＝e 6 －1. 5. (必修1P 100练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函 数关系为P ＝? ????t ＋20，0 第13讲简单的统筹规划问题 解题思路：先仔细考虑达到最优策略要遵循的原则，再想具体办法。 例1某工地A有20辆卡车，要把60车渣土从A运到B，把40车砖从C运到D（工地道路图如图所示），问如何调运最省汽油？ 例2一支勘探队在五个山头A、B、C、D、E设立了基地，人数如图所示.为调整使各基地人数相同，如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近） 例3在一条公路上每隔100千米有一个仓库（如图），共有5个仓库.一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？ 例4 189米长的钢筋要剪成4米或7米两种尺寸，如何剪法最省材料？ 例5用10尺长的竹竿做原材料，来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎么截法最合算？ 例6甲、乙两个服装厂每个工人和设备都能全力生产同一规格的西服，甲厂每 月用3 5 的时间生产上衣， 2 5 的时间生产裤子，全月恰好生产900套西服；乙厂每 月用4 7 的时间生产上衣， 3 7 的时间生产裤子，全月恰好生产1200套西服。现在 两厂联合生产，尽量发挥各自的特长多生产西服，那么现在每月比过去多生产西服多少套？ 习题 1.某乡共有六块甘蔗地，每块地的产量如下图所示.现在准备建设一座糖厂，问糖厂建于何处总运费最省？ 2.产地A1、A2、A3和销售地B1、B2、B3、B4都在铁路线上，位置如下图所示.已知A1、A2、A3的产量分别为5吨、3吨、2吨；B1、B2、B3、B4的销售量分别是1吨、2吨、3吨、4吨.试求出使总运输吨公里数最小的调运方案。 3.把长239米的钢筋截成17米和24米长的钢筋，如何截法最省材料？ 4.钢筋原材料每件长7.3米，每套钢筋架子用长2.9米、2.1米和1.5米的钢筋各1段.现在需要绑好钢筋架子100套，至少要用去原材料几件？截料方法怎样最省？ 5.某车间有铣床3台，车床3台，自动机床1台，生产一种由甲、乙两个零件组成的产品.每台铣床每天生产甲零件10个，或者生产乙零件20个；每台车床每天生产甲零件20个，或者生产乙零件30个；每台自动机床每天生产甲零件30个，或者生产乙零件80个.如何安排这些机器的生产任务才能获得最大数量的成套产品？每天最多可生产多少套产品？ 课时跟踪训练(十三) 函数模型及其应用 [基础巩固] 一、选择题 1．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( ) [解析] 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的． [答案] B 2．(2018·河南洛阳期中)已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( ) A ．100只 B ．200只 C ．300只 D ．400只 [解析] 由题意知100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)，当x ＝8时，y ＝100log 39＝200. [答案] B 3．(2017·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期\”个数至少是( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 [解析] 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N * )个“半衰期”后的含 量为? ????12n ，由? ????12n < 11000 得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C. [答案] C 第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) () 1 -=n n nz z ' （n 为正整数） 解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-?? ??? ?++-+ += -+= --→→ 2 2 1 12 1lim lim ' ()() 1 1 2 1 12 1----→=?? ? ?? ?++-+ = n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： () ()2 11 111 1z z z z z z z z z z z z z z z z z - =+-= +-= - += ?? ? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??， 0=??y u ， 0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2 在直线2 1- =x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3 3 32y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则3 2x u =，3 3y v = 2 6x x u =??， 0=??y u ， 0=??x v ， 2 9y y v =??都是连续函数。 