椭圆专题复习
椭圆专题复习
一．复习目标：熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程． 二．知识要点： 方程特征及性质：
1、 已知椭圆22
169
x y ＋=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为
A.2
B.3
C.4
D.5
的中点,则2
19
y =上,则
8、已知椭圆221a b
+=有两个顶点在直线22x y +=上,则此椭圆的焦点坐标是( )
A.(0)
B.(0,
C.(0)
D.(0,
9、椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,焦距为2,且经过点A )2
3
,1(-; (1)求满足条件的椭圆方程;(2)求该椭圆的顶点坐标,长轴长,短轴长,离心率.
10、椭圆
22
1169
x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F , 过焦点F 1的直线交椭圆于,A B 两点 ,则2ABF ?的周长是
_____;若2ABF ?的内切圆的面积为π,A ,B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ,则21y y -的值为______.
11、 点),(y x P 是椭圆
)20(1422
2<<=+b b
y x 上的动点,则y x 22+的最大值为( ) A .4
42b + B .42b C .4 D .2
b
为椭圆22143
+=上的一点，M 、N 分别是圆22
(1)4x y ++=和22(1)1x y -+=上的点，则|的最大值为_____________ .
13、 已知(4,0),(3,3)A B -是椭圆22
1259
x y +=内的点,M 是椭圆上的动点,则MA MB +的最大值是_______.
14、 如图把椭圆22
12516
x y +=的长轴AB 分成8等 分,过每个分点
作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1,P 2,…,P 7七个点,F 是椭圆的 焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|=
求离心率：
15、 如图,用与底面成30?角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离心率为 ( )
A ．
1
2
B ．33
C ．32
D ．非上述结论
16、 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是（ ） A.
5
4
B.
5
3 C.
5
2 D.
5
1 17、 椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的四个顶点为A 、B 、C 、D,若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点的离心率是( )
A. 5
3- B. 853+ C.
2
1
5- D.
8
15+
18、 椭圆的两个焦点为1F 、2F ,短轴的一个端点为A ,且三角形12F AF 是顶角为120o的等腰三角形形,则此椭圆的离心率为_____________.
19、 如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点,A D 为 椭圆的两个焦点，其余四个顶点在椭圆上，则该椭圆 的离心率的值是___________________．
20、 过椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点1F 做x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若21PF F ∠=60°,
B C
F E A D
则椭圆的离心率为（ ） A.
22 B.33 C.2
1 D.31
21、已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>,,M N 是椭圆上关于原点对称的两点,P 是椭圆上任意一点,且直线
PM PN 、的斜率分别为12k k 、,若121
4
k k =,则椭圆的离心率为（ ）
A.
12
B.
2
C.
2 D.3
为半径作圆
____.
直线AB 交
P 使
26、 以1F 、2F 为焦点的椭圆22a b
+=1(0a b >>)上一动点P ,当12F PF ∠最大时12PF F ∠的正切值为2,则
此椭圆离心率e 的大小为______?
27、 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r
的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围
是（ ）A ．(0,1) B ．1
(0,]2 C ．(0,
)2 D ．2
28、 已知12F 、F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点,p 为椭圆C 上的一点,且12PF PF ⊥?若
12PF F ?的面积为9,则b =____________.
29、 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( ) A .
2 B. 21- C. 22- D.21- 30、已知点P 在椭圆
120
402
2=+y x 上， 21,F F 是椭圆的两个焦点，21PF F ?是直角三角形，则这样的点P 有 A 2个 B4个 C 6个 D8个
31、 椭圆19252
2=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为__________ . 32、 已知椭圆方程为13
422=+y x ，1F 、2F 为椭圆的左右焦点，若点P 在椭圆上，且ο
6021=∠PF F ，求21F PF ?的面积。
33、 已知椭圆方程为22
221x y a b
+=，1F 、2F 为椭圆的左右焦点，若点P 在椭圆上，则21F PF ?的外切圆的圆
心的轨迹是
34、 椭圆12
2=+b
y a x （a>b>0）上对于两焦点的张角是直角的点有（ ） （A ）至少有两个 （B ）可能没有，也可能有两个但最多只有四个
（C ）不存在这样的点 （D ）可能有无数多个 相交弦长问题：
35、 设斜率为1的直线l 与椭圆22
:142
x y C +=相交于不同的两点A 、B,则使||AB 为整数的直线l 共有( )
A.4条
B. 5条
C. 6条
D. 7条 36、 已知椭圆中心在原点,焦点在x 轴上,离心率e=2
3
,它与直线x+y+1=0交于P 、Q 两点,若OP⊥OQ,求椭圆方程?(O 为原点)?
