均值不等式的灵活应用-高考文科数学热点专题
专题32 均值不等式的灵活应用
一．【学习目标】
会应用不等式的基础知识通过不等式建模，分析求解与不等式相关的实际应用问题；会运用不等式的工具性探究函数与方程问题；会通过构造函数解决不等式的综合问题，从而提升思维能力． 二．【知识要点】
1.不等式建模应用问题
实际问题中所涉及的变量之间、变量与常量之间存在不等关系，适合应用不等式知识建模求解；有时问题可能是函数建模后转化化归为不等式解模，此类应用问题的求解思路仍然是：理解问题?假设建模?求解模型?检验评价，而关键和切入点是理解问题情境，建立数学模型.
2.不等式综合应用类型
类型1：求函数的定义域、值域、最值及单调性判定问题. 类型2：讨论方程根的存在性、根的分布及根的个数等问题.
类型3：探究直线与圆、圆锥曲线的位置关系，参变量取值范围，最值问题等. 类型4：探究数列的递增(递减)性，前n 项和的最值等问题. 3．基本不等式
(1)a 2
＋b 2
≥2ab ；变式：a 2＋b 2
2
≥ab ；当且仅当a ＝b 时等号成立；
(2)如果a ≥0，b ≥0，则a ＋b 2≥ab ；变式：ab ≤????a ＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．
4．(1)若a >0，b >0，且a ＋b ＝P (定值)，则由ab ≤????a ＋b 22
＝P 2
4可知，当a ＝b 时，ab 有最大值P
2
4；
(2)若a >0，b >0且ab ＝S (定值)，则由a ＋b ≥2ab ＝2S 可知，当a ＝b 时，a ＋b 有最小值2S . 三．题型方法规律总结
1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值等问题.
不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角等相结合，解决这些问题的关键是找出综合题中各部分知识之间的转化化归，注意灵活应用数学思想和数学方法.
2.建立不等式的主要途径有：利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性；利用均值不等式.
3.不等式的实际应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一.不等式应用题大都是以函数的面目出现，以最优化的形式展现.在解题过程中涉及均值不等式，常常与集合问题，方程(组)解的讨论，函数定义域、值域的确定，函数单调性的研究，三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等有着密切的关系.
4.解答不等式的实际应用问题，一般可分为四个步骤：
(1)审题：阅读理解材料.应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题的方法.
(2)建模：建立数学模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系.
(3)求解：利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.
(4)回验：回到实际问题，作出合理的结论.
四．典例分析
（一）基本不等式比较大小
例1．若，，则下列结论：①，②③
④，其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
练习1．若m，n，a，b，c，d均为正数，，则p，q的大小关系为( ) A．p≥q B．p≤q C．p>q D．不确定
【答案】B
【解析】q＝≥＝＋＝p，当且仅当＝时取等号．练习2．若，，，，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，且，
∴，即．
故选B．
练习3．设f(x)＝e x,0
【答案】C
【解析】由题意得，
∵，∴，
又函数为增函数，∴．
故选C．
（二）利用基本不等式证明
例2.已知，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】，，，
上面三式相加，得：，
所以，.
练习1．设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结
论正确的是
A．逆命题与否命题均为真命题B．逆命题为假命题，否命题为真命题
C．逆命题为假命题，逆否命题为真命题D．否命题为假命题，逆否命题为真命题
【答案】A
【解析】原命题：“设a、，原命题“若，则”，是假命题，
原命题的逆否命题是假命题；
原命题的逆命题：“若，则”，是真命题，
原命题的否命题是真命题．
故选：A．
练习2．已知，，为不全相等的正实数，且.求证：.
【答案】见解析
练习3．下列条件：①，②，③，，④，，其中能使成立的条件的序号是________．
【答案】①③④
【解析】要使，只需成立，即，不为且同号即可，故①③④能使成立．.
故答案为：①③④.
（三）由基本不等式求积的最值
例3. 4．在中，角A,B,C的对边分别为且.
（1）若，且<，求的值．
（2）求的面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）由余弦定理可得，即，
解得，又由，且，
联立方程组，解得.