只有2 2 96y x =，即032=± y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3 3 32y i x z f +=∴在直线 032=± y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 2 2 += 解：设()iv u z f +=，则2 xy u =，y x v 2 = 讲义主题： 一次函数的概念、性质、图像及变换 一：课前纠错与课前回顾 1、作业检查与知识回顾 2、错题分析讲解 （1） （2） （3） ··· 二、课程内容讲解与课堂练习 题模一：概念 例1.1.1下列说法中不正确的是（ ） A ．一次函数不一定是正比例函数 B ．不是一次函数就一定不是正比例函数 C ．正比例函数是特殊的一次函数 D ．不是正比例函数就一定不是一次函数 例1.1.2下列函数中不是一次函数的是（ ） A ．1 2 y x =- B ．2y x = C ．32y x =- D ．223 y x =-+ 例1.1.3若函数y=（m ﹣1）x |m|﹣5是一次函数，则m 的值为（ ） A ．±1 B ．﹣1 C ．1 D ．2 【讲透例题】 题模一：概念 例1.1.1【答案】D 【解析】本题主要考查正比例函数与一次函数的关系，正比例函数是特殊的一次函数，一次函数不一定是正比例函数，所以D 选项不正确，故答案为D 选项． 例1.1.2【答案】B 【解析】该题考查的是一次函数的概念． 形如()0y kx b k =+≠，这样函数是一次函数． A 选项是正比例函数，故是特殊的一次函数； B 选项是反比例函数，所以不是一次函数； C 选项是一次函数； D 选项是一次函数． 故答案是B ． 例1.1.3【答案】B 【解析】根据题意得，|m|=1且m ﹣1≠0，解得m=±1且m≠1，所以，m=﹣1． 【讲透考点】 一次函数的概念 若两个变量x ，y 的关系可以表示成：y kx b =+（k b 、为常数，且0k ≠）的形式；那么y 就叫做x 的一次函数；其中，x 是自变量，y 是因变量． 1．一次函数的解析式的形式是y kx b =+，判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． 2．当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． 3．当0b =，0k =时，它不是一次函数． 4．正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 【相似题练习】 随练1.1下列函数中不是一次函数的是（ ） A ．1 2 y x =- B ．2y x = C ．32y x =- D ．223 y x =-+ 随练1.2已知函数2(1)1y k x k =-+-；当k ________时，它是一次函数；当k ________时，它是正比例函数． 随练1.3已知点()12,y -、()21,y 都在直线113 y x =-+上，则1y 与2y 大小关系是（ ） A ．12y y > B ．12y y = C ．12y y < D ．无法判断 题模二：图像和性质 2019年中考数学总复习巅峰冲刺 专题14函数实际应用问题 【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破； 1、最大利润问题：这类问题只需围绕一点来求解，那就是：总利润=单件商品利润*销售数量。未知数时，总利润必然是因变量y , 而自变量可能有两种情况：①变量x是所涨价多少，或降价多少；②自变量x是最终的销售价格。 2、最优方案问题：解答方案型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案．解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策. 3、抛物线型问题：（1）建立变量与自变量之间的二次函数关系式；（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大值：可以利用配方法或公式求出最大值或者最小值；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 4、几何面积最大值问题：借助几何图形的特点，可根据图形探寻几何性质并设其中一边为x，从而根据面积公式建立二次函数或其它函数关系式，根据函数关系计算最大值问题。 5、解直角三角形：仰角、俯角：如图所示，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角 ②坡角、坡度：如图⑥所示，通常把坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用字母i表示，即i=h l ; 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，则有i= h l =tanα 解直角三角形常见模型：一个直角三角形包含在另一个直角三角形中，两直角三角形有公共直角和一条公共直角边，其中这条公共直角边是沟通两直角三角形关系的媒介． 函数专题复习 一、一次函数及其基本性质 1、正比例函数 形如()0≠=k kx y 的函数称为正比例函数，其中k 称为函数的比例系数。 2、一次函数 形如b kx y +=的函数称为一次函数，其中k 称为函数的比例系数，b 称为函数的常数项（与Y 轴交点位置）。 例题1：在一次函数y ＝(m －3)x m -1＋3中，符合x ≠0，则m 的值为 。 随堂练习：已知自变量为x 的函数y=mx +2-m 是正比例函数，则m =________，该函数的解析式为_______。 例题2：已知一次函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是（ ） A 、﹣2 B 、﹣1 C 、0 D 、2 随堂练习： 1、直线y =x －1的图像经过象限是（ ） A 、第一、二、三象限 B 、第一、二、四象限 C 、第二、三、四象限 D 、第一、三、四象限 2、一次函数y =6x ＋1的图象不经过．．．