37、 已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆,左焦点)0,1(1-F ,一个顶点坐标为(0,1)
(1)求椭圆方程;(2)直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于A 、B 两点,当△AOB 面积最大时,求直线l 方程? 相交弦中点问题：
38、 如果椭圆
22
1369
x y +=的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 ( ) A. 20x y -= B. 240x y +-= C. 23120x y +-= D. 280x y +-=
39、 已知椭圆2
213
x y +=，斜率为2的动直线与椭圆交于不同的两点A B 、，求线段AB 中点的轨迹方程．
40、 已知椭圆4
162
2y x +=1内一点A(1，1)，则过点A 的弦的中点的轨迹方程是__________. 椭圆曲线几何意义
41、 如图，AB 是平面α的斜线段．．．
，A 为斜足，若点P 在 平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．一条直线 D ．两条平行直线
42、 ?ABC 的两个顶点A,B 的坐标分别是(6,0)-,(6,0),边AC,BC 所在直线的斜率之积等于4
9
-,则顶点C 的
轨迹方程是 .
43、已知A
P 的轨迹是（ ）44、 点P 于点M ，则点M 45、 点P 2MQ u u u u r
，
则点M 46、 △ABC A.92522+y x 47、 已知?G ，且|GF |+|48、 49、____.
50、为 51、点P 此时点P 的坐标为________________.
52、若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP FP ?u u u r u u u r 的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8
53、已知P 是椭圆22143x y +=上的一点,F 1、
F 2是该椭圆的两个焦点,若△PF 1F 2的内切圆半径为1
2,则12PF PF u u u r u u u u r g 的值为( ) A.32 B.94 C.9
4
- D.0
A
B
P
α
54、椭圆22
221x y a b
+=的焦点坐标为12(F F 短轴的一个端点为B,若12BF =. (1)求椭圆的方程.(2)①直线y=kx+2交椭圆于A 、B 两点,求k 的取值范围?②当k=1时,求OA OB ?u u u r u u u r
55、已知椭圆C 2
2
:14
y x +=,过点M (0, 1)的直线l 与椭圆C 相交于两点A 、B . (Ⅰ)若l 与x 轴相交于点P ,且P 为AM 的中点,求直线l 的方程;(Ⅱ)设点1
(0,)2
N ,求||NA NB +u u u r u u u r 的最大值.
56、(如图)(>=k kx y (1)若ED =u u u r 最值问题：57、已知点58、已知点的
59、椭圆x y ??
?
60、若x 4
2
61、（08l ． （Ⅰ）当（Ⅱ）当∠
椭圆专题复习 参考答案
1、 D
2、 3
3、
5
4
4、 A
5、 D
6、 C
7、 B
8、 A
9、(1)当焦点在x 轴时,设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b y a x ,则c =1,焦点坐标为
)0,1(1-F ,
a =2,∴2
=b :4;短轴
长:23;14、 35.|P 1F|+|P 215、A 16、21、C 22、 A 31、9 32、4|2=，① 在21F PF ? B 35、 C 36、 2
设P(x 1,y 1),Q(x 2,y2),则由OP⊥OQ ?x 1x 2=-y 1y 2，04485 442
2222=-++???
?
=+b x x b y x ，由△>0?b 2>51 x 1x 2=5442b -，y 1y 2=(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=5
411)58(5442
2b b -=
+-+- ∴05
4154422=-+-b b b 2=5185
>∴椭圆方程为18
52522=+y x
37、 解:(1)设所求椭圆为)0(122
22>>=+b a b
y a x 依题 1,1==b c
2
2
2
c b a +=设2=a 椭圆的方程为12
22
=+y x (2)若直线l 斜率不存在,那l 为1=x 时,222==a
b AB ，22
212121=??=?=C AB S
若直线l 斜率为)0(≠k k (0=k 时不合题意)直线)1(:-=x k y l
由
???-=)
1(2x k y 化为0224)21(2222=-+-+k x k x k
∴∴
故所求的轨迹方程为：60(x y x +=<．40、(1)4(1)0x x y y -+-=41、 B 42、 2
2
49144x y +=,(6,0x y ≠±≠) 43、 D 44、 B 45、 22
19x y +=； 46、 A 47、 221(5)2516
x y x +=≠±；
48、 解：设动圆圆为M(x,y),半径为r,那么;||10||||10||MC r
MC MA MA r
=-??+=?
