立体几何专题讲义

立体几何专题讲义

一、考点分析

1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

①

????????

→???????→??

??

底面是正多形

棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱★ 底面为矩形

底面为正方形 侧棱与底面边长相等 2. 棱锥

棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

3．球

球的性质：

①球心与截面圆心的连线垂直于截面；

★②r =

d 、球的半径为R 、截面的半径为r ）

★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长 方体，球与正方体等的内接与外切.

注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式：2

3

44,3

S R V R ππ==球球（其中R 为球的半径）

1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈??：

解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；

2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈??：关键找“两足”：垂足与斜足

解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。

3求二面角的平面角[]0,θπ∈

解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。

二、典型例题

俯视图

1．

一空间几何体的三视图如图

1所示,则该几何体的体积为_________________.

第1题

2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________.

第2题 第3题

3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 .

4．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图4所示，则此几何体的体积是 .

第4题 第5题

5．如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则 a .

6．已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 .

2

2 侧(左)视图 2

2 2 正(主)视图 3

俯视图

1 1

2 a

第6题第7题7.若某几何体的三视图（单位：cm

）如图所示，则此几何体的体积是3

cm

8.设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为_________m 3。

第7题第8题

9．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为_________________.

图9

10.一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图10所示（单位cm），则该三棱柱的表面积为_____________.

图10

11. 如图11所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为_____________.

20

20

正视图

20

侧视图

10

10

20

俯视图

223

2

21

俯视图正(主)视图侧(左)视图

2

3

2

2

正视图

俯视图

图

图11 图12 图13

12. 如图12，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为_____________.

13.已知某几何体的俯视图是如图13所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其表面积是_____________.

14.如果一个几何体的三视图如图14所示(单位长度: cm ), 则此几何体的表面积是_____________.

图14

15．一个棱锥的三视图如图图9-3-7，则该棱锥的全面积（单位：2

cm ）_____________.

正视图 左视图 俯视图

图15

16．图16是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_____________.

图16 图17

17.如图17，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为______________.

18.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图9-3-14所示，则这个棱柱的体积为

______________.

俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

2 3

2

2

俯视图

正视图

33

4

图18

考点二 体积、表面积、距离、角

注：体积表面积 异面直线所成角 线面角

1. 将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了___________.

2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为___________.

3．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为_______________. 4．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的

2

1

，则它的体积是原来的______________. 5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是

. 6.平行六面体1AC 的体积为30，则四面体11AB CD 的体积等于 .

7．如图7，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11A D ，11C D 中点，求异面直线1AB 与EF 所成角的角______________.

8. 如图8所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为_____________.

第8题 第7题

9.正方体''

'

'

ABCD A B C D -中,异面直线'

CD 和'

BC 所成的角的度数是_________________.

10．如图9-1-3，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1

3,AB BC BC CC ==

，则异面直线1AA 与1BC 所成的角是_________，异面直线AB 与1CD 所成的角的度数是______________

图13

11. 如图9-1-4，在空间四边形ABCD 中，AC BD ⊥ AC BD =,,E F 分别是AB 、CD 的中点，则EF 与AC 所成角的大小为_____________.

12. 正方体1AC 中，1AB 与平面11ABC D 所成的角为 .

13．如图13在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，则直线1CB 与平面11AA B B 所成角的正弦值为_______________.

14. 如图9-3-6，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线BD 1与平面ABCD 所成的角的正切值为_______________.

图9-3-6 图9-3-1

图7

15．如图9-3-1，已知ABC ?为等腰直角三角形,P 为空间一点，且52,AC BC PC AC ==⊥，PC BC ⊥，5PC =，AB 的中点为M ，则PM 与平面ABC 所成的角为

16．如图7，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为__________________.

17.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是______________. 18．长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3， 11=AA ，则顶点A 、B 间的球面距离是_________________.

19.已知点,,,A B C D 在同一个球面上，,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB =213,AC =8AD =，则,B C 两点间的球面距离是 .

A

C

P

A 1

C B

A

B 1

C 1

D 1 D

O