数列求和综合练习题(含答案)

数列求和综合练习题

一、选择题

1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1

1++=

n n a n ，10n S =，则=n （ ）

A ．90

B ．121

C ．119

D ．120

2．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） A.

172 B.19

2

C.10

D.12 3．数列{}n a 中,1

160,3n n a a a +=-=+，则此数列前30项的绝对值的和为 ( )

A.720

B.765

C.600

D.630 4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1

(1)

n a n n =+，则6S 等于( )

A ．

142 B ．45 C ．56 D ．67

5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.

12 B.314 C.172 D.152

6．设

是等差数列

的前项和，已知

，则

等于 ( )

A. 13

B. 35

C. 49

D. 63

7．等差数列的前n 项和为= ( ) A ．18 B ．20 C ．21

D ．22

8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于（ ） A.1- B.1 C.2- D.2

9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111-=a ，664-=+a a ，则当n S 取最小值时，n 等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 10．在等差数列

中，已知

，则该数列前11项的和

等于（ ）

A ．58

B ．88

C ．143

D ． 176

11．已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511

--++-+-+-=+n S n n Λ,则312215S S S -+的

值是（ ）

A ．-76

B ．76

C ．46

D ．13

12．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( ) A ．12 B ．14 C ．15 D ．16

13．等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则{}n a 的前9项和为( ) {}n a 5128,11,186,n S a S a ==则{}

n a 4816

a a +=11

S

二、解答题

14．已知数列{}n a 的前n 项和()

2*,n S n n N =∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 是等比数列，公比为()0q q >且11423,b S b a a ==+，求数列{}n b 的前n 项和n T .

15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且93=S ，731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n a 的公差不为0，数列{}n b 满足n

n n a b 2)1(-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .

16．设数列{}n a 的前n 项和1

22n n S +=-，数列{}n b 满足21

(1)log n n

b n a =

+．

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．

17．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且3242

-+=n n n a a S ． （1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）n n n n

n b a b a b a T b +++==Λ2211,2求已知的值．

18．已知数列}{n a 的前n 项和n

n S 2=，数列}{n b 满足)12(,111-+=-=+n b b b n n ()1,2,3,n =L ．

（1）求数列}{n a 的通项n a ； （2）求数列}{n b 的通项n b ； （3）若n

b a

c n

n n ?=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．

19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S n +=2

.

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若*)(,121

1

N n a a a b n n n n ∈-+=+求数列}{n b 的前n 项和n S .

20．已知数列{a n }的前n 项和2n n S a =-，数列{b n }满足b 1=1，b 3+b 7=18，且112n n n b b b -++=（n ≥2）.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若n

n

n a b c =，求数列{c n }的前n 项和T n.

21．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列{}

n na 的前n 项和n T .

22．设数列{}n a 满足11=a )(2

1

1*+∈=-N n a a n n n （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S

三、填空题

23．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若11a =，34a =，则2________;a =此数列的其前n 项和

__________.n S =

24．已知等差数列{}n a 中，52=a ，114=a ，则前10项和=10S ．

25．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知488,12,S S ==则13141516a a a a +++的值为 ． 26．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且

361

3

S S =，则912S S = ．

27．等差数列{}n a 中，10120S =，那么29a a += ．

28．[2014·北京海淀模拟]在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列

的公比q ＝________.

29．在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S = . 30．已知等差数列{}n a 中，已知8116,0a a ==，则18S =________________.

31．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 .

32．已知{a n }是等差数列，a 1=1，公差d≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8= _________ ． 33．数列{}n a

n 项和为9n S =，则n =_________．

34．[2014·浙江调研]设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＝－S n ·S n －1(n≥2)，则S n ＝________.

}{n a n n S 62,256382-==S a a a a 1a

参考答案

1．D

【解析】n n n n a n -+=++=

11

1Θ，

()(

)

111...23)12(-+=-++

+-+-=∴n n n S n ，

1011=-+n ，解得120=n ．

【命题意图】本题考查利用裂项抵消法求数列的前n 项和等知识，意在考查学生的简单思维能力与基本运算能力． 2．B 【解析】

试题分析：∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +??=+??，解得1a =12

，∴101119

9922

a a d =+=

+=，故选B. 考点：等差数列通项公式及前n 项和公式

3．B 【解析】

试题分析：因为13n n a a +=+，所以13n n a a +-=。所以数列{}n a 是首项为160a =-公差为3的等差数列。则()6031363n a n n =-+-=-，令3630n a n =-≥得21n ≥。所以数列前20项为负第21项为0从弟22项起为正。数列{}n a 前n 项和为

()()21312360322

n n n n n

S n --=?-+?=。则1220212130

a a a a a a +++++++L L ()12202130a a a a a =-++++++L L ()2030203020

2S S S S S =-+-=-223301233032012320

276522

?-??-?=-?=。故B 正确。

考点：1等差数列的定义；2等差数列的通项公式、前n 项和公式。

4．D 【解析】

试题分析：因为1(1)n a n n =

+111n n =-+.所以6S 1111116

112236777

=-+-+???+-=-=.

考点：1.数列的通项的裂项.2.数列的求和.

5．B

【解析】依题意知，2

1a q 4

＝1，又a 1>0，q>0，则a 1＝

21q

.又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2

)＝7，于是有

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(1q ＋3)(1q －2)＝0，因此有q ＝12，所以S 5＝

51412112

?

??- ?

??-＝314，选B. 6．C

【解析】在等差数列中，，选C.

7．B 【解析】 试题分析：581121212()

12()22a a a a S

++=

=

，即812(11)1862

a +=，解得820a =. 考点：1.等差数列的通项，和式；2.等差数列性质（下标关系）.