=?,|AC||=8
因此点M 的轨迹是以A 、C 为焦点，长轴长为10的椭圆．a=5,c=4,b=3,其方程是：22
1259x y +=． 49、
22
13627
x y += 50、 C 51、7,(0,±4) 52、 C 53、B 54、 (1)
由12c b a ===得 方程为2
214
x y += (2)①将2y kx =+代人得 ()224116120k x kx +++= 由△>0
得
k k >< (3)当k=1时,1212OA OB x x y y ?=+u u u r u u u r 121(x x x =+55、(Ⅰ)解:11y =-, 又因为点A (则点A 30y -= (Ⅱ)设A (x 1所以NA +u u u r u 当直线AB 当直线AB 的解, 消去y
得
(4k +, 则
12(y y +=11≤, 当0k =时,等号成立, 即此时||NA NB +u u u r u u u r
取得最大值 1 综上,当直线AB 的方程为0x =或1y =时,||NA NB +u u u r u u u r
有最大值1
56、解:(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为2
214
x y +=,直线AB EF ，的方程分别为22x y +=,(0)y kx k => 如图,设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，,其中12x x <,
且12x x ，满足方程22
(14)4k x +=,
故21x x =-=
由6ED DF =u u u r u u u r 知01206()x x x x -=-,
得021215(6)77x x x x =+==;
由D 在AB 上知0022x kx +=,得02
12x k
=+.
5761设所以
12AB x =-=．又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离．所以h =，
1
22ABC
S AB h ==g △．（Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m ?+=?=+?
，得2246340x mx m ++-=．因为A B ，在椭圆上，所以212640m ?=-+>设A B ，两点坐标分别为
1122()()x y x y ，，，，则1232
m
x x +=-，212344m x x -=，所以12AB x =-=．
又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l 的距离，即
BC =
．所以
2
2
2
22210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，AC 边最长，（这时
12640?=-+>）此时AB 所在直线的方程为1y x =-．
椭圆 专题
椭圆 专题 例1．如图：直线L ：与椭圆C ：交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形 OAPB 。 求证：椭圆C ：与直线L ：总有 两个交点。 当时，求点P 的轨迹方程。 （3）是否存在直线L ，使OAPB 为矩形？若存在，求出此时直线L 的方程；若不存在，说明理由。 解：(1)由 得 椭圆C ：与直线L ：总有两个 交点。 (2)设,,,与交于点，则有 即 ，又由（1）得 ， （2） 得 （3） 1y mx =+2 22(0) ax y a +=>222(0) ax y a +=>1y mx =+2a =22 1 2 y mx ax y =+??+=?22()210 a m x mx ++-=22044()0a m a m >∴=++>∴ 2 22(0) ax y a +=>1y mx =+(,)P x y 1 1 (,)A x y 2 2 (,)B x y AB OP M 1212,2222 x x y y x y ++==1212 ,x x x y y y =+=+122 22m x x m +=- +122 1x x a m ?=- +12122 22 224 (1) (1)(1)()2()2222m m x y mx mx m x x m m m m ∴=- =+++=++=- +=+++(1)(2) ÷22x m x m y y =-?=-
将（3）代入（2）得 点P 的轨迹方程为 当时，这样的直线不存在；当时，存在 这样的直线，此时直线为 例 2. 设椭圆 的两个焦点是与 ，且椭圆上存在一点，使得直线与垂直. （1）求实数的取值范围； （2）设是相应于焦点的准线，直线与相 交于点 ，若 ，求直线的方程. 解：（Ⅰ）由题设有 设点P 的坐标为 由PF1⊥PF2，得 化简得 ① 将①与联立，解得 222 2 4 22042y x y y x y = ?+-=+(0,0)x y ≠≠∴ 2 2220x y y +-=(0,0) x y ≠≠121212122121200(1)(1)0(1)()10 OA OB x x y y x x mx mx m x x m x x ?=?+=?+++=?++++=222 222212(1)()()1012021 m m m a m a m m m a m m a -∴+- ++=++?---++=?=-∴ 01a <<1a >l 1y =+11 22 =++y m x )0,(1 c F -) 0(),0,(2>c c F P 1 PF 2 PF m L 2 F 2 PF L Q 322 2 -=PF QF 2 PF . ,0m c m = >), ,(00y x ,10000-=+?-c x y c x y . 2020m y x =+11 2 02 0=++y m x . 1 ,12022 m y m m x =-=
椭圆 专项训练
圆锥曲线 椭圆 专项训练 【例题精选】： 例1 求下列椭圆的标准方程： （1）与椭圆x y 22416+=有相同焦点，过点P (,)56； （3）两焦点与短轴一个端点为正三角形的顶点，焦点到椭圆的最短距离为3。 例5 过椭圆14 16 2 2 =+ y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线 方程。 小结：有关中点弦问题多采用“点差法”即设点做差的方法，也叫“设而不求”。 例6 C y x B A 的两个顶点，是椭圆 、125 16 )5,0()0,4(2 2 =+ 是 椭圆在第一象限内部分上的一点，求?ABC 面积的最大值。 小结：已知椭圆的方程求最值或求范围，要用不等式的均值 定理，或判别式来求解。（圆中用直径性质或弦心距）。要有耐心，处理好复杂运算。 【专项训练】： 一、 选择题： 1．椭圆6322 2 =+y x 的焦距是 （ ） A ．2 B ．)23(2- C ．52 D ．)23(2+ 2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点) 23,25( -，则椭圆方程是（ ） A ． 14 8 2 2 =+ x y B ． 16 10 2 2 =+ x y C ． 18 4 2 2 =+ x y D ．16 10 2 2 =+ y x 4．方程22 2 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 （ ） A ．),0(+∞ B ．（0，2） C ．（1，+∞） D ．（0，1） 5. 过椭圆1242 2 =+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的
高中数学解析几何专题之椭圆汇总解析版
圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义： 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（ 2 12F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两 个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离 2 1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下： （ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。 注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+（c a 22>， c F F 221=），即 2 121F F MF MF >+. 注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义： 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10<
注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。 （1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设 其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122 22=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-； （2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称； （3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ，),0(2b B -； （4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2； （5）长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=； （6）准线方程：c a x 2 ± =； （7）焦准距：c b 2 ； （8）离心率： a c e = 且10< 高三数学专题复习----椭圆 一 基础知识 （1）椭圆的第一定义第二定义，（2）椭圆的标准方程，（3）椭圆的性质，（4）椭圆和直线的位置关系 二 例题 1、方程m y x ++16m -252 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( ) (A)-16 4、以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ） （A ） 2 1 （B ）22（C ）23（D ）33 5、若椭圆 19822=++y k x 的离心率是2 1，则k 的值等于 ( ) (A)－ 45 (B)45 (C)－45或4 (D)4 5 或4 6、椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是 2 3 ，则它的长半轴的长是（ ） （A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ） 2 1 或1 7、已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e= 3 2 ，长轴长为6，那么椭圆的方程是（ ）。 （A ） 36x 2+20y 2=1 （B ）36x 2+20y 2=1或20x 2+36 y 2 =1 （C ） 9x 2+5y 2=1 （D ）9x 2+5y 2=1或5 x 2+9y 2 =1 高中数学椭圆常考题目解题方法及练习 2018高三专题复习-解析几何专题（2） 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越 一、选择题： 1.下列方程表示椭圆的是（） A. 22199 x y += B.22 28x y --=- C.221259x y -= D.22(2)1x y -+= 2.动点P 到两个定点1F （- 4，0）.2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（） A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D .不能确定 3.已知椭圆的标准方程2 2 110 y x +=，则椭圆的焦点坐标为（） A.( B.(0, C.(0,3)± D.(3,0)± 4.椭圆2222 222222 222 11()x y x y a b k a b a k b k +=+=>>--和的关系是 A ．有相同的长.短轴B ．有相同的离心率 C ．有相同的准线 D ．有相同的焦点 5.已知椭圆22 159 x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（） A.3 B.2 C.3 D.6 6.如果22 212 x y a a + =+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--?+∞ C.(,1)(2,)-∞-?+∞ D.任意实数R 7.“m>n>0”是“方程2 2 1mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆的”（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.椭圆的短轴长是4，长轴长是短轴长的 3 2 倍，则椭圆的焦距是（） B.4 C.6 D.9.关于曲线的对称性的论述正确的是（） A.方程2 2 0x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程3 3 0x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2 2 10x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程33 8x y -=的曲线关于原点对称 【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大 （一）椭圆的定义及椭圆的标准方程： ?椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点F 1、 F 2的距离之和等于常数 （二）椭圆的简单几何性： ?标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 2 2 x 2 y 2 =1 (a b O) a b (PF 1 + PF 2 =2a ■ F1F 2）,这个动点P 的轨迹叫椭圆?这两个定点叫椭圆的 焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的 焦距. 注意：①若（PF 1 + |PF 2 |=F I F 2），则动点P 的轨迹为线段F 1F 2 ； ②若（PF 1 + PF ^<|F 1F 2 ），则动点P 的轨迹无图形 2 2 y 2 X 2 =1 (a ■ b ■ O) a b 图形 性质 焦占 八焦距 范围 F i (-c,O)，F 2(C ,0) F I (O,-C )，F 2(0,C ) F 1F 2 =2C F 1 F 2 = 2c x^b, | y| 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 标准方程 (_a,0) , (0,-b) (0,-a), (_b,0) 顶点 ?椭圆标准方程为 =1 (a b - 0)，椭圆焦点三角形: 设P 为椭圆上任意一点, F i ,F 2为焦点且/ F 1PF 2 ?，则△ F i PF 2为焦点三角形，其面积为 轴长 长轴长 AA 2, AAj =2a ，短轴长 BB 2, EB 2 =2b 离心率 ① e = C (0cec1)，② e =』1—(b )2 ③ c 2 = a 2_b 2 a V a (离心率越大，椭圆越扁) 【说明】： 1?方程中的两个参数a 与b ,确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点 F i ，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数 a ，b ，c 都大于零，其中 a 最大且 a 2 = b 2+ c 2. 2 2 2.