（2）由余弦定理，得
因为，所以，
又因为，所以三角形的面积为，此时
练习1．已知，且，则的最大值是（）
A．B．4C．D．8
【答案】C
【解析】由题意得，，当且仅当时等号成立，
所以的最大值是．
故选C．
【点睛】运用基本不等式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如逆用就是
；逆用就是等．当应用不等式的条件不满足时，要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形，使之满足使用不等式的条件，解题时要特别注意等号成立的条件．
练习2．已知圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4相外切，a，b为正实数，则ab 的最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知，
圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1的圆心为C1（﹣a，2），半径r1=1．
圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4的圆心为C2（b，2），半径r2=2．
∵圆C1：（x+a）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣b）2+（y﹣2）2=4相外切，
∴|C1C2|=r1+r2．即a+b=3．
由基本不等式，得．
故选：B．
练习3．已知正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由正实数，，满足，得，当且仅当，即
时，取最大值，又因为，所以此时，所以
，故最大值为1
（四）基本不等式求和的最值
例4.已知实数，满足，，则的最小值是
A．10B．9C．D．
【答案】B
【解析】，，，，当且仅当时，取等号．
则，
当且仅当时，且，时，的最小值为9，故选B．
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
练习1．若正数满足，则的最小值为( )
A．9B．8C．5D．4
【答案】A
【解析】∵x＞0，y＞0，x+4y＝xy，
∴,
∴x+y＝（x+y）（）＝5+≥5+2＝9，当且仅当x＝2y取等号，结合x+4y＝xy，
解得x＝6，y＝3
∴x+y的最小值为9，
故答案为：A．
练习2．已知，且，则的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，可知，且，则，
则，
当且仅当，即等号成立，即最小值是，故选A.
练习3．已知，且，则的最小值为______．
【答案】15
（五）条件等式求最值
例5．若直线过圆的圆心，则的最小值为( ) A．10B．C．D．
【答案】C
【解析】圆x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0的圆心（﹣2，2）在直线ax﹣by+2＝0上，
所以﹣2a﹣2b+2＝0，即1＝a+b，
（）（a+b）＝55+2（a＞0，b＞0当且仅当a b时取等号）
故选：C．
练习1．已知实数，且，则的最小值为____
【答案】
【解析】由于a+b＝2，且a＞b＞0，则0＜b＜1＜a＜2，
所以，，令t＝2a﹣1∈（1，3），则2a＝t+1，
所以，
当且仅当，即当时，等号成立．
因此，的最小值为．
故答案为：．
练习2．若实数，满足，则的最小值为____.
【答案】4
【解析】∵a＞1，b＞2满足2a+b﹣6＝0，
∴2（a﹣1）+b﹣2＝2，a﹣1＞0，b﹣2＞0，
则（）[2（a﹣1）+b﹣2]，
（4），
当且仅当且2a+b﹣6＝0即a，b＝3时取得最小值为4．
故答案为：4．
练习3．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．
【答案】1
【解析】∵点在椭圆上运动，即，
则
，当且仅当时，取等号，即所求的最小值为.
练习4．已知，，，则的最小值为_______．
【答案】3
【解析】因为，，
所以=
（六）基本不等式的恒成立问题
例6.已知函数.
(1)求关于的不等式的解集；
(2),使得成立,求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由题意得
不等式可化为或或或
解得．
所以不等式的解集为．
(2)，使得成立，等价于.
由(1)知，当时，，
当且仅当，即当时，等号成立．所以，解得，
又，所以．故实数的取值范围为．
【点睛】解绝对值不等式的常用方法
(1)平方法：两边平方去掉绝对值符号．
(2)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
(3)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．
(4)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．
练习1．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，当等号成立.故
恒成，化简得，解得，故选C.
练习2．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的最小值是
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】不等式对任意的正实数x，y恒成立，
则对任意的正实数x，y恒成立，
又，，
解得或不合题意，舍去，，
即正实数m的最小值是4．
故选：B．
练习3．（1）已知x＞0，y＞0，x+y+xy=8，则x+y的最小值？
（2）已知不等式的解集为{x|a≤x＜b}，点（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，若对任
意满足条件的m，n，恒有成立，则λ的取值范围？
【答案】(1)4 (2)（﹣∞，9]
【解析】（1）∵x＞0，y＞0，
∴，当且仅当x=y时取等号
由x+y+xy=8，
可得：8﹣（x+y）≤．令x+y=t．（t＞0）．得8﹣t≤，（t＞0）.