8．C 【解析】

试题分析：∵30a =，即120a d +=，∴12a d =-，∴3123110S a a a a a d =++=+++＝12436a d d d d +=-+=-=，∴2d =-． 考点：等差数列的通项公式与前n 项和公式． 9．A 【解析】

试题分析：设公差为d ，则()()()46113521186a a a d a d d +=+++=?-+=-，解得2d =。

（法一）所以()1112213n a n n =-+-?=-。令2130n a n =-≥得 6.5n ≥。所以数列前6项为负，从第7项起为正。所以数列前6项和最小；（法二）

()()()2

21112126362

n n n S n n n n ?-=?-+

?=-=--，所以当6n =时n S 取得最小值。故A 正确。

考点：1等差数列的通项公式；2等差数列的前n 项和公式。 10．B 【解析】

试题分析：根据等差数列的性质，1114816a a a a +=+=

()11111111116

8822

a a S ?+?∴=== ，故选B.

考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和.

11．A 【解析】

试题分析：（并项求和法）由已知可知：??????

??--?+=为偶数

为奇数

n n n n S n 2)4(2

141，所以

2921154115=-?

+=S ，6121314131=-?+=S ，442

22

)4(22-=?-=S ，因此76614429312215-=--=-+S S S ，答案选A.

考点：并项求和

12．D 【解析】

56781234

a a a a a a a a ++++++＝q 4

＝2，

由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，

得a 1(1＋q ＋q 2＋q 3

)＝1，

即a 1·4

11q q

--＝1，∴a 1＝q －1，

又S n ＝15，即

()111n a q q

--＝15，

∴q n

＝16，

又∵q 4

＝2， ∴n ＝16.故选D. 13．C 【解析】

试题分析：∵(),m n p q a a a a m n p q +=++=+∴

()()()147369258++2+66

a a a a a a a a a +++=+= ,

()9147258369258+++3+99S a a a a a a a a a a a a =+++++=+= .

考点：等差数列的运算性质. 14．（1）21n a n =-（2）()3

3212

n T =- 【解析】

试题分析：（1）由n S 求数列通项时利用()

()1112n n n S n a S S n -=??

=?

-≥??求解；（2）借助于数列{}

n a 可求解14,b b ，从而得到公比q ，得到前n 项和n T

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试题解析：（1）因为数列的前

项和

，

所以当时，

，

又当时，

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，满足上式，（2）由（1）可知，又

，所以

.

又数列是公比为正数等比数列，所以

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，又

，所以

所以数列的前

项和

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考点：数列求通项公式及等比数列求和 15．（1）1n a n =+；（2）22)1(1

+?-=+n n n T .

【解析】

试题分析：（1）由题意可知，利用93=S ，731,,a a a 成等比数列，从而可求出数列{}n a 的通项公式，数列{}n b 的通项公式可通过联立方程组求解；（2）可利用错位相减法对前n 项和进行处理进而求解.

试题解析：（1）712

3a a a =，即)6()2(112

1d a a d a +=+，化简得12

1

a d =或0=d . 当121a d =

时，92

92123231113==??+=a a a S ，得21=a 或1=d ， ∴1)1(2)1(1+=-+=-+=n n d n a a n ，即1+=n a n ； 当0=d 时，由93=S ，得31=a ，即有3=n a . （2）由题意可知n

n n b 2?=，

∴n

n n n b b b T 222212

21?+???+?+?=+???++=①

13222)1(22212+?+?-+???+?+?=n n n n n T ②，

①-②得：22)1(2222211

3

2

-?--=?-+???+++=-++n n n

n n n T ，

∴22

)1(1

+?-=+n n n T .

考点：1.等差数列的综合；2.等比数列的综合；3.错位相减法的运用.

16．（1）2n

n a =；（2）n 1

n

T n =

+. 【解析】

试题分析：本题主要考查由n S 求n a 、对数的运算、裂项相消法、等差数列的前n 项和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，由n S 求

n a 需要分2步：11,1

,2

n n n S n a S S n -=?=?-≥?，在解题的最后需要验证2步是否可以合并成一个式

子；第二问，先利用对数式的运算化简n b 的表达式，根据表达式的特点，利用裂项相消法求数列{}n b 的前n 项和.

试题解析：（1）1n =时，112a S ==， 2分

122n n S +=-，∴122n n S -=-(2)n ≥

∴12n

n n n a S S -=-=(2)n ≥，

∴数列{}n a 的通项公式为：2n

n a =． 6分

(2)21

(1)log 2n n

b n =

+111(1)1

n n n n ==-++ 9分 1111223n T =-+-+ 111n n +-+1111

n

n n =-=

++． 12分 考点：由n S 求n a 、对数的运算、裂项相消法、等差数列的前n 项和公式.

17． （1）21n a n =+．（2）1

(21)22n n T n +=-+。

【解析】 试题分析：（1）令n = 1，解出a 1 = 3, （a 1 = 0舍）， 由4S n = a n 2 + 2a n －3 ①

及当2n ≥时 4s n －1 = 2

1-n a + 2a n-1－3 ②

①－②得到0)(212

12=+----n n n n a a a a ，

确定得到{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列. （2）利用“错位相减法”求和. 试题解析： （1）当n = 1时，21111113

,424

a s a a ==+-解出a 1 = 3, （a 1 = 0舍） 1分 又4S n = a n 2 + 2a n －3 ①

当2n ≥时 4s n －1 = 2

1-n a + 2a n-1－3 ②

①－② 22

1142()n n n n n a a a a a --=-+-, 即0)(21212=+----n n n n a a a a ，

∴ 0)2)((11=--+--n n n n a a a a , 4分

2011=-∴>+--n n n n a a a a Θ（2≥n ），

}{n a 数列∴是以3为首项，2为公差的等差数列， 12)1(23+=-+=∴n n a n ． 6分

（2）123252(21)2n n T n =?+?+++?L ③ 又23123252(21)2(21)2n n n T n n +=?+?+-?++L ④

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④－③ 1

3212)12()222(223++++++-?-=n n n n T Λ

112)12(2286++?++?-+-=n n n 22)12(1+-=+n n 12分

考点：等差数列及其求和，等比数列的求和，“错位相减法”. 18．（1）1

2(1),2

(2).

n n n a n -=?=?≥?（2）2

2n b n n =-（3）n n n T 2)3(2?-+=

【解析】

试题分析：（1）利用数列的前n 项和n S 与第n 项n a 的关系1

1

1=2

n n n S n a S S n -=??

