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高一数学上学期全套教案汇总上海新教材

Miss Tao grade 10 maths Page 1 of 74

高一上学期数学讲义

1.1集合及其表示法

一、教学内容分析

集合是一种数学语言，是对数学的进一步抽象，它将贯穿在整个高中数学内容中，甚至在今后的数学学习中，将集合的概念和理论渗透到数学的各类分支中，会有利于提高学生的数学素养。

本章是高中数学的第一个章节，学习集合的有关概念和表示方法，以及集合之间的关系和基本运算，初步掌握基本的集合语言，了解集合的基本思想方法和集合的发展历史，能用集合的思想去观察、思考、表述和解决一些简单的实际问题。二、教学目标设计

知道集合的意义，理解集合的元素及其与集合的关系符号；认识一些特殊集合的记号，会用“列举法”和“描述法”表示集合；体会数学抽象的意义. 三、教学重点及难点

教学重点：集合的基本概念；

教学难点：用“列举法”和“描述法”表示集合。四、教学流程设计

五、教学过程设计一、数学史引入

（1）“物以类聚，人以群分”（2）我校高一年级的全体学生；（3）这间教室里所有的课桌；（4）所有的正有理数；（5）……

（1）集合的有关概念：

集合的述性说明：把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。

我们既要研究集合这个整体，也要研究这个整体中的个体。我们称集合中的各个对象叫做这个集合的元素；集合的分类：有限集、无限集；

集合中元素的特性：“确定性”；“互异性”；“无序性”；（2）集合的表示方法：

集合的符号表示：集合常用大写英文字母A 、B 、C …表示，集合中的元素常用小写英文字母a 、b 、c …表示元素与集合的关系：属于∈与不属于?（注意方向和辨析）；

列举法：将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序），且写在大括号内，这种表示集合的方法叫列举法描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：{}

A x x p =满足的性质，这种表示集合的方法叫做描述法. （3）特殊集合的表示：

常用的集合的特殊表示法：实数集R （正实数集+R ）、有理数集Q （负有理数集-

Q ）、整数集Z （正整数集+

Z ）、自然数集N （包含零）、不包含零的自然数集*

N ；

空集?（例：方程2

20x +=的实数解集为?）.

[说明]

描述法这一表示集合的形式学生较难理解，可以通过一些例题来加深对描述法这种表示方法的理解。

例1、判断下列各组对象能否组成集合：（1）不等式320x +>的解；（2）我班中身高较高的同学；（3）直线21y x =-上所有的点；（4）不大于10且不小于1的奇数。例2、用符号∈或?填空：

（1）2______N

（2Q （3）0____? （4）0______{}0

（5）b ______{},,a b c

（6）0______*

例3、写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合答：{}2

（2）大于10而小于20的合数组成的机荷答：{}12,14,15,16,18 例4、用描述法表示下列集合：

（1）被5除余1的正整数所构成的集合答：{}|51,x x k k =+∈N

（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合答：{}(,)|0,,x y xy x y >∈∈R R

（3）函数2

21y x x =-+的图像上所有的点答：(){}

2,|21,,x y y x x x y =-+∈∈R R

（4）12345,,,,34567??

???

答：*,,52n x x n n n ??=

∈≤??+??

N 例5、用列举法表示下列集合：（1）

(){},|5,,x y x y x y +=∈∈N N

答：()()()()()(){}0,5,1,4,2,3,3,2,4,1,5,0 （2）{}

230,x x x x --=∈R

答：{}3,1- （3）{}2230,x x x x -+=∈R

答：?

（3）12,5x

x x ??

∈∈??-??N Z

答：{}7,1,1,3,4--

例6、用符号∈或?

（1）{

x x <

（2）{

3____1,x x n n =+∈N

（3）(){

1,1____y y x -=

（4）()(){}2

1,1____,x y y x -=

[说明]例4－例6都涉及到了集合的描述法表示，这也是本节课的最大的难点，题目不宜过多，可以从中选取一些；在例题中渗透有限集和无限集的概念. 三、巩固练习：课本P7练习1.1

四、课堂小结：集合的概念、表示方法五、作业布置

（必做题）课本P7习题1.1

（选做题）已知集合{}

,,A x x a a b ==+∈Z ，若12,x x A ∈，判断：A x x ∈?21是否成立．六、教学设计说明

1．通过许多实际的例子来让学生感知概念，然后在通过文字的归纳叙述让学生形成概念，再通过具体的例子来让学生理解文字描述的概念，由此层层深化概念。

2．由于本节课文字信息量较大，因此用制作课件,以简化板书工作,增加课堂教学的信息容量,保证学生的活动空间和思维空间，努力提高单位教学效益。

1.2集合之间的关系

一、教学目标设计

理解集合之间的包含关系，掌握子集的概念二、教学重点及难点教学重点：子集的概念

三、教学流程设计

五、教学过程设计

一、复习：（1）回答概念：集合、元素、有限集、无限集、列举法、描述法。（2）集合中元素的特性是什么？

二、引入：观察和比较下列各组集合，说说它们之间的关系（共性）：（1）{}1,2,3A =

，{}1,2,3,4,5B =；

（2）A =N ，B

=Q ；

（3）A 是××中学高一年级全体女生组成的集合，B 是××中学高一年级全体学生组成的集合．

[说明] 给出几个具体的集合，从元素角度观察它们之间的关系，引出子集、真子集、集合相等的概念。三、学习新课 1．概念辨析定义1：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．

一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫作集合B 的子集，记作:A B ?

或B A ?（读作：A 包含于B 或B 包含A

1）A B ?有两种可能：①A 中所有元素是B 中的一部分元素；②A 与B 是中的所有元素都相同；

（2）空集?是任何集合的子集；任何一个集合是它本身的子集；（3）判定A 是B 的子集，即判定“任意x A x B ∈?∈”.

定义2：对于两个集合A 与B ，如果A B ?且B A ?，那么叫做集合A 等于集合B ，记作A =B （读作集合A 等于集合B ）；

1）如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等；（2）判定A B =，即判定“任意x B ?∈，且任意 x B x A ∈?∈”.

定义3：对于两个集合A 与B ，如果A B ?，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做B 的真子集，记作：A B ü或B A Y，读作A 真包含于B 或B 真包含A .

（1）空集是任何非空集合的真子集，A ?ü；

（2）判定A B ü，即判定“任意x A x B ∈?∈，且存在00x B x A ∈??”；

（3）子集与真子集符号的方向；（4）易混符号：①“∈”与“?”②{}0与?

2．例题分析

1、写出数集N 、R 、 *

N 、Z 、Q 的包含关系； 2、写出集合

{},,x y z 的所有真子集； 3、已知集合{}1,3,5,7,9M =，写出符合下列条件的M 的子集：

（1）以集合M 中的所有质数为元素；（2）以集合M 中所有能被3整除的数为元素；（3）以集合M 中所有能被2整除的数为元素。

4、设集合{}|1,A x x x R =

>∈，{}|5,B x x x R =≥∈；

（1）判断2分别与A 、B 的关系（2）确定A 、B 之间的关系 5、确定下列两个集合关系：

（1）{|21,}A x x k k ==+∈Z ， {|21,}B x x m m ==-∈Z （2）*

{|21,}A x x k k ==+∈N ，*

{|21,}B x x m m ==-∈N （3）{|41,}A x x k k ==±∈Z ， {|21,}B x x k k ==+∈Z 四、巩固练习：课本P11练习1.2 五、课堂小结

理解集合之间的包含关系，掌握子集、集合相等、真子集概念之间的区别与联系，掌握他们的各种符号表示及证明方法。对于两个集合A 与B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A B ?，规定空集是任何集合的子集。当集合A 是集合B 的子集时，进一步详细讨论，若集合B 中至少有

一个元素不属于A ，那么集合A 是集合B 的真子集；若集合B 也是集合A 的子集，那么集合A 与集合B 相等。两个集合之间也不一定存在包含关系，如集合A 中任何一个元素都不属于集合B ，集合B 中任何一个元素都不属于集合A ，等等，这些在集合运算中能得到体现。六、作业布置

（必做题）课本P11习题1.2 （选做题）设集合

{0,1,2,3,4,5}A

B A

C B ??=且， {0,2,4,6,8}C =，求集合A 的个数.