解得：t≥4，即x+y≥4．故x+y的最小值为4．
（2）由不等式的解集为{x|a≤x＜b}，
可得方程（x+2）（x+1）=0的两个根=a=﹣2，=b=﹣1．
∵点（a，b）在直线mx+ny+1=0上，得：﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1．
对任意满足条件的m，n，恒有成立，
则：．当且仅当n=m时取等号．
∴λ≤9．
即λ的取值范围是（﹣∞，9]．
练习4．若不等式＞0在满足条件a＞b＞c时恒成立，求实数λ的取值范围．
【答案】(－∞，4)
【解析】原不等式可化为＞.
∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.
∴不等式λ＜恒成立．
∵＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴λ＜4.
故实数λ的取值范围是(－∞，4)．
（七）对勾函数求最值
例7．已知。
（1）比较，在的大小关系；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
=，
即
（2）∵在上恒成立，
∴在上恒成立，
即，又在上递增，
∴
∴，即
∴
练习1．已知，则函数的最小值为______．
【答案】4
【解析】已知，根据均值不等式可知：，当且仅当时取等号。
练习2．已知，，则的最大值是．
【答案】
【解析】由题得原式=，设，
所以原式=，
令
所以原式=.(函数在上单调递减).
故答案为：.
（八）均值不等式的应用
例8．某厂家拟在2019年举行促销活动，经过调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）（单位：
万件）与年促销费用（）（单位：万元）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件. 已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.
（1）将该厂家2019年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
【答案】（1）；（2）2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大
【解析】（1）由题意有，得
故
∴
（2）由（1）知：
当且仅当即时，有最大值.
答: 2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大.
练习1．某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元．设池底长方形的长为x米．
（Ⅰ）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；
（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）池底设计为边长米的正方形时，总造价最低，其值为元.【解析】（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，
则有(平方米)．池底长方形宽为米，则
S2＝8x＋8×＝8(x＋)．
（Ⅱ）设总造价为y，则
y＝120×1 600＋100×8≥192000＋64000＝256000．当且仅当x＝，即x＝40时取等号．
所以x＝40时，总造价最低为256000元．
答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为256000元．
练习2．某投资公司计划投资，两种金融产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资金额的函
数关系为，产品的利润与投资金额的函数关系为.（注：利润与投资金额单位：万元）学_科网
（1）该公司已有100万元资金，并全部投入，两种产品中，其中万元资金投入产品，试把，两种产品利润总和表示为的函数，并写出定义域；
（2）试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
【答案】（1）；（2）20，28.
练习3．已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元设公司一
年内共生产该款手机万部且并全部销售完，每万部的收入为万元，且．
写出年利润万元关于年产量（万部）的函数关系式；
当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）， ;（2）当时，y取得最大值57600万元．
【解析】（1）由题意，可得利润关于年产量的函数关系式为
，.
由可得
，
当且仅当，即时取等号，所以当时，y取得最大值57600万元．
2019高考试题文科数学汇编：不等式
2019高考试题文科数学汇编：不等式 1.【2018高考山东文6】设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥?? +≤??-≥-? 那么目标函数3z x y =-的取 值范围是 (A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3 [6,]2 - 【答案】A 2.【2018高考安徽文8】假设x ，y 满足约束条件 02323x x y x y ≥?? +≥??+≤? ，那么y x z -=的最 小值是 〔A 〕-3 〔B 〕0 〔C 〕 3 2 〔D 〕3 【答案】A 3.【2018高考新课标文5】正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，假设点〔x ，y 〕在△ABC 内部，那么z=－x+y 的取值范围是 〔A 〕(1－3，2) 〔B 〕(0，2) 〔C 〕(3－1，2) 〔D 〕(0，1+3) 【答案】A 4.【2018高考重庆文2】不等式 1 02 x x -<+ 的解集是为 〔A 〕(1,)+∞ 〔B 〕 (,2)-∞- 〔C 〕〔-2，1〕〔D 〕(,2)-∞-∪(1,)+∞ 【答案】C 5.【2018高考浙江文9】假设正数x ，y 满足x+3y=5xy ，那么3x+4y 的最小值是 A. 245 B. 285 C.5 D.6 【答案】C 6.【2018高考四川文8】假设变量,x y 满足约束条件3, 212,21200 x y x y x y x y -≥-??+≤?? +≤??≥?≥??，那么34z x y =+的最 大值是〔 〕 A 、12 B 、26 C 、28 D 、33 【答案】C 7.【2018高考天津文科2】设变量x,y 满足约束条件?? ? ??≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,那么目标函数z=3x-2y 的最小值为
2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练
A． a a>b>0，由不等式性质知：->->0，所以< >- 7 2 ∵x-x=4a-(-2a)=6a=15，∴a=15 62 2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一一元二次不等式解法及其应用 例1若a>b>0，c
?f(m+1)=2m2+3m<0 ，则函数y=4x-2+1的最大值. x<,∴5-4x>0，∴y=4x-2+=- 5-4x+?+3≤-2+3=1 1 【解析】因为y=x(8-2x)= 1 . 【答案】9,+∞) ?f(m)=2m2-1<02 即?，解得-
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
【高中数学】公式总结(均值不等式)
均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』
例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
2016年高考文科数学真题分类汇编：不等式