-≥?求解.

（2）由()121n n b b n +=+-121n n b b n +?-=-

又()()()()12132431n n n b b b b b b b b b b -=+-+-+-++-L 可转化为等差数列前n 项和问题.

（3）由（1）（2）可得1

2(1),

(2)2(2).n n n c n n --=?=?-?≥?

所以，1

3212)2(2221202-?-+???+?+?+?+-=n n n T

根据和式的特点可考虑用错位相减法解决.

试题解析：（1）∵n

n S 2=,

∴)2(,21

1≥=--n S n n ． 2分 ∴11

1222(2)n n n n n n a S S n ---=-=-=≥． 3

分

当1=n 时，212111

1==≠=-a S ，

∴1

2(1),2

(2).

n n n a n -=?=?≥? 4

分

（2）∵)12(1-+=+n b b n n ∴112=-b b ，

323,b b -=

435,b b -=

123n n b b n --=- ,

以上各式相加得：

()()()()

2

111231352312

n n n b b n n -+--=++++-==

-L

11b =-Q

22n b n n ∴=- 9分

（3）由题意得1

2(1),(2)2(2).n n n c n n --=?=?-?≥?

∴1

3212)2(2221202-?-+???+?+?+?+-=n n n T ， ∴n

n n T 2)2(22212042432?-+???+?+?+?+-=， ∴n

n n n T 2)2(2222132?--+???+++=--

n n n 2)2(2

1)21(21?----=-

=n

n

n

n n 2)3(22)2(22?---=?---， ∴

n

n n T 2)3(2?-+=．

12分

考点：1、数列前n 项和n S 与第n 项n a 的关系；2、等差数列前n 项和；3、错位相减法求数列前n 项和.

19．(1)n a n =;(2)2

1

11

n n +-+. 【解析】

试题分析：（1）由2n n S n +=2

得)1()1(222

1-+-=≥-n n S n n 时两式相减得n a n =； （2）根据1111

21()(21)1

n n n n b a n a a n n +=+-=-+-+，再利用分组求和即可求出

结果.

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试题解析：解：（1）由2n n S n +=2.)1()1(222

1-+-=≥-n n S n n 时 2分 ∴n S S a n n n 22221=-=-∴n a n =（2≥n ） 4分 又1=n 时，11=a 适合上式。∴n a n = 6分

)12()1

1

1(12)1(1121)2(1-++-=-++=-+=

+n n n n n n a a a b n n n n Θ 8分

)1231()]11

1()4131()3121()211[(-+++++-++-+-+-=∴n n n S n ΛΛ 10分

1

1

111122+-

+=++-=n n n n 12分 考点：1.通项公式和前n 项和的关系；2.数列求和. 20．（1）122

11

-==-n b a n n n ，，

（2）32)32(+?-=n

n n T . 【解析】

试题分析：（1）由2n n S a =-及112n n S a --=-进行相减求得n a 与1n a -的关系，由等比数列定义可得数列｛n a ｝的通项公式，又由112n n n b b b -++=可知数列{b n }是等差数列，进而可求得其通项公式；（2）易得12)12(-?-==n n

n

n n a b c ，其通项为等差乘等比型，可用错位相乘法求其前n 项和T n.

试题解析：（1）由题意知2n n S a =-①，当n ≥2时，112n n S a --=-②，①-②得

11n n n n n a S S a a --=-=-，即12

1

-=

n n a a ，又1112a S a ==-，∴11a =，故数列{a n }是以1为首项，21为公比的等比数列，所以12

1

-=n n a ，由112n n n b b b -++=（n ≥2）知，数列{b n }

是等差数列，设其公差为d ，则9)(21

735=+=b b b ，故

12)1(24

11

5-=-+==-=

n d n b b b b d n ，，综上，数列{a n }和{b n }的通项公式分别为122

11

-==

-n b a n n n ，.

（

2

）

∵

12)12(-?-==

n n

n

n n a b c ，∴

12n n

T c c c =+++L 12102)12(252321-?-++?+?+?=n n K ③

n n n n T 2)12(2)32(23212121?-+?-++?+?=-K ④

③-④得n

n n n T 2)12()222(21121?--++++=--K ， 即32)32(2)12()22(21---=---+=-n

n n n n n T ， ∴32)32(+?-=n

n n T

考点：n a 与n S 的关系：11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?，等差与等比数列的定义和通项公式，数列

求和方法：错位相减法.

21．（1）12-=n n a ;（2）12)1(+-=n n n T . 【解析】

试题分析：（1）先根据等比数列公式求出n S 与n 的关系式，然后利用n S 与n a 的递推关系求出1a ，从而再求出n a .（2）根据数列通项公式的特点用错位相减法求数列前n 项和. 试题解析：（1）解：∵}1{+n S 是公比为2的等比数列， ∴11112)1(2)1(1--?+=?+=+n n n a S S . 1分 ∴12)1(11-?+=-n n a S .

从而11122+=-=a S S a ，221233+=-=a S S a . 3分 ∵2a 是1a 和3a 的等比中项

∴)22()1(112

1+?=+a a a ，解得=1a 1或11-=a . 4分 当11-=a 时，11+S 0=，}1{+n S 不是等比数列， 5分 ∴=1a 1.

