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六年级奥数专题-6数的整除——崔氏特征数

数的整除——崔氏特征数

1. 整除的定义所谓“一个自然数a 能被另一个自然数b 整除”就是说“商a

b 是一个整数”；或

者换句话说：存在着第三个自然数c ，使得a b c =?．这是我们就说“b 整除a ”或者“a 被b 整除”，其中b 叫a 的约数，a 是b 的倍数，记作：“|b a ”．

2. 整除性质：

⑴ 传递性若|c b ，|b a ，则|c a ．

⑵ 可加性若|c a ，|c b ，则|c a b ±（）．

⑶ 可乘性若|c a ，|d b ，则|cd ab ．

3. 整除的特征

⑴2,5，4,25,8,125,16,625的整除特征,能否被4和25整除是看末两位；能否被8和125整除是看末三位；能否被16和625整除是看末四位

(100425=?,10008125=?,1000016625=?,100000323125=?)

⑵3,9的整除特征

能否被9整除是看数字之和是否是9的倍数，并且这个数除以9的余数和这个数数字之和除以9的余数相同，因此判断一个数除以九余几就可以先把和是9的倍数的数划掉，剩下的数是几就代表这个数除以九余几

⑶7,11,13的整除特征

①能否被7，11，13整除规律是把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看

奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，11，13的倍数，并且奇数段的和减去偶数段的和的差被7,11,13除余几就代表这个数除以7,11,13余几

②能否被11整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是否

为11的倍数，并且算出的差除以11余几就代表这个数除以11余几

③被99整除特征从右往左每两位一段，看各段之和能否被99整除

⑷其他一些数的整除规律是拆成一些熟悉的数的整除特征

如7289=?，99119=?，1234=?，100171113=??

（这样我们就知道1至16所有整数的整除特征）

4. 利用整除特征判断余数问题

一个数如果不能被11整除要问除以11余几，我们可以用奇数位数字之和减偶数位数字之和的差除以11的余数（如果不足补11的倍数）

本讲要点

在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数．

（1）、请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；

（2）、一共有多少种满足条件的填法？

【分析】一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4+□+3+2+□是9

的倍数，而4+3+2=9, 所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．

⑴依次填入3、6，因为4+3+3+2+6=18是9的倍数，所以43326是9的倍数； ⑵经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共10种情况，还有（0,0）和（9,9），所以一共有12种不同的填法．

用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？

【分析】现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所

以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．

要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每

组2个数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A ；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作B ．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法：

偶位奇位

⑴ 1，8 9，8

⑵ 1，9 8，8

⑶ 9，8 1，8

⑷ 8，8 1，9

经过验证，只有第⑴种分组法满足前面的要求：189A =+=，98320B =++=，

11B A -=能被11整除．其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第⑴种分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819．

在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有个。共18个

下图的方格表中已经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方格中的数。比如a =5×10=50，b =50×12=600。那么c 方格内所填的自然数的末尾有

___个连续的0。

例4

例3

例2

例1

共102个0，用崔氏造坦克法。

已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？

被99整除的规律是从末尾开始，两位一段，求和，和为99的倍数则原数就是99的倍数。很容易求得原数为200731212.

例5

1. 要使156ABC 能被36整除，而且所得的商最大，那么A 、B 、C 分别是多少？因为3649=?，所以6C 能被4整除，从而C 只可能是1，3，5，7，9.要使商最大，A 、B 应尽可能大，先取9A =，则3B C ++是9的倍数，8B =，7C =时，取得最大值。

2. 393□是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内中先后填入3个数字，所

得到的3个四位数：依次可被6，11，8整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少?

2|6|39363|(393)3|a a a a a ???

??=??+++????

或0

11|39311|(933)11|(3)8a a a a ?+--?+?=

8|3938|936a a a ??=

所以三个数字和为68620++=。或0+8+6=14.

