计算广告的匹配算法综述
计算广告的匹配算法综述
郭庆涛，郑 滔
(南京大学软件学院，南京 210093)
摘 要：对计算广告研究中的计价模型和匹配算法及模型进行综述，分别从检索词匹配精度、语义情景和用户点击反馈等方面对Cosine 算法、Okapi BM25算法、特征学习算法、分层学习模型和Multinomial 统计语言模型等进行比较分析和优缺点总结，并提出可行的改进 方向。
关键词：赞助搜索；内容匹配；信息检索；机器学习；在线学习
Match Algorithms Survey of Computing Advertising
GUO Qing-tao, ZHENG Tao
(School of Software, Nanjing University, Nanjing 210093, China)
【Abstract 】This paper conducts a survey of pricing models, relevance match algorithms, and effective statistical models for computing advertising, analyzes and compares these approaches, like Cosine, Okapi BM25, feature learning, hierarchy-learning and Multinomial language model, and conclusively points out the feasible improvement and future of research in this field.
【Key words 】sponsored search; content match; information retrieval; machine learning; online learning DOI : 10.3969/j.issn.1000-3428.2011.07.075
计 算 机 工 程 Computer Engineering 第37卷 第7期
V ol.37 No.7 2011年4月
April 2011
·人工智能及识别技术· 文章编号：1000—3428(2011)07—0222—03文献标识码：A
中图分类号：TP18
1 概述
随着互联网时代的发展，网络广告已经成为一个市值高达200亿美元的产业。网络信息浩瀚如海，如何在网络中实现精准的广告投放，实现网络广告的高回报率，已经成为信息技术领域的计算难题。计算广告就是在这种条件下兴起的一个分支学科，它所要解决的难题就是，如何在一定的上下文情境下，找出与当前上下文最佳匹配的网络广告。
目前，网络广告主要分为两大类：图像类(display ads)和文本类，其中，文本类广告又因登出场景的不同分为赞助搜索(sponsored search)和内容匹配(content match)。图像类在线广告的具体形式通常是图片、动画以及视频，这一类广告讲求的是品牌印象的传播。赞助搜索是指广告主为搜索引擎的运营提供赞助，作为回报，该搜索引擎在出现与广告主相关度较高的检索词时，登出相应的广告，例如，Google AdWord 便是赞助搜索的一种典型形式。内容匹配则是指将广告在内容与其相关度较高的网页中登出，例如Google AdSense 和百度推广服务等。
迄今为止，网络广告流行的收益计价模型主要是CPM 、CPC 和CPA 这3种。在不同的计价模型之下，计算广告的匹配算法主要源于3个领域：(1)基于关键词匹配的信息检索，如Cosine 算法、Okapi BM25算法和Multinomial 统计语言模型；(2)基于用户点击反馈的机器学习算法，如特征学习模型、分层学习模型等；(3)在线学习算法，如Multi-armed bandit 、UCB1算法等。
另外，有许多学者发现单纯的信息检索缺乏对上下文语义情景的关注，对上述算法做出了不同程度的修正。本文将详细介绍上述算法及其特点比较，并提出可行的改进方向。
2 计价模型
在介绍计算广告的匹配算法前，需要先对网络广告的计
价模型作描述，因为广告的最佳匹配并非单纯是关键词匹配，
而在于是否最终能够吸引潜在用户的注意。针对网络广告的不同类型，流行的计价模型有以下3种：
(1) CPM 模型
图像类广告主要采用该计价模型，因为图像广告得到展示，品牌印象就可以传播出去，具体的模型如下：
Revenue N CPM =?
其中，N 为图像广告所在页面被加载的总次数；CPM 的价格由广告发布商通过竞价结果得到。
(2)CPC 模型
与图像类广告不同，文本类广告主要是吸引用户实际进行点击的行为。具体的模型如下：
Revenue N CTR CPC =??
其中，CTR 表示用户在该页面上可能对广告进行实际点击的概率。同样，CPC 需要通过如关键词竞价等方式得到最终的价格。文献[1]提出了GFP 、GSP 竞价理论，对CPC 的市场竞价进行了优化。同类的理论还有VCG 等。
(3)CPA 模型
采用该类模型要求用户不仅对广告发生实际点击，而且还需要被导向广告商的页面去。具体的模型如下：
.Revenue N CTR Conv Rate CPA =???
其中，Conv.Rate 表示用户点击与实际广告页面加载的转 换率。
3 广告匹配计算
3.1 基于信息检索
有学者指出，将用户检索信息当作关键字，广告文本作
基金项目：国家“863”计划基金资助项目(2007AA01Z448)；国家自然科学基金资助项目(60773171)
作者简介：郭庆涛(1985－)，男，硕士研究生，主研方向：数据挖掘，模型验证，机器学习；郑 滔，教授
收稿日期：2010-08-20 E-mail ：taylorqt@https://www.wendangku.net/doc/881723612.html,
第37卷 第7期 223
郭庆涛，郑 滔：计算广告的匹配算法综述 为已索引的待检索文档，那么广告的匹配计算问题即转化为
信息检索问题。
3.1.1 Cosine 相似度算法
Cosine 相似度算法在文本挖掘中用来比较2个N 维向量的相似程度。定义用户检索词或网页内容关键词向量12{,,,}n q q q ="Q 以及广告关键词向量12{,,,}n d d d ="D ，则可以利用通过计算Q 、D 这2个向量之间的空间相似度来计算用户与广告之间的匹配程度。公式如下：
cos(,)?=?Q D
Q D Q D
该算法的优点在于实现相对简单，面对不同长度的检索词和广告词时易于规范化。但缺点也是明显的，即向量中的关键词没有区分权重，而且当向量维数不断增长，计算性能也会遭遇瓶颈。
3.1.2 Okapi BM25算法
利用由文献[2]提出的Okapi BM25算法，可以对广告匹配进行分值计算。该算法中对使用TF-IDF 值对不同的关键词进行加权，突出信息区分度较高的关键词，从而提高了检索匹配的精度。
BM25(,)()w Q
IDF w ∈=?∑Q D
11avg
(,)(1)(,)(1)TF w k D TF w k b b D ?+?+??+?