∴12-=n n S . 6分 当2n ≥时，112--=-=n n n n S S a . 7分 ∵11=a 符合12-=n n a ，

∴12-=n n a . 8分 （2）解：∵12-?=n n n na ，

∴1212232211-?++?+?+?=n n T K . ① 9分

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

n n n T 22322212321?++?+?+?=K .② 10分 ①-②得n n n n T 2222112?-++++=--K 11分

n n n 22

121?---= 12分 12)1(-?-=n n . 13分

∴12)1(+-=n n n T . 14分

考点：1、n S 与n a 的递推关系的应用，2、错位相减法求数列前n 项和.

22．（1）)211(2n

-= （2）2

1242

n n n n -+=+-+ 【解析】

试题分析：解、（1）当2≥n 时，????

??

???

=-?

??=-=------21

21

211

22211

1a a a a a a n n n n n n

?121212121-+???++=-n n a a ? =

+???+++=-122121211n n a 2

1121

1--

n )211(2n -=， 当1=n 时，1)21

1(2=-=n a ，成立，

所以通项n a )211(2n -=)(*

∈N n 5分

（2）n n b na =12

2--=n n

n ，则

n n b b b S +???++=21)2

232221()21(21210-+???+++-+???++=n n

n

令12102232221-+???+++=n n n

A ①，

则n n n n

n A 2

21232221211321+-+???+++=- .②，

数列求和的教学反思

数列求和的教学反思 数列求和的教学反思 由于数列的求和在求解的方法中比较多，学生难以一次性熟练掌握全部的方法并灵活运用，所以在《数列求和》的专题课的教学重点放在了数列求和的前三种重要方法： 1、公式法求和（即直接利用等差数列和等比数列的求和公式进行求和）； 2、利用叠加法、叠乘法将已知数列转化为等差数列或等比数列再行求和； 3、对于数列的通项是由等差乘以等比数列构成的，用乘公比错位相减求和法。 从实际教学效果看教学内容安排得符合学生实际，由浅入深，比较合理，基本达到了这节课预期的教学目标及要求。结合自我感觉、工作室评课、学生反馈，这节课比较突出的有以下几个优点。 1、注重“三基”的训练与落实 数列部分中两种最基本最重要的数列就是等差数列和等比数列，很多数列问题包括数列求和都是围绕这两种特殊数列展开的，即使不能直接利用等差数列和等比数列公式求和，也可根据所给数列的

不同特点，合理恰当地选择不同方法转化为等差数列或等比数列再行求和。因此上课伊始做为本节课的知识必备，就要求学生强化等差数列和等比数列求和公式的记忆。其次本节课充分渗透了转化的数学思想方法，并且通过典型例题使学生体会并掌握根据所给求和数列的不同特点，分别采用叠加法或叠乘法将所给数列转化为等差数列或等比数列再行求和的基本技能。 2、例、习题的选配典型，有层次 一方面精选近年典型的高考试题、模拟题做为例、习题，使学生通过体会和掌握，达到举一反三的目的；另一方面结合学生实际，自行编纂或改编了一些题目，或在原题基础上降低了难度，设计出了层次，或在学生易错的地方设置了陷阱，提醒学生留意。同时所配的课堂练习也充分注意了题目的难易梯度，把握了层次性，由具体数字运算到字母运算，由直接给出数列各项到用分段函数形式抽象表述数列，由单一方法适用到能够一题多解等等。 3、对学生可能出现的问题有预见性，并能有针对性地对症下药进行设计 对于直接利用公式求和的等差数列或等比数列求和问题，预见到学生的关键问题应该出在搞不清

数列求和—裂项相消专题

数列求和—裂项相消专题 裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的. 常见的裂项相消形式有： 1. 111 (1)1n a n n n n ==- ++ 1111 ()(2)22n a n n n n = =-++ ┈┈ 1111 () ()n a n n k k n n k = =-++ 2 n p a An Bn C ?= ++（分母可分解为n 的系数相同的两个因式） 2. 1111 ()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+ 1111 ()(21)(23)22123n a n n n n ==-++++ 1111 ()(65)(61)66561 n a n n n n = =--+-+ 3. 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ??==-??+++++?? 4. 111211 (21)(21)2121 n n n n n n a ---==- ++++ +1+1211(21)(21)2121 n n n n n n a ==-++++ 122(1)111 (1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-= =?=- ++?+ ┈┈ 1 2 = 1 k =

1.在数列{}n a 中，11211++ ???++++=n n n n a n ，且1 2+?=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项的和. 2.已知数列{}n a 是首相为1，公差为1的等差数列，2 1 n n n b a a += ?，n S 为{}n b 的前n 项 和，证明：1334 n S ≤<.

数列求和、数列的综合应用

数列求和、数列的综合应用 挖命题 【考情探究】 考点：1.数列求和； 2.数列的综合应用。 内容解读：①掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. ②能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,抽象出数列的模型,并能用有关知识解决相应的问题 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和. 2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题. 3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 破考点 【考点集训】 考点一数列求和 1.(2017湖南郴州第一次教学质量监测,6)在等差数列{a n}中,a4=5,a7=11.设b n=(-1)n·a n,则数列{b n}的前100项之和S100=( ) A.-200 B.-100 C.200 D.100 答案 D 2.(2018湖北东南省级示范高中联考,15)已知S n为{a n}的前n项和,若a n(4+cos nπ)=n(2-cos nπ),则S88等于. 答案2332 3.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考,13)若{a n},{b n}满足 a n b n=1,a n=n2+3n+2,则{b n}的前2018项和为. 答案 1 009 2 020 考点二数列的综合应用

