八年级上册第一章三角形的初步认识复习教案

三角形的初步认识

一、定义与命题：

1.命题的概念：一般地，对某件事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

2.命题的结构：题设（已知条件）与结论（由已知条件推出的事项）。一般可写成“如果.......，那么.........。”的形式。

判断下面句子是不是命题：

①长度相等的两条线段是相等的线段吗？

②两条直线相交，有且只有一个交点。

③不相等的两个角不是对顶角。

④一个平角的度数是180度。

⑤相等的两个角是对顶角。

⑥取线段AB的中点C。

⑦画两条相等的线段。

3.真假命题

4.定理：用推理的方法判断为正确的命题。

公理：数学中通常挑选一部分人类经过长期实践后公认为正确的命题。

a

定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据。 所有定理和公理都是真命题。

下列哪些命题是真命题？哪些是假命题？ ①三角形的两边之和大于第三边。 ②三角形的三个内角和等于180度。 ③两点确定一条直线。 ④对于任何数X ，X ＜0。 二、三角形的基本概念：

1、三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。 三角形ABC 记作：△ABC 。

2、相关概念：

三角形的边：组成三角形的三条线段。记作： AB 、AC 、BC 。

三角形的内角：每两条边所组成的角（简称三角形的角）。 记作：∠A 、∠B 、 ∠C

三角形的外角：一个外角等于不相邻的两个内角之和。 一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 三、三角形三边关系：

1、三角形任何两边的和大于第三边。

几何语言：若a 、b 、c 为△ABC 的三边，则a+b>c,a+c>b, b+c>a. 2、三边关系也可表述为：三角形任何两边的差都小于第三边。 四、三角形的内角和定理： 三角形三个内角的和等于1800。

几何语言：△ABC 中，∠A+∠B+∠C=1800。 练一练：

1、下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？（单位：厘米。填“能”或“不能”) （1）3，4，5（ ）

C B

A

A

B

C

D E

第8题

（2）8，7，15（ ） （3）13，12，20（ ） （4）5，5，11（ ）

2、 根据下列条件判断它们是什么三角形？

（1）三个内角的度数是1:2:3（ ） （2）两个内角是50°和30°（ ） 3、在△ABC ，AB ＝5，BC ＝9，那么 ＜AC ＜ ___。

4、一个三角形的两边长分别是3和8，而第三边长为奇数，那么第三边长是 ______。

5、已知一个等腰三角形的一边是3cm ，一边是7cm ，这个三角形的周长是 _________。

A

B

C

D

E 1

A B

C

D

12

（第6题） （第7题） 6、如上图，∠1=60°，∠D=20°，则∠A= 度。

7、如上图，AD ⊥BC ，∠1=40°，∠2=30°，则∠B= 度，∠C= 度。 8、把一副常用的三角板如图所示拼在一起，

那么图中∠ADE= 度。

五、三角形的三线：

问题1、如何作三角形的高线、角平分线、中线？

问题2、三角形的高线、角平分线、中线各有多少条，它们的交点在什么位置？

三角形的三条高所在的直线交于垂心，三条角平分线交于内心，三条中线交于重心。三角形的角平分线、中线、高线、中垂线都是线段。

问题3、三角形的中线有什么应用？

把三角形分成面积相等的两个三角形。

练一练:

1、如图1，在△ABC中,BE是边AC上的中线。已知AB=4，AC=3，BE=5，△ABE 的周长=________。

2、如图2,CE,CF分别是△ABC的内角平分线和外角平分线,则∠ECF的度数=______度。

图1 图2

3、在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知AC=3，△ABD和△ACD的周长的差是2，你能求出AB的长吗？

4、如图3，AD 、BF 都是△ABC 的高线，若∠CAD=30度，则∠CBF=______度。

5、如图4，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，CE 是AB 上的高，BD ，CE 交于点P 。已知∠ABC=600，∠ACB=700, 求∠ACE ，∠BDC 的度数。

图3 图4

6、如图在△ABC 中，AB=AC=10，AB 的垂直平分线交AC 于G ，BC=7，则△GBC 的周长是_________。

7、如图，在△ABC 中，∠BAC=600，∠C=400，AD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ADC 的度数。