3. 六位自然数1082□□能被23整除，末两位数有多少种情况．

试除法。因为108200234704.....8÷=，把余8看做不足15。所以，方框中的数为15、38、61、84四种情况时，六位数能被23整除.所以末两位数有4种情况．

4. 975935972??? ，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应

填什么数？

积的最后4个数字都是0，说明乘数里至少有4个因数2和4个因数5．9755539=??，9355187=?，97222243=??，共有3个5，2个2，所以方框内至少是22520??=．

5. 试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，

那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．) 设原序数为abcd ，则反序数为dcba ，则

abcd ＋dcba (100010010)(100010010)a b c d d c b a =+++++++

10011101101001a b c d =+++

11(91101091)a b c d =+++

因为等式的右边能被11整除，所以abcd ＋dcba 能被11整除

家庭作业

五年级奥数专题-数的整除

五年级奥数专题-数的整除如果整除a 除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a 能被b 整除,或叫b 能整除a 。如果a 能被b 整除,那么,b 叫做a 的约数,a 叫做b 的倍数。数的整除的特征：（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0,那么这个整数一定能被2整除。（2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除,那么这个整数一定能被3（或9）整除。（3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除,那么这个数就一定能被4（或25）整除。（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么这个整数一定能被5整除。（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除,又能被3整除,那么这个数就一定能被6整除。（6）能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数,末三位为一个数,其余各位为另一个数,如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数,这个数就能被7（或11或13）整除。（7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除,那么这个数就一定能被8（或125）整除。（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除,那么它必能被11整除。一、例题与方法指导例1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____. 思路导航：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能或又 23056088=2620 238568÷88=2711 所以,本题的答案是2620或2711. 例2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____. 思路导航：

小学数学奥数习题-整除通用版

整除整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数. 1.整除的性质性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）. 例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）. 性质2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24. 性质3如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除. 例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍数是18，18丨36. 如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的. 例如：7与50是互质的，18与91是互质的. 性质4整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除. 例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72 能被3与4的乘积12整除. 性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2. 性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除. 能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题. 2.数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除. （2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除. （3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.

奥数数的整除讲义,理解练习含答案解析

数的整除（1）性质、特征、奇偶性【知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。（3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除。（4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）

整除。奇偶性：（1）奇数±奇数=偶数（2）偶数±偶数=偶数（3）奇数±偶数=奇数（4）奇数×奇数=奇数（5）偶数×偶数=偶数（6）奇数×偶数=偶数（7）奇数÷奇数=奇数（8）… 【典型例题】例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？

例3：任意取出1998个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？例4：有“1”，“2”，“3”，“4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少个？

数的整除练习题及答案

数的整除练习题及答案 1. 在自然数里，最小的质数是（），最小的合数是（），最小的奇数是（），最小的自然数是（）。 2. 在1，2，9这三个数中，（）既是质数又是偶数，（）既是合数又是奇数，（）既不是质数也不是合数。 3. 10能被0.5（），10能被5（）。 4. a÷b=4（a，b都是非0自然数），a是b的（）数，b是a的（）数。 5. 自然数a的最小因数是（），最大因数是（），最小倍数是（）。 6. 20以内不是偶数的合数有（），不是奇数的质数有（）。 7. 同时是2，3，5的倍数的最小三位数是（），最大三位数是（）。 8. 18和30的最大公因数是（），最小公倍数是（）。 9. 102分解质因数是（）。 10. 数a和数b是互质数，它们的最小公倍数是最大公因数的（）倍。 11. 在1到10之间的十个数中，（）和（）这两个数既是合数又是互质数；（）和（）这两个数既是奇数又是互质数；（）和（）这两个数既是质数又是互质数；（）和（）这两个数一个是质数，一个是合数，它们是互质数。 12. 在6，9，15，32，45，60这六个数中，3的倍数的数是（）；含有因数5的数是（）；既是2的倍数又是3的倍数的数是（）；同时是3和5的倍数的数是（）。 13. 28的因数有（），50以内13的倍数有（）。 14. 一位数中，最大的两个互质合数的最小公倍数是（）。 15. 在自然数中，最小的质数与最小的奇数的和是（），最小的合数与最小的自然数的差是（）。 16. 256 的分数单位是（），它减少（）个这样的分数单位是最小的质数，增加（）个这样的分数单位是最小的合数。 17. 493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数。 18. 把4.87的小数点向左移动三位，再向右移动两位后，这个数是（）。 19. 一个最简真分数的分子是质数，分子与分母的积是48，这个最简真分数是（）。 20. A=2×2×3×7，B=2×2×2×7，A和B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。 21. 一个数的最大因数是36，这个数是（），把它分解质因数是（）。 22. 三个质数的最小公倍数是231，这三个质数是（），（），（）。 23. 从0，2，3，6，8和5这六个数中选四个数，组成的同时是2，3，5的倍数的最大四位数是（）。

