因式分解经典题目
第一讲：因式分解一提公因式法
知识要点】
1、分解因式的概念把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式。
2 、分解因式与整式乘法的关系分解因式与整式乘法是的恒等变形。
3．分解因式的一些注意点
( 1 )结果应该是的形式；( 2)必须分解到每个因式都不能为止；
( 3 )如果结果有相同的因式，必须写成的形式。
4．公因式多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的.
5. 提公因式法
如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方示叫做提公因式法.
6. 确定公因式的方法
(1)系数公因式: 应取多项式中各项系数为;
(2)字母公因式:应取多项式中各项字母为.
学堂练习】
1.下列各式从左边到右边的变形,哪些是分解因式,哪些不是?
(1)x2+ x = x2(1+ 1); (2)a2-2b =(a+5)(a-5)-1
x
2016.11.21
(3)(m + n)(m - n) = m2- n2
(5)3x2-2xy+x= x(3x - 2y) 2．把下列各式分解因式
(1) 9a2-6ab+3a (4)x2+4x+4 =(x+2)2 (6)(x -3)(x +1) = x2-2x -3
(2)-4x4y -6x2y3+ 2xy4
例 1 、把下列各式分解因式
(1)2a(x-2y)-3b(x -2y) 2)2a(x-2y)-3b(2y- x)-4c(x-2y)
3)2a(x-2y)2+b(2y- x)34)15b(3a - b)2+ 25(b - 3a)3
6) (a + x )m +
1(b + x )n -
1 -(a +x )m (b +x )
例 2 ．利用分解因式计算
(1) 2.91234.5+11.71234.5- 4.61234.5
2
例3．已知
a +
b = 23,ab =2，求代数式
a 2
b +2a 2b 2 +ab 2的值。
例 4、利用因式分解说明：367 -612能被 140整除。
随堂练习】
1．下列各式从左到右的变形中是因式分解的是(
)
1 1
A 、 (a - 1)(a + b ) = a + a - 2
B 、 x - = ( x + )(x - )
y 2 y y C 、x - y = ( x + y )( x - y )
D 、m (m +4)+4 = (m +2)2
2．已知二次三项式2x 2 +bx +c 分解因式2(x -3)(x +1)，则b ,c 的值为(
)
A 、 b = 3,c = -1
B 、 b = -6,c = 2
C 、 b = -6,c = -4
D 、 b = -4,c = -6
3．下列各式的公因式是a 的是(
) A 、ax + ay +5
B 、4ma +6ma 2
C 、5a 2 +10ab
D 、a 2 -4a +ma 4．将3a (x - y )-b (x - y )用提公因式法分解因式，应提出的公因式是(
) A 、3a -b
B 、3(x - y )
C 、 x - y
D 、3a +b
5．把多项式m 2(a -2)+ m (2-a )分解因式的结果为(
)
A 、(a -2)(m 2 +m )
B 、(a -2)(m 2 -m )
C 、m (a -2)(m -1)
D 、m (a -2)(m +1)
6．多项式2x 2 y - xy 的公因式是 ；多项式是6a 2b 3 - 9ab 2c 3的公因式是 7．分解因式： xy - xy 2=
。
a (m - n )3 -
b (n -m )3 = (m -n )3(
)。
8．已知： a +b = 133, ab =1000。a 2b + ab 2的值为
。
5)(x - y ) -3(y -x ) +2(y -x )
2)
299 - 298 2100 - 299
9．把下列各式分解因式
2) -3a 2bc 2 +12a 3b 2c 2 + 9a 2bc 3
课后强化】
1．3x 2 + mx - 4分解因式为(3x + 4)(x -1)，则m 的值为 。
2． - 3xy - 6mxy + 9nxy = -3xy ( )
a ( x - a ) +
b (a - x ) -
c ( x - a ) =
。
3．把下列各式分解因式
(1)3x 2y -6xy 2 +12xyz (2)3x 2(x - y )+6x (y -x ) (3)
2(x - y )3 + 4(y - x )2
(4)a (a +b )(a -b )-a (a +b )2 第二讲：因式分解—公式法、分组分解法
1．乘法公式逆变形
(1)平方差公式：a 2 -b 2 = (a +b )(a -b )
(2)完全平方公式： a 2 +2ab +b 2 = (a +b )2,a 2 -2ab +b 2 = (a -b )2 2.常见的两个二项式幂的变号规律： ①(a -b )2n =(b -a )2n ； ②(a -b )2n -1 =-(b -a )2n -
1．(n 为正整数)
3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行：
