小升初数学课程第六讲立体图形的特征及计算(一)

第六讲立体图形的特征及计算（一）

长方体与正方体

一、知识梳理

1、长方体和正方体的认识

一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有6个面是正方形，但不会存在3个、4个、5个面是正方形

二、例题精讲

例1：

（1）判断和填空：

长方体的六个面一定是长方形； ( × )

正方体的六个面面积一定相等； ( √ )

一个长方体(非正方体) 最多有四个面面积相等； (√ )

相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。 ( √ )

一个长方体中，可能有4个面是正方形。（×）

正方体是特殊的长方体。（√）

有两个面是正方形的长方体一定是正方体。( × )

一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。（√）

（2）一个长方体最多有（ 2 ）个面是正方形，最多有（ 8 ）条棱长度相等。

（3）一个长方体的底面是一个正方形，则它的4个侧面是（完全一样的长方）形。（4）正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（相等），它的六个面都是相等的（正方）形。

（5）把长方体放在桌面上，最多可以看到（ 3 ）个面。最少可以看到（ 1 ）个面。2、长方体与正方体的棱长总和公式

长方体棱长总和=（长+宽+高）×4 长+宽+高=棱长总和÷4

长方体棱长总和=下面周长×2+高×4

长方体棱长总和=右面周长×2+长×4

长方体棱长总和=前面周长×2+宽×4

正方体棱长总和=棱长×12 棱长=棱长和÷12

例2：

（1）看图，并填空单位：厘米

这个长方体长( 6 )厘米，宽(3)厘米，高(4) 厘米。由一个顶点引出的三条棱的长度和是(13 )厘米。棱长总和是( 52 )厘米。上下两个面是( 长方 )形。

（2）一个长方体的棱长总和是 80厘米，其中长是 10厘米，宽是 7厘米，高是（ 3 ）厘米。

（3）有一个长方体的鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高30厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，需要（ 4.4 ）米的铝合金

（4）把两个棱长 1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（ 16 ）厘米。（5）至少需要（ 48 ）厘米长的铁丝，才能做一个底面周长是18厘米，高3厘米的长方体框架。

（6）一个长方体棱长和164cm，已知长方体的底面周长为72cm，长方体的高是多少cm？

164-7224

=204=5cm ?÷÷（）（）

答：长方体的高是5cm.

（7）有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带？

302+20610

6012010

190()

cm ??+=++=

答：一共需要190cm 的彩带.

3、长方体和正方体的表面积

长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 =（a ×b+a ×c+b ×c ）×2 =（前面面积+上面面积+右面面积）×2 正方体表面积=棱长×棱长×6=a ×a ×6=6a 2

=任意一个面的面积×6

两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体，表面积不一定相等！ 表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体，棱长和也不一定相等！

例3：

（1）一个正方体的棱长总和是48分米，它的棱长是（4分米），表面积是（ 96平方分米 ）。 （2）一个长方体长6厘米，宽4厘米，高3厘米。这个长方体上下两个面的面积各是（ 24 ）平方厘米，前后两个面的面积各是（ 18 ）平方厘米，左右两个面的面积各是（ 12 ）平方厘米，表面积是（ 108 ）平方厘米。

（3）长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是 （ 48 ）厘米，六个面中最大的面积是（ 24 ）平方厘米，表面积是（ 88 ）平方厘米。 （4）一个正方体的底面积是64平方厘米，它的表面积是（ 384平方厘米 ）。 （5）一个正方体的底面周长是8厘米，它的表面积是（ 24平方厘米 ）。

4、长方体表面求法的变形：

① 贴商标类型：只求四周面积。

例如：一个长方体包装盒，长宽高分别为8,4,5cm ，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面积是多少？

(85+45)2

602

120(???=?=平方厘米）

答：需要商标120平方厘米。

② 游泳池类型：只求四周和底面。

例如：一座游泳池，长宽高分别为10m ，4m ，1.5m ，需要在池内贴上边长为1dm 的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？

4 1.5+10 1.52+104=42+40=82820011=8200????÷?（）（平方米）（）（块）

答：大约需要8200块。

③ 抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积。

例如：一款抽纸盒，长宽高分别是20cm ，12cm ，5cm ，上面有长14cm ，宽3cm 的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？

2012+205+1252-143

=800-42

=758?????（）（平方厘米）

答：做这款抽纸需要758平方厘米硬纸片。

④ 占地面积问题：只求底面面积。

例如：一个长方体蓄水池，长12m ，宽8m ，深3m ，这个水池占地面积多少平方米？

128=96?（平方米）

答：这个水池占地面积96平方米。

5、棱长变化对表面积的影响： ? 正方体

正方体的棱长扩大n 倍，其棱长和也扩大n 倍，表面积扩大n 2

倍，体积扩大n 3

倍。

? 长方体

长方体的长宽高同时扩大n 倍，其棱长和也扩大n 倍，表面积扩大n 2

倍，体积扩大n 3

倍。 （1）大正方体棱长是小正方体棱长的2倍，则大正方体表面积是小正方体表面积的（4）倍。 （2）一个长方体的长、宽、高都扩大4倍，它的表面积就（ 扩大4倍 ）。

（3）一个正方体的棱长为4厘米扩大为2倍后，其棱长和为（ 96 ）厘米，表面积为（ 384 ）平方厘米比原来扩大了（ 4倍 ）。

（5）一个长方体长扩大2倍，高扩大4倍，体积扩大（ 8 ）倍。

6、单位换算、体积和容积

长度单位：mm 、cm 、dm 、m 相邻两个单位进率为10 面积单位：mm 2

、cm 2

、dm 2

、m 2

相邻两个单位进率为100 体积单位：mm 3

、cm 3

、dm 3

、m

3

相邻两个单位进率为1000

容积单位：ml 、l 相邻两个单位进率为1000 特别的：1ml=cm

3

1l=1dm

3

1方=1m 3

不是同一类型的单位，数据不能比较大小，同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大。 大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率。