五年级下奥数专题：整数的整除

五年级下奥数专题：整数的整除数的整除的特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。（2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。（3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。（6）能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。（7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。过关测试一、选择题 1、某个正数分别与 73，59和2 3相乘，所得的积均为整数，则这个最小数为( )。 A 、3211 B 、3123 C 、70 D 、140 2、一个五位数，各个数位上的数字互不相同，它能被3，5，7，11整除，这样的数中最大的是（）。 A 、98175 B 、98765 C 、98675 D 、98715 3、王老师为班级买了28个价格相同的圆规，共付人民币1□6.□8元，已知□处的数字相同，则每个圆规（）。 A 、4.16 元 B 、5.16元 C 、4.86元 D 、4.51元 4、所有数字都是2且能被 6 100666个整除的最小自然数是（）位数。 A 、100 B 、200 C 、300 D 、400 5、2005年11月11日20时在北京举行了距29届北京奥运会还有1000天的纪念活动。事实上这次纪念活动是为期一天的，到11月12日20时截止，也就是说11月12日才是真正距北京奥运会的日子。那么北京奥运会将在2008年8月（）日20时开幕。 A 、7 B 、8 C 、9 D 、10 二、填空题 6、y x 532能同时被2、3、5整除，则所有满足条件的五位数为。 7、四位数□□47能被55整除，则所有这样的四位数有。 8、四位数b a 47能被18整除，只要使这个四位数尽可能小，那么a= ，b= 。 9、在1~100这100个自然数中，不能被3或11整除的数有个。 10、用2、8、8、6四个数字可以组成个不同的四位数；所有这些四位数的平均值是。 11、甲乙两数能被7整除，且甲数的61和乙数的5 2相等，甲乙两数的差最小是。 12、有2006个不同的自然数（不包括0），它们当中的任意两个数的和都是2的倍数，任意三个数的和都是3的倍数。为了使这2006个数的和尽可能小，那么这2006个数中最大的一个是。 13、一次速算比赛共出了100道题，李明每分钟做3道题，张强每做5道题比李明少用6秒钟．那么张强做完100道题时，李明已做完道题。

六年级奥数6、整除及数字整除特征

6、整除及数字整除特征【数字整除特征】例1 42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是__。（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。所以a-b=3。又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。从而很容易求出商为427284÷99=4316。例2 某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是__。（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。而1993000÷2520=790余2200。于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。所以最后三位数字依次是3、2、0。例3 七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。则有 b-a=8，或者a-b=3。 ①当 b-a=8时，b可取9、8； ②当 a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。

小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析 (2)

小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析(2).DOC 数的整除问题;内容丰富;思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题;也是小学数学竞赛命题的内容之一。一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5;63÷7=9 一般地;如a、b、c为整数;b≠0;且a÷b=c;即整数a除以整除b（b不等于0）;除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0）;我们就说;a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则;称为a不能被b整除;（或b不能整除a）;记作ba。如果整数a能被整数b整除;a就叫做b的倍数;b就叫做a的约数。例如：在上面算式中;15是3的倍数;3是15的约数;63是7的倍数;7是63的约数。 2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除;那么它们的和与差也能被c整除。即：如果c｜a;c｜b;那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10;2｜6;那么2｜（10＋6）; 并且2｜（10—6）。性质2：如果b与c的积能整除a;那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a;那么b｜a;c｜a。性质3：如果b、c都能整除a;且b和c互质;那么b与c的积能整除a。即：如果b｜a;c｜a;且（b;c）=1;那么bc｜a。例如：如果2｜28;7｜28;且（2;7）=1, 那么（2×7）｜28。性质4：如果c能整除b;b能整除a;那么c能整除a。即：如果c｜b;b｜a;那么c｜a。例如：如果3｜9;9｜27;那么3｜27。 3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面;个位数字是偶数（包括0）的整数;必能被2整除;另一方面;能被2整除的数;其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

