四川省绵阳市高中2019届高三第三次诊断性考试数学(理)
四川省绵阳市2019届高中第三次诊断性考试
理科数学试卷
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。第I 卷1至2页，第II 卷 3至4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2. 选择题使用25铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效j 在草稿纸、试题卷 上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
第
I
卷
（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1. 已
知
全
集
U=R,集
合
A ＝{x||x|≤1}，B={x|x ≤1}
,则
B A
C U )(等
于
A. {x|x ≤-1}
B. {x|x<-1}
C. {-1}
D. {x|-1 2. 设命题p:存在两个相交平面垂直于同一条直线;命题q ：012,2≥+-∈?x x R x .则下 列命题为真命题的是 A q p ∧ B )(q p ?∧ C )()(q p ?∧? D q p ∧?)( 3. 已知曲 4. 函数f(x)=log2x+x的零点所在的一个区间是 A(0, B( C ( D(1,2) 5. 函数f(x)=x-sinx的大致图象可能是 6.一个多面体的直观图和三视图如图所示，M是AB的中点，一 只蜜蜂在该几何体内自由飞舞，则它飞入几何体F-AMCD内的概率为 A 3 1 B 2 1 C 3 2 D 4 3 7.如图所示，在ΔABC中,D为BC的中点，BP丄DA,垂足为P,且 BP=2,则BP BC.= A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 8. 已知E为不等式组 ? ? ? ? ? ≥ ≤ + ≥ + 1 4 2 2 y y x y x ，表示区域内的一点，过点E的直 线l与圆M:(x-1)2+y2=9相交于A,C两点，过点E与l 垂直的直线交圆M于B、D 两点，当AC取最小值时，四边形ABCD的面积为 9. 如果正整数M的各位数字均不为4,且各位数字之和为 6, 则称M为“幸运数”，则四位正整数中的“幸运数”共有 A. 45个 B. 41个 C. 40个 D. 38个 10. 已知函数f 1(x)=x 2 -2|x|，f 2(x)=x+2,若 a ，b ∈[-2, 4],且当x 1,x 2)](,[21x x b a ≠∈时， -a 的最大值为 A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 第 II 卷（非选择题，共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若复数z 满足z.i=1+2i(i 为虚数单位)，则复数z=________ 12. 执行如图所示的程序框图，则输出的S=______. 13. 已则sinxcosx 的值是______ 14. 已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C:y 2 =4x 相交于A,B 两点，O 、F 分别为C 的顶点和 焦点，若)(R FB OA ∈=λλ，则k=______ 15. 若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m 的m 的个数为*)(n a ,若将这些数从小到大排列，则得到一个新数列{* )(n a }，我们把它叫 做 数列{a n }的“星数列”.已知对于任意的n ∈N *, a n =n 2给出下列结论: ①数列* 的“星数列”的前100之和为5050; ②(a 5)* =2; ③数列* )(n a 的前n 2项和为2n 2 -3n+1; ④{a n }的“星数列”的“星数列”的通项公式为* *))((n a ＝n 2 以上结论正确的是_______.(请写出你认为正确的所有结论的序号） 三、解答題：本大題共6小题，共75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小題满分12分） 绵阳某汽车销售店以8万元A 辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得 出，当售价定为10万元/辆时，每年可销售100辆该品牌的汽车，当每辆的售价每提 高1千元时，年销售量就减少2辆. (I)若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆？ (II)该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品 牌的汽车，若一次性付款，其利润为2万元;若分2期或3期付款，其利润为2.5万 元；若分4期或5期付款，其利润为3万元.该销售店对最近分期付叙的10位购车 情况进行了统计，统计结果如下表. 若X 表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X 的分布列和数学期望. 17. (本小题满分12分） 如图，已知平面PAB 丄平面ABCD ，且四边形ABCD 是 矩形，AD : AB=3 : 2, ΔPAB 为等边三角形，F 是线段BC 上的点且满足CF=2BF. (I)证明：平面PAD 丄平面PAB (II)求直线DF 与平面PAD 的所成角的余弦值. 18. (本小题满分12分） 函数)2 ||,0)(sin()(π ?ω?ω<>+=x x f 的部分图象如图示，将y =f(x ) 的图象向右平移 4 π 个单位后得到函数y=f(x)的 图象. (I )求 函数 y =g(x)的 解析式； (II )在ΔABC 中,R =2, 求ΔABC 的面积的最大值. 19. (本小题满分12分） 已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4=2S 2+8. (I)求公差d 的值; (II )若a 1=1，设T n n 项和,N *恒成立的最大正整数m 的值； (III)设b n 若对任意的n ∈N * ，都有b n ≤b 4 成立，求a 1 的取值范围. 