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机械优化设计课后习题答案

第一章习题答案

1-1 某厂每日（８h 制）产量不低于１800件。计划聘请两种不同的检验员,一级检验员的标准为:速度为25件/ｈ，正确率为98%,计时工资为4元/h;二级检验员标准为：速度为１5件／h ，正确率为95%，计时工资3元/h 。检验员每错检一件,工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为:一级8人和二级10人。为使总检验费用最省,该厂应聘请一级、二级检验员各多少人? 解：(1）确定设计变量；

根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为X = ??

????=??????二级检验员一级检验员

21x x ;

(2）建立数学模型的目标函数；

取检验费用为目标函数，即:

ｆ(Ｘ) = 8*4*x 1＋ 8*3*x 2 + 2(８*25*0．02ｘ1 +8*15*0．05x ２） =40x 1+ 36x 2

（3）本问题的最优化设计数学模型：

min ｆ (X ） = 40x 1+ 3６x ２ X ∈R

３·

ｓ.ｔ. g 1（X ) =1800-８＊25x 1+8*１５x 2≤0

g 2(X ） =ｘ1 -8≤0 g ３(X ) =x 2-10≤0

ｇ4(Ｘ) = -x 1 ≤0

ｇ5(Ｘ) = -x ２ ≤0

1-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ,许用最大变形量[]λ。欲选择一组设计变量T T n D d

x x x ][][2

==X 使弹簧重量最轻,同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥，

簧丝直径0.5d ≥,弹簧中径21050D ≤≤。试建立该优化问题的数学模型。

注：弹簧的应力与变形计算公式如下

22234

881

,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比），

解: （1）确定设计变量；

根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ?????

????=??????????n D d x x x 2321； (２)建立数学模型的目标函数；

取弹簧重量为目标函数，即：

ｆ（Ｘ） =

322

x x rx π

(3）本问题的最优化设计数学模型:

min f (X ) =

322

x x rx π X ∈R 3·

s.t. g 1(X ) =0.5-x 1 ≤0

g 2(X ) =１0－x ２ ≤0 g 3(X ) ＝x 2-50 ≤０

ｇ4(X ） =3-x 3 ≤0 ｇ5（Ｘ) =[]τπ-+

218)21(x Fx x x ≤0 g 6(X ) =[]λ-4

28Gx x Fx ≤0

1－３某厂生产一个容积为800０ cm 3

的平底、无盖的圆柱形容器,要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。

解:根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为Ｘ = ???

???=?

?????h r x x

21高底面半径 , 表面积为目标函数,即:

m i ｎf (X ) ＝ πx 12 + 2π ｘ1 ｘ２

考虑题示的约束条件之后,该优化问题数学模型为：

ｍi n ｆ(X ）＝ πx 12 ＋ 2π x 1 ｘ2

Ｘ=[x 1,x 2]Ｔ∈R ２

ｓ．t . g 1(X ) = -x 1 ≤0

g 2（X ) = -x 2 ≤0

h 1（Ｘ) ＝ 8０0０ - πx 1２

x 2 ＝０

１-4 要建造一个容积为1500 m 3

的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为４元、6元和12元。基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。解：（１）确定设计变量；

根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为Ｘ = ????

?????=??

????????高宽长321x x x ; （2)建立数学模型的目标函数;

取总价格为目标函数，即：

f (X ）＝８(ｘ1 x ３＋ x ２ x 3） + 6 x 1 x 2 + 12 x 1 x 2

(3）建立数学模型的约束函数；

1)仓库的容积为1500 m 3

。即：

1500－ｘ1 x 2 x 3 =０

２）仓库宽度为高度的两倍。即：

x 2 －２ x ３ = 0

3)各变量取值应大于０,即：

x 1 > 0, ｘ2 ．＞ 0.，则 -x 1 ≤０,-x 2 ≤0

（4）本问题的最优化设计数学模型:

ｍｉn f (X ） = 8（ｘ1 ｘ3 + ｘ2 x ３) + 18 x 1 x ２ X ∈R 3·

s.ｔ. g 1(X ) ＝ -x １ ≤0

g 2(X ) = -x ２ ≤０ g 3(Ｘ）＝ -x 3 ≤0

h １(X ) ＝１500-x 1 ｘ2 x 3 ＝0 h ２(X ) = x 2 -2 x ３ = ０

１-5 绘出约束条件:

1≤+x x ; 822

21≤+-x x ; 421≤x x 所确定的可行域 1－6 试在三维设计空间中,用向量分别表示设计变量： 1[132]T =X ; 2[2

34]T =X ； 3[414]T =X 。

第二章习题答案

2－1 请作示意图解释:(1)