五年级下奥数专题整数的整除

整数的整除数的整除的特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。（2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。（3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。（6）能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。（7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。过关测试一、选择题 1、某个正数分别与 73，59和2 3相乘，所得的积均为整数，则这个最小数为( )。 A 、3211 B 、3123 C 、70 D 、140 2、一个五位数，各个数位上的数字互不相同，它能被3，5，7，11整除，这样的数中最大的是（）。 A 、98175 B 、98765 C 、98675 D 、98715 3、王老师为班级买了28个价格相同的圆规，共付人民币1□6.□8元，已知□处的数字相同，则每个圆规（）。 A 、4.16 元 B 、5.16元 C 、4.86元 D 、4.51元 4、所有数字都是2且能被 6 100666个整除的最小自然数是（）位数。 A 、100 B 、200 C 、300 D 、400 5、20XX 年11月11日20时在北京举行了距29届北京奥运会还有1000天的纪念活动。事实上这次纪念活动是为期一天的，到11月12日20时截止，也就是说11月12日才是真正距北京奥运会的日子。那么北京奥运会将在20XX 年8月（）日20时开幕。 A 、7 B 、8 C 、9 D 、10 二、填空题 6、y x 532能同时被2、3、5整除，则所有满足条件的五位数为。 7、四位数□□47能被55整除，则所有这样的四位数有。 8、四位数b a 47能被18整除，只要使这个四位数尽可能小，那么a= ，b= 。 9、在1~100这100个自然数中，不能被3或11整除的数有个。 10、用2、8、8、6四个数字可以组成个不同的四位数；所有这些四位数的平均值是。 11、甲乙两数能被7整除，且甲数的61和乙数的5 2相等，甲乙两数的差最小是。 12、有2006个不同的自然数（不包括0），它们当中的任意两个数的和都是2的倍数，任意三个数的和都是3的倍数。为了使这2006个数的和尽可能小，那么这2006个数中最大的一个是。 13、一次速算比赛共出了100道题，李明每分钟做3道题，张强每做5道题比李明少用6秒钟．那么张强做完100道题时，李明已做完道题。

六年级奥数第一讲数的整除

第一讲数的整除学生黄文浩学生年级六年级学科数学授课教师马老师上课日期2016年 9 月24 日时段核心容数的整除课型一对一教学目标 1.熟记2、5、3的倍数的特征。 2.灵活掌握8、9、11的倍数的特征。 3.综合运用所学知识灵活解决问题。重难点掌握2、5、3、8、9、11的倍数的特征，解决问题。【课首沟通】了解学生对2、5、3的倍数的特征的掌握情况；适当的向学生提出问题4、8、9、11的倍数的特征；引起学生的好奇心，激发学生学习探讨的兴趣。【知识导图】精准诊查

【课首小测】 1.人们口上经常所说的单数、双数是什么意思？（口述回答） 2.从下面四数字卡中取出三，按要求组成三位数。（有几个写几个）奇数：（）偶数：（） 2的倍数：（） 3的倍数：（） 5的倍数：（） 5的倍数：（）既是2又是3的倍数：（）【知识梳理】能被2整除的数：个位数是0、2、4、6、8。能被5整除的数：个位数是0或5。自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数导学一 2、5的倍数的特征 1.判断题。（1）两个奇数的和不一定是偶数。（）（2）个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。（） 2.填一填。（1）2的倍数中最小的三位数是（）；最大的三位数是（）。（2）5的倍数中最小的两位数是（）；最大的两位数是（）。（3）既是2的倍数又是5的倍数的最大的两位数是（）。奇数＋奇数＝偶数＋偶数＝奇数－奇数＝奇数＋偶数＝奇数×奇数＝奇数×偶数＝ 3.选择题（1）能被5整除的数，个位上是（）。

四年级下册奥数试题数的整除全国通用

第06讲数的整除知识点、重点、难点两个整除b a ,，0 b ，若a 除以b 所得商为c ，余数为0，我们就称a 能被b 整除.能被2整除的数的特征是：一个数的个位数字是偶数，则这个数能被2整除；能被5整除的数的特征是：一个数的个位数字是0或5，则这个数能被5整除；能被3或9整除的数的特征是：一个数的各位数字之和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除；能被4或25整除的数的特征是：一个数的末两位数能被4或25整除，则这个数能被4或25整除；能被8或125整除的数的特征是：一个数的末三位数能被8或125整除，则这个数能被8或125整除. 例题精讲例1判断238、345、582、1650、4396这五个数，哪些能被2整除，哪些能被5整除.练习1判断144、295、376、1980、5466、8855、34180、42952、8950、775这十个数，哪些能被2整除，哪些能被5整除，哪些能同时被2、5整除. 例2在四位数67□4中，□中分别填什么数字，才能分别被9、8、4整除？练习2在四位数58□2中，□中分别填什么数字，才能分别被3、8、4整除？例3用4、7、6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位数？写出这些数.练习3用2、4、6、8这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有哪些数能被3整除.