例4：

(1) 3.2立方分米=（ 3200 ）立方厘米

9立方米500立方分米=（ 9.5 ）立方米=（ 9500 ）立方分米 3.6升=（ 3600 ）毫升=（ 3600 ）立方厘米

2100毫升＝（ 2100 ）立方厘米＝（ 2.1 ）立方分米

(2)一个水池能装水400立方米，这是指（ 水池的容积 ），占地2公顷指的是（水池的占地面积）。

一块橡皮擦的体积约是8( 立方厘米 )。 一本书的封面约是2(平方分米 )。

7、长方体与正方体的体积

物体所占空间的大小叫做物体的体积。 长方体的体积=长×宽×高 V=abh

高级单位

进率×高级单位的

数

低级单位

低级单位的数÷进率

长=体积÷宽÷高 a=V ÷b ÷h 宽=体积÷长÷高 b=V ÷a ÷h 高=体积÷长÷宽 h= V ÷a ÷b

正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a ×a ×a

例5：

（1）一个正方体棱长2厘米，体积是（ 8 ）立方厘米，如果这个正方体的棱长扩大2倍，它的体积是（ 64 ）立方厘米。

（2）长方体的长为12厘米，高为8厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？

20012+8=10=÷??（）（厘米）

12810960（立方厘米）

答：这个长方体的体积是960立方厘米。

（3）一个长方形的底面是一个周长为16分米的正方形，它的表面积是96平方分米，这个长方体的体积是多少？

164=496-44244

=6416

=4444=64÷??÷÷÷??（分米）

（）（分米）

（立方分米）

答：这个长方体的体积是64立方分米。

（4）有一个长方形玻璃鱼缸长为5分米，宽为3分米，高为3分米里面装有2.5分米高的水，现在需要将该该鱼缸内的水倒入一个棱长为3.5分米的正方体鱼缸中，请问是否可以装得下这么多水？如果装得下正方体鱼缸内的水有多高？

53 2.5=37.5=37.5 3.5 3.5 3.06????÷?≈（立方分米）

3.5 3.5 3.542.875（立方分米）

因为37.5<42.875

所以装的下

（）（分米）

答：装得下，水高3.06分米.

8、长方体与正方体的容积

箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。

常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。

1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升

容积和体积的差异

容积和体积的大小关系

一般情况下视为容积等于体积，其前提条件是容器壁厚度忽略不计。

在考虑容器壁厚度的情况下，容积是比体积小的。体积大于或等于容积

例6：

（1）一个长方体鱼缸从外面量长宽高分别为5分米、2.5分米、3分米，，从里面量长宽高分别为4.9分米、2.4分米、2.9分米，这个鱼缸的容积是（ 34.104立方分米），体积是（ 37.5立方分米），如果鱼缸中装满水，水的体积是（ 34.104立方分米）。（2）一个仓库能容纳150立方米的大米，这个仓库的（容积）是150立方米。

9、正方体的展开图

1-4-1型（4种）

2-3-1型（3种）

2-2-2型（1种）

3-3型（1种）

10、表面涂色的正方体

正方体的6个面涂上了红色，每条棱被平均分成了n 份，则有 （1） 三面涂色的小正方体有（8）个； （2） 两面涂色的小正方体有（12n-2（））个； （3） 一面涂色的小正方有（2

n-2)6（）个；

（4） 零面涂色的小正方体有（

3

n-2)（）个 三、课堂总结

长方体和正方体学习内容主要集中侧面积、表面积和体积方面，要求学生对相关运算公式的识记运用较高，必须勤学苦练不断积累方能提升解题应答能力。

四、课后作业

1、求下面长方体、正方体的棱长总和，表面积和体积。

8厘米

4厘米

3厘米

5分米

5分米

5

这个长方体的棱长总和是（ 60 ）厘米。 这个正方体的棱长总和是（ 60 ）分米。

表面积： 表面积：

43+83+4825512=300=682

=136???????（）（平方分米）

（平方厘米）

体积： 体积

348=96=????（立方厘米）

555125（立方厘米）

2、24平方分米=（ 0.24 ）平方米

3dm 3

=( 3 )L

528毫升=( 528 )立方厘米=( 0.528 )立方分米

3、一个正方体的棱长总和是96厘米，则这个正方体的表面积是（ 384 ）平方厘米，体积是（ 512 ）立方厘米

4、正方体的棱长扩大2倍,表面积就扩大( 4 )倍，体积扩大（ 8 ）倍。 A 、 2倍 B 、 4倍 C 、 8倍

6、一个长方体棱长和164cm ，已知长方体的左面周长为40cm ，长方体的长是多少cm ？

164-4024=21?÷（）（厘米）

答：长方体的长是21厘米.

7、一个长方体的水池，从里面量长是7.5米，比高长2.1米，宽比高多1.4米，若水池里的水面距水池底0.82米，水池里蓄了多少升水？

7.57.5-2.1+1.4==??（）0.8241.82（立方米）41820（升）

答：水池里蓄了41820升水.

8、一个长方体水槽，长宽高分别是40厘米、30厘米、25厘米，里面装有水，水面的高度是15厘米，把一个不规则的物体放到水里，完全淹没，这时水面上升到17厘米，求这个物体的体积？

403017-15=2400??（）（平方厘米）

答：这个物体的体积是2400平方厘米.

9、一个长方体，如果沿着高减少4厘米，就变成一个正方体，这时，表面积比原来减少112平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？

11244=7777+4=539÷÷??（厘米）

（）（立方厘米）

答：原来长方体的体积是539立方厘米.