（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 例题3：已知一次函数2-+=n mx y 的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ） A 、m ＞0，n ＜2 B 、m ＞0，n ＞2 C 、m ＜0，n ＜2 D 、m ＜0，n ＞2 随堂练习：已知关于x 的一次函数n mx y +=的图象如图所示，则2||m m n --可化简为 。 3、求直线y=kx+b （k ≠0）与坐标轴的交点： 与y 轴交点把x=0代入函数，与x 相交，把y=0代入函数 例1 直线y=22 3 +-x 与y 轴交点是 ，与y 轴交点是 与两坐标轴围成的三角形面积 4. 求两直线交点坐标：就是联立两直线解析式求方程组的解； 例1：已知函数2312+=-=x y x y 与的图象交于点P ，则点P 2：在同一平面直角坐标系中，若一次函数533-=+-=x y x y 与则点M 的坐标 3、如图一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4），且(1)求两个函数的解析式；(2)求△AOB 的面积 2 2 ) y 第 14 讲 函数模型及其应用 1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长 等不同函数类型增长的含义． 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中的普遍使用的函数模型的广 泛应用． 知识梳理 1．幂函数、指数函数、对数函数模型增长的差异 在区间(0，＋∞)，尽管 y ＝a x (a>1)，y ＝log a x(a>1)和 y ＝x n (n >0)都是 增函数 ，但它们的增长速度不同， 而且不在同一“档次”上，随着 x 的增长，＝a x (a>1)的增长速度越来越 快 ，会超过并远远 大于 y ＝x n (n >0) 的增长速度，而 y ＝ log a x(a>1) 的增长速度则会越来越 慢 ，因而总存在一个 x 0 ，当 x >x 0 时，就会有 log a x 课时规范练13 函数模型及其应用 一、基础巩固组 1.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0 第13讲反比例函数 一、 中考知识关键词 考点１．反比例函数的定义：一般地，函数，叫做反比例函数. 考点２．反比例函数的图像及性质：反比例函数的图像是双曲线，关于原点对称；当k>0时，反比例函数的图像在一、三象限，在函数图像的每一支上，y随x的增大而减小；当k<0时，反比例函数的图像在二、四象限，在函数图像的每一支上，y随x的增大而增大． 【易错警示】由于反比例函数的图像的不连续性，所以在描述反比例函数的图像的增减性时，一定要先说在“每个象限内”． 考点３ 反比例函数图像上的任何一点的纵横坐标的乘积为定值k；过反比例函数图像上任意一点分别向x轴和y轴做垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积等于定值∣k∣. 二、典型例题 类型一反比例函数的定义 例1 若函数反比例函数，则的值等于（） A． B 1 C D 解析：根据反比例函数的定义，，则，又因为，所以，故。 例2（2007海南）反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的关系式为 . 解析： 类型二反比例函数图像的性质 例3（2007贵州）已知正比例函数与反比例函数的图象有一个交点的坐标为，则它的另一个交点的坐标是（） A． B． C． D． 解析：因为正比例函数过坐标原点，而反比例函数图像的两个分支关于原点对称，所以，另一个交点坐标为，故选A 例4（2007江苏）已知点P在函数 （x＞0）的图象上，PA⊥x轴、PB⊥y轴，垂足分别为A、B，则矩形OAPB的面积为__________. 解析：因为反比例函数可变形为，设P点坐标为（x,y），所以，又因为点P在第一象限，则.所以矩形OAPB的面积为,故填2. 类型三反比例函数的应用 第二章 解析函数 1．用导数定义，求下列函数的导数： (1) ()Re .f x z z = 解: 因 0()()lim z f z z f z z ?→+?-?0()Re()Re lim z z z z z z z z ?→+?+?-=? 0Re Re Re lim z z z z z z z z ?→?+?+??=? 0Re lim(Re Re )z z z z z z ?→?=+?+? 0 00 Re lim(Re )lim(Re ),z x y z x z z z z z x i y ?→?→?→??=+=+??+? 当0z ≠时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z =时,上述极限为0,故导数为0. 2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 2().f z z z =? 解: 22222222()||()()()(), f z z z z z z z z x y x iy x x y iy x y =?=??=?=++=+++ 这里2222(,)(),(,)().u x y x x y v x y y x y =+=+ 2222222,2,2, 2. x y y x u x y x v x y y u xy v xy =++=++== 要,x y y x u v u v ==-，当且当0,x y ==而,,,x y x y u u v v 均连续，故2().f z z z =?仅在0z =处可导，处处不解析. (2) 3223()3(3).f z x xy i x y y =-+- 解: 这里322322(,)3,(,)3.33,x u x y x xy v x y x y y u x y =-=-=- 226,6,33,y x y u xy v xy v x y =-==- 四个偏导数均连续且,x y y x u v u v ==-处处成立,故()f z 在整个复平面上处处可导,也处处解析. 