()()()k k k k α+=+X

X S 的几何意义。

2-2 已知两向量12[1

220],[2021]T T P P =-=,求该两向量之间的夹角θ。

2-3 求四维空间内两点)2,1,3,1(-和)0,5,6,2(之间的距离。

２-4 计算二元函数321121()56f x x x x =-+-X 在(0)[11]T =X 处，沿方向[12]T

=-S 的方向导数

(0)'()s f X 和沿该点梯度方向的方向导数(0)'()f ?X 。

2-5 已知一约束优化设计问题的数学模型为

12121122123142min ()(3)(4)[,]()50() 2.50()0()0

f x x x x

g x x g x x g x g x =-+-==+-≤=--≤=-≤=-≤X X X X X X

求：

(１) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为()1234f =X 、

、、时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。 (２) 找出图上的无约束最优解1*

X 和对应的函数值1()f *X ，约束最优解2*

X 和2()f *X ;

（3) 若加入一个等式约束条件:

12()0h x x =-=X

求此时的最优解3*X ,3()f *X 。

解：下图为目标函数与约束函数(条件)设计平面X 1O Ｘ2 。其中的同心圆是目标函数依次为f (X )=１、２、3、４时的四条等值线;阴影的所围的部分为可行域。

由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即:

X 1＊＝[3，４]T

函数值 f (X 1＊

)= 0 。

而约束最优解应在由约束线g 1(X)=0，ｇ2(Ｘ)＝0，g 3(X ）＝０，g 4(X ）=0,组成的可行域（阴影线

内侧)内寻找,即约束曲线ｇ1(Ｘ)=0与某一等值线的一个切点X 2＊,可以联立方程：??

?=+-=-+010

52121x x x x ,解得X 2＊=[2,３］。

函数值 f （X ２*)= (2-3)2 + (3-4）2 = ２。

加入等式约束条件，则X 3*为可行域上为h 1(Ｘ）=0上与某一条等值线的交点,可以联立方

程:???=-=-+0

052121x x x x , 解得X ３＊=［5/2,５/2] 。函数值 f （X 3*)= （5/2-3)２

＋（5／２-4)2 = 2.5 。

2-6 试证明在(1,1)点处函数522)(12

122

1+-++-=x x x x x x f X 具有极小值。证明:求驻点：

2244)(121311

-+-=??x x x x x X f ,

1222)(x x x X f +-=?? 0)

(0)(2

1=??=??x X f x X f ，由

，4)(]11[**==x f x T ，极值得：驻点 2)(4)()(2412)(222112221222

12=??-=???=???+-=??x X f x x x X f x x X f x x x X f ，， ???

???--=24410)(X H 海赛矩阵

024

41001022

1211

11>--=>=a a a a

a ，各阶主子式：

H (X )是正定的，所以驻点必定是极小点。故在(1,1)点处函数)(X f 具有极小值。

2－７求函数22

1212()32210f x x x x =+--+X 的极值点，并判断其极值的性质。

解:

26)(11-=??x x X f ,14)

(22

-=??x x X f 0)

(0)(2

1=??=??x X f x X f ，由

，24/229)(]4/13/1[**==x f x T ，极值得：极值点 4)

(0)()(6)(2221222122

12=??=???=???=??x X f x x X f x x X f x X f ，， ???

???=4006)(X H 海赛矩阵 04

0060622

1211

11>=>=a a a a

a ，各阶主子式：

H (Ｘ)是正定的，所以，)(X f 为凸函数。

24/229)(]4/13/1[**==x f T ，极值得：极值点X

２-8 试判断函数22

12121()221f x x x x x =+-++X 的凸性。

解:

124)(211+-=??x x x X f ,122

22)

(x x x X f -=?? 2)

(2)(2)(5)(2221222122

12=??-=???-=???=??x X f x x X f x x X f x X f ，，， ???

???--=2225)(X H 海赛矩阵

250522

211211

11>--=

>=a a a a

a ，各阶主子式：

H (X ）是正定的, 所以，)(X f 为凸函数。

2-9 试用向量及矩阵形式表示22

1212()10460f x x x x =+--+X 并证明它在12{,,1,2}i x x x i =-∞<<∞=D 上

是一个凸函数。解:

211

210)

(x x x X f -+-=??,

12224)(x x x X f -+-=?? 2)

(1)(2)(2222122

12=??-=???=??x X f x x X f x X f ，， ???

???--=2112)(X H 海赛矩阵

120222

211211

11>--=

>=a a a a

a ，各阶主子式：

H (Ｘ)是正定的，所以，)(X f 为凸函数。

2-10 现已获得优化问题

2122211222212122

3124152min ()412..()250

()1010340()(3)(1)0()0()0

f x x s t

g x x g x x x x g x x g x g x =--=+-≤=+--+≤=----≤=-≤=-≤X X X X X X

的一个数值解[1.000,4.900]T

=X ,试判定该解是否上述问题的最优解。

第三章习题答案

3-１函数983)(3

+-=x x f X ，当初始点分别为00=x 及8.10=x 时，用进退法确定其一维优化的搜索区间，取

初始步长1.00=T 。解:当00=x 时

（1）取1.0,0,1.0210=====T A A T T 9)()()

0(11===X f A F F

S A X

X 2)

0(+==０.１

203.8)()(2)

0(22=+==S X A f A F F

比较21F F 、，因21F F > ，所以应作前进搜索。

⑵步长加倍：3.021,2.0222=+=+===T A A T T 203.821==F F S A X

X 2)

0(+==0.3

681.6)()(2)

0(22=+==S X A f A F F

再比较21F F 、，因21F F >，所以还应再向前搜索,为此应舍去上一次的1A 点。所以:1.02.03.021=-=-=T A A 。

(３) 步长加倍:7.04.03.0,4.0222=+=+===T A A T T

681.621==F F S A X X 2)0(+=＝0.7

429.4)()(2)

0(22=+==S X

A f A F F .