D D
33(1)(,)(,)
k TF w k TF w +?+Q Q ()0.5()lb
()0.5
N n w IDF w n w ?+=+ 其中，D 表示文本的关键词数量；avg D 则表示所有待检索文本的平均关键词数量；1k 、3k 和b 为自由参数(20k =)，通常取值分别为2、
1 000和0.75；N 为待检索文本的总数量；n (w )表示包含关键词w 的文本数量。该算法的好处是对于不同的用户检索词，能够为其分配不同的权重，并且又可以提供自由参数进行调优，从而易于达到很好的性能。 3.1.3 Multinomial 语言模型
基于统计的语言模型自1998年便开始被应用到信息检索领域，Ponte 和Croft 是最早的倡导者。Multinomial 语言模型是基于Claude Shannon 在信息论研究中所提出的字母序列可能的概率分布。其基本原理是，用户检索以及广告文本能够通过某个统计语言模型根据自然语言在现实中的使用场景所生成。那么接下来的问题就变成如何通过语言模型生成，去判断用户与广告之间的相关度。采用模型如下：
,,,12121,2,,!()()()()!!!!t d t d t d M tf tf tf
d M t d t d tM d L P d P t P t P t tf tf tf =?""
其中，!d L 表示文档关键词的总长度；1,!t d tf 表示检索词的出现频度；,11()
t d
tf P t 则表示检索词出现的概率，用来作为此模型
的主要参数。基于Multinomial 模型的广告匹配如图1所示。
图1 基于Multinomial 模型的广告匹配
利用Multinomial 模型计算广告匹配程度算法过程如下： (1)计算出用户检索和广告文本中概率最高的短语，Query params 和Ads params 。
(2)根据Multinomial 语言模型，
计算出使用Query params 能够生成Ads 的概率，或者相反，使用Ads params 能够生成Query 的概率。
(3)排序并找出概率最大的一对(Query, Ads)。
对于算法的第(2)步，还可以通过计算Query params 和Ads params 之间的KL-divergence 值，该值越低证明两者相关度越高。
3.1.4 存在的问题
基于信息检索的方式在一定程度上给出了广告匹配计算的解决方案，但仍然存在的问题是，由于会忽略具体的上下文语义情景，单纯利用检索词进行文本匹配并不能提供较好的效果。
3.2 基于机器学习
与信息检索方式不同，基于机器学习的广告匹配计算是通过收集用户点击的反馈(click feedback)进行的。因为大多数情况下，只有确实吸引了用户点击的广告才能真正为发布商和广告商带来收益。对于机器学习来说，点击反馈是一种低成本、自动化的学习机制，通常大型的广告网络总是能产生大量的点击数据。
3.2.1 基于特征的学习模型
定义q 表示检索词特征向量，a 表示广告词特征向量，Q 表示某次用户检索，A 表示某个广告文本。给出如下基本 模型：
Pr(|,)(,;)Click Q A f θ=q a 其中，Pr 条件概率表示在(Q , A )匹配的条件下发生实际用户点击的概率；模型参数θ则是需要通过大量特征数据学习得到。一个具体的例子是通过逻辑回归进行学习：
'lb (Pr(|,))odds Click Q A W ?=??q a
W 具体值需要通过点击数据的学习做调整。基于特征的模型容易因为向量维数的增长而遇到瓶颈，并且很难对数据进行规范化，对消极事件也采用同样的权重。
文献[3]提出一个通过点击反馈学习结合相关度计算的模型：
,,,,lb ()ij w p w w a w w p a w w
w
w
it p M M I αβδ=++∑∑∑
,,p w p w M tf = ,,a w a w M tf = ,,,,p a w p w a w I tf tf =?
其中，ij p 表示CTR ；w α、w β、w δ作为模型参数；,p w M 、
,a w M 分别表示页面、广告的效果影响大小；,,p a w I 则表示页面和广告之间的词语相关程度。该模型不仅通过学习点击反馈、结合特征向量计算相关度(通常的做法会在模型后面加上特征向量的Cosine 值)，并且加入了TF-IDF 权重值，来预测最终发生用户点击的概率。
3.2.2 分层学习模型
对于内容匹配(content match)来说，基于特征的学习模型容易遇到性能瓶颈，因为页面内容的特征抽取比用户检索更加繁冗。针对页面的内容匹配，文献[4]提出通过页面聚类的分层学习模型对CTR 直接作出预测估值。基本思想是将页面、广告文本分别聚簇到某个分级模型的叶子节点，并且其中所有兄弟节点的CTR 估值是正相关。整个算法分为2个阶段：(1)使用IPF 算法对页面、广告作基于CTR 值的聚类；
224 计算机工程2011年4月5日
(2)对CTR稀少事件建模。
其中，IPF算法具体过程如下：
1. Initialization:
2. Begin with a prior
{x(0)} for regions (1)
r Z
∈of level 1
3. From iteration t to t+2:
4. Begin Top-Down:
5. For all (1)
r Z
∈,()
r
x t→row constraints→column constrains→
x r(t+1)
6. For levels l=2,3,…,L
7. For all (l)
r Z
∈
8. x r(t)→block constraints with
pa(r)
x(t1)
+ on the RHS→
*
r
x(t),where pa(r) is the parent region subsuming r
9. *
r
x(t)→row constraints→column constraints→ x r(t+1)
10. Begin bottom-up:
11. For all (L)
r Z
∈,x r(t+2)= x r(t+1)
12. For levels l=L1,1,,1
?" 1
13. For all (l)
r Z
∈：
14. *
r k ch(r)k
x(t1)x(t1)
∈
+=+
∑, where ch(r) are all children
regions nested within r
15. *
r
x(t1)
+→row constraints →column constraints→x r(t+2)
16. Iterate until all constraints are satisfied upto a user-defined
accuracy factor
对稀有CTR事件的建模又分为2个步骤：
(1)对点击数和页面印象做Freeman-Tukey变换：
r
y
其中，
r
c表示r区域里的点击数；?