方程Ax By 二C 表示椭圆的充要条件是：ABC 工0,且A ，B ，C 同号，A 2 2 S PF I F 2 = b 2 tan 。 2 (四)通径：如图：通径长 2 2 ?椭圆标准方程：笃? — =1 a 2 b 2 (五)点与椭圆的位置关系： C 1) 点 P(x o ,y o )在椭圆外= a b a b x =1； 专题17 椭圆 文 考纲解读明方向 考纲解读 分析解读 1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率)解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主,与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强,分值约为12分,难度较大. 2018年高考全景展示 1．【2018年全国卷II 文】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且 ， 则的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：设 ，则根据平面几何知识可求 ，再结合椭圆定义可求离心率. 点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知 识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义. 2．【2018年浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大． 【答案】5 【解析】分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法. 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 3．【2018年天津卷文】设椭圆的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为， . （I）求椭圆的方程； （II）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若的面积是面积的2倍，求k的值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ). 【解析】分析：（I）由题意结合几何关系可求得.则椭圆的方程为. （II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意可得. 易知直线的方程为，由方程组可得.由方程组可得 .结合，可得，或.经检验的值为. 详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．由, 解析几何——椭圆精炼专题 一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆6322 2 =+y x 的焦距是（ ） A ．2 B ．)23(2- C ．52 D ．)23(2+ 2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)2 3,25(-，则椭圆方程是 （ ） A ．14 8 2 2=+x y B ．16102 2=+x y C ．18 42 2=+x y D ．16 102 2=+y x 4．方程22 2 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ） A ．),0(+∞ B ．（0，2） C ．（1，+∞） D ．（0，1） 5． 过椭圆1242 2 =+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ?，那么2 ABF ?的周长是（ ） A ． 22 B ． 2 C ． 2 D ． 1 6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为 3 1 ，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A ． 112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14 62 2=+y x C ． 1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或1462 2=+y x 7． 已知k ＜4，则曲线 14 92 2=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A ． 相同的短轴 B ． 相同的焦点 C ． 相同的离心率 D ． 相同的长轴 8．椭圆 19 252 2=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．8 9．椭圆13 122 2=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ） A ．4倍 B ．5倍 C ．7倍 D ．3倍 10．椭圆144942 2 =+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ） A ．01223=-+y x B ．01232=-+y x C ．014494=-+y x D ． 014449=-+y x 11．椭圆14 162 2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是 （ ） A ．3 B ．11 C ．22 D ．10 12．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆12 22 =+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ） ，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ） A ．2 B ．－2 C ． 21 D ．－2 1 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．） 13．椭圆 2214x y m +=的离心率为1 2 ，则m = ． 14．设P 是椭圆2 214 x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为 ． 15．直线y =x －2 1被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为 ． 16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:2 2及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程 为 ． 椭 圆专题总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程； （提醒：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别） 2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0； ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题” （如：AQ QB λ= ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性， 关键是积累“转化”的经验； 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型： 在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 （1）直线恒过定点问题 1、已知点00(,)P x y 是椭圆2 2:12 x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。 高考椭圆大题专题分类 一、求椭圆的方程以及面积 1．