七、教学设计说明

本节内容是集合这个章节的第二节，是继第一节集合概

念后的又一节概念课，通过集合与集合之间的关系，比较元素与集合的关系，使同学们加深对集合概念的理解。另一方面，用定义的方法来判定集合与集合的关系，也是本节课的难点之一，需要对概念在理解的基础上进一步熟练掌握。因此，本节课内容较多，需要同学们通过简单而直观的实例来区分概念，从而达到熟练掌握的效果。

1.3 (1)集合的运算（交集、并集）

一、教学内容分析

本小节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难。可以借助代数运算帮助理解“且”、“或”的含义：求方程组的解集是求各个方程的解集的交集，求方程

的解集，则是求方程

和

的解集的并集。

本小节的难点是弄清交集与并集的概念及符号之间的联系和区别。突破难点的关键是掌握有关集合的术语和符号、简单的性质和推论，并会正确地表示一些简单的集合。利用数形结合的思想，将满足条件的集合用维恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用．二、教学目标设计

理解交集与并集的概念; 掌握有关集合运算的术语和符号，能用图示法表示集合之间的关系,会求给定集合的交集与并集；知道交集、并集的基本运算性质。发展运用数学语言进行表达、交流的能力。通过对交集、并集概念的学习，提高观察、比较、分析、概括等能力。

三、教学重点及难点：交集与并集概念、数形结合思想方法在概念理解与解题中运用；交集与并集概念、符号之间的区别与联系。

四、教学流程设计

五、教学过程设计一、复习回顾思考并回答下列问题 1、子集与真子集的区别。

2、含有n 个元素的集合子集与真子集的个数。

3、空集的特殊意义。 1、概念引入

（1）考察下面集合的元素，并用列举法表示（课p12）

A=}10{的正约数为x x B=}15{的正约数为x x C=}1510{的正公约数与为x x

解答：A={1，2，5，10}，B={1，3，5，15}，C={1，5}

[说明]启发学生观察并发现如下结论：C 中元素是A 与B 中公共元素。

（2）用图示法表示上述集合之间的关系

2，10 1，5 3，15

2、概念形成

交集定义

一般地，由集合A 和集合B 的所有公共元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集。记作A ∩B （读作“A 交B ”），即：A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B}（让学生用描述法表示）。

交集的图示法

请学生通过讨论并举例说明。

3、概念深化

交集的性质（补充）

由交集的定义易知，对任何集合A ，B ，有：

A ∩A=A ，A ∩U=A ，A ∩φ=φ；②A ∩

B ?A ，A ∩B ?B ；③A ∩B=B ∩A ；④A ∩B ∩C=（A ∩B ）∩

C= A ∩（B ∩C ）；⑤A ∩B=A ?A ?B 。 4、例题解析

例1：已知}21{≤<-=x x A ，B=}02{<≤-x x ，求B A ?。(补充) 解：}01|{<<-=x x B A

[说明]①启发学生数形结合，利用数轴解题。②求交集的实质是找出两个集合的公共部分。例2：设A={x|x 是等腰三角形}，B={x|x 是直角三角形}，求

A ∩

B 。（补充）

解：A ∩B={x|x 是等腰三角形}∩{x|x 是直角三角形} ={x|x 是等腰直角三角形}

[说明]：此题运用文氏图，其公共部分即为A ∩B

例3：设A 、B 两个集合分别为{}

102),(=+=y x y x A ，}53),{(=-=y x y x B ，求A ∩B ，并且说明它的意义。（课本p11例1）解：?

???=-=+=?53102{

),(y x y x y x B A ={（3，4）}

[说明] B A ?表示方程组的解的集合，也可以理解为两条一次函数的图像的交点的坐标集合。例4（补充）设A={1，2，3}，B={2，5，7}，C={4，2，8}，求（A ∩B ）∩C ， A ∩（B ∩C ），A ∩B ∩C 。

解：（A ∩B ）∩C=（{1，2，3}∩{2，5，7}）∩{4，2，8}={2}∩{4，2，8}={2}； A ∩（B ∩C ）={1，2，3}∩（{2，5，7}∩{4，2，8}）={1，2，3}∩{2}={2}；A ∩B ∩C=（A ∩B ）∩C= A ∩（B ∩C ）={2}。

练习1.3（1）

1、概念引入

引例：考察下面集合的元素，并用列举法表示

A=02{=-x x }， B={}

03=+x x ， C=}0)3)(2({=+-x x x 答：A={}2， B={-3} ，C={2，-3}

[说明]启发学生观察并发现如下结论：C 中元素由A 或B 的元素构成。

2、概念形成

并集的定义：一般地，由所有属

于A 或属于B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B （读作“A 并B ”），即A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}

。

B A A B A ?

≠?≠??,B

A B A ?=?φ

=?B A

并集的图示法

,A B A ?≠?,B B A ?≠? ,B B A =? ,A B A ?

≠?,B B A ?≠

? ?

请学生通过讨论并举例说明。 3、概念深化

并集的性质（补）

①A ∪A=A ，A ∪U=U ，A ∪φ=A ；②A ?（A ∪B ），B ?（A ∪B ）；③A ∪B=B ∪A ；④A ∩B ?A ∪B ，当且仅当A=B 时，A ∩B=A ∪B ；⑤A ∪B=A ?B ?A.

[说明] 交集与并集的区别（由学生回答）（补）交集是属于A 且属于B 的全体元素的集合。并集是属于A 或属于B 的全体元素的集合。

x ∈A 或x ∈B 的“或”代表了三层含义：即下图所示。 4、例题解析

例5：设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A ∪B 。（补充）解：∴A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，

则A ∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}。

[说明] ①运用文恩解答该题。②用例举法求两个集合的并集，只需把两个集合中的所有元素不重复的一一找出写在大括号中即可。

例6：设A={a,b,c,d}，B={b ，d ，e ，f}，求A ∩B ,A ∪B 。（课本p12例2）

解：A ∩B={b,d}，则A ∪B={a,b,c,d,e,f }。

例7：设A={x|x 是锐角三角形}，B={x|x 是钝角三角}，求A ∪B 。（补充）解：A ∪B={x|x 是锐角三角形}∪{x|x 是钝角三角形}={x|x 是斜三角形}。例8：设A={x|-21或x<-1}，求A ∪B 。（课本P12例3）解：A ∪B=R

[说明] 本题是集合语言及运算与简单不等式相结合的问题，解题中应充分利用数形结合思想，体现抽象与直观的完美结合。

例9、已知A={x|x=2k, k ∈Z 或x ∈B}, B={x|x=2k-1, k ∈Z},求A ∪B 。（课本P12例4） [说明] 解题的关键是读懂描述法表示集合的含义。三、巩固练习：1.3（2）补充练习

1、设A={ x |-1< x <2}, B={ x |1< x <3}，求A ∪B.

解析:利用数轴，将A 、B 分别表示出来，则阴影部分即为所求.

解：将A={ x |-1< x <2}及B={ x |1< x <3}在数轴上表示出来，如图阴影部分即为所求。 A ∪B={ x |-1< x <2}∪{ x |1< x <3}={ x |-1< x <3}

2、A={1，3，x}，B={2

x ,1},且A ∪B={1，3，x}。求x ？

3、{0，1} ∪A={0，1，2}，求A 的个数？

4、A ={x|-2

1.交集、并集的概念；交集并集的求法；交集并集的基本性质，以及有关符号的正确使用.

2.求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，求两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示或利用韦恩图表示，有助于解题.

3、区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字出发去揭示、挖掘题设条件，进而用集合语言表示，从而解决问题。五、课后作业

1、书面作业：习题1.3----4,5,6,7,8,9

2、思考题：设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则“x ∈M 或x ∈P”是“x ∈M ∩P”的什么条件？（“x ∈M 或x ∈P”是“x ∈M ∩P ”的必要不充分条件）

3、思考题：设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又A ∩B={9},求实数m 的值.