r
N表示归因于页面印象的
点击数。实验表明，此模型对类似CTR点击这种稀有事件的
建模非常有效，比其他同类变换准确度高出约40%。
(2)使用树状Markov模型做出CTR预测估值：
(())(())
|,~(,)
d r T d r
r r r r r
y S N u S V
ββ+
其中，(())d r
β表示第d(r)层中协变量的未知向量系数；
r
V为
未知的变量参数。通常来说，
r
S作为独立于协变量的隐性参
数，可以对该模型进行调整。具体的估值需要利用树状结构
中的区域依赖作出平滑推导：
()
r pa r r
S S w
=+
其中，对于所有(0)
\
r Z Z
∈来说，~(0,)
r r
w N W。并且，
r
w与
()
pa r
S相对独立，
Root Root
S W
==。具体关系如图2所示。
图2 2层树状Markov模型
3.2.3 存在的问题
基于特征模型的机器学习方案在引入各种特征的同时，
由于特征粒度的问题使得对CTR的学习效果的可靠性降低。
并且这种方式还是很容易忽略检索上下文，而导致广告匹配
的相关度减弱，最后就是对数据集的训练成本相对较高。
3.3 在线学习模型
上述算法都有一个共同的特点，就是仅根据已有的历史
数据提取固有模式，进行预测匹配。这类算法都属于离线模
型。然而问题在于，网络检索、广告数量增长的速度极快，
从中产生的许多新的模式，离线算法无法快速反应。这种矛
盾就催生了基于在线学习模型的新算法。
在线学习模型的基本思想是，不仅能够根据现有模型挑
选出检索词与广告的最佳匹配，并且能够不断更新已有的广
告文本库，学习新的模式，从而实现在线广告的精准投放。
Multi-armed bandits源于赌场里的老虎机(one-armed
bandit)，不同的是这个老虎机有多个扳手。
将Multi-armed bandits问题与在线广告投放的计算类比，
每次投放一个广告相当于拉一次扳手，用户的点击率相当于
老虎机的回报奖金，至于说每次拉哪几个扳手，则是由当前
检索词来决定。通过不断的学习反馈，最终找出最优的bandit
policy，从而达到最佳的CTR。
Gittins等人在1979年提出一种最优的bandit policy，基
本过程如下：
(1)为每个扳手赋予优先级。
(2)根据优先级的大小依次拉扳手，并且观察回报。
(3)根据具体的回报，调整扳手的优先级。
对于优先级的计算，常见的策略是文献[5]提出的UCB1，
具体计算如下：
Priority
其中，i
i i
s
s f
+
表示观察到的回报值；则表示不确定
性的因子；
i
s表示成功的次数；f表示失败的次数；T表示
观察的总次数；
i
T表示第i个扳手被观察的次数。当总观察
次数T不断增多时，观察回报会非对称式地偏向正确的回报
概率；同时，该模型永远也不会绝对地偏向某个扳手，表现
出客观的合理性。UCB1策略指出，次优扳手在T次观察中，
最多被扳了O(lb T)次，因此只出现了O(lb T)次低回报的情况，
这是理论上可能的最低次数。该策略学习最终的结果会根据
扳手的优先级高低做出广告投放的最佳选择。
4 其他研究方向
针对信息检索方式忽略上下文语义情景的缺陷，有学者
提出加入以上下文语义为权重参数，对已有的基于向量空间
模型的相关度匹配算法做出修正。如Broder等人在SIGIR’07
会议上的论文所述，改进模型如下：
(,)((),())
i i i i
Score p a TaxScore Tax p Tax a
α
=?+
(1)(,)
i i
KeywordScore p a
α
??
原理是将页面p和广告a进行关键词语法的分类，再进
一步根据多关键词组成的语义情景最终决定(p, a)对所属的
归类，由此提高了内容匹配的相关度。同时，也有学者从新
的角度入手，使用协同过滤对特征模型进行修正，修正后模
型如下：
lb()(,;)
qa qa
odds p f q a z
θ
?=+
()()
/
qa qj qj qj
j N a j N a
z s z s
∈∈
=∑∑
其中，
qa
z为相似度模型。该算法根据用户的点击反馈，计算
用户背景的相似度，最终为用户寻找最近邻并作出广告推荐。
其他的相关工作有CIKM’07中Anagnostopoulos提出的
JIT(Just-In-Time)情景匹配、KDD’07中Agarwal与Merugu
的使用矩阵规约对特征向量模型进行修正、SIGIR’08中
Ranlinski的基于两阶段检索替换的相关性优化算法，及陈伟
(下转第233页)
第37卷 第7期 233
苏 娜，薛河儒：重叠牛乳体细胞判别和分割方法的研究 在WindowsXP 系统下采用VC++6.0语言编程实现上述算法。
图3给出了本文方法同基于凹点的算法、传统分水岭算法进行主观评价的3组对比结果。
(a)原图1 (b)原图2 (c)原图3
(d)凹点算法1 (e)凹点算法2 (f)凹点算法3
(g)传统分水岭1 (h)传统分水岭2 (i)传统分水岭3
(j)本文方法1 (k)本文方法2 (l )本文方法3 图3 3种方法的分割结果对比
由此可以看出，基于凹点的算法对于简单的细胞能够进行分割，但对于存在孔和重叠个数多的细胞分割效果差；传统分水岭算法能够对各种情况的重叠细胞进行分割，但由于必须具有明显的梯度特征，导致过分割，致使细胞计数不准确进行分割；而采用本文的算法，先进行牛乳重叠体细胞的判别，对于单个不规则形状的细胞没有造成误分割，并且对种子点合并，有效抑制了传统分水岭的过分割现象，大大提高了分割的正确率，而且对多细胞重叠、细胞形状复杂的情况分割效果也很好，并且分割后的牛乳体细胞形状也比较 规格。
5 结束语
本文提出一种针对牛乳重叠体细胞的分割方法。在传统分水岭算法的基础上，挑选出单个细胞的种子点，并根据种子点间的距离值对种子点进行合并，确定分割点和分割线，不仅分割的细胞个数较准确，而且细胞形状也较规格，并对形状复杂的细胞也具有较好的分割效果。
参考文献
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编辑 陈 文
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等人提出的利用灰度和纹理特征进行广告视频序列匹配算 法[6]
等。这些研究都从不同方面的页面语义分类、关键词聚类、离线处理与在线学习等对现有算法模型进行不同程度的改进。 其他的相关工作有CIKM’07中Anagnostopoulos 提出的JIT(Just-In-Time)情景匹配、KDD’07中Agarwal 与Merugu
的使用矩阵规约对特征向量模型进行修正、SIGIR’08中
Ranlinski 的基于两阶段检索替换的相关性优化算法，及陈伟
等人提出的利用灰度和纹理特征进行广告视频序列匹配算
法[6]等。这些研究都从不同方面的页面语义分类、关键词聚
类、离线处理与在线学习等对现有算法模型进行不同程度的
改进。
5 结束语
计算广告是一门新兴起的分支学科，国内外在这方面的研究尚未十分成熟。目前所提出的算法、模型都在不同程度面临着挑战，比如向量维度激增、页面内容匹配过程中过多的噪音数据、点击事件稀少导致的矩阵稀疏性、基于时序进行在线特征学习相关工作匮乏等，解决其中任何一个问题都可以为互联网广告工业做出很大的贡献，这都是今后计算广告领域努力的方向。
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编辑 索书志
数值计算方法学习指导书内容简介
数值计算方法学习指导书内容简介 数值计算方法学习指导书内容简介《数字信号处理学习指导》是浙江省高等教育重点建设教材、应用型本科规划教材《数字信号处理》(唐向宏主编，浙江大学出版社出版，以下简称教材)的配套学习指导书，内容包括学习要求、例题分析、教材习题解答、自测练习以及计算机仿真实验等。学习指导书紧扣教材内容，通过例题讲解，分析各章节的学习重点、难点以及需要理解、掌握和灵活运用的基本概念、基本原理和基本方法。全书共有66例例题分析、121题题解、2套自测练习和6个mat1ab计算机仿真实验。 数值计算方法学习指导书目录绪论 第1章离散时间信号与系统 1.1 学习要点 1.2 例题 1.3 教材习题解答 第2章离散系统的变换域分析与系统结构 2.1 学习要点 2.2 例题 2.3 教材习题解答 第3章离散时间傅里叶变换