1.(2018福建漳州期末调研测试,5)等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项均为1,公差与公比 均为3,则a b 1+a b 2 +a b 3 =( ) A.64 B.32 C.38 D.33 答案 D 2.(2017陕西西安铁一中第五次模拟,9)已知数列{a n}满足a n=log(n+1)(n+2)(n∈N*),我们把使乘积a1·a2·a3·…·a n为整数的数n叫做“优数”,则在区间(1,2004)内的所有“优数”的和为( ) A.1024 B.2003 C.2026 D.2048 答案 C 3.已知a n=3n(n∈N*),记数列{a n}的前n项和为T n,若对任意的n∈N*,(T n+3 2 )k≥3n-6恒成立,则实数k的取值范围是. 答案k≥2 27 炼技法 【方法集训】 方法1 错位相减法求和 1.(2018福建闽侯第八中学期末,16)已知数列{na n}的前n项和为S n,且a n=2n,则使得S n-na n+1+50<0的最小正整数n的值为. 答案5 2.(2018河南安阳第二次模拟,17)设等差数列{a n}的前n项和为S n,点(n,S n)在函数f(x)=x2+Bx+C-1(B,C∈R)的图象上,且a1=C. (1)求数列{a n}的通项公式; (2)记b n=a n(a2n-1+1),求数列{b n}的前n项和T n. 解析(1)设数列{a n}的公差为d, 则S n=na1+n(n-1) 2d=d 2 n2+(a1-d 2 )n, 又S n=n2+Bn+C-1,两式对照得{d 2 =1, C-1=0, 解得{ d=2, C=1, 所以a1=1, 所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1(n∈N*). (2)由(1)知b n=(2n-1)(2·2n-1-1+1)=(2n-1)2n,

四年级奥数思维训练专题-巧妙求和

四年级奥数思维训练专题-巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列.数列中的每一个数称为一项.其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数. 相邻两项的差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差. 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算. 项数=（52－4）÷6＋1=9 答：这个数列共有9项. 试一试1：有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？ 例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 分析：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100.要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算. 第100项=3+4×（100－1）=399

试一试2：求1，4，7，10……这个等差数列的第30项. 例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100.请求出这个数列所有项的和. 分析：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 试一试3：6+7+8+…+74+75 例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和. 分析：项数=（末项－首项）÷公差+1 =（50－2）÷2+1=25 首项=2，末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）×25÷2=650 试一试4：9+18+27+36+…+261+270 巧妙求和（二） 专题简析：

数列求和专题(学生版)

数列求和专题 讲点1.公式法：用于等差与等比数列，必须记住数列前n项和公式 ； 例1．（2014福建卷）在等比数列中，a2＝3，a5＝81. (1)求a n； (2)设，求数列的前n项和S n. 讲点2.分组求和 （等差+等比） 把一组需要求和的数列拆分成两组或两组以上的特殊数列来求和 例2．（2014·北京卷）已知是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列满足b1＝4，b4＝20，且{b n－a n}为等比数列． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 变式1．求和 变式2．求数列的前n项和：，… 变式3．在数列中，，其前项的和=__________ 变式4．等差数列中， （1）求数列的通项公式;

（2）设数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和. 讲点3.错位相减 （等差×等比） 例3．（2014·全国新课标卷Ⅰ）已知是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 变式1．设数列满足 (1) 求的通项公式； (2) 设，求数列的前n项和． 变式2．已知正项数列满足：（），且 （1）求得通项公式； （2）设，求数列的前项和

讲点4.裂项相消 （分式型） 常用的裂项公式有 例4．(2014-2015武汉中学期中）等比数列的各项均为正数，且，（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，求的前项和. 变式1． 在数列中，，又，求数列的前项和. 变式2．求和 变式3． .求数列的前n项和. 变式4．求数列的前n项和. 例5．（襄阳四中2011-2012高一下期中）数列的通项公式是 ，前项和为9，则等于． 变式5．求数列的前项和. 讲点5.倒序相加 前后对应项的和为定值 例6． 已知函数当时，，则 =_________. 变式1．设求的值.

数列求和专项训练题(学生)

数列求和的常用方法 第一类：公式法求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的. 1、等差数列前n 和公式：()() 11122 n n n a a n n S na d +-= =+ 2、等比数列前n 和公式：1 11(1)(1)(1) 11n n n na q S a a q a q q q q =?? =--?=≠?--? 自然数方幂和公式： 3、11(1)2n n k S k n n ===+∑ 4、211 (1)(21) 6n n k S k n n n ===++∑ 5、32 1 1[(1)]2 n n k S k n n ===+∑ 【例】已知数列{}n a 满足*111,4,n n a a a n N +==+∈，求数列{}n a 的前n 项和 n S . 【练习】已知321 log log 3 x -= ，求23n x x x x +++???++???的前n 项和.

第二类：分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 若数列{}n c 的通项公式为n n n c a b =+，其中数列{}n a ，{}n b 分别是等差数列和等比数列，求和时一般用分组结合法。 【例】数列111111,2,3,4 ,,,24816 2n n 求数列的前n 项和. 【练习】数列{}n a 的通项公式221n n a n =+- 第三类：裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 常用的通项分解（裂项）如：

考点25 数列求和及综合应用

考点25 数列求和及综合应用 一、选择题 1. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ12）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n 2，则（ ） A 、{S n }为递减数列 B 、{S n }为递增数列错误！未找到引用源。 C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列 D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【解析】选B.因为n n a a =+1，21n n n a c b += +，2 1n n n a b c +=+，所以1a a n =，++1n b = +1n c 2n n a c +2 n n a b ++ 1)(21 )(21a c b a c b n n n n n ++=++= ++1n b )2(2 1 2111a c b a c n n n -+= -+，注意到1112a c b =+，所以12a c b n n =+. 于是n n n C B A ?中，边长1a C B n n =为定值，另两边的长度之和为12a c b n n =+为定值. 因为-+1n b = +1n c 2n n a c +2n n a b +- )(21 n n c b --=， 所以)()2 1 (111c b c b n n n --=--，当+∞→n 时，有0→-n n c b ，即n n c b →，于是n n n C B A ?的边n n C B 的高n h 随n 增大而增大，于是其面积n n n n n h a h C B S 12 1||21==为递增数列. 二、填空题 2.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ14）若数列}{n a 的前n 项和3 132+=n n a S ，则 }{n a 的通项公式是=n a _________