( 1 )如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
( 2 )如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； ( 3 )如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解方法。
学堂练习】
1、如果9x 2 + kx + 25是一个完全平方式，那么k 的值是( )
A 15
B 15
C 30
D 30
2、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是( )
A 、 - m + 4
B 、 - x - y
C 、 x y - 1
3、把下列各式分解因式：
5) x - xy + y
6) - x + 2 xy - y
7) x 2- y 2+ ax + ay 8) 4x 4- a 2- 6a - 9
4 m 2 - 12m + 36
1) 4a 2 - b 2 2)16 - 9a 2 3) 16x 2 y 2 -1
1)2a 2b -6a 2b 2 + 2ab 2 3) a ( x - y ) - b ( x - y )
4) 2(y - x )2 -x (x - y )
D 、(m -a )2 -(m + a )2
经典例题】
例 1 ．用公式法分解因式：
(1)
(a 2 + b 2)2 - 4a 2b 2
(3)a 2b 2 -4ab +4
(6)(x 2 - x )2 + 6(x 2 - x ) + 9
一三”分组的不同题型的解题方法
a 2 －
b 2－
c 2 ＋ 2bc
ab － c ＋ b － ac
( 2) a 2 － ab ＋ ac － bc
(2) 2ac - 6ad + bc - 3bd (2) x 2+ x -4y 2-2y 2)a 2
-4b 2
+12bc - 9c 2
课外延伸
1．用分组分解法把ab －c ＋b －ac 分解因式分组的方法有( )
A ．1 种
B .2 种
C .3 种
D .4 种
2. 用分组分解 a 2－b 2－c 2＋2bc 的因式，分组正确的是
( )
A .(a 2
-c 2
)-(b 2
-2bc ) B .(a 2
-b 2
-c 2
)+2bc C .(a 2
-b 2
) - (c 2
- 2bc ) D .a 2
-(b 2
+c 2
-2bc ) 3．填空：
(1)ax ＋ay －bx －by =(ax ＋ay )－ ( ) =( ) ( )
(2)x 2－2y －4y 2＋x = ( )＋(
) =( ) ( )
(3)
4a 2－b 2－4c 2＋4bc = (
)－( ) =( ) ( )
2)(x + 2) -(y -3)
4) x 4
-8x 2
+16
(5)16(x -1)2 -25(x +2)2
分组分解法 掌
握分组分解法中使用“二二”、“ 分组后能运用公式(一三分组)
x -y -x + y x -2xy + y -1 分组后能提公因式(二二
分组) a x ＋ay ＋bx ＋by 练习： 把下列多项式分解因
式：
1.(1) a +b + ab +1
2.(1)7x 2
+3y + xy + 21x
3.(1) a 2
-9b 2
+ 2a -6b
4.(1)a 2－2ab ＋b 2－c 2
4．用分组分解法分解因式
(1)4ax -4ay -x + y
2) a 2-9 +8ab +16b 2
7．若a + b = 3,ab = -2,求a 3 +a 2b +ab 2 +b 3值。
随堂练习】
1．对于多项式x 5-x 3+x 2 -1有如下四种分组方法：其中分组合理的是（
）
①(x 5-x 3)+(x 2 -1)
②(x 5+x 2)-(x 3+1)
③(x 5-x 3+x 2)-1
④x 5-(x 3-x 2 +1)
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
2.△ABC 的三边满足 a 4+b 2c 2-a 2c 2-b 4
=0，则△ABC 的形状是 _________ . 3.已知a + b = 2 ，利用分解因式，求代数式1 a 2 +ab +1b 2。 22
课后强化】
（3）a 2 -b 2 -4a + 4b 5 ．用合适的方法分解因式：
（1）5m 2a 4 - 5m 2b 4
（3）4a 2（m - n ） +b 2（n -
m ）
6．利用分解因式计算：
（1）1.2229-1.332 4
4) a - b - c + d - 2ad - 2bc
2)12m 2n 2 -12m 2n +3m 2
4) 4m 2 + 9(m + n )2 + 12m (m + n )
2) 2022 + 202196+982
4、分解下列因式： （1）－3x 3－12x 2＋36x
（3）
m 2 + 2n - mn - 2m
5、计算：（1） 20032 - 2002
2004
2)(x 2 +1)2 - 4x 2
4） a 2＋2ab ＋b 2－a －b
2）
552 - 452 992 +198+1
1)8x 2 - 2
2)16a 2 - 9b 2
3) a 3b + ab - 2a 2b