3.1 学习要点 3.2 例题 3.3 教材习题解答 第4章快速傅里叶变换 4.1 学习要点 4.2 例题 4.3 教材习题解答 第5章无限长单位冲激响应(iir)数字滤波器的设计5.1 学习要点 5.2 例题 5.3 教材习题解答 第6章有限长单位冲激响应(fir)数字滤波器的设计6.1 学习要点 6.2 例题 6.3 教材习题解答 第7章数字信号处理中的有限字长效应 7.1 学习要点 7.2 例题 7.3 教材习题解答 第8章自测题 8.1 自测题(1)及参考答案 8.2 自测题(2)及参考答案 第9章基于matlab的上机实验指导 9.1 常见离散信号的matlab产生和图形显示
9.2 信号的卷积、离散时间系统的响应 9.3 离散傅立叶变换 9.4 离散系统的频率响应分析和零、极点分布 9.5 iir滤波器的设计 9.6 fir滤波器的设计 数值计算方法学习指导书内容文摘第1章离散时间信号与系统 1.1 学习要点 本章主要介绍离散时间信号与离散时间系统的基本概念，着重阐述离散时间信号的表示、运算，离散时间系统的性质和表示方法以及连续时间信号的抽样等。本章内容基本上是“信号与系统”中已经建立的离散时间信号与系统概念的复习。因此，作为重点学习内容，在概念上需要明白本章在整个数字信号处理中的地位，巩固和深化有关概念，注意承前启后，加强葙关概念的联系，进一步提高运用概念解题的能力。学习本章需要解决以下一些问题： (1)信号如何分类。 (2)如何判断一个离散系统的线性、因果性和稳定性。 (3)线性时不变系统(lti)与线性卷积的关系如何。 (4)如何选择一个数字化系统的抽样频率。 (5)如何从抽样后的信号恢复原始信号。 因此，在学习本章内容时，应以离散时间信号的表示、离散时间系统及离散时间信号的产生为主线进行展开。信号的离散时间的表示主要涉及序列运算(重点是卷积和)、常用序列、如何判
数值分析综述-《数值分析与算法》徐士良
第2章矩阵与线性代数方程组 一般的线性代数方程组，A非奇异可根据Cramer法则求解方程唯一解但是它的计算量很大。 高斯消元法的算法时间复杂度是O(n3)，可以解一系列的线性方程；所占数据空间符合原地工作的原则。但是算法对数值计算不稳定（当分母为0或很小时）。可以用在计算机中来解决数千条等式及未知数。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分费时。 解决高斯法中的不稳定性，在每次归一化前增加选主元（列选主元、全选主元）过程。但是列选主元法仍不稳定，不适求解大规模线性代数方程组。全选主元的高斯消去法，则在复杂度降低的同时能够避免舍入误差，保证数值稳定性。 高斯-约当消去法算法产生出来的矩阵是一个简化行梯阵式，而不是高斯消元法中的行梯阵式。相比起高斯消元法，此算法的效率比较低，却可把方程组的解用矩阵一次过表示出来。线性代数方程组的迭代解法 简单迭代法：迭代格式发散但迭代值序列不一定发散，但收敛格式收敛，迭代值序列收敛于方程组的准确解与选取迭代初值无关。 雅可比迭代法: 计算公式简单，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。但是收敛速度较慢，而且占据的存储空间较大，所以工程中一般不直接用雅克比迭代法，而用其改进方法。 高斯-赛德尔迭代法：较上面的迭代复杂，但是矩阵的条件相对宽松。 松弛法：需要根据经验去调整，收敛速度依赖松弛参数的选择，收敛条件的要求更宽松。共轭梯度法：是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。 第3章矩阵特征值 乘幂法计算绝对值最大的特征值：其收敛速度受限于最大与次大特征值比值绝对值的大小，实际应用中采用加速技术。 求对称特征值的雅克比方法96：每进行一次选装变换钱都需要在飞对角线的元素中选取绝对值最大的元素，很费时间，雅克比过关法对此做了改进。 QR方法求一般实矩阵的全部特征值98下100下：重复多次进行QR分解费时，计算工作量很大。一般先进行相似变换然后进行QR分解。但是这样仍然收敛速度慢，一般是线性收敛。实际应用中使用双重步QR变换将带原点的QR算法中相邻两步合并一步，加速收敛避免复数运算。 第4章非线性方程与方程组 二分法：每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。优点是简单，但是不能计算复根和重根。 简单迭代法：直接的方法从原方程中隐含的求出x，从而确定迭代函数 (x)，这种迭代法收敛速度较慢，迭代次数多。 埃特金迭代法113中：对简单迭代进行改进，使在其不满足收敛条件下迭代过程也收敛，在其收敛时加快收敛速度，减少迭代次数降低时间复杂度。 牛顿迭代法：其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，收敛速度快。而且该法还可以用来求方程的重根、复根。缺点：初值的选择会影响收敛结果。 牛顿下山法：保证函数值稳定下降，且有牛顿法的收敛速度。
数值计算方法学习心得
数值计算方法学习心得 ------一个代码的方法是很重要，一个算法的思想也很重要，但 在我看来，更重要的是解决问题的方法，就像爱因斯坦说的内容比 思维本身更重要。 我上去讲的那次其实做了挺充分的准备，程序的运行，pdf文档，算法公式的推导，程序伪代码，不过有一点缺陷的地方，很多细节 没有讲的很清楚吧，下来之后也是更清楚了这个问题。 然后一学期下来，总的来说，看其他同学的分享，我也学习到 许多东西，并非只是代码的方法，更多的是章胜同学的口才，攀忠 的排版，小冯的深入挖掘…都是对我而言比算法更加值得珍惜的东西，又骄傲地回想一下，曾同为一个项目组的我们也更加感到做项 目对自己发展的巨大帮助了。 同时从这些次的实验中我发现以前学到的很多知识都非常有用。 比如说，以前做项目的时候，项目导师一直要求对于要上传的 文件尽量用pdf格式，不管是ppt还是文档，这便算是对产权的一种 保护。 再比如代码分享，最基础的要求便是——其他人拿到你的代码 也能运行出来，其次是代码分享的规范性，像我们可以用轻量级Ubuntu Pastebin，以前做过一小段时间acm，集训队里对于代码的分享都是推荐用这个，像数值计算实验我觉得用这个也差不多了，其 次项目级代码还是推荐github（被微软收购了），它的又是可能更 多在于个人代码平台的搭建，当然像readme文档及必要的一些数据 集放在上面都更方便一些。
然后在实验中，发现debug能力的重要性，对于代码错误点的 正确分析，以及一些与他人交流的“正规”途径，讨论算法可能出 错的地方以及要注意的细节等，比如acm比赛都是以三人为一小组，讨论过后，讲了一遍会发现自己对算法理解更加深刻。 然后学习算法，做项目做算法一般的正常流程是看论文，尽量 看英文文献，一般就是第一手资料，然后根据论文对算法的描述， 就是如同课上的流程一样，对算法进一步理解，然后进行复现，最 后就是尝试自己改进。比如知网查询牛顿法相关论文，会找到大量 可以参考的文献。 最后的最后，想说一下，计算机专业的同学看这个数值分析， 不一定行云流水，但肯定不至于看不懂写不出来，所以我们还是要 提高自己的核心竞争力，就是利用我们的优势，对于这种算法方面 的编程，至少比他们用的更加熟练，至少面对一个问题，我们能思 考出对应问题的最佳算法是哪一个更合适解决问题。 附记: 对课程的一些小建议： 1. debug的能力不容忽视，比如给一个关于代码实现已知错误的代码给同学们，让同学们自己思考一下，然后分享各自的debug方法，一步一步的去修改代码，最后集全班的力量完成代码的debug，这往往更能提升同学们的代码能力。 2. 课堂上的效率其实是有点低的，可能会给学生带来一些负反馈，降低学习热情。 3. 总的来说还是从这门课程中学到许多东西。 数值分析学习心得体会
地图匹配算法综述
