13.4课题学习最短路径问题
1.最短路径问题
(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求.
如图所示,点A,B分别是直线l异侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时点C是直线l与AB的交点.
(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求.如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时先作点B关于直线l的对称点B′,则点C是直线l与AB′的交点.
为了证明点C的位置即为所求,我们不妨在直线上另外任取一点C′,连接AC′,BC′,B′C′,证明AC+CB<AC′+C′B.如下:
证明:由作图可知,点B和B′关于直线l对称,
所以直线l是线段BB′的垂直平分线.
因为点C与C′在直线l上,
所以BC=B′C,BC′=B′C′.
在△AB′C′中,AB′<AC′+B′C′,
所以AC+B′C<AC′+B′C′,
所以AC+BC<AC′+C′B.
【例1】在图中直线l上找到一点M,使它到A,B两点的距离和最小.
分析:先确定其中一个点关于直线l的对称点,然后连接对称点和另一个点,与直线l 的交点M即为所求的点.
解:如图所示:(1)作点B关于直线l的对称点B′;
(2)连接AB′交直线l于点M.
(3)则点M即为所求的点.
点拨:运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,然后用“两点之间线段最短”解决问题.
2.运用轴对称解决距离最短问题
运用轴对称及两点之间线段最短的性质,将所求线段之和转化为一条线段的长,是解决距离之和最小问题的基本思路,不论题目如何变化,运用时要抓住直线同旁有两点,这两点到直线上某点的距离和最小这个核心,所有作法都相同.
警误区 利用轴对称解决最值问题应注意题目要求 根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系,通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时,要认真审题,不要只注意图形而忽略题意要求,审题不清导致答非所问.
3.利用平移确定最短路径选址
选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时,过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大,如果两点在一条直线的异侧时,过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小,都可以用三角形三边关系来推理说明,通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决. 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时,可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零,转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.
在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径的方法来解决问题.
【例2】 如图,小河边有两个村庄A ,B ,要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水.
(1)若要使厂部到A ,B 村的距离相等,则应选择在哪建厂?
(2)若要使厂部到A ,B 两村的水管最短,应建在什么地方?
分析:(1)到A ,B 两点距离相等,可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”,又要在河边,所以作AB 的垂直平分线,与EF 的交点即为符合条件的点.
(2)要使厂部到A 村、B 村的距离之和最短,可联想到“两点之间线段最短”,作A (或
B )点关于EF 的对称点,连接对称点与B 点,与EF 的交点即为所求.
解:(1)如图1,取线段AB 的中点G ,过中点G 画AB 的垂线,交EF 于P ,则P 到A ,
B 的距离相等.也可分别以A 、B 为圆心,以大于12
AB 为半径画弧,两弧交于两点,过这两点作直线,与EF 的交点P 即为所求.
(2)如图2,画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′,连接A ′B 交EF 于P ,则P 到A ,B 的距离和最短.
【例3】 如图,从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行),今欲在河上建一座与两岸垂
直的桥,应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短?
思路导引:从A 到B 要走的路线是A →M →N →B ,如图所示,而MN 是定值,于是要
使路程最短,只要AM +BN 最短即可.此时两线段应在同一平行方向上,平移MN 到AC ,
从C到B应是余下的路程,连接BC的线段即为最短的,此时不难说明点N即为建桥位置,MN即为所建的桥.
解:(1)如图2,过点A作AC垂直于河岸,且使AC等于河宽.
(2)连接BC与河岸的一边交于点N.
(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.
则MN为所建的桥的位置.
4.生活中的距离最短问题
由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知,求距离之和最小问题,就是运用等量代换的方式,把几条线段的和想办法转化在一条线段上,从而解决这个问题,运用轴对称性质,能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段,如图,AO+BO=AC的长.所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法.
【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?
图a 图b
解:如图b.
(1)作C点关于OA的对称点C1,作D点关于OB的对称点D1,(2)连接C1D1,分别交OA,OB于P,Q,那么小明沿C→P→Q→D的路线行走,所走的总路程最短.
5.运用轴对称解决距离之差最大问题
利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点,然后连接对称点和另一个点,所得直线与对称轴的交点,即为所求.根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值.破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法.
【例5】如图所示,A,B两点在直线l的两侧,在l上找一点C,使点C到点A、B 的距离之差最大.
分析:此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′),作直线A′B(AB′)与直线l交于点C,把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决.解:如图所示,以直线l为对称轴,作点A关于直线l的对称点A′,A′B的连线交l 于点C,则点C即为所求.理由:在直线l上任找一点C′(异于点C),连接CA,C′A,C′A′,C′B.因为点A,A′关于直线l对称,所以l为线段AA′的垂直平分线,则有CA=CA′,
所以CA-CB=CA′-CB=A′B.又因为点C′在l上,所以C′A=C′A′.在△A′BC′中,C′A-C′B=C′A′-C′B<A′B,所以C′A′-C′B<CA-C B.