解：∵A ∩B={9}，A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，∴2m-1=9或m2=9，解得m=5或m=3或m=-3. 若m=5，则A={-4，9，25}，B={9，0，-4}与A ∩B={9}矛盾；若m=3，则B 中元素m-5=1-m=-2，与B 中元素互异矛盾；

若m=-3，则A={-4，-7，9}，B={9，-8，4}满足A ∩B={9}.∴m=-3。六、教学设计说明

1、注重数形结合，从集合A 和B 的文氏图中引出交集、并集的概念在引出交集、并集的概念时，最好不要直接给出它们各自概念的含义，建议结合图形，启发学生从集合A 和集合B 的文氏图中，寻找它们之间的联系，学生较为容易接受，理解也较为深刻，为以后进行集合之间的交并运算打下基础。

2、注意交集、并集概念的符号语言表示，提高学生的数学语言表达能力。教材对于交集、并集的概念还给出

了它们各自的符号语言表示，① ②

即：

对于符号语言的表示要注意它们的区别和联系，抓住概念中的关键词“且”、“或”。

①中的“且”字，它说明的任一元素

都是A 与B 的公共元素。由此可知，

必是A 与B 的

公共子集，即：

。

②式中的“或”字的意义，“

”这一条件，包括下列三种情况：

，

，且（很明显，适合第三种情况的元素

构成的集合就是

）。还要注意，A 与B 的公共

元素在

中只出现一次。因此，

是由所有至少属于A ，B 两者之一的元素组成的集合。

由定义可知，A 与B 都是

的子集，联系到

都是A ，B 的子集，可得下面的关系式：

3、运用对比教学的方法，使学生区分交、并集的概念，能正确对集合之间求交与求并。教师在讲解了交集、

名

称交集

并集

定义由所有属于集合A 且属于集合B 的元

素所组成的集合，叫做A 与B 的交集。由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的

集合，叫做A 与B 的并集。

记号（读作“A 交B ”）（读作“A 并B ”）简而言之

A 与

B 的公共元素组成的集合即

且

A 与

B 的所有元素组成的集合即

或

图示（一般情形）

（阴影为

）

（阴影为

）

4、可是当补充用图示法（即文氏图）表示集合之间的关系的问题。用图示法表示集合之间的关系有两层意思：一方面给定一个集合或集合之间的运算关系，会用图示法（即维恩图）表示；另一方面给出一个维恩图，会用集合表示图中指定的部分（如阴影部分）。作一些这方面的引导和训练，既可加深对集合关系及运算的理解，又可提高学生数形结合的能力，还可不断培养正向思维和逆向思维的能力。

5、适当地运用集合关系进行简单推理。运用集合关系进行简单推理虽不是本节的教学要求，但对学有余力的学生不失为一种良好的思维训练，有助于提高抽象思维能力。

1．3(2)集合的运算（全集、补集）

一、教学内容分析

子集概念是本章在介绍了集合概念后，从讨论集合与集合之间的包含与相等的关系入手，给出子集的概念。而与这些子集相对应的某个确定的集合就是全集。

正确理解子集的概念有助于理解与子集有关的全集、补集的概念，由于学生是刚开始接触集合的符号表示，所以子集和真子集的符号要提醒学生注意这些符号的方向不要搞错。

补集的概念是在子集、全集的概念之后给出的，子集的概念是涉及两个集合之间关系，而补集是涉及三个集合之间的特定关系，在讲解补集概念时还可以加深子集的概念。

正确运用子集、补集的概念，是用集合观点分析、解决问题的重要内容，学好它们，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，更好地使用集合语言表述数学问题，更好地运用集合的观点研究、处理数学问题。因为学生在学习中接触了比较多的新概念，新符号，而这些概念，符号比较容易混淆，这些因素可能给学生学习带来困难，因此在教学中引进符号时，应说明其意义，强调本质区别在于个体与整体、整体与整体的关系，并通过例题、习题，使集合与元素的概念多次出现，结合错例分析，培养学生正确应用概念和使用术语、符号的能力。二、教学目标设计

了解全集与补集的意义；掌握补集符号“C U A ”，会求一个集合的补集；知道有关补集的性质。

三、教学重点与难点

四、教学流程设计

五、教学过程设计一、复习回顾

1、集合的子集、真子集概念、求法？

2、两个集合相等应满足的条件是什么？二、讲授新课 1、概念引入

回答下列问题

例:A={

班上所有参加足球队的同学} B={班上没有参加足球队的同学} U={全班同学}

那么U 、A 、B 三集合关系如何？

集合B 就是集合U 中除去集合A 之后余下来的集合。即图中阴影部分。 2、概念形成

? 全集定义

如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U 。 [说明]①在研究集合与集合之间关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合就是全集。②解决某些数学问题时，有时把实数集R 看作全集U ，有时把有理数集Q 看作全集U ，有时把正整数集合看作全集U 。

? 补集定义

一般地，设U 为全集，A 是U 的一个子集（即A ?U ），则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作CuA ，即CuA={x|x ∈u ，且x ?A}，读作“A 补”。（上图阴影部分即表示A 在U 中补集CuA 。）

? 举例说明：解决某些数学问题时，如果把实数集看作是全集U ，那么有理数集Q 的补集CuQ 就是全体无理数的集合。 3、概念深化补集的性质(补)

① A ∩CuA=φ ② A ∪CuA=U ③ Cu （CuA ）=A

[说明]A 的补集是相对于全集而言的，补集的叙述要完整，必须指明是在某个全集中的补集。 4、例题解析

例1、若U={2，3，4}，A={4，3}，则C U A=_________。例2：设U=R ，A={

}

21<≤x x ，写出CuA 。（课本P14例5）解：CuA={

}

21≥

[说明] ①通过例题巩固补集的概念，并养成“图解”的好习惯。②强调补集何时在端点处可以取得等号，何时不能取得等号。

例3：若集合A={}

2>x x ，当全集U 分别取下列集合时，写出CuA 。（补充） ① U=}{R x x ∈ ② U=}0{≥x x ③U=}2{≥x x (画数轴)

解：① CuA=}2{≤x x ② U=}20{<≤x x ③U=}2{=x x

[说明]补集是相对于某个确定全集而言的，因此讨论补集的前提就是全集是什么？全集不同，导致补集不同。例4：设U={a ，b ，c ，d ，e}，A={a ，b}，B={b ，c ，d}，

①

求CuA ∩CuB ，Cu(A ∩B)，Cu(A ∪B)，CuA ∪CuB(课本P14例5)

②从上述结论中，你发现有什么结论？（补）

③对任意的集合A ，B ，请你用集合的图示法说明是否有以上结论。（习题1.3（3）第2题）

[说明]①通过练习，引导学生发现如下结论：CuA ∩CuB=Cu(A ∪B),CuA ∪CuB=Cu(A ∩B) 。②结合实例及图示帮助学生理解结论。③提高符号表达能力。三、巩固练习

（1）U={高一（1）班的所有学生}，A={高一（1）班的女生}，B={高一（1）班的学生干部}，求A ，B ，B

A ?

的补集并说明其实际意义。（课本P15习题1.3（3））

(2) 若U={三角形}，B={锐角三角形}，则CuB= 。（3）若U={1，2，4，8}，A=?，则CuA= 。

（4）若U={1，3，a 2

+2a+1}，A={1，3}，CuA={5}，则a= 。 (5) 已知A={0，2，4}，CuA={-1，1}，CuB={-1，0，2}，求B= 。解答：

（1）：CuA={高一（1）班的男生}，CuB={高一（1）班的所有不是学生干部的学生}，Cu （B A ?）={高一（1）班所有除了学生干部的女生的同学} （2）：CuB={直角三角形或钝角三角形}。（3）：CuA=U

（4）：a 2

+2a+1=5；a=-1± （5）：利用文恩图，B={1，4}。

四、课堂小结

1、全集与补集的概念、全集与补集的表示。

2、能熟练求解一个给定集合的补集。

3、注重一些特殊结论在以后解题中应用。五、课后作业

1、课本P15 习题1.3——8，9，10

2、思考题：已知全集U={x },101N x x ∈≤≤,A={x },100为偶数x x ≤<

B={x },100为奇数x x ≤<,求)(B A C U ?的所有元素之积及)(B A C U ?的所有元素之和。六、教学设计说明

（1）从具体到抽象，从特殊到一般，充分利用图形的直观，引进概念、阐明概念的意义。全集、补集这些重要概念的教学，首先可以通过一些实例来引入，并分析它们各自所具有的特征，然后把它一般化，概括出定义。其次，可以充分利用文氏图的直观性，形象地说明全集、补集，这样处理，学生对这些概念就容易接受，而且还可以通过对图形的观察，发现这些概念所具有的某些重要性质。

（2）概念、术语的意义要讲清，语言表述要确切；例如，“ U A 是A 在全集U 中的补集”，不能把它简单地说成 U A 是A 的补集，因为补集的概念是相对而言的，集合A 在不同的全集中的补集是不同的，所以在描述补集概念时，一定要注明是在哪个集合中的补集，简单的说集合A 的补集是没有意义的。（3）要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用。

本单元中引进的数学符号、记号比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在每一符号引进时，说明其意义，配备适当的例题、习题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地运用这些符号。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 举例如下，请同学们思考其结果。填充：

⑴若S={2，3，4}，A={4，3}，则C S A=_________。 ⑵若S={三角形}，A={锐角三角形}，则C S B=_________。 ⑶若S={1，2，4，8}，A=φ，则C S A=_________。

⑷若U={1，3，a 2

+2 a +1}，A={1，3}，则C u A={5},则a =_______。 ⑸已知A={0，2，4}，C u A ={-1，1}，则C S B={-1，0，2}，求B=_______。 ⑹设全集U={2，3，m 2