4)(x 2 +1)2 - 4x 2 5) x - y + x 2 - 2xy + y 2
第三讲 因式分解——十字相乘法
十字相乘法
一、 x 2 + px + q 型的二次三项式因式分解：
（x +a ）（x +b ）
x 2 +（a +b ）x +ab
（其中 p =a +b ， q = ab ）
那么二次三项式：
ax 2 +bx +c =a 1a 2x 2 +(a 1c 2 +a 2c 1)x +c 1c 2 =(a 1x +c 1)(a 2x +c 2)
二、利用十字相乘法将下列各式因式分解
2x 2 + 5x + 2 2x + 7 x + 3 3x + 7 x - 6
2 x - 5 x -
3 2x - 7 x + 3 3x + 8 x - 3
2x 2 -3x -20 2x - 7 x + 6 3x 2 - 5x + 2
2 x + 5 x - 7
2x - 7 x + 6 5 x - 3 x - 2
5 x 2 + 6x - 8
6 x - 5 x - 25 6x -
7 x + 3
1）、 x 2＋7x ＋6 ( 2 )、x 2 － 5 x － 6 ( 3)、 x 2 － 5 x ＋ 6 4）、
a 2－4a －21 ( 5 )、 t 2 － 2 t － 8 ( 6 )、m 2＋ 4 m － 12
7）、 x -4x +3 (8)、 x 2
+6x -7
(9) x 2
-12x -13
10）
、 a 2
- 10a - 11 (11)、x 2 +8x +15
( 12)、 x 2 － 7 x ＋ 6 13）
、 x 4＋5x 2－6
（14）、m 4－6m 2＋8 ( 15 )、 x 4 ＋ 10 x 2 ＋
9
16）
、
(a +b )2
-3(a +b ) -4 (17)、(2x -y )2
-8(2x -y )+12
18）
、 (x 2
+5x )2
+10(x 2
+5x ) +24
(19)、 (
x 2 - 2x
) -11(x 2 - 2x ) 、
二次三项式
ax 2
+bx +c 的分解：
+ 24
一、利用十字相乘法将下列各式因式分解 如果二次项系数a 分解成a 1 、 a 2 ，常数项c 分解成c 1 、 c 2 ；并且a 1c 2 +a 2c 1等于一次项系数b ， 借助于画十字交叉线排列如下：
（2）7a 2
+ ab - 21a -3b
（5 ） 4x 2 － 4xy － a 2 ＋y 2 （8）x 2
+ x -30
（11） x 2
- 14x + 24 14）
a 2－a
b －12b 2 17） x 2
+ 2xy - 8y 2
（3）ax 2
+3x 2
-4a -12
（ 6 ） 1 ―m 2 ―n 2 ＋ 2mn
（9） x 2
- 2x - 15 （12）x 2
＋xy －12y 2 15）3x 2 +21x +36
18）a 2
+ 4ab + 3b
2
◆ 因式分解的一般步骤 ： 一提二代三分组
① 、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；
② 、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法；
③ 、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法； ④ 、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。
◆ 因式分解几点注意与说明：
① 、因式分解要进行到不能再分解为止； ② 、结果中相同因式应写成幂的形式；
③ 、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点， 因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。
因式分解综合复习
考点分析】
考点1：分解因式的意义
1、下列从左到右的变形,属于分解因式的是(
)
2 、若多项式 x 2+ax+b 可分解为(x+1)(x －2),试求 a 、b 的值。
1．把下列各式分解因式
（1）5x 2
+6y -15x -2xy
（4）9m 2－6m ＋2n －n 2 （7）m 2
+ 3m - 4
（10）x 2 +10x -24
（13）x 2－13xy －36y 2 （16） x 4 + 7x 2 +12
A. (x+3)(x－2)=x2+x－6
B. ax －ay+1=a(x－y)+1
C. x2－1 =(x+ 1 )(x－1 )
D. 3x2+3x=3x(x+1)
y2y y
考点2：提公因式法分解因式
1．多项式 6a 3b 2－3a 2b 2－21a 2b 3分解因式时，应提取的公因式是 （
）
A. 3a 2b
B. 3ab 2
C. 3a 3b 2
D. 3a 2b 2
2．把多项式 2（x －2）2－（2－x ）3分解因式的结果是（ ）
(2)分解因式：8x 2 y-8xy+2y=
。
A. （x －2）2（4－x ）
B. x （x －2）2
C.－x （x －2）2
D. （x －2）2（2－x ）
3．下列各组代数式没有公因式的是（
）
A ． 5a － 5b 和 b － a C ．（a －b ）2和－a + b 4、分解下列因式 （1）－8x