(完整word版)数列求和方法(带例题和练习题)

数列的求和 数列求和主要思路： 1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； 数列求和的常用方法 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 11123(1) 2 n n k S k n n n == =+++++=+∑L … 4、 222221 1 123(1)(21)6n n k S k n n n n ===++++=++∑L 5、 2 3 3 3 3 3 1 (1)1232n n k n n S k n =+?? ===++++=????∑L 公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n 的值； （2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。 例1．求和2 2 1-++++n x x x Λ(0,2≠≥x n ) 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例2．求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S 例3．求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n 项和就是此法推导的 例4．求ο ο ο ο ο 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2 2++???+++的值 例4变式训练1：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 例4变式训练2： 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002. 例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

专题04 数列求和及综合应用(原卷版)

专题04 数列求和及综合应用 【要点提炼】 1.常用公式：12＋22＋32＋42＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1） 6. 2.(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系为a n ＝???S 1 （n ＝1）， S n －S n －1 （n ≥2）. (2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ，S n )＝0时，应特别注意n ＝1时的情况，防止产生错误. 3.数列求和 (1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并. (2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加 抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如? ???????? ?c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为 零的等差数列，c 为常数)的数列. 温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 4.数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题. 考点一 数列求和及综合应用 考向一 a n 与S n 的关系问题 【典例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，b n ＝－1－log 2|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝b n ＋1 T n T n ＋1 . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和A n ，并求出A n 的最值.

2013届高三数学二轮复习 专题三 第2讲 数列求和及数列的综合应用教案

第2讲 数列求和及数列的综合应用 自主学习导引 真题感悟 1．(2012·大纲全国卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列??? ? ? ? 1a n a n ＋1的前100项和为 A. 100101 B.99101 C.99100 D.101 100 解析 利用裂项相消法求和． 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15， ∴? ???? a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×5－1 2d ＝15，， ∴???? ? a 1＝1d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴ 1 a n a n ＋1＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴数列{1 a n a n ＋1}的前100项和为1－12＋12－13＋…1100－1101＝1－1101＝100101 . 答案 A 2．(2012·浙江)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N ＋，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N ＋. (1)求a n ，b n ； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解析 (1)由S n ＝2n 2＋n ，得 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1. 所以a n ＝4n －1，n ∈N ＋. 由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1，n ∈N ＋. (2)由(1)知a n b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N ＋，

数列求和精选难题、易错题(含答案)

1、数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点在直线y=2x+1上，。（1）若数列{an}是等比数列，求实数t的值； （2）设bn=nan，在（1）的条件下，求数列{bn}的前n项和Tn； （3）设各项均不为0的数列{cn}中，所有满足的整数的个数称为这个数列的”，令（），在（2）的条件下，求数列的“积异号数”。 解：（1）由题意，当时，有 两式相减，得即：（） 当时，是等比数列，要使时是等比数列， 则只需，从而得出 （2）由（1）得，等比数列的首项为，公比， ① 可得② 得 （3）由（2）知， ，， ，数列递增

由，得当时，数列的“积异号数”为1。 2、已知数列{an}的前n项和为Sn，满足． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式an； （Ⅱ）令，且数列{bn}的前n项和为Tn满足，求n的最小值；（Ⅲ）若正整数m，r，k成等差数列，且，试探究：am，ar，ak能否成等比数列证明你的结论． 解：（Ⅰ）∵， 由，∴， 又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴，即； （Ⅱ）， ∴ ， ∴，即n的最小值为5； （Ⅲ）∵， 若，，成等比数列， 即 由已知条件得，∴， ∴， ∴上式可化为，

∵，∴， ∴， ∴为奇数，为偶数， 因此不可能成立， ∴，，不可能成等比数列． 3、设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1=1，b1=3，a2+b2=8，T3-S3=15 （1）求{an}，{bn}的通项公式。 （2）若数列{cn}满足求数列{cn}的前n项和Wn。 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q ∵a1=1，b1=3由a2+b2=8，得1+d+3q=8 ① 由T3-S3=15得3（q2+q+1）-（3+3d)=15 ② 化简①②∴消去d得q2+4q-12=0 ∴q=2或q=-6 ∵q＞0∴q=2则d=1∴an=n bn=3·2n-1 ⑵∵an=n∴① 当时，…② 由①-②得∴cn=3n+3 又由⑴得c1=7 ∴ ∴{an}的前n项和…

数列求和专题训练 方法归纳

数列求和专题 方法归纳 方法1：分组转化法求和 1．已知{a n }的前n 项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，3n ＋2n －1，则S n ＝ ________. 2．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an －2＋n ，求 b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 方法2裂项相消法求和 3.设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N * )，则数列? ???????? ?1a n 前 10项的和为______． 4. S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. ①求{a n }的通项公式； ②设b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和． 5．若已知数列的前四项是 112 ＋2，122＋4，132＋6，1 42＋8 ，则数列的前n 项和为________． 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. （1)求{a n }的通项 公式； (2)设b n ＝1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 7．已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)． (1)设 b n ＝1 a n ，求证：数列{ b n }是等差数列；(2)求数列?????? ??? ?a n n ＋1的前n 项和S n . 方法3：错位相减法求和 8．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列(b n ＞0)，且a 1＝b 1＝2，a 3＋b 3＝16，S 4＋b 3＝34.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n 为数列{a n b n }的前n 项和，求 T n . 9．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．