地图匹配算法综述 一、地图匹配：现有算法 车辆导航系统实时接收GPS位置速度信息，以交通地图为背景显示车辆行驶轨迹。保证所显示的轨迹反映车辆的实际行驶过程，包括行驶路段，转弯过程及当前位置，就是地图匹配问题所要解决的目标。本节首先对地图匹配问题涉及到的基础概念、误差模型给出简要说明，同时介绍当前流行的一些地图匹配算法的思路与特点。 1.1地图匹配问题介绍 利用车载GPS接收机实时获得车辆轨迹，进而确定其在交通矢量地图道路上的位置，是当前车载导航系统的基础。独立GPS车载导航系统中克服GPS误差以及地图误差显示车辆在道路网上的位置主要是通过地图匹配算法，也就是根据GPS信号中的数据和地图道路网信息，利用几何方法、概率统计方法、模式识别或者人工神经网路等技术将车辆位置匹配到地图道路上的相应位置[8-12]。由于行驶中的车辆绝大部分都是在道路上的，所以通常的地图算法都有一个车辆在道路上的默认前提。地图匹配的准确性决定了GPS车辆导航系统的准确性、实时性与可靠性。具体来说取决于两方面：确定当前车辆正在行驶的路段的准确性与确定车辆在行驶路段上的位置的准确性。前者是现有算法的研究重点，而后者涉及到沿道路方向的误差校正，在现有算法中还没有得以有效解决。地图匹配的目标是将轨迹匹配到道路上，当道路是准确的时，也就成了确定GPS的准确位置，然后利用垂直映射方法完成匹配。要实时获得车辆所在的道路及位置通过地图匹配来实现是一种比较普遍而且成本较低的方法。车辆导航与定位系统中的地图匹配问题概括来讲就是将车载GPS接收机获得的带有误差的GPS轨迹位置匹配到带有误差的交通矢量地图道路上的相应位置。下面我们通过具体的数学模型
数值计算方法教学大纲
《数值计算方法》教学大纲 课程编号：MI3321048 课程名称：数值计算方法英文名称：Numerical and Computational Methods 学时： 30 学分：2 课程类型：任选课程性质：任选课 适用专业：微电子学先修课程：高等数学,线性代数 集成电路设计与集成系统 开课学期：Y3开课院系：微电子学院 一、课程的教学目标与任务 目标：学习数值计算的基本理论和方法，掌握求解工程或物理中数学问题的数值计算基本方法。 任务：掌握数值计算的基本概念和基本原理，基本算法，培养数值计算能力。 二、本课程与其它课程的联系和分工 本课程以高等数学，线性代数，高级语言编程作为先修课程，为求解复杂数学方程的数值解打下良好基础。 三、课程内容及基本要求 (一) 引论（2学时） 具体内容：数值计算方法的内容和意义，误差产生的原因和误差的传播，误差的基本概念，算法的稳定性与收敛性。 1.基本要求 （1）了解算法基本概念。 （2）了解误差基本概念，了解误差分析基本意义。 2.重点、难点 重点：误差产生的原因和误差的传播。 难点：算法的稳定性与收敛性。 3.说明：使学生建立工程中和计算中的数值误差概念。 (二) 函数插值与最小二乘拟合（8学时） 具体内容：插值概念，拉格朗日插值，牛顿插值，分段插值，曲线拟合的最小二乘法。 1.基本要求 （1）了解插值概念。 （2）熟练掌握拉格朗日插值公式，会用余项估计误差。 （3）掌握牛顿插值公式。 （4）掌握分段低次插值的意义及方法。
（5）掌握曲线拟合的最小二乘法。 2.重点、难点 重点：拉格朗日插值, 余项，最小二乘法。 难点：拉格朗日插值, 余项。 3.说明：插值与拟合是数值计算中的常用方法，也是后续学习内容的基础。 (三) 第三章数值积分与微分（5学时） 具体内容：数值求积的基本思想，代数精度的概念，划分节点求积公式（梯形辛普生及其复化求积公式），高斯求积公式，数值微分。 1.基本要求 （1）了解数值求积的基本思想，代数精度的概念。 （2）熟练掌握梯形，辛普生及其复化求积公式。 （3）掌握高斯求积公式的用法。 （4）掌握几个数值微分计算公式。 2.重点、难点 重点：数值求积基本思想，等距节点求积公式，梯形法，辛普生法，数值微分。 难点：数值求积和数值微分。 3.说明：积分和微分的数值计算，是进一步的各种数值计算的基础。 (四) 常微分方程数值解法（5学时） 具体内容：尤拉法与改进尤拉法，梯形方法，龙格—库塔法，收敛性与稳定性。 1.基本要求 （1）掌握数值求解一阶方程的尤拉法，改进尤拉法，梯形法及龙格—库塔法。 （2）了解局部截断误差，方法阶等基本概念。 （3）了解收敛性与稳定性问题及其影响因素。 2.重点、难点 重点：尤拉法,龙格－库塔法，收敛性与稳定性。 难点：收敛性与稳定性问题。 3.说明：该内容是常用的几种常微分方程数值计算方法，是工程计算的重要基础。 (五) 方程求根的迭代法（4学时） 具体内容：二分法，解一元方程的迭代法，牛顿法，弦截法。 1.基本要求 （1）了解方程求根的对分法和迭代法的求解过程。 （2）熟练掌握牛顿法。 （3）掌握弦截法。 2.重点、难点 重点：迭代法，牛顿法。
数值分析作业思考题汇总
￥ 数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 4、取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么（1）(3 3-，（2）(2 7-，（3） ()3 1 3+ ，（4） ()6 1 1 ，（5）99- , 数值实验 数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。 Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。 数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题 实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 $ r e x x e x x ** * ** - == 141 . ≈)61
目标跟踪相关研究综述
Artificial Intelligence and Robotics Research 人工智能与机器人研究, 2015, 4(3), 17-22 Published Online August 2015 in Hans. https://www.wendangku.net/doc/881723612.html,/journal/airr https://www.wendangku.net/doc/881723612.html,/10.12677/airr.2015.43003 A Survey on Object Tracking Jialong Xu Aviation Military Affairs Deputy Office of PLA Navy in Nanjing Zone, Nanjing Jiangsu Email: pugongying_0532@https://www.wendangku.net/doc/881723612.html, Received: Aug. 1st, 2015; accepted: Aug. 17th, 2015; published: Aug. 20th, 2015 Copyright ? 2015 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). https://www.wendangku.net/doc/881723612.html,/licenses/by/4.0/ Abstract Object tracking is a process to locate an interested object in a series of image, so as to reconstruct the moving object’s track. This paper presents a summary of related works and analyzes the cha-racteristics of the algorithm. At last, some future directions are suggested. Keywords Object Tracking, Track Alignment, Object Detection 目标跟踪相关研究综述 徐佳龙 海军驻南京地区航空军事代表室，江苏南京 Email: pugongying_0532@https://www.wendangku.net/doc/881723612.html, 收稿日期：2015年8月1日；录用日期：2015年8月17日；发布日期：2015年8月20日 摘要 目标跟踪就是在视频序列的每幅图像中找到所感兴趣的运动目标的位置，建立起运动目标在各幅图像中的联系。本文分类总结了目标跟踪的相关工作，并进行了分析和展望。