2016年高考数学文试题分类汇编 不等式 一、选择题 1、（2016年山东高考）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤??-≤??≥? 则x 2+y 2的最大值是 （A ）4（B ）9（C ）10（D ）12 【答案】C 2、（2016年浙江高考）若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥??--≤??-+≥? 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这 两条平行直线间的距离的最小值是（ ） 【答案】B 3、（2016年浙江高考）已知a ，b >0，且a ≠1，b ≠1，若4log >1b ，则（ ） A.(1)(1)0a b --< B. (1)()0a a b --> C. (1)()0b b a --< D. (1)()0b b a --> 【答案】D 二、填空题 1、（2016年北京高考）函数()(2)1 x f x x x = ≥-的最大值为_________. 【答案】2 2、（2016江苏省高考） 已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥??+-≥??--≤? ，则x 2+y 2的取值范围是 ▲ . 【答案】4[,13]5 3、（2016年上海高考）设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______. 【答案】)4,2(
4、（2016上海高考）若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥??≥??≥+? 则2x y -的最大值为_______. 【答案】2- 5、（2016全国I 卷高考）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元. 【答案】216000 6、（2016全国II 卷高考）若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥??+-≥??-≤? ，则2z x y =-的最小值为 __________ 【答案】5- 7、（2016全国III 卷高考）若,x y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥??--≤??≤? 则235z x y =+-的最大 值为_____________. 【答案】10- 11、（2016江苏省高考）函数y 的定义域是 ▲ . 【答案】[]3,1- 三、解答题 1、（2016年天津高考）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C 三种主要原料.生产1 车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
高中数学基本不等式题型总结
专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 .
【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 .
【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 .
2020高考理科数学不等式问题的题型与方法
专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络
其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时，
高考文科数学不等式选讲考点精细选
不等式选讲考点精细选 一、知识点整合： 1.含有绝对值的不等式的解法 (１)|ｆ(x)|>ａ（ａ>0)?f(ｘ）>a或ｆ（ｘ)<-ａ； (2）|ｆ(x)|＜a(a>０)?-a 典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2）几何平均数：12n n n G a a a =L （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4）平方平均数：222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个2x ，则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??= 2018年全国2卷省份高考模拟文科数学分类---选考不等式 1.（2018陕西汉中模拟）已知，不等式的解集是. （Ⅰ）求a 的值； （II ）若存在实数解，求实数的取值范围. 解：（Ⅰ）由, 得，即. 当时，. ………2分 因为不等式的解集是 所以 解得 当时，. …………4分 因为不等式的解集是 所以无解. 所以………5分 （II ）因为 所以要使存在实数解，只需. ……8分 解得或. 所以实数的取值范围是. ……10分 2.（2018呼和浩特模拟）已知函数()1f x x =-. （Ⅰ）解不等式()()246f x f x ++≥； （Ⅱ）若,a b R ∈，1a <，1b <，证明：()()1f ab f a b >-+. （Ⅰ）不等式()()246f x f x ++≥即为2136x x -++≥ 当3x ≤-时，1236x x ---≥解得3x ≤- 当132 x -<< ，1236x x -++≥解得32x -<≤- 当12x ≥时，2136x x -++≥解得43x ≥ 综上，(]4,2,3x ??∈-∞-+∞???? ； （Ⅱ）等价于证明1ab a b ->- 因为,1a b < ，所以1,1a b -<<，1ab <，11ab ab -=- 若a b =，命题成立； 下面不妨设a b >，则原命题等价于证明1ab a b ->- 事实上，由()()()1110ab a b b a ---=+-> 可得1ab a b ->- 综上，1ab a b ->- 3.（2018东北育才中学模拟）定义在R 上的函数x k x x f 22+-=.?∈N k .存在实数0x 使()20 基本不等式 基本不等式知识 1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ （2）若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2．（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） （3）若*,R b a ∈，则2 2??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3．若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 4．若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 5．若,,,+∈R c b a a b c c b a 3333≥++， 33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等） 应用一 直接求最值 例1 求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x （3）（理科）已知+∈R y x ,，且满足232x y =，则x y +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．6 D ．4 （4）已知+∈R c b a ,,且满足132=++c b a ，则c b a 31211++的最小值为 （5）若b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2 ，则y x ,的大小关系是 （6）若,0,0>>b a 且,72=++b a ab 则b a +的最小值是 技巧一 凑项 例1 已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值 1．函数y ＝log 2(x ＋1x －1 ＋5)(x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4 技巧二 凑系数 例2 当40< 均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析） 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则 2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正 所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 3 0< 2017年高考数学试题分类汇编：不等式 1（2017北京文）已知，，且x +y =1，则的取值范围是__________． 