+2 m -3}，A={|m+1|,2}，则C u A=5,求m= _______。 ⑺设全集U={1，2，3，4}，A={ x | x 2

-5 x +m=0，x ∈ U}，求C U A 、m 。评析：

例⑴解：C S A={2}

主要是比较A 及S 的区别。

例⑵解：C S B={直角三角形或钝角三角形}

注意三角形分类

例⑶解：C S A=S 空集的定义运用例⑷解：a 2

+2 a +1=5，a =-1± 5 利用集合元素的特征。

例⑸解：利用文恩图由A 及C u A 先求U={-1，0，1，2，3}，再求B={1，4} 例⑹解：由题m 2

+2 m –

3=5且|m+1|=3 解之m=4或m=2 例⑺解：将x =1，2，3，4代入 x 2

-5 x +m=0中，得m=4或m=6 当m=4时，x 2

-5 x +4=0，即A={1，4} 当m=6时，x 2

-5 x +6=0，即A={2，3}

故满足条件：即C U A ={1，4}，m=4；C U B={2，3}，m=6。此题解决过程中渗透分类讨论思想。课堂练习：课本P 10练习1、2。

1.4 (1)命题的形式及等价关系

一、教学内容分析

命题的有关概念在初中平面几何中已学过，本章在此基础上对命题作较深入的研究，特别强调要确定命题真假都必须证明。举反例既可以确定一个命题是假命题，同时它又是一个重要的数学思想。

推出关系是数学证明中最重要的逻辑关系。教材用比较通俗的说法给出了推出关系的意义及符号。教材介绍了四种命题的构成及等价命题的概念，这给我们今后证明一个命题为真（假）命题可转化该命题的等价命题（通常是逆否命题）为真（假）命题提供了理论依据。

本小节首先从初中数学的命题知识入手，给出推出关系，等价关系的概念，接着，讲述四种命题的关系，最后，在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法。二、教学目标设计

理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；知道推出关系的概念，理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；掌握等价关系的概念，初步掌握反证法。三、教学重点及难点

理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据。四、教学用具准备：多媒体五、教学流程设计

六、教学过程设计一、复习回顾

在初中，我们已学过命题，真命题，假命题。假命题：错误的命题。

命题 “全等三角形的面积相等”的条件与结论各是什么？本节将进一步研究命题与其有关的命题的概念。

[说明]通过学生回顾以前的知识，唤起他们原有认知结构中的知识结点，从而为下面的要学习的一些下位概念的同化和顺应提供最近发展区。二、讲授新课 1．命题

例1：下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（课本例题）

1.个位数是5的自然数能被5整除；

2.凡直角三角形都相似；

3.上课请不要讲话；

4.互为补角的两个角不相等；

5.你是高一学生吗？

解：1.真命题：它可以写成10k+5的形式（k 是非负整数），而10k+5=5（2k+1），所以10k+5能被5整除。

2.假命题：取三个角分别是900

、450

的直角三角形，它与三个角分别是900

、600

、300

的直角三

角形不相似。

3.不是命题不是判断语句。

4.假命题：取一个角为900，另一个角也为9000，它们是互补的，但它们相等了.

5.不是命题是疑问句，不是表示判断的陈述句。结论：①命题必定由条件与结论两部分组成。

②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可）

[说明]：构造反例有时候很不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段。

③真命题的确定：作出证明，方法

[说明]:反证法既是一种重要的数学思想,也是命题证明的一种方法. 2、推出关系：

一般地，如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α?β表示，读作“α推出β”。换言之，α?β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。

例2：设α表示“两个角是对顶角”，β表示为“两个角相等”，问能用“?”表示α、β之间关系吗？（补充例题）

解：α?β关系成立，但反过来不行。

例3：在下列各题中，用符号“?”或“?”把α、β这两件事联系起来。（补充例题） 1. α：实数x 满足92

=x ，β：3=x 或3-=x 。（“α?β”）

2. α：U B A = ，β：U B U A ==或（U 为全集）。（“α?β”）

3. α：B A ?，β：A B A = 。（“α?β”）

4. α：0=ab ，β：0=a 。（“β?α”） 3、α与β等价：

如果α?β，β?α，那么记作βα?，叫做α与β等价 4、传递性：α?β，β?γ，则α?γ 三、巩固练习：课本P/17 练习1.4（1）——1，2 四、课堂小结：

本节课主要介绍了真假命题判断的方法及命题的推出关系. 五、作业布置：

1、书面作业：P/20，习题1.4——1

2、拓展作业：在下列各题中，用符号“?”或“?”或“?”把α、β这两件事联系起来：

（1） α：x 适合方程0652

=+-x x ，β：3x 2==或x ；（2） α：3x -=，β：3=x ；

（3）

α：B A ?，β：B B A = ；

（4） α：集合N M =，β：A N N M =。

六、教学设计说明（1）命题的有关概念在初中平面几何中已经学过,因此可以通过具体的例子帮助学生回顾旧知,为以后进一步研究命题做好铺垫。在推出关系的教学中,要强调命题的条件和结论,要结合并集的概念强调“或”的三层含义。

（2）理解推出关系具有传递性，为以后学习充要条件做好准备。（3）要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用。

???

???同一法反证法间接证明

直接证明

本单元中引进的数学符号、记号比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在每一符号引进时，

说明其意义，配备适当的例题、习题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地运用这些符号。

1.4 (2)命题的形式及等价关系

一、教学内容分析

教材介绍了四种命题的构成及等价命题的概念，这给我们今后证明一个命题为真（假）命题可转化该命题的

等价命题（通常是逆否命题）为真（假）命题提供了理论依据。

本小节由命题条件的改变、结论的改变，构成四种命题形式：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。接着，

通过具体的例题练习讲述四种命题的关系，最后，给出等价命题的定义，提供了一种证明的方法，并通过具体

的例题给出反证法。

二、教学目标设计

（1）理解四种命题的概念；

（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；

（3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；

（4）初步掌握反证法的概念，进一步领会分类、判断、推理的思想方法。

三、教学重点及难点

理解四种命题的关系；体会反证法的理论依据。

四、教学用具准备多媒体教室

五、教学流程设计

六、教学过程设计

一．复习提问：

（1）什么是命题？什么是真命题？什么是假命题？

（2）语句“内接于圆的四边形对角互补”是否是命题？

（3）命题

二．讲授新课：

关于四种命题

1、概念引入

在命题“内接于圆的四边形对角互补”中，条件是“内接于圆的四边形”，结论是“四边形的对角互补”。如果我们把以上命题作以下变化：

（1）如果把命题中的结论“四边形的对角互补”作为条件，把命题中的条件“内接于圆的四边形”作为结论，则得到了新命题“对角互补的四边形内接于圆”。

我们把原来命题中的结论作为条件，原来命题中的条件作为结论所组成的新命题叫做原来命题的逆命题。并且它们互为逆命题。

（2）如果将命题的条件和结论都换成它们的否定形式，即条件是“四边形不内接于圆”，结论是“四边形对

角不互补”，那么就可得到一个新命题：“不内接于圆四边形对角不互补”。

像这种将命题的条件与结论同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。并且新命题与原来的命题互为

否命题。

（3）如果将命题的条件和结论互换并取原来的否定形式，即条件是“四边形对角不互补”，结论是“四边形

不内接于圆”，那么就可得到一个新命题：“对角不互补的四边形不内接于圆”。

像这种将命题的条件与结论互换并同时否定而得到的新命题叫做原来命题的否命题。并且新命题与原来的命

题互为否命题。

2、概念形成

由以上例子归纳出四个命题的一般形式：互逆

原命题： βα，那么如果逆命题： αβ，那么如果否命题： βα，那么如果逆否命题：αβ，那么如果并在四种命题之间的相互关系如下： 3、概念运用（例题分析）

例1：试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假。（课本例题）命题A ：如果两个三角形全等，那么它们面积相等；

命题B ：如果一个三角形两边相等，那么这两边所对的角也相等。

（过程略）

[说明] 我们从以上的实例中发现：原命题与逆否命题是同真同假的；逆命题与否命题是同真同假的。我们可以用证明一个命题的逆否命题来证明原命题。 4、巩固练习课本P19，练习1.4(2) 5、概念深化（拓展练习）

写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假性。（补充） ①负数的平方是正数； ②正方形的四条边相等； ③若a=0，则ab=0； ④若a=b ，则ac=bc ； ⑤全等三角形一定相似；