模糊逻辑地图匹配算法
一个新颖的基于模糊逻辑的车辆导航地图匹配算法以及应用本文提出了一个新的实时的基于模糊逻辑的地图匹配算法。主要有3种因素影响了地图匹配的可靠性，包括车辆位置和匹配路段之间的距离，车辆方向与路段方向之间的夹角，当前路径的连通性。对于距离角度以及连通性的模糊规则被提出来预测匹配的可靠性。这样两个评估匹配可靠性的指标被引出了，一个是可信度的下限的低局限性，另一个是可信度的最大值与第二大的值之间差别的极限误差。因此，一个实时的基于模糊逻辑的地图匹配系统就出现了。应用在基于路径地图的GPS和基于导航的GIS的实时数据，这种方法已经被证实并且结果证明了改进方法的有效。 地图匹配；模糊逻辑；可信度；GPS；GIS；路径网络 地图匹配技术在车辆导航系统中已经成为关键的问题。研究地图匹配算法来改进车辆定位的精确性已经取得很多成就。在目前的研究中，一个基于地图匹配方法的可能性是使用统计理论代替确定性方法。在一个整体的陆地车辆定位系统中已经采纳了一种卡尔曼滤波器模型。对于自动车辆定位与导航，一个数字路径地图的数据库已经形成用以支持地图匹配。对于地图匹配的路径识别，加权2维平面测距已经应用到近似估算功能中。一种基于D-S证据理论的地图匹配被提出来应用于车辆位置和方向的信息的概率分布功能。然而，由于道路因素的复杂性，传统的地图算法不能够处理更加困难环境，因此已经改进的实时地图匹配算法仍需更深的研究。 本文中，一种新颖的基于模糊逻辑地图匹配方法被提出来。有3个影响地图匹配可靠性的因素。对于距离，角度以及连通性的模糊规则已经被提出，并且估计匹配可靠性的指标也已经获得。大量的来自于GPS与GIS地图匹配的数据已被统计的分析。 可靠性指标的测定以及它们之间的权重是地图匹配的关键问题。有许多影响地图匹配可靠性的因素，包括移动跟踪，路径相似度以及弯曲度。在本篇文章中，主要涉及三个影响匹配可靠性的因素，即车辆位置与匹配路段之间的距离，车辆方向与路段方向之间的夹角，路径连通性。在地图匹配过程中，认定路径连通性，距离以及夹角被构建用来测定不同观察数据间的权重。路径可靠性被预测，并且具有最大可靠性值的路径被选作匹配路段，且匹配结果被核实。 假设在一个任意的时间点，车辆的位置是P i（Xi,Y i），当前路段端点是A（Xa,Y a）和B（Xb，Yb），被匹配的路段的函数表示如下： Y=k（X-Xa）+Y a （1） 这里k=（Yb-Y a）/（Xb-Xa）且Xa不等于Xb。 从车辆位置到匹配路段的垂直点的横坐标为 X=Xi+（Yi-Y a）k+Y a*k2/1+k2 （2） 当且仅当判定函数B满足B=(X-Xa)(X-Xb)<=0，这个车辆位置到匹配路段的投影点在匹配路段上，且距离为 D i=|k(Xi-Xa)-Yi+Y a|/开根号1+k的平方（3） 如果判定函数B满足B>0，投影点将在路段的延长线上，因此此路段将被排除。在Xa=Xb的情况下，判定函数B即为B=（Yi-Y a）（Yi-Yb），而如果满足B<=0，那么距离将变成Di=|Xi-Xa|。 如果距离大于30米的话，路径成为匹配路段的可能性很小；如果距离接近于零，那么匹配的可能性很大。因此根据以上规则，影响匹配可靠性的距离函数可以表达为
数值分析综述报告
淮阴工学院 《数值分析》考试 ──基于Matlab的方法综合应用报告 班级：金融1121 姓名：姚婷婷 学号：1124104129 成绩： 数理学院 2014年6月7日
《数值分析》课程综述报告 前言： 数值分析也称计算方法，它与计算工具的发展密切相关。数值分析是一门为科学计算提供必需的理论基础和有效、实用方法的数学课程，它的任务是研究求解各类数学问题的数值方法和有关的理论。 正文： 第一章 近似计算与误差分析 1、产生误差的原因：①模型误差；②观测误差；③截断误差；④舍入误差。 2、四则运算的误差： ①加减法运算 ()()()****x y x y δδδ±=+ ②乘法运算 ()()() ****** *** ******xy x y xy xy xy x y x y y y x x x y x y y x δδδ-=-+-≤-+-?=+ ③ 除法运算： ()()() () () ***** ******* * * ** * * ** * *2 ** x x xy x y y y yy xy x y x y x y yy x x y y y x yy x y y x x y y δδ δ--=-+-=-+-= +?? ?≈ ??? 3、科学表示法、有效数字、近似值的精度 任何一个实数都可以表示成如下的形式： 其中：是正整数，是整数， 如果是数的近似值 并且 则称该近似值具有位有效数字（significant digit ）。
此时，该近似值的相对误差为 另一方面，若已知 ()() *111 1021n r x a δ-≤ + 那么， ()()***1112110.10 211 102 r m n n m n x x x x a a a a δ----≤?=+≤ 即：*x 至少有n 位有效数字。 例： 3.141592653589793...π= 取其近似值如下： x*=3.14 x * =3.14159 x*=3.1415 x*=3.141 **213 100.314 110.0016...0.005101022 x x π--=?-=<=?=? **516 100.314159 110.0000026...0.00000510102 2 x x π--=?-=<=?=? **314 100.31415 110.000092...0.0001101022 x x π--=?-=<
GPS车辆导航中的实时地图匹配算法
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导数的数值计算方法[文献综述]
毕业论文文献综述 信息与计算科学 导数的数值计算方法 一、 前言部分 导数概念的产生有着直觉的起源，与曲线的切线和运动质点的速度有密切的关系．导数用于描述函数变化率，刻画函数的因变量随自变量变化的快慢程度．比如说，物理上考虑功随时间的变化率（称为功率），化学上考虑反应物的量对时间的变化率（称为反应速度），经济学上考虑生产某种产品的成本随产量的变化率（称为边际成本）等等，这些变化率在数学上都可用导数表示． 导数由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性的方法，导数是研究函数的切线、单调性、极值与最值等问题的有力工具；运用它可以简捷地解决一些实际问题，导数的概念是用来研究函数在一点及其附近的局部性质的精确工具，而对于函数在某点附近的性质还可以应用另一种方法来研究，就是通过最为简单的线性函数来逼近，这就是微分的方法．微分学是数学分析的重要组成部分，微分中值定理作为微分学的核心，是沟通导数和函数值之间的桥梁， Rolle 中值定理， Lagrange 中值定理， Cauchy 中值定理， Taylor 公式是微分学的基本定理， 统称为微分学的中值定理，这四个定理作为微分学的基本定理，是研究函数形态的有力工具 ] 1[．在微分学中，函数的导数是通过极限定义的，但 当函数用表格给出时，就不可用定义来求其导数，只能用近似方法求数值导数] 2[．最简单 的数值微分公式是用差商近似地代替微商，常见的有 [3] ． ()()() 'f x h f x f x h +-≈ ， ()()() 'f x f x h f x h --≈， ()()() '2f x h f x h f x h +--≈ ． 需要注意的是微分是非常敏感的问题，数据的微小扰动会使结果产生很大的变化] 4[．