【考点】3W ：二次函数的性质． 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可． 【解答】解：x ≥0，y ≥0，且x +y=1，则x 2+y 2=x 2+（1﹣x ）2=2x 2﹣2x +1，x ∈[0，1]， 则令f （x ）=2x 2﹣2x +1，x ∈[0，1]，函数的对称轴为：x=，开口向上， 所以函数的最小值为：f （）= =． 最大值为：f （1）=2﹣2+1=1． 则x 2+y 2的取值范围是：[，1]． 故答案为：[，1]． 【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 2（2017浙江）已知a R ，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________． 【考点】3H ：函数的最值及其几何意义． 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】通过转化可知|x +﹣a |+a ≤5且a ≤5，进而解绝对值不等式可知2a ﹣5≤x +≤5，进而计算可得结论． 0x ≥0y ≥22x y +∈4()||f x x a a x =+ -+a 【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5， 又因为|x+﹣a|≤5﹣a， 所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a， 所以2a﹣5≤x+≤5， 又因为1≤x≤4，4≤x+≤5， 所以2a﹣5≤4，解得a≤， 故答案为：（﹣∞，]． 【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 3（2017新课标Ⅲ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10分） f x=│x+1│–│x–2│. 已知函数() f x≥1的解集； （1）求不等式() f x≥x2–x +m的解集非空，求实数m的取值范围. （2）若不等式() 【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法． 【专题】32 ：分类讨论；33 ：函数思想；4C ：分类法；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用；5T ：不等式． 【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1 第45炼 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >= （1）调和平均数：12 111n n n H a a a = ++ + （2 ）几何平均数：n G = （3）代数平均数：12n n a a a A n ++ + = （4）平方平均数： n Q = 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a === 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b + ≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 3y x x =+≥，右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两 个 2x ，则22422y x x x x x =+=++≥= ② 乘积的式子→和为定值，例如3 02 x << ，求()()32f x x x =-的最大值。则考虑变积为和后保证x 能够消掉，所以()()()2 112329 322322228 x x f x x x x x +-??=-=?-≤= ???（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。 5、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求 m n x y +的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。 例如：已知0,0,231x y x y >>+=，求 32 x y +的最小值 解： ()3232942366y x x y x y x y x y ??+=++=+++ ??? 94121224y x x y =+ +≥+= （3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值 解：()2 2 21 1222 228 x y x y xy x y ++??=??≤ = ? ?? 所以()() 2 224248 x y x y xy x y +++=?++ ≥ 即()()2 282320x y x y +++-≥，可解得24x y +≥，即()min 24x y += 不等式应试技巧总结 1、不等式的性质： （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则 a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b > >（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b >。 【例】（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0< <<则若；⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______（答：12,2? ?-- ?? ?） 2. 不等式大小比较的常用方法： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 【例】（1）设0,10>≠>t a a 且，比较 21log log 21+t t a a 和的大小（答：当1a >时，11log log 22 a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11 log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，1 2 p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >）； （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或4 3 x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当 413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时，1+3log x ＝2log 2x ） 3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方 针。 【例】（1）下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是 2 B 、2y =的最小值是 2 C 、 423(0)y x x x =--> 的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =--> 的最小值是2-（答：C ）； （2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______ （答：； （3）正数,x y 满足21x y +=，则y x 1 1+的最小值为______ （答：3+； 4.常用不等式有：（1 2211 a b a b +≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222 a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； （3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。 【例】如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞）高考数学百大经典例题——不等式解法
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