⑥末位数字是零的自然数能被5整除； ⑦对顶角相等；

⑧过半径的端点不与半径垂直的直线，不是这个圆的切线；

[说明] 1、原命题为真，它的逆命题不一定为真。2、原命题为真，它的否命题不一定为真。3、原命题为真，

1、概念引入（见上）

2、概念形成

如果A ,B 是两个命题，A B B A ??,，那么A ,B 叫做等价命题。

3、概念运用

已知BD 、CE 分别是ABC ?的B ∠，C ∠的角平分线，CE BD ≠。求证：AC AB ≠。（课本P19）（过程略）

[说明]1、反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。

2、反证法证题的步骤（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 4、巩固练习

课本P20，练习1.4(3) 三、课堂小结：

1、四种命题的概念及形式

2、四种命题之间的关系及同真同假性。

四种命题的真假关系：原命题为真

四、作业布置课本P20，习题1.4—2，4，8，10。

五、教学设计说明

1）由命题的条件、结论的改变，构成四种命题形式：原命题、逆命题、否命题和逆否命题。四种命题形式的构成虽然不难理解，但给出一种命题形式，要正确写出它的另外三种命题形式却不容易。解决这个难点

的关键是分清命题的条件和结论。必要时可先将命题改写成“如果…，那么…”的形式。

2）另外，在写一个已知命题的否命题或逆否命题时，要把一个断语α正确地变成它的否定断语

-α，初

学者在这些地方时常出错。一般地，“是”的否定断语为“不是”；“>”的否定断语为“≤”；“≥”的否定断语为“<”；“都是”的否定断语为“不都是”或“至少有一个不是”；等等。具体解题时，不要生搬硬套，要仔细思考，以保正确。

1.5 （1）充分条件与必要条件

一、教学目标设计

通过实例理解充分条件、必要条件的意义。

能够在简单的问题情境中判断条件的充分性、必要性

二、教学重点及难点

充分条件、必要条件的判断；充分条件、必要条件

三、教学流程设计

四、教学过程设计

一、概念引入

早在战国时期，《墨经》中就有这样一段话“有之则必然，无之则未必不然，是为大故”“无之则必不然，有之则未必然，是为小故”。

今天，在日常生活中，常听人说：“这充分说明……”，“没有这个必要”等，在数学中，也讲“充分”和“必要”，这节课，我们就来学习教材第一章第五节——充分条件与必要条件。

二、概念形成

1、首先请同学们判断下列命题的真假

(1)若两三角形全等，则两三角形的面积相等。

(2)若三角形有两个内角相等，则这个三角形是等腰三角形。

(3)若某个整数能够被4整除,则这个整数必是偶数。

(4) 若ab=0，则a=0。

解答：命题（2）、（3）、（4）为真。命题（4）为假；

2、请同学用推断符号“?”“?”写出上述命题。

解答：（1）两三角形全等?两三角形的面积相等。

(2) 三角形有两个内角相等?三角形是等腰三角形。

（3）某个整数能够被4整除?则这个整数必是偶数；

（4）ab=0 ? a=0。

3、充分条件与必要条件

继续结合上述实例说明什么是充分条件、什么是必要条件。

若某个整数能够被4整除?则这个整数必是偶数中，我们称“某个整数能够被4整除”是“这个整数必是偶数”的充分条件，可以解释为：只要“某个整数能够被4整除”成立，“这个整数必是偶数”就一定成立；而称“这个整数必是偶数”是“某个整数能够被4整除”的必要条件，可以解释成如果“某个整数能够被4整除”成立，就必须要“这个整数必是偶数”成立

? 充分条件：一般地，用α、β分别表示两件事，如果α这件事成立，可以推出β这件事也成立，即α?β，那么α叫做β的充分条件。[说明]：①可以解释为：为了使β成立，具备条件α就足够了。②可进一步解释为：有它即行，无它也未必不行。③结合实例解释为： x = 0 是 xy = 0 的充分条件，xy = 0不一定要 x = 0.）

? 必要条件：如果β?α，那么α叫做β的必要条件。

[说明]：①可以解释为若β?α，则α叫做β的必要条件，β是α的充分条件。②无它不行，有它也不一定

行③结合实例解释为：如 xy = 0是 x = 0的必要条件，若xy ≠0，则一定有 x ≠0；若xy = 0也不一定有 x = 0。回答上述问题（1）、（2）中的条件关系。

（1）中：“两三角形全等”是“两三角形的面积相等”的充分条件；“两三角形的面积相等”是“两三角形全等”的必要条件。

（2）中：“三角形有两个内角相等”是“三角形是等腰三角形”的充分条件；“三角形是等腰三角形”是“三角形有两个内角相等”的必要条件。 4、拓广引申

把命题：“若某个整数能够被4整除,则这个整数必是偶数”中的条件与结论分别记作α与β，那么，原命题与逆命题的真假同α与β之间有什么关系呢？关系可分为四类：

（1）充分不必要条件，即α?β,而β?α; (2)必要不充分条件，即α?β,而β?α; (3)既充分又必要条件，即α?β，又有β?α; (4)既不充分也不必要条件，即α?β，又有β?α。三、典型例题（概念运用）

例1：（1）已知四边形ABCD 是凸四边形，那么“AC=BD ”是“四边形ABCD 是矩形”的什么条件？为什么？（课本例题p22例4）

（2）""y x =是""2

y x =的什么条件。（3）“a+b>2”是“a>1,b>1”什么条件。

解：（1）“AC=BD ”是“四边形ABCD 是矩形”的必要不充分条件。（2）充分不必要条件。（3）必要不充分条件。

[说明]①如果把命题条件与结论分别记作α与β，则既要对“α?β”进行判断，又要对“β?α”进行判断。②要否定条件的充分性、必要性，则只需举一反例即可。

例2：判断下列电路图中p 与q 的充要关系。其中p ：开关闭合；q ：灯亮。（补充例题）

[说明]①图中含有两个开关时，p 表示其中一个闭合，另一个情况不确定。②加强学科之间的横向沟通，通过图示，深化概念认识。

例3、探讨下列生活中名言名句的充要关系。（补充例题）（1）头发长，见识短。（2）骄兵必败。

（3）有志者事竟成。（4）春回大地，万物复苏。（5）不入虎穴、焉得虎子（6）四肢发达，头脑简单

[说明]通过本例，充分调动学生生活经验，使得抽象概念形象化。从而激发学生学习热情。四、巩固练习1、课本P/22——练习1.5（1） 2：填表（补充）

[说明]通过练习，及时巩固所学新知，反馈教学效果。

五、课堂小结

1、本节课主要研究的内容：

推断符号?，?

充分条件的意义命题充分性、必要性的判断。

必要条件的意义

2.充分条件、必要条件判别步骤：①认清条件和结论。

②考察和的真假。

3、充分条件、必要条件判别技巧：①可先简化命题。②否定一个命题只要举出一个反例即可。

③将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

六、课后作业书面作业：课本P/24习题1.5——1，2，3。

七、教学设计说明

1、充分条件、必要条件以及下节课中充要条件与集合的概念一样涉及到数学的各个分支，用推出关系的形式给出它的定义，对高一学生只要求知道它的意义，并能判断简单的充分条件与必要条件。

2、由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念。

3、教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念。

4、由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键。教学中始终要注意以学生为主，结合相关学科及学生生活经验让学生在自我思考、相互交流中去给概念“下定义”，去体会概念的本质属性。

1.5（2）充分条件，必要条件（充要条件）

一、教学目标设计

理解充要条件的意义,能在简单的问题情境中判断条件的充分必要性；掌握判断命题的条件的充要性的方法；在充要条件的学习过程中，形成等价转化思想。

二、教学重点与难点

理解充要条件意义及给定两个命题之间的等价（充要）关系的判断既是本节重点，也是本节难点。

三、教学流程设计

四、教学过程设计一、复习引入

问：一个命题条件的充分性和必要性可分为四类，有哪四类？

答：充分不必要条件；必要不充分条件；既充分又必要条件；既不充分也不必要条件。练习：判断下列各命题条件的充分性和必要性 (1)若x>0则x 2

>0（充分不必要条件）。

(2)若两个角相等，则两个角是对顶角。（必要不充分条件）。(3)若三角形的三条边相等，则三角形的三个角相等。(充分必要条件)

(4)若x 是4 的倍数，则x 是6的倍数（既不充分又不必要条件）（5）若a ，b 为实数，b a =，则2

2b a =。(充分必要条件) 二、概念形成

1、结合问题进行说明：命题（3）中：因为三角形的三条边相等?三角形的三个角相等，所以“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充分条件；又因为三角形的三个角相等?三角形的三条边相等，所以“三角形的三条边相等”又是“三角形的三个角相等”的必要条件。因此“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”既充分又必要的条件。