8、如图，AC 为BC 的垂线，CD 为AB 的垂线，DE 为BC 的垂线，D 、E 分别在△ABC 的边AB 和BC 上，则下列说法中 ①△ABC 中，AC 是BC 边上的高；

②△BCD 中，DE 是BC 边上的高。 ③△DBE 中，DE 是BE 边上的高； ④△ACD 中，AD 是CD 边上的高。 其中正确的为 。 六、三角形全等的判定方法

（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形是全等三角形

第6题

G

A

B

C

A

C

D

E

A

B

C

（2）边边边公理（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等

（3）边角边公理（SAS）：两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等

（4）角边角公理（ASA）：两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等（5）角角边公理（AAS）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等方法指引：

证明两个三角形全等的基本思路：

例1、如图,已知AC平分∠BCD,要说明△ABC≌△ADC,还需要增加一个什么条件?请说明理由。

BC=CD

或∠BAC=∠DAC

或∠B=∠D

例2、如图,已知AB=ED,AC=FD,BC=EF,

（图1）D

C

B

A

说明:∠EFD=∠BCA

例3、如图,已知AB=ED,AF=CD,BC=EF, 说明:∠EFD=∠BCA

思考题：如图:AC 和DB 相交于点O,若AB=DC ，AC=DB ，则∠B=∠C,请说明理由。

练一练：

1、如图,AC 与BD 相交于点O,已知AB=CD,AD=BC,则图中全等三角形的对数有( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

2、如图，AE=BE ，∠C=∠D ，求证：△ABC ≌△BAD 。

3、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD 。 求证：△ABD ≌△ACD 。

4、如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE 。 求证：AC ⊥CE 。

E

D B

A

（第2题）

E （图4）

D C B A G

F

E

（图6）D C B

A

5、如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。

6、如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE 。

求证：（1）∠B=∠C ，（2）BD=CE

7、如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在 同一直线上。求证：（1）AF=EG ，（2）BF ∥DG 。

七、角平分线的性质：

角平分线上的任意一点到这个角两边的距离相等。 如图，若点P 是∠CAB 的平分线上一点， 并且PB ⊥AB ，PC ⊥AC ， 则有 PC=PB

1、如图，直线l1、l

2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建 一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，请你通过画图找出建加油站的位置。

F E

（图3）D C B A

B

D

E

A

C

2、如图,在△ABC 中, AD 是△BAC 的角平分线，

DE 是△ABD 的高线， ∠C=90 度。若DE=2，BD=3，求线段BC 的长。

八、线段中垂线的性质：

线段中垂线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。 如图，若直线m 是线段的垂直平分线,C 是直线上的任一点, 则有 CA=CB

1、有 A, B ,C 三农户准备一起挖一口井，使它到三农户家的距离相等. 这口井应挖在何处？请在图中标出井的位置，并说明理由。

2、如图，已知△ABC中，DE是BC边上的中垂线，若AC=5，EC=2，△ADC的周长是13，求△ABC的周长。

3、如图，EF是AB的中垂线，分别延长BE、AE至D，C，使DE=CE，则AD与BC 相等吗? 请说明理由。

九、三角形中线的性质：

三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角

形

如图，若AD是△ABC中BC边上的中线，

则有△ABD的面积=△ACD的面积

1、如图，已知AD是△ABC的中线，CE是△ADC

的中线，若△ABC的面积是8，求△DEC的面积。

A

B

D

E

A

C

E

B

D

2、如图，△ABC 中，点D 是BC 上的一点，点E 是AD 上的一点，若BD:CD=2:3 ，DE:AE=1:4 ，△

ABC 的面积是8，求△DEC 的面积。

3、计算：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 度。

十、拓展

1.如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别 平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ， 则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由。

要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：

①、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的

一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）

②、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成

一条线段，再证明它与长线段相等。（补）

2. (1)如图１，以ABC △的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形

ACFG ，连结EG ，试判断ABC △与AEG △面积之间的关系，并说明理由．

(2)园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石

铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和 是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？

３．在ABC ?中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，

MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，

求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=；

(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. （１３分）

A

G

F

C

B

D

E

（图１）