2n+2 y n+2
+ 12x n+1 y 2n+3
B ． ax+1 和 1+ay
D ．a 2－b 2和（a + b ）（a + 1） （ 2 ） x 2y （x － y ） + 2xy （y － x ）
（3）16（x －y ）2－24xy （y －x ） （4）-27x 2（3x - y ）2 -9y （y -
3x ）
考点3：运用公式法分解因式
2
1．如果9 x 2 + kx + 25是一个完全平方式，那么k 的值是（ ）
A 、 15
B 、 ±5
C 、 30
D ±30
2. ⑴（2009年北京）分解因式： - a 2 +14ab +49b 2=
。 ⑵（2005 年上海市）分解因式： m 4 -16n 4= 。
3、分解下列因式：
（1）1m 2 3n 2
（2）a 2b 2 14ab 49
（3） 9（a -b ）2 -16（a
+b ）2 考点4：分组分解法分
解因式 （1） 4 x - 2 x - y - y
4）9（a -b ）2 + 24（a -b ）+16
（2） 4m 2 -9n 2 - 4m +1
4） a 2 - 4a + 4 - c 2
考点5：综合运用提公因式法、公式法分解因式
1、（ 1）分解因式：4m 3
-m= ；
2、分解下列因式：
(1)8a4－2a2(2)9x2(m- n)- y2(n -m)
(3)(a-b)2-4m2(b-a)2(4)a2(16x- y+1)+b2(y-1-16x)
考点6：分解因式的应用
1 、利用因式分解方法计算：
(1) 4.4513.7 + 4450.889-44.50.26 (2) 8002-1600798+7982
2、已知b - a = 6,ab = 7 ，求a2b - ab2的值。
3、△ABC 的三边满足a2-2bc=c2-2ab，则△ABC 是( )
A、等腰三角形B 、直角三角形C、等边三角形D、锐角三角形4、若a为整数，证明(2a+1)2-1能被8整除。
随堂小测】
1、下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是( )
(A) (a+3)(a-3)=a2-9 (B) x2+x-5=(x-2)(x+3)+1
(C) a2b+ab2=ab(a+b) (D) x2+1=x(x+ 1 )
x
2、把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于()
(A) (a-2)(m2+m) (B) (a-2)(m2-m) (C) m(a-2)(m-1) (D) m(a -2)(m+1)
3、下列多项式中不能用平方差公式分解的是()
(A) -a2+b2(B) -x2-y2(C) 49 x2y2- z2(D) 16 m4-25 n2p
2 4、下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是( )
m 2
n
2
2
(A)m+1+ m(B)-x2+2xy-y2(C)-a2+14ab + 49b2(D)n - 2n+1
5、把多项式p2(a-1)+ p(1 - a)分解因式的结果是( )
A、(a-1)(p2+ p)
B、(a-1)(p2- p)
C、p(a -1)(p -1)
D、p(a-1)(p+1) 6、已知x2+ y2+2x-6y+10=0,则x+ y =( )
A 、 2
B 、－ 2
C 、 4
D 、－ 4
7、若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，满足a 2b -a 2c +b 2c -b 3 = 0 ，则这个三角形是（ ）
A 、等腰三角形
B 、直角三角形
C 、等边三角形
D 、三角形的形状不确定
6、已知 x +y =6，xy =4，则 x 2y +xy 2 的值为 。
7、分解因式：m 3-4m =
。
8、若 ax 2+24x +b =（mx -3）2，则 a = ，b = ，m =
。
9、16（x －y ）2－24xy （y －x ）= 8（x －y ）（ ）
10、分解下列因式： （1）-24x 3y -12x 2y 3+28xy 4
（2）（a 2 +1）2 -4a 2
11、若a + b = 3,ab = -2,求a 3 +a 2b +ab 2 +b 3值。
◆◆◆ 快乐体验
一、选择题、填空题： 1、x 2 - 5x + 6可以分解因式为
2、已知(2000 - a )(1998 - a ) = 1999 ，那么(2000 - a )2 + (1998 - a )2 = ；
3、把代数式ax 2 - 4ax + 4a 分解因式，
④、a n +3 -22a n +1-75a n -1（n 为正整数）
2 、已知： a = 20x +20,b = 20x +19,c = 20 x + 21，求： a +b +c -ab -bc -ac 的值；
二、分解因式： ①、 x 2 -4x - 45 ③、 a - 2ab - 4c + b
三、（能力提升）把下列多项式分解因式：
②、n 2 -10n -1200 ④、 x - y - 4 x + 4 x y - xy
②、 (x + 2x + 3)(x + 2x - 5) + 12
32
③、 x - 2 x + 3x - 6