例4同时能被2、3、5整除的最大四位数是____________. A B能被2、3、5整除，求数字A与B. 例5要使六位数3587 例6个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？精选习题 1.判断132、158、710、195、496、9760、765、3335、10100、424这十个数，哪些能被2整除，哪些能被3整除，哪些能被5整除. 2.在下面的空格里填上合适的数: (1)87□□能被9、25整除； (2)63□□能被2、3、4、5、9整除. 3.用3、0、4、5这四个数字组成的没有重复数字的四位数中，能同时被2、3、5整除的数有哪些？ A A能同时被4、9整除，求这个五位数. 4.五位数743

五年级奥数-数的整除

专题一数的整除数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题内容之一。一、基本概念和知识 1.整除例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a） 7是63的约数。 2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。 3.数的整除特征

①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数. ②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ④能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是0或11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。例题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。（小五奥数）解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之。练习（1）在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除, 方格内应填_____。（小五奥数）练习（2）已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位_____。例题 2. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。解析：先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和。 (1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99） =(1+100)÷2?100-(3+99)÷2?33 =5050-1683=3367 练习所有能被3整除的两位数的和是______。例题3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____。练习能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。例题4. 173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个

六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练：第十二讲整除问题(一)(无答案)全国通用

，第十二讲整除问题（一）在学习整数除法时，我们已经知道：被除数＝除数×商数＋余数这里要求除数不为零，且余数小于除数。当两个整数 a 和 b （b ≠0），a 被 b 除的余数为零时（商为整数），则称 a 被 b 整除或者 b 整除 a ，也把 a 叫作 b 的倍数，b 叫 4a 的约数，记作 b ｜a 。如果a 被b 除所得的余数不为零，则称a 不能被b 整除，或b 不整除a 很显然，1 是任何整数的约数，即对于任何整数 a ，总有 1|a ，0 是任何非零整数的倍数，a ≠0，a 为整数，则 a ｜0。一般来说，整数 a 是否能被整数 b 整除，只要真正作除法就可判断。但是对于一些特殊数，可以有比较简单的判断办法。一、数的整除的特征 1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被 2 整除来区分偶数与奇数的。因此，有下面的结论：末位数字为 0、2、4、6、8 的整数都能被 2 整除。偶数总可表为 2k ，奇数总可表为 2k ＋1（其中 k 为整数）。 2．末位数字为零的整数必被 10 整除。这种数总可表为 10k （其中 k 为整数）。 3．末位数字为 0 或 5 的整数必被 5 整除，可表为 5k （k 为整数）。

4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。如 1996＝1900＋96，因为 100 是 4 和 25 的倍数，所以 1900 是 4 和 25 的倍数，只要考察96 是否4 或25 的倍数即可。由于4｜96 能被 25 整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。能被 4 整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。 5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。由于1000＝8×125，因此，1000 的倍数当然也是8 和125 的倍数。如判断765432 是否能被8 整除。因为765432＝765000＋432 显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。能被 8 整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；

六年级下册奥数试题数的整除特征(二)全国通用(含答案)

第2讲数的整除特征（二）知识网络上一章我们已经学习了被2、3、5、8、9、25、125等整除的数的特征和一些整除的基本性质，但作为奥林匹克竞赛仅仅掌握以上知识还不够，这一讲继续学习有关数的整除知识。（1）能被7、11和13整除的数的特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三以前的数字所表示的差（一定要大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除。（2）能被11整除的数的特征还有：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。重点·难点同学们在牢记上面整除的数的特征的同时，重点应弄清楚能被7、11、13整除的数为什么有上面的特征。学法指导上面数的整除特征可以结合例子来理解。例如：443716，判断它能否被7、11、13整除的方法是：716－443=273。因为273能被7整除，所以443716能被7整除；因为273不能被11整除，所以443716不能被11整除；因为273能被13整除，所以443716能被13整除。记忆要理论联系实际。经典例题 [例1]用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？思路剖析能被11整除的数的特征是这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除。一个数要能被11除余8，那么这样的数加上3后，就能被11整除了，于是得到被11除余8的数的特征是：将偶位数字相加得到一个和数，再将奇位数字相加再加上3，得到另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数就是被11除余8的数。解答要把1、9、8、8排成被11除余8的四位数，可以把这四个数字分成两组，每组两个数字，其中一组作为千位和十位数，它们的和记作p，另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作q，且p 和q的差能被11整除，满足要求的分组只可能是p=1+8=9，q=（9+8）+3=20，q－p=20－9=11，所以1988是被11除余8的四位数。如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两介数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换，得到的新数被11除也余8，因此除1988外，还有1889、8918与8819共四个被11除余8的四位数。 [例2]如果下面这个41位数□能被7整除，那中间方格内的数字是几? 思路剖析对于数555555，由于555–555=0是7的倍数，根据能被7整除的数的特征，555555也能被7整除；同理999999也能被7整除，所以和也能被7整除，所以我们可以把这个41位数分成几个数的和，其中部分能被7整除。