点拨:根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系,通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.
第4页 1、图中有几个三角形?用符号表示这些三角形。 D C 2、 (1)3,4,8;(2)5,6,11;(3)5,6,10. 5页 1、如图,(1)(2)和(3)中的三个B 有什么不同?这三条△ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置?你能说出其中的规律吗? B(D) C D B 2、 (1)如下页图(1),AD,BE,CF是△ABC的三条中线,则AB=2____,BD=____, AE=1/2____. (2)如下页图(2),AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线,则∠1=____, ∠3=1/2____,∠ACB=2____, AA F FE E B D C B D C 习题11.1 1、图中有几个三角形?用符号表示这些三角形。 E C 2、长为 3、 C B C B C (2)(3 4ABC中,AD是角平分线,AF是高。填空:(1)BE=____=1/2____.
(2)∠ A (3)∠AFB=____=90° (4) E D F C 5、选择题。 下列图形中有稳定性的是() A、正方形 B、长方形 C、直角三角形 D、平行四边形 12页 例1如图,在△ABC 中,∠BAC =40°, ∠B =75°,AD 是△ABC 的角平分线.求∠ADB 的度数. C D A B 例2B岛在A岛的北偏东80°方向,C 岛在 13页 1.°,从B处观测C处时仰角∠CBD=45°.是多少? 2.ABCD,其中∠A=150°,, ∠B= D 14页 1、D,∠ACD与∠B有什么关系? 为什么? C D B 2、如图,∠C=90°,∠1=∠2,△ADE是直角三角形吗?为什么? 北
20013-2021学年上学期期中考试 八年级·数学 全卷满分150分,考试时间:90分钟 一、选择题(每小题3分,共30分) 1、下面有4个汽车标志图案,其中是轴对称图形的是 ( ) ① ② ③ ④ A 、②③④ B 、①②③ C 、①②④ D 、①②④ 2、如图,已知MB =ND ,∠MBA =∠NDC ,下列条件中不能判定△ABM ≌△CDN 的是----------------------------------- --------------------( ) A .∠M =∠N B . AM ∥CN C .AB = C D D . AM =CN 3、如图,△ABC ≌△CDA ,AB=5,BC=6,AC=7,则AD 的边长是--( ) A .5 B .6 C .7 D .不能确定 4、已知等腰三角形的两边长分别为4cm 、8cm ,则该等腰三角形的周长是( ) A .12cm B .16cm C .16cm 或20cm D .20cm 5、已知:如图,AC=AE ,∠1=∠2,AB=AD ,若∠D=25°,则∠B 的度数为 ( ) A 、25° B 、30° C 、15° D 、30°或15° 6、画∠AOB 的角平分线的方法步骤是: ①以O 为圆心,适当长为半径作弧,交OA 于M 点,交OB 于N 点; ②分别以M 、N 为圆心,大于 MN 2 1 的长为半径作弧,两弧在∠AOB 的内部相交于点C ; ③过点C 作射线OC. 射线OC 就是∠AOB 的角平分线。这样作角平分线的根据是 ( ) A 、SSS B 、SAS C 、 ASA D 、 AAS 7、如图所示,已知△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC , ∠BAD =30°,AD =AE ,则∠EDC 的度数为( ) A 、10° B 、15° C 、20° D 、30° 8、在△ABC 内一点P 满足PA=PB=PC ,则点P 一定是△ABC ( ) A 、三条角平分线的交点 B 、三边垂直平分线的交点 C 、三条高的交点 D 、三条中线的交点 9、一个多边形的内角和是外角和的2倍,则这个多边形的边数是( ) A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 班级: 姓名: 考号: ·········装订线············装订线···········装 订 线···········装 订 线···········装 订 线···· A B D C M N A D B C 第5题 第3题 第2题
人教版八年级上册数学习题13.3答案 1.(1) 35度,35°; (2) 解:当80°的角是等腰三角形的一个底角时,那么等腰三角形的另一个底角为80°,根据三角形的内角和定理可以求出顶角为180°-80°-80°=20°;当80°的角是等腰三角形的顶角时,那么它的两个底角相等,均为1/2(180°-80°)=50°. 综上,等腰三角形的另外两个角是20°,80°或50°,50°. 2. 3.解:∵五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形, ∴每个底角的度数是1/2×(180° - 36°)=72°.∴∠AMB=180°-72°108°. 4.