3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数. (1) (,).az b c d cz d ++至少有一不为零 河北省沧州市数学八年级下册：第10讲一次函数 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共11题；共22分) 1. （2分）若y与x成正比，y与z的倒数成反比，则z是x的（） A . 正比例函数 B . 反比例函数 C . 二次函数 D . z随x增大而增大 2. （2分） (2019八下·哈尔滨期中) 如图，直线与坐标轴相交于，两点，则关于x的不等式的解集是（） A . B . C . D . 3. （2分） (2019八上·响水期末) 下列图像中，能反映等腰三角形顶角（度）与底角（度）之间的函数关系的是（） A . B . C . D . 4. （2分）要从y＝x的图象得到直线y＝，就要将直线y＝x（） A . 向上平移2个单位 B . 向右平移2个单位 C . 向上平移个单位 D . 向下平移个单位 5. （2分） (2019八上·深圳期末) 若一个正比例函数的图象经过A（3，6）、B（m，4）两点，则m的值为（） A . 2 B . 8 C . ﹣2 D . ﹣8 6. （2分）(2020·高邮模拟) 如图，直线分别交轴、轴于点A,C直线分别交x轴、y轴于点B,D，直线AC与直线BD相交于点，则不等式的解集为（） A . B . C . D . 7. （2分） (2020九下·北碚月考) 下列命题中，是真命题的是（） A . 将函数y＝ x+1向右平移2个单位后所得函数的解析式为y＝ x B . 若一个数的平方根等于其本身，则这个数是0和1 C . 对函数y＝，其函数值y随自变量x的增大而增大 D . 直线y＝3x+1与直线y＝﹣3x+2一定互相平行 8. （2分）一次函数y=kx﹣（2﹣b）的图象如图所示，则k和b的取值范围是（） 课时规范练13 函数模型及其应用 一、基础巩固组 1.某产品的总成本y (单位:万元)与产量x (单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x 2(0 2021届高考数学一轮复习 第二章13函数模型及其应用 练案【含解 析】 A 组基础巩固 一、单选择 1．现有一组数据如下： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 ( C ) A ．v ＝log 2t B ．v ＝log 12t C ．v ＝ t 2－1 2 D ．v ＝2t －2 [解析] 解法一：v 值随t 值增大，且增长速度越来越快，故应选择幂函数模型，仅选项C 符合． 解法二：取t ＝1.99≈2(或t ＝5.1≈5)，代入A 得v ＝log 22＝1≠1.5；代入B ，得v ＝log 1 22＝－1≠1.5；代入C ，得v ＝22 －1 2＝1.5；代入D ，得v ＝2×2－2＝2≠1.5.其余4组数据同 样代入可知C 最合要求．故选C. 2．(2020·安阳模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( C ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 [解析] 由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获得利润为y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6(k －9)2 ＋864(1≤k ≤10，k ∈N )，所以当k ＝9时，获得利润最大，故选C. 3．(2020·安徽马鞍山模拟)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈ 0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( B ) A ．2020年 B ．2021年 C ．2022年 D ．2023年 [解析] 若2018年是第一年，则第n 年科研费为1 300×1.12n ，由1 300×1.12n >2 000，可得lg 1.3＋n lg 1.12>lg 2，得n ×0.05>0.19，n >3.8，n ≥4，即4年后，到2021年科研 函数的应用 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2、体验指数函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用. 一、解应用题的策略： 特别提醒： 解答应用题重点要过三关： (1)事理关：需要读懂题意，知道讲的是什么事件，即需要一定的阅读能力．如教材中讲的储蓄问题，要清楚什么是复利，各期的本利和如何变化，即变化规律是什么，只有搞清这些问题，才能准确表达本利和y与利率r及存期x的关系．(2)文理关：需把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，以把实际问题抽象为一个函数问题．(3)数理关：构建了数学模型后，要正确解答出数学问题，需要扎实的基础知识和较强的数理能力． 二、解决应用题的一般程序： （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； （2）建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）解模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义． 三、几种不同增长的函数模型 (1)指数函数模型： y＝ab x＋c(b>0，b≠1，a≠0) (2)对数函数模型： y＝m log a x＋n(a>0，a≠1，m≠0) (3)幂函数模型：y＝ax n＋b(a≠0) 八年级数学培优第十三讲平行四边形与一次函数 第十二讲平行四边形与一次函数 考点?