考点25 数列求和及综合应用

温馨提示： 此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word 文档返回原板块。 考点25 数列求和及综合应用 一、选择题 1. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ12）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n 2，则（ ） A 、{S n }为递减数列 B 、{S n }为递增数列 C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列 D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【解析】选B.因为n n a a =+1，21n n n a c b += +，2 1n n n a b c +=+，所以1a a n =，++1n b = +1n c 2n n a c +2 n n a b ++ 1)(21 )(21a c b a c b n n n n n ++=++= ++1n b )2(2 1 2111a c b a c n n n -+= -+，注意到1112a c b =+，所以12a c b n n =+. 于是n n n C B A ?中，边长1a C B n n =为定值，另两边的长度之和为12a c b n n =+为定值. 因为-+1n b = +1n c 2n n a c +2n n a b +- )(21 n n c b --=， 所以)()2 1 (111c b c b n n n --=--，当+∞→n 时，有0→-n n c b ，即n n c b →，于是n n n C B A ?的边n n C B 的高n h 随n 增大而增大，于是其面积n n n n n h a h C B S 12 1||21==为递增数列. 二、填空题

三种常用的数列求和方法-高考文科数学分类专题突破训练

考查角度2三种常用的数列求和方法 分组转化法求和 已知等差数列{a n}满足a2=2,a1+a4=5. {a n}的通项公式; (2)若数列{b n}满足b1=3,b2=6,{b n-a n}为等比数列,求数列{b n}的前n T n. 利用已知条件求出等差数列{a n}的通项公式;(2)因为{b n n,所以数列{b n}的前n项和T n可以看成数列{b n-a n} {a n}的前n项和的总和. 设等差数列{a n}的公差为d, {a n}满足a2=2,a1+a4=5, ∴解得a1=d=1, ∴a n=1+(n-1)×1=n. (2)设等比数列{b n-a n}的公比为q,∵b1=3,b2=6, ∴b1-a1=3-1=2,b2-a2=6-2=4, ∴q=2. ∴b n-a n=2×2n-1=2n, ∴b n=n+2n, ∴数列{b n}的前n项和 T n=(1+2+3+…+n)+(2+22+…+2n)=+- -=+2n+1-2. 从求和数列的通项入手,将其转化为等差数列与等比 ,再利用等差数列与等比数列的求和公式进行分组求和. 错位相减法求和 已知{a n}的前n项和S n=4n-n2+4. {a n}的通项公式; (2)求数列-的前n项和T n. 由{a n}的前n项和求出数列{a n}的通项公式;(2)利用错 (当n=1时要单独考虑). 当n≥2时,a n=S n-S n-1=4n-n2-[4(n-1)-(n-1)2]=5-2n; 1时,a1=S1=7. ∴a n= - (2)令b n=-,

当n=1时,T1=b1=-=0; 当n≥2时,b n=-= - , ∴T n=0++++…+ -+ - , T n=+++…+ - +, 两式相减得T n=1+++…+ --= - - -=2-, ∴T n=4- - (n≥2 . 当n=1时,满足上式. 综上所述,T n=4- - . 用错位相减法求和时,应注意: ,特别是等比数列的公比为负数的情形; (2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n-qS n”的表达式; (3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比未知,应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 分类透析三a n=型的裂项相消法求和 已知数列{a n}为单调递增数列,S n为其前n项和,2S n=+n. (1)求{a n}的通项公式. (2)若b n=,T n为数列{b n}的前n项和,证明:T n<. 由递推公式2S n=+n求出{a n}的通项公式;(2)先用裂项相消法求和,再进行适当放缩证明. 当n=1时,2S1=2a1=+1,即(a1-1)2=0,解得a1=1. 又{a n}为单调递增数列,所以a n≥1. 由2S n=+n得2S n+1=+n+1, 所以2S n+1-2S n=-+1, 整理得2a n+1=-+1,所以=(a n+1-1)2. 所以a n=a n+1-1,即a n+1-a n=1, 所以{a n}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以a n=n.

41总复习：数列求和及其综合应用(基础)知识梳理

数列求和与综合应用 【考纲要求】 1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式； 2. 掌握数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系式 3．注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和，熟练掌握求数列的前n 项和的几种常用方法； 4.能解决简单的实际问题. 【知识网络】 【考点梳理】 纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度. 与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限，将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题. 有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性，将数列分类定性，考察数列的图像特征，考察数列的极限存在与否等等. 有关实际应用问题：某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列有关知识解答此类应用题. 数列的函数属性：因数列是函数的特例，故解答有关问题时，常与函数知识联系起来考虑. 【典型例题】 类型一：数列与函数的综合应用 例1.(2015 菏泽一模)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()( )* 1n S n n n N =+∈. 综合应用 与函数、方程、不等式等 与几何、实际问题等 数列前n 项和 公式法 错位相减 倒序相加 裂项相消 分组求和

专题训练-常见数列的求和

专题训练－常见数列的求和 德阳二中 谢超强 在前面，我们学习了如何求等差数列和等比数列的前n 项和。下面介绍既非等差数列又 非等比数列的某些数列前n 项和的求法。 一、分组求和法 某些数列，通过适当的分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，从而可利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，得出原数列的和。 例1：求数列3 11，912 ，2713，…，)3 1n n +（，…的前n 项和。 解：n S ＝311＋912＋271 3＋…＋)3 1n n +（ ＝（1＋2＋3＋…＋n ）+)3 1 2719131(n ++++ = 3 11) 311(312 )1(--++n n n =)3 1 1(21)1(21n n n -++ 二、聚合法 有的数列表示形式较复杂，每一项是若干个数的和，这时常采用聚合法，先对其第n 项求和，然后将通项化简，从而改变原数列的形式，再采用分组求和。 例2：求数列 ,2 221,,221,21,11 2 2 -+++++++n 的前n 项和。 解：∵122 1212 22112 -=--=++++=-n n n n a ∴n n a a a a S ++++= 321 =)12()12()12()12(3 2 1 -++-+-+-n =n n -++++)2222(3 2 1 = 222 1) 21(21--=---+n n n n 三、裂项相消法 这种方法是先把数列的第n 项n a 分裂为几项的代数和，从而改变数列的形式，以便可以进行消项处理，进而达到解决问题的目的。 例3．求数列 ,) 1(6,,436,326,216+????n n 的前n 项和。