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6 3，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积． 解析 (1)由已知得c ＝22，c a ＝6 3.解得a ＝23， 又b 2＝a 2－c 2＝ 4. 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 2 4＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m . 由???? ?y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1 椭圆专题复习 1.(课本P33.7)已知圆221:(1)1,F x y ++=圆22 2:(1)9,F x y -+=动圆P 与圆1F 外切，与圆 2F 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程是 . 2.(课本P3 3.8).设动点P 到点(1,0)F 的距离是到直线9x =的距离之比为1 3 ，则点P 的轨迹方程是 3.（课本P32.3)改编)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为_______________________________ 4.(课本P33.3).经过两点2A(2,,3B(2,两点的椭圆标准方程是 . 5.(2015江苏改编) 已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的椭圆的离心率是22 ，且右焦点F 到左 准线l 的距离为3，则椭圆的标准方程为________. 6．(2015南通)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为(0,b)B ，右焦点为F ，直线BF 与 椭圆的另一个交点为M ，且2BF FM =,则椭圆的离心率为 7．已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点 P ，使得PF 1 PF 2 ＝e ，则该离心率e 的取值范围是________． 8.( 浙江2015高考第15题·)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝b c x 的对称 点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________. 9.(重庆2015高考第21题)如图，椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左， 右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，且PQ ⊥PF 1. (1)若PF 1＝2＋2，PF 2＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若PF 1＝PQ ，求椭圆的离心率e . 三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题17椭圆理含解析 73(2) 考纲解读明方向 分析解读 1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率)解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主,与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强,分值约为12分,难度较大. 年高考全景展示 8 201 1．【2018年理数全国卷II】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜 率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，，由正弦定理 得, 所以，选D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充 分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 2．【2018年浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A ，B 满足=2，则当 m=___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解 决. 3．【2018年理北京卷】已知椭圆，双曲线．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四 个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 __________；双曲线N 的离心率为__________． 【答案】 2 【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N 的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定 椭圆专题总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程； （提醒：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别） 2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0； ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题” （如：AQ QB λ= ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性， 关键是积累“转化”的经验； 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型： 在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 （1）直线恒过定点问题 1、已知点00(,)P x y 是椭圆2 2:12 x E y +=上任意一点，直线l 的方程为 0012 x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。 专题五 椭圆 【考纲要求】掌握椭圆的定义，标准方程及简单几何性质。 【知识点】 1．椭圆的定义 定义： 叫椭圆，其中两个定点 12,F F 叫椭圆的焦点． 当12122PF PF a F F +=>|时，P 的轨迹为_____； 当12122PF PF a F F +=<时，P 的轨迹________； 当12122PF PF a F F +== 时 ， P 的 轨 迹 为 。 【课前预习】 1.椭圆22 143 x y +=的长轴位于 轴，长轴长等于 ，短轴位于 轴，短轴长等于 ，焦点在 轴上，焦点坐标分别为 和 ，离心率e = ，左顶点坐标是 ， 下顶点坐标是 ，椭圆上点00(,)P x y 的横坐标的范围是 ，纵坐标的范围是 ，00x y +的取值范围是 。 2. ABC 中，已知,B C 的坐标分别为(3,0)(3,0)-和，且ABC 的周长等于16，则顶点A 的轨迹方程为 。 3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为(F -，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 。 4.若12,F F 是椭圆 22 1169 x y +=的两个焦点，过1F 作直线交椭圆与,A B 两点，则2ABF 的周长等于 。 5.设12,F F 是椭圆2 214 x y +=的左，右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点，当四边形12PF QF 面积最大时，12PF PF = 。 