5.证明:CE//DA,∴∠A=∠CEB. 6. 7. 8.已知:如图13 -3-29所示,点P是直线AB上一点,求作直线CD,使CD ⊥AB于点P.
作法:(1)以点P为圆心作弧交AB于点E,F, (2)分别以点E,F为圆心,大于1/2EF的长为半径作弧,两弧相交于点C,过C,P作直线CD,则直线CD为所求直线. 9.解:他们的判断是对的.理由:因为等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合. 10. 11.
12. 13.解:等腰三角形两底角的平分线相等,两腰上的中线相等,两腰上的高相等.以等腰三角形两腰上的高相等为例进行证明. 已知:在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为点D,E求证:BD=CE.
14. 15.解:如图13-3-31所示,作∠BAC的平分线AD交BC于点D,过点D作DE ⊥AB于点E,则△ADC≌△ADE≌△BDE. 人教版八年级上册数学第91页复习题答案1.解:除了第三个图形,其余的都是轴对称图形.找对称轴略. 2.解:如图13-5-22所示.
2020八年级上册数学试卷 一、仔细选一选。 1.下列运算中,准确的是() A、x3x3=x6 B、3x2÷2x=x C、(x2)3=x5 D、(x+y2)2=x2+y4 2.下列图案中是轴对称图形的是() 3.下列各式由左边到右边的变形中,是分解因式的为() A、a(x+y)=ax+ay B、x2-4x+4=x(x-4)+4 C、10x2-5x=5x(2x-1) D、x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x 4.下列说法准确的是() A、0.25是0.5的一个平方根 B、负数有一个平方根 C、72的平方根是7 D、正数有两个平方根,且这两个平方根之和等于0 5.下列各曲线中不能表示y是x的函数的是() 6.如图,四点在一条直线上,再添一个条件仍不能证明⊿ABC≌⊿DEF的是() A.AB=DE B..DF∥AC C.∠E=∠ABC D.AB∥DE 7.已知,,则的值为() A、9 B、 C、12 D、 8.已知正比例函数(k≠0)的函数值y随x的增大而减小,则一次函数y=x+k的图象大致是()
9、打开某洗衣机开关,在洗涤衣服时(洗衣机内无水),洗衣机 经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程,其中进水、清洗、排 水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间满足某种函数关系,其函数图象大致为() 10.已知等腰三角形一边长为4,一边的长为10,则等腰三角形 的周长为() A、14 B、18 C、24 D、18或24 11.在实数中,无理数的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 12.已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行,且过点(8,2), 那么此一次函数的解析式为() A.y=-x-2 B.y=-x-6 C.y=-x+10 D.y=-x-1 13.如果单项式与 x3ya+b是同类项,那么这两个单项式的积是() A.x6y4 B.-x3y2 C.- x3y2 D.-x6y4 14.计算(-3a3)2÷a2的结果是() A.9a4 B.-9a4 C.6a4 D.9a3 15.若m+n=7,mn=12,则m2-mn+n2的值是() A.11 B.13 C.37 D.61 16.下列各式是完全平方式的是() A.x2-x+ B.1+x2 C.x+xy+l D.x2+2a-l 17.一次函数y=mx-n的图象如图所示,则下面结论准确的是() A.m0C.m>0,n>0 D.m>0,n-2且x≠1 D.x≥-2且x≠1
人教版八年级上册数学知识点汇总第十一章全等三角形 1.全等三角形的性质:全等三角形对应边相等、对应角相等。 2.全等三角形的判定:三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等(SAS)、两角和它们的夹边(ASA)、两角和其中一角的对边对应相等(AAS)、斜边和直角边相等的两直角三角形(HL)。 3.角平分线的性质:角平分线平分这个角,角平分线上的点到角两边的距离相等 4.角平分线推论:角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。 5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤:①、确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系),②、回顾三角形判定,搞清我们还需要什么,③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 6.第十二章轴对称 1.如果一个图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。 2.轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.角平分线上的点到角两边距离相等。 4.线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
5.与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 6.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 7.画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤:找到关键点,画出关键点的对应点,按照原图顺序依次连接各点。 8.点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y) 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y) 点(x,y)关于原点轴对称的点的坐标为(-x,-y) 9.等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等,(等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,简称为“三线合一”。 10.等腰三角形的判定:等角对等边。 11.等边三角形的三个内角相等,等于60°, 12.等边三角形的判定:三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 有两个角是60°的三角形是等边三角形。 13.直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 14.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 第十三章实数 ※算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么正数x叫做a的算术平方根,记作。0的算术平方根为0;从定