2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法

【知识要点】 一、曲边梯形的定义

我们把由直线,,0x a x b y ===和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 二、曲边梯形的面积的求法

分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限 三、定积分的概念

一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点

0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L

将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b a

x n

-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：1

1

()()n

n

n i

i i i b a

S f x x f n ξ==-=

?=∑∑

如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数

()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为：()b

a

S f x dx =?，

其中

?

是积分号，b 是积分上限，a 是积分下限，()f x 是被积函数，x 是积分变量，[,]a b 是积分区间，()f x dx

是被积式.

说明：（1）定积分

()b

a

f x dx ?

是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即n S 无限趋

近的常数S （n →+∞时）记为

()b

a

f x dx ?

，而不是n S ．

（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③

求和：1

()n

i i b a

f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 四、定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1()()()b

b

a a

kf x dx k f x dx k =??为常数（定积分的线性性质）；

性质2

1212[()()]()()b

b b

a

a

a

f x f x dx f x dx f x dx ±=±?

??（定积分的线性性质）；

性质3()()()()b

c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx a c b =+<

??其中（定积分对积分区间的

可加性）

五、定积分的几何意义

（1）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()b

a

f x dx ?表示由

直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.

（2）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≤，那么定积分()b

a

f x dx ?表示由

直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.

（3）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续，且函数()y f x =的图像有一部分在x 轴上方，有一部分在x 轴下方，那么定积分

()b

a

f x dx ?表示x 轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积.

（4）图中阴影部分的面积S=

1

2

[()()]b

a

f x f x dx -?

六、微积分基本定理

一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()b

a

f x dx F b F a =-?，

这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式.为了方便，我们常把()()F b F a -记成()b

a

F x ，

即

()()()()b

b a a

f x dx F x F b F a ==-?

.

计算定积分的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x . 七、公式

（1） 1

()cx c = （2）1

(sin )cos x x = （3）1

(cos )sin x x -=

( 4)11

(

)(1)1

n n m x mx n n +=≠-+ (5)(ln )a a x x '=； (6) x x e e =')(

（7）1(sin 2)cos 22x x ￠= （8）1(ln(x 1))1

x ￠+=+

八、求定积分的方法

(1)代数法： 利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求.

【方法讲评】

【例1】 定积分

1

1

(||1)x dx --ò

的值为____________.

【点评】本题要先利用定积分的性质化简，再利用微积分基本原理求解. 【反馈检测1】220

sin 2

x dx π

=? ．

【反馈检测2】若)(x f 在R 上可导,3)2('2)(2

++=x f x x f ,则

3

()f x dx =?

( )

A ．16

B ．18-

C ．24-

D ．54

【例2】计算

10

(1dx +?

的结果为（ ）.

A ．1

B ．4

π C ．14π+ D ．12π+

【解析】先利用定积分的几何意义求

dx x ?

-1

21：令)10(12≤≤-=x x y ，即

)0,10(12

2

≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的41（如图）

，dx x ?-102

1即是4

1圆面积，即4π；所以 1

(1dx +?

=4

1111

21

π

+

=-+

?

?

dx x dx .

【点评】（1）本题中函数1y =所以先利用定积分的性质化简原式，再利用数形结合分析解答.（2）利用数形结合分析解答时，主要变量的范围，不要扩大了变量的范围，导致扩大了平面区域.)10(12≤≤-=x x y ，即)0,10(122≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的

4

1

（如图），不是右半圆或整个圆.(3)等价转化是数学里的重要数学思想，它要求我们在每一步的变形和推理时，都必须注意等价变换.

【反馈检测3】3

1

3)___________

dx =?

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第18讲：

求定积分的方法参考答案

【反馈检测1答案】

14

2

π

-

【反馈检测1详细解析】

?

???-=??? ??-=20

2020202

2cos 212cos 212sin π

πππ

dx x dx dx x dx x 2140214|sin 21|22

020-=??? ??--=-=ππππx x 【反馈检测2答案】18-

【反馈检测3答案】2

63

π 【反馈检测3详细解析】

由于3

1

3)dx =ò

1

?

+3

1

3dx ?．

其中

1

?

值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x 从1到3部分与x 轴所围成的图形

的面积的大小，即图中阴影部分的面积．

故其值是S △ACQ +S 扇形ABQ +S △BDQ =

21112

1212623

ππ???+?=+

又313dx ?=6，∴313)dx =ò2

63π+ ．

故答案为：2

63

π．