6.（1）若椭圆的短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该焦点到同侧长轴一端点距离的3倍，则椭圆的离心率e = 。 （2）若椭圆的长轴长不大于短轴长的2倍，则椭圆的离心率e ∈ 。 （3）若椭圆的短轴长的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率e = 。 【典型例题】 例1. 设椭圆:C 22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直 的直线分别交椭圆C 与x 轴正半轴于点,P Q ，且8 5 AP PQ = （1） 求椭圆C 的离心率；（2）若过,,A Q F 三点的圆恰好与直线:30l x ++=相切， 求椭圆C 的方程 1.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A ．133 B ．53 C ．23 D ．5 9 【答案】B 【解析】 试题分析：945 33 e -= = ，选B ． 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右 顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A 6 B 3 C 2 D ．1 3 【答案】A 【解析】 试题分析：以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=， 直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即： 2 2 d a a b = =+， 整理可得223a b =，即()222223,23a a c a c =-=， 从而22 223 c e a ==，椭圆的离心率26 33c e a === ， 故选A . 【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系 【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式e ＝c a ； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：2 2x m +y 2=1(m >1)与双曲线 C 2： 22x n –y 2 =1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m 椭圆专题训练卷 一、单选题 1．（2019·宁波市第四中学高二期中）设p 是椭圆22 12516 x y + =上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 2．（2020·全国高三课时练习（理））设x 、y ∈R ，则“|x |≤4且|y |≤3”是“2 16 x ＋ 29y ≤1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．（2019·浙江省春晖中学高二月考）已知椭圆22 1102 x y m m +=--的焦点在y 轴上，且焦距为4，则m 等于 ( ) A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 4．（2020·雅安市教育科学研究所高三一模（理））已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左顶点为A ，上顶点 为B ，且OA （O 为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ） A B C D 5．（2020·四川资阳 高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心 率为 1 2 ，则C 的方程是（ ） A ．22 143x y += B ．22 186 x y + C ．22 142 x y += D ．22 184 x y += 6．（2020·全国高三课时练习（理））已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，A ， B 分别为 C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A ．13 B ． 12 C ． 23 D ． 34 7．（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()22 2210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，直线 :4 l y x = 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为( ) A ． 2 B ． 34 C ． 12 D ． 14 8．（2020·甘肃城关 兰大附中高三月考（理））已知1F ，2F 分别为椭圆22 1168 x y +=的左、右焦点，M 是椭 圆上的一点，且在y 轴的左侧过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，若2ON =（O 为坐标原点）则21MF MF -等于（ ） A ．4 B ．2 C D 9．（2020·黑龙江南岗 哈师大附中高三其他（文））已知1F 、2F 是椭圆22 143 x y +=的左、右焦点，点P 是 椭圆上任意一点，以1PF 为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则 12QF QF ?=( ) A ． B ．4 C ．3 D ．1 10．（2019·宁波市第四中学高二期中）设椭圆22 221 x y a b +=0)a b >>（的左、右焦点分别为12(,0)(,0)F c F c -，，点(,)2a N c 在椭圆的外部，点M 是椭圆上的动点，满足11232 MF MN F F +<恒成 立，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ） A ．(0 B ．1) C ．5)6 ， D ．5(,1)6 二、多选题 题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4a B ．2(a －c) C ．2(a+c) D ．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面 【新题导练】 1.短轴长为5，离心率3 2 = e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ） A.3 B.6 C.12 D.24 [解析]C. 长半轴a=3，△ABF 2的周长为4a=12 2.已知P 为椭圆22 12516 x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆 22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ） A ． 5 B ． 7 C ．13 D ． 15 [解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点，10||||=+∴PD PC ，PM PN +的最小值为10-1-2=7 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为122 22=+b y a x 或)0(12222>>=+b a a y b x ， 则?? ? ??+=-=-=222)12(4c b a c a c b ， 解之得：24=a ，b =c ＝4.则所求的椭圆的方程为 116322 2=+y x 或132 1622=+y x . 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数c b a ,,的数量关系．高三数学专题复习----椭圆
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