人教版高中数学,不等关系与不等式
人教版高中数学同步练习
§3.1 不等关系与不等式 课时目标
1．初步学会作差法比较两实数的大小．
2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
1．比较实数a ，b 的大小
(1)文字叙述
如果a －b 是正数，那么a >b ；
如果a －b 等于0，那么a ＝b ；
如果a －b 是负数，那么a
(2)符号表示
a －
b >0?a >b ；
a －
b ＝0?a ＝b ；
a －
b <0?a
2．常用的不等式的基本性质
(1)a >b ?b (2)a >b ，b >c ?a >c (传递性)； (3)a >b ?a ＋c >b ＋c (可加性)； (4)a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac (5)a >b ，c >d ?a ＋c >b ＋d ； (6)a >b >0，c >d >0?ac >bd ； (7)a >b >0，n ∈N ，n ≥2?a n >b n ； (8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2 一、选择题 1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1 D ．a |c |>b |c | 答案 C 解析 对A ，若a >0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b ，∴A 不成立； 对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2 对C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ，∴a c 2＋1>b c 2＋1 恒成立， ∴C 正确； 对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立． 2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a >a b 2 D.a b >a b 2>a 答案 D 解析 取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12 ， ∴a b >a b 2>a . 3．已知a 、b 为非零实数，且a A ．a 2 B ．a 2b C.1ab 2<1a 2b D.b a 答案 C 解析 对于A ，当a <0，b <0时，a 2 对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b 对于C ，∵a 0，∴1ab 2<1a 2b ； 对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a b ＝－1. 4．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a B ．c C ．b D ．b 答案 C 解析 ∵1e ∴a －b ＝t －2t ＝－t >0，∴a >b . c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)， 又∵－1 ∴c －a >0，∴c >a .∴c >a >b . 5．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．a 2－b 2<0 D ．b ＋a >0 答案 D 解析 由a >|b |得－a ∴a ＋b >0，且a －b >0.∴b －a <0，A 错，D 对． 可取特值，如a ＝2，b ＝－1， a 3＋ b 3＝7>0，故B 错． 而a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )>0，∴C 错． 6．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．a |b |>c |b | D ．a 2>b 2>c 2 答案 A 解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0， 又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .故选A. 二、填空题 7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________． 答案 [－1,6] 解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5， ∴－1≤a －b ≤6. 8．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________． 答案 f (x )>g (x ) 解析 ∵f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0， ∴f (x )>g (x )． 9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12 的大小关系为________． 答案 x 1＋x 2≤12 解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2) ≤0， ∴x 1＋x 2≤12 . 10．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________． 答案 A >B 解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n . ∵n ＋n －1 三、解答题 11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b a ＋b 的大小． 解 方法一 作差法 a 2－ b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝(a ＋b )(a 2－b 2)－(a －b )(a 2＋b 2)(a 2＋b 2)(a ＋b ) ＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2) ∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0. ∴2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b . 方法二 作商法 ∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －b a ＋b >0. ∴a 2－b 2 a 2＋ b 2a －b a ＋b ＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b . 12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小． 解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x 4 ， ①当????? 0＜x ＜1，3x 4＞1，或????? x ＞1，0＜3x 4 ＜1， 即1＜x ＜43时，log x 3x 4 ＜0，∴f (x )＜g (x )； ②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x 4 ＝0，即f (x )＝g (x )； ③当????? 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或????? x ＞1，3x 4 ＞1， 即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x 4 ＞0，即f (x )＞g (x )． 综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )； 当x ＝43 时，f (x )＝g (x )； 当0＜x ＜1，或x ＞43 时，f (x )＞g (x )． 能力提升 13．若0 A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12 答案 A 解析 方法一 特殊值法． 令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34 ， 则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38 ， a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38 ， ∵58>12>38 ，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2. 方法二 作差法． ∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0 ∴a 2＝1－a 1>a 1，b 2＝1－b 1>b 1，