高中数列专题常见求和方法总结

专题：数列及其数列求和 ?重点、考点精读与点拨 一、基本知识 1．定义： (1) .数列：按一定次序排序的一列数 (2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列 (3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一 个常数，则这个数列叫做等比数列 2． 通项公式与前n 项和公式 }{n a 为等差数列： d n a a n )1(1-+= 2 ) (2 )1(11n n a a n d n n na S += -+ = }{n b 为等比数列： )1(1 1≠=-q q b b n n q q a a q q a S n n n --= --= 11)1(11（q )1≠ 3． 常用性质 }{n a 为等差数列，则有 （1） 从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，2 1 1-++=n n n a a a （n>1） （2） ),()(* N n m d m n a a m n ∈-+= （3） 若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a +=+，特殊的：若m+n=2r ,则有：r n m a a a 2=+ （4） 若,,m a n a n m ==则有：0=+n m a （5） 若)(,,n m S m S n S n m n m +-===+则有： （6） }{n a 为等差数列q p q pn a n ,(+=?为常数)?),(2 R q p qn pn S n ∈+=

（7） m m m m m S S S S S 232,,--┅┅仍成等差数列 （8）}{},{n n b a 为等差数列，则}{n n qb pa +为等差数列（p ，q 为常数） （9）若项数为偶数2n ，nd ＝－奇偶S S ， 1 +n n a a S S ＝ 偶 奇 若项数奇数2n －1，n a S S =偶奇－，1 -n n S S ＝ 偶 奇 （10）???=≥-=-1 11)2 (S a n S S a n n n }{n a 为等比数列，则有 （1） 只有同号的两数才存在等比中项 （2） ),(* N n m q a a m n m n ∈=- （3） 若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a ?=?，特殊的：若m+n=2r ,则有：2 r n m a a a =? （4） }{},{n n b a 为等比数列，则}{n n b a ?，}{ n n b a ，{n ca }为等比数列（0≠c ） （5） 等比数列中连续n 项之积构成的新数列仍是等比数列，当1≠q 时，连续项之和仍为 等比数列 （6） )1,0() 0,0(≠≠-=≠≠=q q k kq S q c cq a n n n n 二、在数列中常见问题： 1、等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，)(1d a dn a n -+=（定义域为正整数集），一次项的系数为公差；等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数， n d a n d s n )2 (2 12 - += 二次项系数为公差的一半，常数项为0. 证明某数列是等差（比） 数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证： 常数）常数，（==-++n n n n a a a a 11 2、等差数列当首项a 1>0且公差d<0时(递减数列)，前n 项和存在最大值。利用???<≥+001 n n a a 确 定n 值，即可求得s n 的最大值（也可以用二次函数的性质或图象解）。

2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题四 第二讲 数列求和及综合应用

第二讲数列求和及综合应用 高考考点 考点解读 求数列的通项公式1.已知数列的递推关系式以及某些项，求数列的通项公式；已知等差(比)的某些项或前几项的和，求其通项公式 2．考查等差(比)数列的概念以及通项公式、前n项和公式等 求数列的前n项和1.以等差(比)数列为命题背景，考查等差(比)的前n项和公式、分组求和 2．以递推数列、等差(比)数列为命题背景，考查错位相减、裂项相消、倒序相加等求和方法 与数列的和有关的综合应用1.等差(比)数列的求和、分组求和、错位相减求和及裂项相消求和 2．常与不等式、函数、解析几何相结合考查数列求和函数、不等式的性质等 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： (1)加强对递推数列概念及解析式的理解，掌握递推数列给出数列的方法． (2)掌握等差(比)数列求和公式及方法． (3)掌握数列分组求和、裂项相消求和、错位相减求和的方法． (4)掌握与数列求和有关的综合问题的求解方法及解题策略． 预测2020年命题热点为： (1)已知等差(比)数列的某些项的值或其前几项的和，求该数列的通项公式． (2)已知某数列的递推式或某项的值，求该数列的和． (3)已知某个不等式成立，求某参数的值．证明某个不等式成立． Z 知识整合 hi shi zheng he 1．分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n＝a n＋b n形式的数列求和问题的方法，其中{a n}与{b n}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． 2．裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即a n＝f(n＋1)－f(n)的形式，然 后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如{c a n a n＋1 }(其中{a n}是公差d≠0且各项均不为0

高考数学一轮复习专题：数列求和(教案及同步练习)

1．等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 2．等比数列的前n 项和公式 S n ＝???? ? na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 3．一些常见数列的前n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1) 2. (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n (n ＋1)． (4)12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1) 6. 【知识拓展】 数列求和的常用方法 (1)公式法 等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和． (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项公式 ① 1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ；

②1(2n －1)(2n ＋1)＝12????1 2n －1－12n ＋1； ③ 1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n . (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( √ ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1 n ＋1 )．( √ ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × ) (4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋1 2 n .( × ) (5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ ) 1．(2017·潍坊调研)设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A.n 2＋7n 4 B.n 2＋5n 3 C.2n 2＋3n 4 D ．n 2＋n 答案 A 解析 设等差数列的公差为d ，则a 1＝2， a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d . 又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1·a 6.

专题：数列求和讲义

专题：数列求和 （一）主要知识： 1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式S n ＝???? ?na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.（切记：公比含字母时一定要讨论） 2．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和. 222221 (1)(21) 1236 n k n n n k n =++=+++ += ∑ 2 3 333 3 1 (1)1232n k n n k n =+??=+++ +=? ???∑ 3．倒序相加法：类似于等差数列的前项和的公式的推导方法，如果一个数列{}n a 的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式即是用此法推导的． 4．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和公式就是用此法推导的． 若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令 ， 则 两式错位相减并整理即得. 5．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似 （其中 是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法 （1），特别地当时，； n n n n n n n