求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值

求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值

1、已知三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，P是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.

解：由题意三角形ABC为直角三角形，以直角顶点C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系（如图）

则C（0，0）A（0，3）B（4，0）

以B为旋转中心，将△BPC绕点B逆时钟旋转60°至△BP'C'，连接PP'、CC'、AC'

则△BPP'，△BCC'均为等边三角形

所以PB=PP'，PC=P'C'

所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'≥AC'

而C'（2，-2√3）

所以AC'=√[（0-2）2+（3+2√3）2]=√（25+12√3）. 即PA+PB+PC的最小值等于AC'的长√（25+12√3）.

2、已知三角形ABC中，AB=10，AC=17，BC=21，P 是三角形ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值.

解：过A作AD⊥BC于D，设BC=x，则CD=21-x

由勾股定理得AD2=102-x2=172-(21-x）2，解得x=6，AD=8，DC=15

以D为坐标原点，BC为x轴，DA为y轴建立坐标系（如图）

则A（0，8）B（-6，0）C（15，0）

以C为旋转中心，将△CPB绕点C逆时钟旋转60°至△CP'B'，连接PP'、BB'、AB'

则△CPP'，△CBB'均为等边三角形

所以PC=PP'，PB=P'B'

所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B'≥AB'

而B'（9/2，-21√3/2）

所以AB'=√[（0-9/2）2+（8+21√3/2）2]=√

（415+168√3）.

即PA+PB+PC的最小值等于AB'的长√（415+168√3）. 【补充说明】（1）如图，以△ABC的三边为边，分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF，连接AD、BE、CF，则（1）AD、BE、CF交于一点P，且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，（2）P到A、B、C三顶点距离的和最小，且PA+PB+PC=AD=BE=CF。

证明：∵AF=AB，∠FAC=∠BAE，AC=AE

∴△AFC≌ABE

∴CF=BE

同理可证△BCF≌BDA，CF=AD

∴AD=BE=CF.

∵△AFC≌ABE

∴∠AFC=∠ABE

∴∠BPF=∠BAF=60°，∠BPC=120°

同理可证∠APB=∠APC=120°

∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°

至于P到三顶点距离之和为何最小上面两题已明。

（2）给出三个点，怎样用尺规作图，使某一点P到这三点的距离之和最短

解：如果三个点在同一直线上，P点为居中的那个点

如果三个点能组成三角形，这里的点P就是著名的“费马点”这时的一般结论是：

当三角形有一个内角大于或等于120度的时候，费马点就是这个内角的顶点；

如果三个内角都小于120度，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。

作法：设三点为A、B、C

1、作等边三角形ABD、等边三角形ACE

2、作上述两个三角形的外接圆，两圆交于点P 则P即为拟求作的点

利用全等三角形测距离

第四章三角形 5利用三角形全等测距离 永济市逸夫中学张婷 一、学情分析 学生的知识技能基础：学生在本章的前几节内容中已经学习了“三角形”，“全等三角形”以及“探索三角形全等的条件”。尤其是通过探索三角形全等，得到了“边边边”，“角边角”，“角角边”，“边角边”定理，用这些定理能够判断两个三角形是否全等,掌握了这些知识，学生就具备了“利用三角形全等测距离”的理论基础。 学生的活动经验基础：学生在前几节内容中已经经历过解决实际问题的过程，具备了一定的分析问题和解决问题的活动经验。 二、教学目标 1、知识与技能：能利用三角形的全等解决实际问题。 2、过程与方法：通过让学生体会教科书中提供的情境,明白战士的具体做法,并尝试思考其中的道理,体会数学与实际生活的联系。 3、情感与态度：通过生动、有趣、现实的例子激发学生的兴趣,引发他们去思考,并能在利用三角形全等解决实际问题的过程中进行有条理的思考和表达。三、教学重点、难点 构造三角形全等测距离 四、教学设计 本节课设计了六个教学环节：复习提问，情境引入，探究新知，练习提高，回顾思考，布置作业 第一环节复习提问 活动内容：①复习全等三角形的性质及判定条件 ②在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC 全等，比比看谁快！（以小组为单位抢答或个人抢答或根据不同情况而定）题如

下： 活动目的：通过第1个问题的提问可以温习与本节有关的知识，帮助基础较弱或掌握不牢的学生巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础；第2个问题是为学习新内容作铺垫，向学生进一步渗透理论联系实际。 实际教学效果：第1题是学生独立思考后回答，由于问题较简单，学生回答踊跃；第2题是第1题的继续，学生的回答的方法较多，小组间的竞争提高了学习热情，使学生产生自信和竞争意识，开始在不知不觉中集中精力，走入数学殿堂。 第二环节情境引入 情景设置 活动内容：引入一位经历过战争的老人讲述的一个故事，（图片显示）； 敌军碉堡的距离。由于没有任何测量工具，我军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明的战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功。 配合简图如下:

三角形内三个顶点分别在三角形三边上且周长最小的三角形(垂足三角形)

三角形内三个顶点分别在三角形三边上且周长最小的三角形 如图1所示，做一个任意锐角△ABC,分别以AC 、AB 为对称轴向外做△ABC 的轴对称图形△CAN 、△ABM ，G 、H 分别为D 的对称点，连接G 、H ，则(1)GH=FD+ED+EF （2)GH 是BC 上别于D 点用同样方法所得的线段中最短的，也即△DEF 为△内三个顶点分别在三角形三边上周长最小的三角形。（3）当△ABC 为锐角三角形时，△DEF 周长为 8()()() p p a p b p c abc ---(其中p= 12 ()a b c ++) 证明(1)首先证明G 、F 、E 、H 在一直线上。 连接GH ，分别与AC 、AB 交于E ′、F ′， ∵∠AEN=AGN=90°∴∠AEGN 四点共圆∴∠1=∠2， ∵∠BAN ＝2∠BAC ，AB=AN ∴ ∠1=90°-∠BAC 。 ∵∠HAG ＝2∠BAC ，AH=AG ∴ ∠AGE ′=90°-∠BAC 。 ∴∠AGE ′=∠2，∴E 与E ′重合。 同理 F 与F ′重合。 所以，G 、F 、E 、H 在一直线上。 根据作图知，FD=FH,ED=EG,∴GH=FD+ED+EF, 也即△DEF 为△内三个顶点分别在三角形三边上周长最小的三角形。 （2）如图2，D ′是异于D 点（不与B 、C 重合）的任意一点 M B C E ′ D F A N G H ’ D ’ G ’ H E F ′ 图 2 M B C E D F A N G H O 1 2 图1

G ′、H ′分别为D ′的对称点，连接G ′、H ′， G ′H ′，分别与AC 、AB 交于E ′、F ′，△D ′E ′F ′的周长等于G ′H ′的长 在△HAG 与△H ′AG ′中，∵∠HAG=∠H ′AG ′=2∠BAC,AH=AG=AD, AH ′=AG ″=AD ″,且AD ＜AD ″ ∴GH ＜G ′H ′ 因此GH 最短，也即△DEF 为△内三个顶点分别在三角形三边上周长最小的三角形。 （3）∵11sin 2 2A B C S bc A a A D == ?△ ∴sin bc A D A a = 过A 做AQ 与GH 交于Q, ∵AH=AG=AD ，∠HAG ＝2∠BAC ，∴ GH=2QG 在Rt △AQG 中，GQ=AG ·sinA=AD ·sinA= sin bc A a ·sinA= b c a 2 sin A ………………..① 由余弦定理得： cos A = 2 2 2 2b c a bc +- 两边平方得： 2 2222 cos 2b c a A bc ??+-= ??? 则22 sin 1cos A A =-=1-2 2222b c a bc ??+- ???=222222 1122b c a b c a bc bc ????+-+-+- ? ????? = () 2 2 2 222 2222bc b c a bc b c a bc bc -+-++-? = ()() 2 2 2 2 2 2 2222bc b c a a b c bc bc bc ++--+-? M B C E D F A N G H 图 3 Q

三角形面积的向量方法

三角形面积的向量方法 向量是一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几何中以得到广泛应 用．三角形是平面几何中最基本、最重要的图形．向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景． 公式 ABC ?中，若向量CB a = ，CA b = ，则ABC S ?= 证明 1sin ,2ABC S a b a b ?=<> == １．利用公式求三角形的面积． 例1．已知ABC ?，点(1,1)A ，(4,2)B ，(3,5)C ，求ABC ?的面积． 解：∵(3,1)AB = ，(2,4)AC = ，∴210AB = ，220AC = ，10AB AC ?= ， ∴ABC S ?=5==． 例2．已知ABC ?中，向量00 (cos23,cos67)BA = ，00(2cos68,2cos22)BC = ，求ABC ?的 面积． 解：由已知，得00(cos23,sin 23)BA = ，00 (2sin 22,2cos22)BC = ，∴1BA = ，2BC = ， ∴00002(sin 22cos23cos22sin 23)BC BA ?=+ 0 2sin 45== ∴ABC S ?==． ２．利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值． 例3．平面直角坐标系内有点(sin ,cos )P x x ，(cos ,sin )Q x x ，[,]2412 x ππ ∈-，O 为坐标原点，求OPQ ?面积的最值． 解：OPQ S ?===1 cos 22 x =．