2、充要条件定义

一般地，如果既有α?β，又有β?α，就记作：α?β（“?”叫做等价符号），那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件，我们称为α是β的充分而且必要条件，简称充要条件。

[说明] ①可以解释为α?β，α与β互为充要条件。②可以进一步解释为：有它必行，无它必不行。③可以结合实例解释为：如|x| = |y|与x 2 = y 2互为充要条件，即若|x|=|y|，则一定有 x 2 = y 2；若|x|≠|y|，则一定有x 2 ≠ y 2。

三、概念运用与深化（例题解析）

例1：指出下列各组命题中，α是β的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？（补充例题）（1）α：(x-2)(x-3)=0；β：x-2=0. （2）α：同位角相等；β：两直线平行。（3）α：x=3； β：x 2

=9。

（4）α：四边形的对角线相等；β：四边形是平形四边形。解：（1）因x-2=0 ?(x-2)(x-3)=0,而: (x-2)(x-3)=0?x-2=0. 所以α是β的必要而不充分条件。

（2）因同位角相等?两直线平行，所以α是β的充要条件。（3）因x=3?x 2

=9,而x 2=9?x=3，所以α是β的充分而不必要条件。

（4）因四边形的对角线相等?四边形是平行四边形，又四边形是平四边形?四边形的对角线相等。所以α是β的既不充分也不必要条件。

[说明]①可组织学生通过讨论解答各题。②等价关系与推出关系一样具有可传递性，充要条件间的关系即等价关系，可通过多次等价关系传递性得证，这也是证明充要条件问题的一种基本方法。

例2：已知实系数一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ），“042=-a

c b ”是“方程02

=++c bx ax 有两个相等的实数根”的什么条件？为什么？（课本例题P21例5）

解：方程02

=++c bx ax 变形为 224()24b b ac

x a a

. ∵042

=-ac b ∴a

x x 221-

== ∴“042

=-ac b ”是“方程02

=++c bx ax 有两个相等的实数根”的充分条件。反过来，方程02

=++c bx ax 有两个相等的实数根21x x =，那么根据方程根与系数关系得

???

=?-==+a c x x x a b x x x 2121121

22 ∴042=-ac b

∴“042=-ac b ”是“方程02

=++c bx ax 有两个相等的实数根”的必要条件。

综上所述“042=-ac b ”是“方程02

=++c bx ax 有两个相等的实数根”的充要条件。 [说明]充分性证明：条件?结论；必要性证明：结论?条件。四、巩固练习

课本P/22——练习1.5（2）1，2 补充练习

1、判断下列各命题条件是否是充要条件：

(1)x 是6的倍数，则x 是2的倍数。（充分不必要条件） (2)x 是2的倍数，则x 是6的倍数。（必要不充分条件） (3)x 既是2的倍数也是3的倍数，则x 是6的倍数。(充要条件) (4)x 是4的倍数，则x 是6的倍数。（既不充分又不必要条件）

五、课堂小结内容小结

本节课的主要内容是“充要条件”的判定方法，即如果α?β，又有β?α，则α是β的充要条件。方法小结：如何判断充要条件判别步骤：

① 认清条件和结论。② 考察p ?q 和q ?p 的真假。判别技巧：

① 可先简化命题。② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。六、课后作业

1、书面作业：习题1.5 ----4,5,6,7,8,9 3、思考题：设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则“x ∈M 或x ∈P”是“x ∈M ∩P”的什么条件？（“x∈M 或x ∈P”是“x ∈M ∩P ”的必要不充分条件）七、设计说明

1．在理解充要条件意义时，应明确若α是β的充要条件，则β也是α的充要条件。

2．由于“充要条件”与“原命题、逆命题、否命题、逆否命题”紧密相关。而学生在这之前已经学习了原命题与逆否命题、否命题与逆命题是等价的。为此，在实际教学中，可通过等价命题进行判断。

3．回答α是β的什么条件时，应从α是β的充分但不必要条件，必要但不充分条件，充要条件，即不充分又不必要条件4个方面进行明确叙述。

4．由于这节课概念性、理论性较强。一般的教学使学生感到枯燥无味。为此，激发学生的学习兴趣是关键。把课堂由老师当演员转为学生当演员，以学生为主，让学生自己构造数学题，自我感知数字美，从而培养学生的数学能力。

1.6 子集与推出关系

一、教学内容分析

《子集与推出关系》是上海市新课程改革推行以来，试验本教材中新增加的一节教学内容，它安排在第

一章的最后一节，以往上海的教材中是没有这部分内容的。这节内容的增加对第一章中集合、条件推出等知识作了一个系统的整合，使教学内容更为完善，也让学生初步了解了集合知识在现代数学中的重要作用。二、教学目标

1、理解集合的包含关系与推出关系的等价性，并掌握用集合间的包含关系进行推理的方法；

2、逐步形成逻辑思维能力及等价转化思想，了解集合知识的广泛应用性；

3、进一步树立辩证唯物主义观点，增强热爱家乡，热爱祖国的民族情感。三、教学重点及难点

教学重点：集合间的包含关系与推出关系的理解与运用教学难点：子集与推出关系等价性四、教学过程设计

一、课程引入 1．复习充分、必要条件 2．引例：

用“?”，“?”，“?”，“?”填空：

(1)｛x x 是奉贤人｝________｛x x 是上海人｝我是奉贤人 ________ 我是上海人 (2)x>5 ________ x>3 {x|x>5} ________ {x|x>3} (3){x|x 2

=1}_______{x|x=1} x 2

=1 _______ x=1 3．讨论

从上述引例中，子集与推出关系有怎样的联系？

我们可以发现，将符合具有性质α的元素的集合记为A ，将符合具有性质β元素的集合记为B ，若A ?B ，则α?β；反之，若α?β，则A ?B 。二、学习新课 1。概念辨析

(1)定义：子集与推出关系是指集合的包含关系与集合性质的推出关系。 (2) 一般地，证明：

①充分性（“A ?B ”?“α?β” ） ②必要性（“α?β”?“A ?B ” ） (3)进一步剖析引例中的条件关系。 2. 例题分析

例1：请同学们四人一组，每人举出α、β，然后利用集合与推出关系共同讨论α是β的什么条件？(学生自行给出，小组研究) 结论：

(1) A ?B ?α是β的充分条件；

(2) A ?B ?α是β的必要条件； (3)

A B ?α是β的充分非必要条件； (4) A B ?α是β的必要非充分条件；

≠?

高中数学必修一集合的基本运算教案

数学汇总第一章集合与函数概念教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；【知识点】 1. 并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ）记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示：说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集 A B A(B) A B B A A ∪B B A ?

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集 3. 补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集，记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示 A U C U A 说明：补集的概念必须要有全集的限制 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （ C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B ¤例题精讲：【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求e. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤ ， (){|1,9U C A B x x x =<-≥ 或，【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()A B C ；（2）()A A B C e. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ . （1）又{}3B C = ，∴()A B C = {}3；（2）又{}1,2,3,4,5,6B C = ， A B B A -1 3 5 9 x

新课标高一数学人教版必修1教案全集

课题：§1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。阅读课本P-P内容 23二、新课教学（一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 3. 思考1：课本P的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，3对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 5. 元

上海市上海中学高一数学上学期期中试卷(含解析)

上海市上海中学高一数学上学期期中试卷（含解析）一、选择题（本大题共4小题） 1.已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解：，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 2.已知实数x，y，则“”是“”的（） A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】找出与所表示的区域，再根据小范围推大范围可得结果．【详解】表示的区域是以为顶点的正方形及内部，表示的区域是以为圆心，1为半径的圆及内部，正方形是圆的内接正方形，，推不出， “”是“”的充分而不必要条件．故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了不等式组表示的区域，考查了推理能力，属于中档题． 3.设，，且，则（）

A. B. C. D. 以上都不能恒成立【答案】A 【解析】【分析】利用反证法可证得，进而由可得解. 【详解】利用反证法：只需证明，假设，则：所以：，但是，故：，，．所以：与矛盾．所以：假设错误，故：，所以：，故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：反证法的应用，关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型． 4.对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（） A. 是的零点 B. 1是的极值点 C. 3是的极值 D. 点在曲线上【答案】A 【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所