方法?破译 ⒈理解并掌握平行四边形的定义、性质、和判定方法，并运用它们进行计算与证明. ⒉理解三角形中位线定理并会应用. ⒊了解平行四边形是中心对称图形. 经典?考题?赏析 【例3】（南昌）如图:在平 面直角坐标系中,有A（0,1）,B （－1,0）,C（1,0）三点. ⑴若点D与A、B、C三点 构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D 的坐标； ⑵选择⑴中符合条件的一点D，求直线BD的解析式． 【解法指导】已知固定的三个点，作平行四边形应有三种可能性，如图所示，因而本题D点坐标应有三种可能性． 【解】⑴D1（2，1）D2（－ 2 2，1）D3（0，－1） ⑵若选择D3（0，－1），可求得解析式：y ＝－x－1 【变式题组】已知固定的三个点，作平行四边形时应有三种可能性，如图所示，因而本题D点坐标应有三种可能性． 【解】⑴D1（2，1）D2（－2，1）D3（0，－1） ⑵若选择D3（0，－1），可求得解析式：y ＝－x－1 【变式题组】 3＋3与y 01．如图，直线l1:y ＝－x 2 轴交于点A，与直线l2交于x轴 上同一点B，直线l2交y轴于点 3 C，且点C与点A关于x轴对称． ⑴求直线l2的解析 式； ⑵设D（0，－1），平行于y轴的直线x＝t 分别交直线l1和l2于点E、F．是否存 在t的值，使得以A、D、E、F为顶点 的四边形是平行四边形，若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由． 02．如图，在直角坐标系中，A（1，0），B（3， 1x上是否0），P是y轴上一动点，在直线y＝ 2 存在点Q，使A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 4 第2讲导数的应用(一) 一、选择题 1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是( )．A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0 2．若函数h(x)＝2x－k x＋ k 3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是 ()． A．(－2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，2) 3．函数f(x)＝(4－x)e x的单调递减区间是()．A．(－∞，4) B．(－∞，3) C．(4，＋∞) D．(3，＋∞) 4．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1 a 处有极值，则ab的值为( ) A．2 B．－2 C．3 D．－3 5．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )．A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1) 6．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示． 下列关于函数f(x)的命题： ①函数y＝f(x)是周期函数； ②函数f(x)在[0,2]上是减函数； ③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4； ④当1 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 二、填空题 7．函数y ＝x －2sin x 在[0，π]上的递增区间是________． 8．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 9．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 10．已知函数y ＝－1 3x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋2－b 在R 上不是单调减函数，则b 的取值范围是________． 三、解答题 11．设函数f (x )＝ax 3－3x 2，(a ∈R )，且x ＝2是y ＝f (x )的极值点，求函数g (x )＝e x ·f (x )的单调区间． 12．已知函数f (x )＝x 3－ax －1 (1)若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在试说明理由． 13．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间； (2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3 ＋x 2 ? ??? ?? f x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调 函数，求m 的取值范围． 14．设函数f (x )＝ln x ＋ a x －1在? ? ???0，1e 内有极值． (1)求实数a 的取值范围； (2)若x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)．求证：f (x 2)－f (x 1)>e ＋2－1 e .注：e 是自然对数的底数． 答案 1.解析 设切点坐标为(x 0，x 2 0)，则切线斜率为2x 0， 由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.第13讲 简单的统筹规划问题
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