数值分析实验报告总结
数值分析实验报告总结 随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科 学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。 算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完 整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。 误差 计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差， 并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表 第三章泛函分析泛函分析概要 泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间 变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科
如果 a 是相容范数，且任何满足 为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽 范数 范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函 分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内 的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例， Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么 当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外，若p 和q 是赫德尔共轭指标，即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式 般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之 矩阵范数通常也称为相容范数。 象为元素和空间。女口：距离空间，赋范线性空间， 内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ，那 外，还规定其必须满足相容性: 所以
数值计算方法教学大纲(本)
数值计算方法教学大纲(本) 本着“崇术重用、服务地方”的办学理念和我校“高素质应用型人才”的培养目标，特制定了适合我校工科专业本科生的新教学大纲。 一、课程计划 课程名称：数值计算方法Numerical Calculation Method 课程定位：数学基础课 开课单位：理学院 课程类型：专业选修课 开设学期：第七学期 讲授学时：共15周，每周4学时，共60学时 学时安排：课堂教学40学时+实验教学20学时 适用专业：计算机、电科、机械等工科专业本科生 教学方式：讲授（多媒体为主）+上机 考核方式：考试60%+上机实验30%+平时成绩10% 学分：3学分 与其它课程的联系 预修课程：线性代数、微积分、常微分方程、计算机高级语言等。 后继课程：偏微分方程数值解及其它专业课程。 二、课程介绍 数值计算方法也称为数值分析，是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科。随着计算科学与技术的进步和发展，科学计算已经与理论研究、科学实验并列成为进行科学活动的三大基本手段，作为一门综合性的新科学，科学计算已经成为了人们进行科学活动必不可少的科学方法和工具。 数值计算方法是科学计算的核心内容，它既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.主要介绍插值法、函数逼近与曲线拟合、线性方程组迭代解法、数值积分与数值微分、非线性方程组解法、常微分方程数值解以及矩阵特征值与特征向量数值计算，并特别加强实验环节的训练以提高学生动手能力。通过本课程的学习，不仅能使学生初步掌握数值计算方法的基本理论知识，了解算法设计及数学建模思想，而且能使学生具备一定的科学计算能力和分析与解决问题的能力，不仅为学习后继课程打下良好的理论基础，也为将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 科学计算是21世纪高层次人才知识结构中不可缺少的一部分，它潜移默化地影响着人们的思维方式和思想方法，并提升一个人的综合素质。
数值计算方法设计论文
课程设计（论文） 题目: 三次样条插值问题 学院: ___ 理学院 _ 专业: __ _ 数学与应用数学 班级：数学08-2班 学生姓名: 魏建波 学生学号: 080524010219 指导教师：李文宇 2010年12月17日
课程设计任务书
目录 摘要……………………………………………………………………… 一、前言………………………………………………………………… （一）Lagrange插值的起源和发展过程……………………………………… （二）本文所要达到的目的……………………………………………………… 二、插值函数…………………………………………………………… （一）函数插值的基本思想…………………………………………………… （二）Lagrange插值的构造方法……………………………………………… 三、MATLAB程序………………………………………………………… （一）Lagrange程序…………………………………………………………… （二）龙格程序………………………………………………………………… 四、理论证明…………………………………………………………… 五、综述……………………………………………………………………谢辞………………………………………………………………………参考文献…………………………………………………………………
摘要
前言 要求：500字以上，宋体小四，行距20磅，主要内容写该算法的产生及发展、应用领域等。 题目 整体要求：报告页数，正文在8页以上 字体：宋体小四（行距20磅） 内容：1、理论依据 2、问题描述 3、问题分析 4、求解计算（程序） 5、结论 注：（1）页码编号从正文页开始 （2）标题可根据情况自己适当改动 示例见下： 2判别…………………… 2.1 判……………… 2.1.1 判别……………… 所谓的判别分析，………………………………………………方法[3]。 2.1.2 判………………………… 常用的有四种判别方法：…………………………………………………步判别法[6]。 1. 马氏………………
数值计算方法第4次作业
第四章 问题一 一、问题综述 在离地球表面高度为y处的重力加速度如下： 计算高度y=55000m处的重力加速度值。 二、问题分析 以高度y作为自变量，重力加速度的值为因变量。得到以下信息： f(0)=9.8100; f(30000)=9.7487; f(60000)=9.6879; f(90000)=9.6278; f(120000)=9.5682; 本题要求的就是f(55000)的值。 以下将采用课堂中学到的Lagrange插值多项式法、Newton插值多项式法、分段低次插值法和样条插值法求解该问题。 三、问题解决 1. lagrange插值多项式法 对某个多项式函数，已知有给定的k+ 1个取值点： 其中对应着自变量的位置，而对应着函数在这个位置的取值。 假设任意两个不同的x j都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：
