2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
例1．已知在ABC ?中，10c =，45A =，30C =，解三角形.
思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b .
解析：
sin sin a c
A C
=， ∴sin 10sin 45
102sin sin 30
c A a C ?=
==，
∴ 180()105B A C =-+=， 又
sin sin b c
B C
=
， ∴sin 10sin10562
20sin 75205652sin sin 304
c B b C ?+====?=+． 总结升华：
1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.
举一反三：
【变式1】在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；
根据正弦定理，0
0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；
根据正弦定理，0
sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A
【变式2】在?ABC 中，已知075B =，0
60C =，5c =，求a 、A . 【答案】0
180()180(7560)45A B C =-+=-+=，
根据正弦定理
5
sin 45sin 60o o
a =
，∴563a =. 【变式3】在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C
==
，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==.
例2．在3,60,1ABC b B c ?=
==中，，求：a 和A ，C ．
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .
解析：由正弦定理得：
sin sin b c
B C
=
， ∴sin 1sin 601
sin 23
c B C b ?=
==， （方法一）∵0180C <<， ∴30C =或150C =， 当150C =时，210180B C +=>，（舍去）；
当30C =时，90A =，∴222a b c =+=． （方法二）∵b c >，60B =， ∴C B <， ∴60C <即C 为锐角， ∴30C =，90A = ∴222a b c =+=． 总结升华：
1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
2. 在利用正弦定理求角C 时，因为0
sin sin(180)C C =-，所以要依据题意准确确定角C 的范围，再求出角C .
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍. 类型二：余弦定理的应用：
例3．已知ABC ?中，3AB =、37BC =
、4AC =，求ABC ?中的最大角。
思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解. 解析：∵三边中37BC =
最大，∴BC 其所对角A 最大，
根据余弦定理：22222234(37)1
cos 22342
AB AC BC A AB AC +-+-=
==-??， ∵ 0180A <<， ∴120A = 故ABC ?中的最大角是120A =. 总结升华：
1.ABC ?中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；
2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系. 举一反三：
【变式1】已知ABC ?中3a =, 5b =, 7c =, 求角C .
【答案】根据余弦定理：2222225371
cos 22352
a b c C ab +-+-=
==-??， ∵0180C <<， ∴120o
C =
【变式2】在ABC ?中，角,,A B C 所对的三边长分别为,,a b c ，若
::a b c =6:2:31+（
），求ABC ?的各角的大小．
【答案】设6a k =
，2b k =，(
)
31c k =
+，()0k >
根据余弦定理得：()()
2
6314
2cos 2
2316
B +
+-=
=
+， ∵0180B <<，∴45B =； 同理可得60A =； ∴18075C A B =--=
【变式3】在ABC ?中，若2
2
2
a b c bc =++，求角A .
【答案】∵2
2
2
b c a bc +-=-， ∴2221
cos 22
b c a A bc +-=
=- ∵0180A <<， ∴120A = 类型三：正、余弦定理的综合应用
例4．在ABC ?中，已知23=a ，62=+c ，045B =，求b 及A .
思路点拨: 画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b ，然后继续用余弦定理或正弦定理求角A .
解析：
⑴由余弦定理得：
2222cos b a c ac B =+-
=220(23)(62)223(62)cos45++-??+ =212(62)43(31)++-+ =8 ∴2 2.=b
⑵求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： （法一：余弦定理）
∵222222(22)(62)(23)1
cos 22222(62)
b c a A bc +-++-=
==??+， ∴060.=A （法二：正弦定理）
∵0233
sin sin sin45222
a A B
b ==?=
又∵62 2.4 1.4 3.8+>+=，2321.8 3.6
总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好. 举一反三：
【变式1】在ABC ?中，已知3b =, 4c =, 0
135A =.求B 和C . 【答案】由余弦定理得：21225135cos 432432
2
2
+=??-+=o
a ， ∴48.621225≈+=
a
由正弦定理得：sin 3sin135sin 0.327o
b A B a a
==≈， 因为0135A =为钝角，则B 为锐角， ∴0/
197B =. ∴0
/
180()2553C A B =-+=.
【变式2】在ABC ?中，已知角,,A B C 所对的三边长分别为,,a b c ，若2a =，22b =，62c =-，求角A 和sin C
【答案】根据余弦定理可得：
()
222884343
cos 2222262
b c a A bc +-+--===
??- ∵0180A <<， ∴ 30A = ；
∴由正弦定理得：(
)
()62sin 30
62sin sin 2
4
c A
C a
--==
=
.
其他应用题详解
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )
A ．a km
a km
a km D ．2a km
解析 利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ACB 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×? ??
??
－12＝3a 2，
∴AB ＝3a . 答案 B
2．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )
A ．2 2 km
B ．3 2 km
C ．3 3 km
D ．2 3 km
解析 如图，由条件知AB ＝24×
15
60
＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知
BS sin30°
＝