20. (本小题满分13分） 已知椭圆C: )0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为2 3 ，以 原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线 02=++y x 相切.A 、B 是椭圆的左右顶点，直线l 过B 点 且与x 轴垂直，如图. (I)求椭圆C 的方程； (II)若过点M(1,0)的直线与椭圆C 相交于P , Q 为坐标原点)，且满足MQ PM t MQ PM .||||=+，求实数t 的取值范围. 21. (本小题满分1 4 分） 已知函数.( 0,+ ∞) ( e 是自然对数的底数). (I)求函数y=f(x)在[m, m+2](m>0)的最小值; (II)若 x >1 时，函数y=f(x ) 实数t 的取值范围； (III)求证： 绵阳市高2019级第三次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分． BDACA BCDBC 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．2-i 12．11 13．2 5 14 15．②④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（Ⅰ）设销售价格提高了0.1x万元/辆，年利润为y万元． 则由题意得年销售量为100-2x， ∴ y=(10+0.1x-8)(100-2x)=-0.2x2+6x+200=-0.2(x-15)2+245． 故当x=15时，y取最大值． 此时售价为10+0.1×15=11.5万元/辆． ∴当售价为11.5万元/辆时，年利润最大．…………………………………4分 （Ⅱ）由图表可知，利润为2万元的有1辆，2．5万元的有4辆，3万元的有5辆． ∴ P(X=0)= 22 45 2 10 16 45 C C C + = ； P(X=0．5)= 1111 4145 2 10 24 45 C C C C C + = ； P(X=1)= 11 51 2 10 51 459 C C C == ． ∴ X的分布列为： ∴ X的数学期望E(X)=16 45×0+ 24 45×0．5+ 1 9×1= 17 45． ∴ X的数学期望为17 45．………………………………………………………12分 17．解：（Ⅰ）取AB的中点为O，连接OP， ∵△PAB为等边三角形， ∴PO⊥AB．① 又平面PAB⊥平面ABCD， ∴PO⊥平面ABCD， ∴PO⊥AD． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD⊥AB．② ∵ AB与PO交于点O， 由①②得：AD⊥平面PAB， ∴平面PAD⊥平面PAB．……………………………………………………6分 （Ⅱ）以AB的中点O为原点，OB所在直线为x轴，过O平行于BC所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2，AD=3， ∴ F(1，1，0)，A(-1，0，0)，P(0，0 )，D(-1，3，0)． ∴DF=(2，-2，0)，AP=(1，0 )，AD=(0，3，0)， 可求得平面ADP的法向量 0，-1)， 若直线DF与平面PAD的所成角为θ，则 sinθ=|cos >|= || |||| DF n DF n ? = ?， 又由图形可知，θ为锐角， ∴cosθ=1 2． ∴直线DF与平面PAD的所成角的余弦值为1 2．…………………………12分 18．解：（Ⅰ）由图知：2 =4+ 126 πππ ω （） ，解得ω=2． ∵ ()sin(2)1 1212 f ππ ? =?+= ， ∴ 2(Z) 62 k k ππ ?π +=+∈ ，即 2(Z) 3 k k π ?π =+∈ ． 由 2 2π π ?- << ，得 3π ?= ． ∴ ()sin(2) 3f x x π =+． ∴ ()sin[2()]sin(2) 4436f x x x ππππ -=-+=-， 即函数y=g(x)的解析式为g(x)=sin(2) 6x π -． ………………………………6分 （Ⅱ）∵ 2sin 2 2B A +=1 )3(++π C g ， ∴ 1-cos(A+B)=1+sin(2C+2π )， ∵ cos(A+B)=-cosC ，sin(2C+2π )=cos2C ， 于是上式变为cosC=cos2C ，即cosC=2cos 2 C-1，整理得2cos 2 C-cosC-1=0， 解得cosC=1 2- 或1（舍）， ∴ C=2 3π． 由正弦定理得：sin c C =2R=4，解得， 于是由余弦定理得：cosC=12- =22122a b ab +-， ∴ a 2 +b 2 =12-ab ≥2ab ， ∴ ab ≤4(当且仅当a=b 时等号成立)． ∴ S △ABC =1 2ab ． ∴ △ABC ． ………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ， ∵ S 4=2S 2+8，即4a 1+6d=2(2a 1+d)+8，化简得：4d=8， 解得d=2．……………………………………………………………………3分 （Ⅱ）由a 1=1，d=2，得a n =2n-1， ∴ 11n n a a +=1111 () (21)(21)22121n n n n =--+-+． ∴ T n =12 233411111 n n a a a a a a a a ++++???+ =11111111(1) 2 335572121n n -+-+-+???+--+ =11(1) 2 21n -+≥13， 又∵ 不等式T n ≥2 1(5)18m m -对所有的n ∈N*恒成立， ∴ 13≥2 1(5) 18m m -， 化简得：m 2 -5m-6≤0，解得：-1≤m ≤6． ∴ m 的最大正整数值为6．……………………………………………………8分 （Ⅲ）由d=2，得 a n =a 1+2n-2， 又∵ 2n n n a b a += =1+2 n a = 1111 2a n + +-， 又函数 11()11f x x a =+ +-在112a ??-∞- ???，和112a ??-+∞ ???，上分别是单调减函数， 且 112a x <- 时y<1；1 12a x >-时y>1． ∵ 对任意的n ∈N*，都有b n ≤b 4成立， ∴ 3< 1 12a - <4，
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