其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为： 拉格朗日基本多项式的特点是在上取值为1，在其它的点上取值为0。 源程序lagrange.m function [c,f]=lagrange(x,y,a) % 输入：x是自变量的矩阵；y是因变量的矩阵；a是要计算的值的自变量； % 输出：c是插值多项式系数矩阵；f是所求自变量对应的因变量； m=length(x); l=zeros(m,m); % l是权矩阵 f=0; for i=1:m v=1; for j=1:m if i~=j v=conv(v,poly(x(j)))/(x(i)-x(j)); % v是l_i(x)的系数矩阵 end end l(i,:)=v; % l矩阵的每一行都是x从高次到低次的系数矩阵 end c=vpa(y*l,10); % 对应阶次的系数相加，乘以y，显示10位有效数字 for k=1:m f=f+c(k)*a^(m-k); end 输入矩阵 x=[0 30000 60000 90000 120000] y=[9.81 9.7487 9.6879 9.6278 9.5682] a=55000 再运行源函数，可得： c = [ -2.057613169e-23, 4.938271605e-18, -3.703703702e-14, -0.000002046111111, 9.81] f = 9.6979851723251649906109417384537
数值计算方法总结计划复习总结提纲.docx
数值计算方法复习提纲 第一章数值计算中的误差分析 1 2．了解误差 ( 绝对误差、相对误差 ) 3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。 1、误差的来源 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 2误差与有效数字 绝对误差E（x）=x-x * 绝对误差限x*x x* 相对误差E r (x) ( x x* ) / x ( x x* ) / x* 有效数字 x*0.a1 a2 ....a n10 m 若x x*110m n ，称x*有n位有效数字。 2 有效数字与误差关系 （ 1）m 一定时，有效数字n 越多，绝对误差限越小； （ 2）x*有 n 位有效数字，则相对误差限为E r (x)1 10 (n 1)。 2a1 选择算法应遵循的原则 1、选用数值稳定的算法，控制误差传播； 例 I n 11n x dx e x e I 0 1 1 I n1nI n1 e △ x n n! △x0 2、简化计算步骤，减少运算次数； 3、避免两个相近数相减，和接近零的数作分母；避免
第二章线性方程组的数值解法 1．了解 Gauss 消元法、主元消元法基本思想及算法； 2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组； （Doolittle 分解； Crout分解； Cholesky分解；追赶法） 3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi 迭代法与 Gauss-Seidel 4．掌握向量与矩阵的范数及其性质, 迭代法的收敛性及其判定。 本章主要解决线性方程组求解问题，假设n 行 n 列线性方程组有唯一解，如何得到其解？ a 11x 1 a 12 x 2... a 1n x n b1 a 21x 1 a 22 x 2... a 2n x n b2 ... a n1x 1 a n 2 x 2... a nn x n b n 两类方法，第一是直接解法，得到其精确解； 第二是迭代解法，得到其近似解。 一、Gauss消去法 1、顺序Ｇ auss 消去法 记方程组为： a11(1) x1a12(1) x2... a1(1n) x n b1(1) a21(1) x1a22(1) x2... a2(1n) x n b2(1) ... a n(11) x1a n(12) x2... a nn(1) x n b n(1) 消元过程： 经ｎ－１步消元，化为上三角方程组 a11(1) x1b1(1) a 21(2) x1a22(2 ) x2b2( 2 ) ... a n(1n) x1a n(n2) x2...a nn(n ) x n b n( n ) 第ｋ步 若a kk(k)0 ( k 1)( k) a ik(k )(k )( k 1)( k )a ik(k )( k) a ij a ij a kk(k ) a kj b i b i a kk(k )b k k 1,...n 1 i, j k 1,....,n 回代过程：
经典推荐算法研究综述
Computer Science and Application 计算机科学与应用, 2019, 9(9), 1803-1813 Published Online September 2019 in Hans. https://www.wendangku.net/doc/881723612.html,/journal/csa https://https://www.wendangku.net/doc/881723612.html,/10.12677/csa.2019.99202 Review of Classical Recommendation Algorithms Chunhua Zhou, Jianjing Shen, Yan Li, Xiaofeng Guo Information Engineering University, Zhengzhou Henan Received: Sep. 3rd, 2019; accepted: Sep. 18th, 2019; published: Sep. 25th, 2019 Abstract Recommender systems are effective tools of information ?ltering that are prevalent due to cont i-nuous popularization of the Internet, personalization trends, and changing habits of computer us-ers. Although existing recommender systems are successful in producing decent recommend a-tions, they still suffer from challenges such as cold-start, data sparsity, and user interest drift. This paper summarizes the research status of recommendat ion system, presents an overview of the field of recommender systems, describes the classical recommendation methods that are usually classified into the following three main categories: content-based, collaborative and hybrid recommendation algorithms, a nd prospects future research directions. Keywords Recommender Systems, Cold-Start, Data Sparsity, Collaborative Filtering 经典推荐算法研究综述 周春华，沈建京，李艳，郭晓峰 信息工程大学，河南郑州 收稿日期：2019年9月3日；录用日期：2019年9月18日；发布日期：2019年9月25日 摘要 推荐系统作为一种有效的信息过滤工具，由于互联网的不断普及、个性化趋势和计算机用户习惯的改变，将变得更加流行。尽管现有的推荐系统也能成功地进行推荐，但它们仍然面临着冷启动、数据稀疏性和用户兴趣漂移等问题的挑战。本文概述了推荐系统的研究现状，对推荐算法进行了分类，介绍了几种经