小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析

小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析数的整除数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除. ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。

奥数数的整除讲义及答案

数的整除（1）性质、特征、奇偶性教室：姓名：学号：【知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。（3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除。（4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。奇偶性：（1）奇数±奇数=偶数（2）偶数±偶数=偶数（3）奇数±偶数=奇数（4）奇数×奇数=奇数（5）偶数×偶数=偶数（6）奇数×偶数=偶数（7）奇数÷奇数=奇数（8）…【典型例题】例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？解：在两位数中，是17的倍数的数中最大的为17×5=85（17×6=102）.于是所求数的前两位数字为85.因为8+5=13，故所求数的个位数字为2、5、8时，该数能被3整除，为使该数最大，其个位数字应为8.最大三位数是858. 例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？解：1～200中，能被6整除的数共有33个（200÷6=33…），能被8整除的数共有25个（200÷8=25）.但［6，8］=24，200÷24=8……8，即1～200中，有8个数既被6整除，又被8整除。故总共有：33+25－8=50。

四年级奥数第一讲---数的整除问题

第一讲数的整除问题一、基本概念和知识： 1、整除：定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。用符号“b| a”表示。 2、因数和倍数：如果a能被b整除，即a÷b=c 由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a 的因数（或约数），a是b（c）的倍数. 提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。练习：写出下面每个数的所有的因数： 1的因数：__________________； 7的因数：__________________； 2的因数：__________________； 8的因数：__________________； 3的因数：__________________； 9的因数：__________________； 4的因数：__________________； 10的因数：__________________；

5的因数：__________________； 11的因数：__________________； 6的因数：__________________； 12的因数：__________________；公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________， 3、质数与合数：在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。（３）0和１既不是质数，也不是合数。、

完整版六年级奥数数论综合

第19讲数论综合知识点精讲特殊数的整除特征 1. 尾数判断法 1) 能被2整除的数的特征： 2) 能被5整除的数的特征： 3) 能被4 (或25)整除的数的特征： 4) 能被8 (或125)整除的数的特征： 2. 数字求和法： 3. 99的整除特性： 4. 奇偶位求差法： 5. 三位截断法：特别地：7X11X13=1001, abcabc=abcX1001 二、多位数整除问题技巧：1>目的是使多位数变短”途径是结合数的整除特征和整除性质 2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。三、质数合数 1. 基本定义【质数】一一【合数】一一注：自然数包括0、1、质数、合数. 【质因数】一一【分解质因数】一一用短除法和分拆相乘法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N=a1Xa2Xa3X X n,其中a1、a2、a3 an都是合数N的质因数，且

a 1

【互质数】【偶数】【奇数】 2. 质数重要性质 1）100以内有25个质数： 2）除了2和5，其余的质数个位数字只能是： 3）1既不是质数，也不是合数 4）在质数中只有2是偶数，其他质数都是奇数 5）最小的质数是2?最小的奇质数是3 6）有无限多个 3. 质数的判断： 1）定义法：判断整除性 2）熟记100以内的质数 3）平方判断法：例如：对2011,首先442<2011<452,然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数.

4. 合数 1）无限多个 2）最小的合数是4 3）每个合数至少有三个约数 5. 互质数 1）什么样的两个数- -定是互质数？注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式21=3 7,不能写成：3 7=21. 6. 偶数和奇数 1） 2）偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数 3） 4）数是他们乘积的一半 5）?因此，要分解的合数应写在等号左边，如： 0属于偶数十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是除2外所有的正偶数均为合数相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍奇±奇=偶偶±禺=偶偶埼=奇