高一数学上册全册教案

高中数学新人教必修一全套学案 §1.1集合（1）一、知识归纳： 1、集合：某些的对象集在一起就形成一个集合，简称集。元素：集合中的每个叫做这个集合的元素。 2、集合的表示方法???描述法：列举法： 3、集合的分类?? ? ??空集：无限集：有限集：二、例题选讲：例1、观察下列实例： ① 小于11的全体非负偶数； ②整数12的正因数； ③抛物线12 +=x y 图象上所有的点； ④所有的直角三角形； ⑤高一（1）班的全体同学； ⑥班上的高个子同学；回答下列问题： ⑴哪些对象能组成一个集合.⑵用适当的方法表示它.⑶指出以上集合哪些集合是有限集. 例2、用适当的方法表示以下集合： ⑴平方后及原数相等的数的集合；⑵设b a ,为非零实数， b b a a + 可能表示的数的取值集合； ⑶不等式62

高中数学必修五全套教案(非常好的)

（第1课时）课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1 = 来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系

2016-2017年上海市上海中学高一上期中数学试卷

上海中学高一期中数学卷 2016.11 一. 填空题 1. 设集合{0,2,4,6,8,10}A =，{4,8}B =，则A C B = 2. 已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =I 3. “若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是 4. 若2211()f x x x x +=+ ，则(3)f = 5. 不等式9x x >的解是 6. 若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是 7. 不等式2(3)30x --<的解是 8. 已知集合{|68}A x x =-≤≤，{|}B x x m =≤，若A B B ≠U 且A B ≠?I ，则m 的取值范围是 9. 不等式1()()25a x y x y ++ ≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 10. 设0a >，0b >，且45ab a b =++，则ab 的最小值为 11. 已知二次函数22 ()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围是 12. 已知0a >，0b >，2a b +=，则22 21 a b a b +++的最小值为二. 选择题 1. 不等式||x x x <的解集是（） A. {|01}x x << B. {|11}x x -<< C. {|01x x <<或1}x <- D. {|10x x -<<或1}x > 2. 若A B ?，A C ?，{0,1,2,3,4,5,6}B =，{0,2,4,6,8,10}C =，则这样的A 的个数为（） A. 4 B. 15 C. 16 D. 32 3. 不等式210ax bx ++>的解集是11 (,)23 -，则a b -=（） A. 7- B. 7 C. 5- D. 5 4. 已知函数2 ()f x x bx =+，则“0b <”是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等” 的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

高一数学教案人教版

高一数学教案人教版【篇一：人教版高中数学必修3全册教案】教育精品资料按住ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放按住ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放第一章算法初步??????????????11.1算法与程序框图???????????????2 1.1 算法与程序框图（共3课时） 1.1.1 算法的概念（第1课时）【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点； 2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想； 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法【教学难点】用自然语言描述算法【教学过程】一、序言算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力. 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想. 二、实例分析例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解：第一步：把水注入电锅；第二步：打开电源把水烧开；第三步：把烧开的水注入热水瓶. （以上算法是解决某一问题的程序或步骤）

高中数学必修一教案全套

高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020.

『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念课题：§1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于” 关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8 月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。阅读课本 P-P内容二、新课教学（一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 ——————————————第 1 页（共 70页）——————————————

2020年人教版高中数学必修一全套精品教案(完整版)

2020年人教版高中数学必修一全套精品教案（完整版）第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点

重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形；

(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560 -+=的所有实数根； x x (8)不等式30 x->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数；

新人教版高中数学必修一全套教案

第一章集合与函数概念 §1．1集合 1.1.1集合的含义与表示（第一课时）教学目标：1.理解集合的含义。 2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。 3.熟记有关数集的专用符号。 4.培养学生认识事物的能力。教学重点：集合含义教学难点：集合含义的理解教学方法：尝试指导法教学过程：引入问题（I）提出问题问题1：班级有20名男生，16名女生，问班级一共多少人？问题2：某次运动会上，班级有20人参加田赛，16人参加径赛，问一共多少人参加比赛？讨论问题：按小组讨论。归纳总结：问题2已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述（板书标题）。复习问题 x-< 问题3：在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有理数的集合，不等式73的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等）。（II）讲授新课 1．集合含义通过以上实例，指出：（1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。（2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。问题4：由此上述例中集合的元素分别是什么？ 2. 集合元素的三个特征

由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征：（1）确定性：设A 是一个给定的集合，a 是某一具体的对象，则a 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种而且只有一种成立。如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋） “中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P 周围的点”一般不构成集合元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) 若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A ，记作a ∈A ；若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ?A 。如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32?A.(请学生填充)。（2）互异性：即同一集合中不应重复出现同一元素。说明:一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此,以后提到集合中的两个元素时,一定是指两个不同的元素. 如:方程(x-2)(x-1)2 =0的解集表示为{1,-2 },而不是{ 1,1,-2 } （3）无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列，调换. 。 3.常见数集的专用符号（III ）课堂练习（IV ）课时小结 1.集合的含义； 2.集合元素的三个特征中，确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集合的表示，无序性可用于判定集合的关系。

2020上海中学高一下期中数学

微信号：JW2215874840或ross950715或Soulzbb 上海中学 2019-2020 学年高一下期中考试一、填空题（每空3分,共30分） 1.已知点A (2,-1)在角α的终边上,则sin α=__________. 2.函数sin(2)y x π=+的最小正周期是________. 3．一个扇形半径是2,圆心角的弧度数是2,则此扇形的面积是________. 4.已知函数[]()sin (0,)f x x x π=∈和函数1()tan 2 g x x = 的图像交于A 、B 、C 三点,则△ABC 的面积为________. 5.在平面直角坐标系xoy 中,角α与角β都以x 轴正半轴为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3 α= ,则cos()αβ-=__________.6.已知3sin()45x π-=,则sin 2x =__________.7.设(),0,x y π∈，且满足2222sin cos cos cos sin sin 1sin() x x x y x y x y -+-=+，则x y -=_____.8.我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”,用现代式子表示即为：在△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、,c 则△ABC 的面积 S =.根据此公式，若cos (3)cos 0a B b c A ++=,且2222a b c +-=,则△ABC 的面积为_______. 9.若函数()2sin(2)1()6f x x a a R π=++-∈在区间0,2π?????? 上有两个不同的零点12,x x ,则12x x a +-的取值范围是__________. 10.已知函数sin ()cos m f ααα-=在(0,2 π上单调递减,则实数m 的取值范围是________.二、选择题（每题4分,共24分） 1.已知cos ,(1,1),(,)2k k πααπ=∈-∈,则sin()πα+=( ) A. C. D.1k -

高一数学下册教学总结

2019-2019学年高一数学下册教学总结今年我担任高一两个班的数学课。这我第一次带高一，所以在教学上，我花了较多的时间钻研教材，弄清教材的重点和难点，尽可能的用形象的语言化难为易。我教的班学生的基础较差，要让他们的成绩有所提高，不是一件很容易的事，这让我感觉压力较大，但是我没有丝毫的退缩，反而这些压力给了我动力。这一学期的时间过得是忙忙碌碌，但感觉很充实，也有一些收获和感受。自己在业务知识水平、教学能力、师德品质等方面都有了一定的提高，学生的成绩比起去年来有了一定的进步，但还没有达到我的目标。现从以下四个方面谈谈近一年来的情况。一、我坚持正确的政治方向，拥护党的领导。认真学习邓小平理论、党的十五大报告、《第三次全国教育会议精神》、江总书记的“三个代表”理论，不断加强自身的政治理论修养。热爱教育事业，积极贯彻党的教育方针，认真学习全教会精神。严格遵守《中小学教师职业道德规范》、《中小学教师日常行为规范》，把热爱教育事业，热爱学生的职业道德融为一体，努力完成教书和育人的双重任务。二、我平时加强理论学习。理论来源于实践，然而实践离不开理论的指导。今年我继续加强教育理论学习，相继学习了《课堂教学论》、《现代教育技术》，常去翻阅《中学教学研究》、《数学教育学》等书籍，学习杜威、夸美纽斯、马卡连柯、陶行知等一大批教育家的教育理论。经过学习，我对教学方法更加重视和讲究，注意发挥学生的主体性，发动学生主体积极参与教学过程，探讨启发式教学的有效形式，以“问题”作为数学的教学起点，顺应学生的思维方式进行教学。尽管如此，理论水平还远远不够，以后我更要加强理论学习和理论研究。在教学活动的设计中，发觉以概念作为教学的起点的方法，与数学思维活动的顺序相反，丝毫引不起学生的学习数学的兴趣。因此在教学中采用多种形式的教学，提高学生学习数学的兴趣。三、我能遵守学校的各项规章制度，积极参加学校组织的各项活动。踏踏实实、认认真真地搞好日常教学工作的环节：精心备课，认真上课，仔细批改作业，并认真评讲，积极做好课外辅导和补差工作。在教学工作中，我能积极贯彻素质教育方针，把提高素质，发展能力放在首位。因为我们的学生底子较差，课前、课后、课上的效率都不太高，针对这种情况，课堂教学我采用多种教学形式，尽量的将一些枯燥无味的东西讲得形象生动一些，提高他们学习数学的兴趣。最高兴的就是听到学生说他现在开绐对数学有兴趣了。四、几点反思很遗撼的是：这一年我们班的成绩上升得不快。我对此分析出几点原因： (1)由于底子薄，而我有时上课选的例题难度系数比较大，他们难以接受; (2)难度大了，就忽略了基础知识的掌握，所以学生学得不够踏实。 (3)虽然改了以往的只讲思路，不讲过程的情况，上课能够将详细的解题过程写出，但学生在听课时只顾着做笔记，没有听讲解方法，以至于思想方法不理解，就不能举一反三了。 (4)学生对教师的依赖性太大，动手能力差，遇到问题不去思考，不去分析，更别谈进行逻缉推理。