比较21F F 、,因21F F >，所以还应再向前搜索， 3.04.07.021=-=-=T A A 。（4) 步长加倍:5.1,8.0222=+===T A A T T

429.421==F F S A X X 2)0(+==1.５

125.7)()(2)

0(22=+==S X

A f A F F .

比较21F F 、,因21F F <。已找到具有“高－低－高”特征的区间即:3.011==A α时,681.6)(1=αF

7.022=-=T A α时，429.4)(2=αF 5.123==A α时,125.7)(3=αF 。所以，)()()(321αααF F F <>,单峰区间为: 5.1,3.02311======A B A A αα。当8.10=x 时

同理可得:3.0,5.12311-===-===A B A A αα

３-２用黄金分割法求函数ααα2)(2

+=F 在区间[35]-中的极小点,要求计算到最大未确定区间长度小于

0．0５。

解:(１）在初始区间［a ，b]=[-３，５]中取计算点并计算函数值

667

.7)(;944.1)(618.0115136.0)(;056.0)(618.0)

2(2)

2()1(1)1(===-+====--=α

ααf f a b a f f a b b

(2)比较函数值，缩短搜索区间

因有f １≤f 2,则115136.0)(;944.1)2(2)

2(====αα

f f b

98759.0)(;11139.1)(618.0)1(1)1(-==-=--=ααf f a b b

（3）判断迭代终止条件

b -a >ε

不满足迭代终止条件，比较函数值ｆ1、f 2继续缩短区间。

将各次缩短区间的有关计算数据列于下表。

表黄金分割法的搜索过程

３-３用二次插值法求函数3728)(2

3+--=ααααF 的最优解。已知搜区间为[02],选代精度01.0=ε。

解:采用Ma ｔl ａｂ编程计算得:0.6207α=

３-4 函数212

2212142)(x x x x x x f -++-=X ,取初始点为(0)

2]T =X ，规定沿)0(X 点的负梯度方向进行一

次一维优化搜索，选代精度：6510,10--==f x εε。

(1)用进退法确定一维优化搜索区间;

(2）用黄金分割法求最优化步长及一维优化最优值; (3）用二次插值法求最优化步长及一维优化最优值;

（4)上述两种一维优化方法在求解本题时，哪一个种方法收取更快，原因是什么？解:最优点T ]20

=X ,最优值4)(*-=X f

二次插值法更快

3-５求2

)2)(1()(-+=αααF 的极小点，选代精度1.0,1.0==f x εε。要求：

（1)从0=α出发,1.00=T 为步长确定搜索区间；

(2)用黄金分割法求极值点；

(3）用二次插值法求极值点。解:

（1) ①由已知条件可得，1110,()4F F ααα====

2102222220.1

()(1)(2)(0.11)(0.12) 3.971T F F ααααα=+===+-=+-=

因为21F F <,应作前进搜索。

②步长加倍,01220.2, 3.971T T F F ====,

222222220.10.20.3

()(1)(2)(0.31)(0.32) 3.757T F F ααααα=+=+===+-=+-=

因为21F F <，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的1α点。所以：120.3αα== ③步长加倍，1220.4, 3.757T T F F ====,

222222220.30.40.7

()(1)(2)(0.71)(0.72) 2.873T F F ααααα=+=+===+-=+-=

因为21F F <，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的1α点。所以:120.7αα== ④步长加倍，1220.8, 2.873T T F F ====，

222222220.70.8 1.5

()(1)(2)(1.51)(1.52)0.625T F F ααααα=+=+===+-=+-=

因为21F F <，所以还应再向前搜索,为此应舍去上一次的1α点。所以:12 1.5αα== ⑤步长加倍，122 1.6,0.625T T F F ====，

222222221.5 1.6 3.1

()(1)(2)(3.11)(3.12) 4.961T F F ααααα=+=+===+-=+-=

因为21F F >,所以已找到具有“高—低—高”特征的区间即10.7α=时,1() 2.873F α=；

2 1.5α=时，2()0.625F α=；

3 3.1α=时，3() 4.961F α=。

(２）由(1)确定的搜索区间[0.7,３．1]，利用Matl ａｂ进行黄金分割法一维优化搜索得：

**242.0082,()(2.00821)(2.00822) 2.02310f αα-==+?-=?

(3）由(1)确定的搜索区间[0.7，3.1],利用Matla ｂ进行二次插值法一维优化搜索得:

**231.9504,()(1.95041)(1.95042)7.25810f αα-==+?-=?