文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法

【知识要点】 一、曲边梯形的定义

我们把由直线,,0x a x b y ===和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 二、曲边梯形的面积的求法

分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限 三、定积分的概念

一般地,设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点

0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L

将区间[,]a b 等分成n 个小区间,每个小区间长度为x D (b a

x n

-D =),在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ,作和式:1

1

()()n

n

n i

i i i b a

S f x x f n ξ==-=

?=∑∑

如果x D 无限接近于0(亦即n →+∞)时,上述和式n S 无限趋近于常数S ,那么称该常数S 为函数

()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为:()b

a

S f x dx =?,

其中

?

是积分号,b 是积分上限,a 是积分下限,()f x 是被积函数,x 是积分变量,[,]a b 是积分区间,()f x dx

是被积式.

说明:(1)定积分

()b

a

f x dx ?

是一个常数,可以是正数,也可以是负数,也可以是零,即n S 无限趋

近的常数S (n →+∞时)记为

()b

a

f x dx ?

,而不是n S .

(2)用定义求定积分的一般方法是:①分割:n 等分区间[],a b ;②近似代替:取点[]1,i i i x x ξ-∈;③

求和:1

()n

i i b a

f n ξ=-∑;④取极限:()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 四、定积分的性质

根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质1()()()b

b

a a

kf x dx k f x dx k =??为常数(定积分的线性性质);

性质2

1212[()()]()()b

b b

a

a

a

f x f x dx f x dx f x dx ±=±?

??(定积分的线性性质);

性质3()()()()b

c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx a c b =+<

??其中(定积分对积分区间的

可加性)

五、定积分的几何意义

(1)从几何上看,如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥,那么定积分()b

a

f x dx ?表示由

直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.

(2)从几何上看,如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≤,那么定积分()b

a

f x dx ?表示由

直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.

(3)从几何上看,如果在区间[],a b 上函数()f x 连续,且函数()y f x =的图像有一部分在x 轴上方,有一部分在x 轴下方,那么定积分

()b

a

f x dx ?表示x 轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积.

(4)图中阴影部分的面积S=

1

2

[()()]b

a

f x f x dx -?

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

六、微积分基本定理

一般地,如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数,并且()()F x f x '=,那么()()()b

a

f x dx F b F a =-?,

这个结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿—莱布尼茨公式.为了方便,我们常把()()F b F a -记成()b

a

F x ,

()()()()b

b a a

f x dx F x F b F a ==-?

.

计算定积分的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x . 七、公式

(1) 1

()cx c = (2)1

(sin )cos x x = (3)1

(cos )sin x x -=

( 4)11

(

)(1)1

n n m x mx n n +=≠-+ (5)(ln )a a x x '=; (6) x x e e =')(

(7)1(sin 2)cos 22x x ¢= (8)1(ln(x 1))1

x ¢+=+

八、求定积分的方法

(1)代数法: 利用微积分基本原理求;(2)几何法:数形结合利用面积求.

【方法讲评】

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

【例1】 定积分

1

1

(||1)x dx --ò

的值为____________.

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

【点评】本题要先利用定积分的性质化简,再利用微积分基本原理求解. 【反馈检测1】220

sin 2

x dx π

=? .

【反馈检测2】若)(x f 在R 上可导,3)2('2)(2

++=x f x x f ,则

3

()f x dx =?

( )

A .16

B .18-

C .24-

D .54

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

【例2】计算

10

(1dx +?

的结果为( ).

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

A .1

B .4

π C .14π+ D .12π+

【解析】先利用定积分的几何意义求

dx x ?

-1

21:令)10(12≤≤-=x x y ,即

)0,10(12

2

≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的41(如图)

,dx x ?-102

1即是4

1圆面积,即4π;所以 1

(1dx +?

=4

1111

21

π

+

=-+

?

?

dx x dx .

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

【点评】(1)本题中函数1y =所以先利用定积分的性质化简原式,再利用数形结合分析解答.(2)利用数形结合分析解答时,主要变量的范围,不要扩大了变量的范围,导致扩大了平面区域.)10(12≤≤-=x x y ,即)0,10(122≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的

4

1

(如图),不是右半圆或整个圆.(3)等价转化是数学里的重要数学思想,它要求我们在每一步的变形和推理时,都必须注意等价变换.

【反馈检测3】3

1

3)___________

dx =?

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第18讲:

求定积分的方法参考答案

【反馈检测1答案】

14

2

π

-

【反馈检测1详细解析】

?

???-=??? ??-=20

2020202

2cos 212cos 212sin π

πππ

dx x dx dx x dx x 2140214|sin 21|22

020-=??? ??--=-=ππππx x 【反馈检测2答案】18-

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

【反馈检测3答案】2

63

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

π 【反馈检测3详细解析】

由于3

1

3)dx =ò

1

?

+3

1

3dx ?.

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

其中

1

?

值相当于(2,0)为圆心,以2为半径的圆在x 从1到3部分与x 轴所围成的图形

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

的面积的大小,即图中阴影部分的面积.

故其值是S △ACQ +S 扇形ABQ +S △BDQ =

21112

1212623

ππ???+?=+

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

又313dx ?=6,∴313)dx =ò2

63π+ .

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

故答案为:2

63

π.

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc

2019年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第18讲 求定积分的方法.doc