高中数学必修1全套教案

人教版高中数学必修1 全册教案目录第一章集合与函数概念 §1.1.1集合的含义与表示 §1.1.2集合间的基本关系 §1.1.3集合的基本运算 §1.2.1函数的概念 §1.2.2映射 §1.2.2函数的表示法 §1.3.1函数的单调性 §1.3.1函数的最大（小）值 §1.3.2函数的奇偶性第二章基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1指数（2） §2.1.1指数（3） §2.1.2指数函数及其性质（1） §2.1.2指数函数及其性质（2） §2.2.1对数与对数运算（1） §2.2.1对数与对数运算（2） §2.2.2对数函数及其性质（第一、二课时）

§2.2.2对数函数及其性质（第三课时）§2.3幂函数 §第2章小结与复习第三章函数的应用 §3.1.2用二分法求方程的近似解 §3.2.1几类不同增长的函数模型 §3.2.2函数模型的应用实例（1） §3.2.2函数模型的应用实例（2） §3.2.2函数模型的应用实例（3）

第一章集合与函数概念一. 课标要求：本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力 . 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识 . 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力. 6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 . 7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 . 8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法 . 9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培

新北师大版一学年下册数学全册备课教案

2017--2018学年度下学期一年级数学教学进度表

北师大版一年级下册数学教学计划教材简析：本册教材的编写特点是：（一）在数与代数的学习中，重视结合生活情境发展学生的数感。（二）在空间与图形的学习中，注重通过操作活动发展学生的空间观念。（三）取消了统计学习单元。（四）在整理与复习中，注重发展学生回顾与反思的意识。任教年级基本情况：本年级共有学生97名，在经过了一个学期的数学学习后，学生在基本知识、基本技能方面掌握较扎实，对学习数学有着浓厚的兴趣，乐于参与学习活动中。特别是对一些动手操作、需要合作完成的学习内容兴趣较大。但是在遇到思考深度较难的问题时，仍有畏难情绪。虽然在上学期期末测试中学生的成绩都还不错，但是成绩并不能代表他们学习数学的所有情况。只有课堂和数学学习的活动中，才能充分地体现一个孩子学习的真实状况。因此对这些学生，我们应更多地关注的是保持学生已有的学习兴趣,并逐步加以引导,培养学生数学思维品质,使学生在数学活动中体验成功的乐趣。教学目标及要求一、数与代数第三单元《生活中的数》。通过数铅笔等活动，经历从具体情境中抽象出数的模型的过程，会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，

能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。第一单元《加与减（一）》。第五单元“加与减（二）”，第六单元“加与减（三）”结合生活情境，经历从具体情境中抽象出加减法算式的过程，探索并掌握100以内加减法，会估算，初步学会解决生活中的简单问题。二、空间与图形第四单元《有趣的图形》。学生将经历从立体图形到平面图形的过程，认识长方形，正方形，三角形，圆等平面图形，通过动手做的活动，进一步认识平面图形，积累数学活动经验，发展空间观念能设计有趣的图案。教学重难点教学重点： 1、学会100以内数的顺序，比较大小，学会100 以内的加法和减法并能解决相关用题。 2、培养学生的操作能力。教学难点：100以内的进位加法和退位减法。教学措施：重视以学生的已有经验知识和生活经验为基础，提供学生熟悉的具体情景，以帮助学生理解数学知识。 2、增加联系实际的内容，为学生了解现实生活中的数学，感受数学与日常生活的密切联系。 3、注意选取富有儿童情趣的学习素材和活动内容，激发学生的学习兴趣，获得愉悦的数学学习体验。 4、重视引导学生自主探索，合作交流的学习方式，让学生在合作交流与自主探索的气氛中学习。

人教版新课标高中数学必修4-全册教案

高中数学必修4教案按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三）情感与态度目标 1．提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识．教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．教学过程一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新课： 1．角的有关概念：①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．②角的名称：始边 B 终边③角的分类： O A 顶点正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角④注意：⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ y y B 145° 30° x x o60 O O B 2B 3⑵ ⑴ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． 1 高中数学必修4教案⑴ 60°；⑵ 120°；⑶ 240°； ⑷ 300°；⑸ 420°；⑹ 480°；答：分别为1、2、3、

高一年级数学必修一教案

高一年级数学必修一教案课题：§1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，很多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：使用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，准确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合实行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

二、新课教学（一）集合的相关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 3. 关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），所以，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 4. 元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作aA（或a A） 5. 常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z 有理数集，记作Q

2018-2019学年上海市上海中学高一下期中考试数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市上海中学高一下期中考试数学试题一、单选题 1．若则在 A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D 【解析】根据三角函数值在各个象限的正负，判断出角的终边所在的象限. 【详解】由于，故角为第一、第四象限角.由于，故角为第二、第四象限角.所以角为第四象限角.故选D. 【点睛】本小题主要考查三角函数值在各个象限的正负值，根据正切值和余弦值同时满足的象限得出正确选项. 2．函数的部分图像如图,则可以取的一组值是 A．B． C．D．【答案】C 【解析】试题分析：∵，∴，，又由得. 3．在△ABC中,分别为三个内角A、B、C的对边,若则△ABC的形状是A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D 【解析】利用正弦定理化简得：，再利用二倍角公式整理得：，解三角方程即可得解。【详解】

由正弦定理化简得：, 整理得：，所以又，所以或. 所以或. 故选：D 【点睛】本题主要考查了正弦定理及三角恒等变换，还考查了正弦的二倍角公式及三角函数的性质，属于中档题。二、填空题 4．函数的最小正周期是_________. 【答案】【解析】直接由周期公式得解。【详解】函数的最小正周期是：故填：【点睛】本题主要考查了的周期公式，属于基础题。 5．已知点P在角的终边上,则_______. 【答案】0 【解析】求出到原点的距离，利用三角函数定义得解。【详解】设到原点的距离，则所以，，所以【点睛】本题主要考查了三角函数定义，考查计算能力，属于基础题。 6．已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为__________．

人教版初中八年级下册数学教案全册

八年级数学下学期教学工作计划一、指导思想在教学中努力推进九年义务教育，落实新课改，体现新理念，培养创新精神通过数学课的教学，使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本知识和基本技能；努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力。二、学情分析八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。我班优生稍少，学生非常活跃，有少数学生不求上进，思维不紧跟老师。有的学生思想单纯爱玩，缺乏自主学习的习惯，有部分同学基础较差，厌学无目标。要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学习的主体，教师是教的主体作用，注重方法，培养能力。三、教材分析本学期教学内容共计五章，知识的前后联系，教材的教学目标，重、难点分析如下：《义务教育教科书?数学》八年级下册包括二次根式，勾股定理，平行四边形，一次函数，数据的分析等五章内容，学习内容涉及到了《义务教育数学课程标准（2013年版）》（以下简称《课程标准》）中“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”全部四个领域。其中对于“综合与实践”领域的内容，本册书在第十九章、第二十章分别安排了一个课题学习，并在每一章的最后安排了两个数学活动，通过这些课题学习和数学活动落实“综合与实践”的要求。第16章“二次根式”主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、减、乘、除运算。通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备。第17章“勾股定理”主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理，包括它们的发现、证明和应用。第18章“平行四边形”主要研究一般平行四边形的概念、性质和判定，还研究了矩形、菱形和正方形等几种特殊的平行四边形。第19章是“一次函数”，其主要内容包括：常量与变量的意义，函数的概念，函数的三种表示法，一次函数的概念、图象、性质和应用举例，一次函数与二元一次方程等内容的关系，以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习。第20章“数据的分析”主要研究平均数（主要是加权平均数）、中位数、众数以及方差

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