∵[, ]2412x ππ ∈-， ∴当12 x π = 时，OPQ ? 面积的最小值为 4 ；当0x =时，OPQ ?面积的最大值为 12 ． ３．利用公式和均值不等式求三角形面积最值． 例4.已知OAB ?中,OA a = ，OB b = ，且3,2a b a b +=-= ，求OAB ?面积的最大值． 解：∵3,2a b a b +=-= ，∴2229a a b b +?+= ，22 24a a b b -?+= ，解得54 a b ?= ， 22132a b += ，∴OAB S ?= = ≤3 2=， 当且仅当a b == 时，取“=”号． 例 5.已知向量(cos ,sin )OA a αα== ，(cos ,sin )OB b ββ== ，a 与b 之间有关系 式 ka b kb +=- ，（0k > ，且2k ≠，O 为坐标原点，求AOB ?面积的最大值，并求 此时a 与b 的夹角θ． 解：将ka b kb +=- 两边平方，得222222 23(2)k a ka b b a ka b k b +?+=-?+ ∵1a b == ，∴2 2213(12)k ka b ka b k +?+=-?+ ，又∵0k >，∴111()42a b k k ?=+≥ ， 当且仅当1k =时取“= ”号．∴AOB S ?= = ≤ 4= ∴AOB ? 此时12a b ?= ，∴1c o s 2 a b a b θ?== ，∵000180θ<<，∴0 60θ=．

面积最值问题

面积最值问题 1题目- 已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，如果三角形AOB 面积为4,三角形COD面积为9,那么,四边形ABCD面积最小值为多少? 变式1、题目条件不变，求三角形AOD和三角形BOC面积和的最小值。 分析、做任意四边形.过O点分别做AB.CD垂线.交AB于F点,CD为G点.当OG.OF 不重合时,产生三角形,所以此时四边形面积不是最小.所以当OG.OF重合时,面积最小.又因AB垂直FG垂直CD.所以AB平行于CD.所以此时四边形面积为1/2*(AB+CD)*(OF+OG)根据相似有AB*OG=OF*CD又有AB*OF=8 CD*OG=18得AB*OG=OF*CD=12代回...... 奇迹出现喇......结果为25.................. 略解、四边形ABCD，S△COB/S△AOB=CO/AO，S△COB=4*（CO/AO），S△AOD/S △COD=AO/CO，S△AOD=9*（AO/CO），四边形面积=S△AOB+S△COD+S△AOD+S △COB =4+9+S△AOD+S△COB =13+4（CO/AO）+9（AO/CO），设CO/AO=t, 四边形面积=13+4t+9/t ，4t+9/t≥2√（4t*9/t)，4t+9/t≥12,(算术平均数大于等于几何平均数），当且仅当4t=9/t时，4t+9/t有最小值为12，所以四边形面积最小值为13+12=25。 解：设三角形AOD和三角形BOC面积分别为s1和s2，根据同高三角形面积的比等于底之比的性质，得s1:9=4:s2；则s1×s2=36,由于（s1－s2）2 ≥0所以（s1－s2）2 +4s1s2≥4s1s2因为（s1－s2）2 +4s1s2=（s1+s2）2所以（s1+s2）2≥4s1s2即（s1+s2）2≥4×36，又s1+s2 >0 4 =12,即△AOD和△BOC面积之和的最小值为12.. 所以s1+s2≥36 解答： 设△AOD面积为S1,△BOC面积为S2,由△AOB与△AOD等高,∴面积与底长成正比,得：4/S1=OB/OD. 同理：S2/9=OB/OD,∴4/S1=S2/9,S1·S2=36（1） 设S1+S2=k,S2=k-S1,（2）代入（1）得：S1(k-S1)-36=0,S12-kS1+36=0,

形的各顶点均在三角形三边上

形的各顶点均在三角形三边上) 思考：（1）与同学交流,你们的内接三角形位置相同吗? （2）你能作多少个不同的内接等边三角形? 2、小试牛刀：如图,你能作出已知?ABC的内接正方形吗? 思考：（1）你能作几个不同的内接正方形? （2）若?ABC为直角三角形呢？（点A为直角顶点） 考考你：若此直角?ABC尺寸如图所示(单位:m),你能判断哪个内接正方形面积更大吗?说说你的方法 三、合作探究 轻轨时代：(1) 如果列车截面看成宽、高度之比为14:19的长方形,你能画出此隧道内可行驶最大尺寸的列车示意图吗? A D H G A B D G A D F

(2)经测算知： B′C′=3.36m ,FG=2.8m，你能求出实际列车的高度吗? 四、谈谈你的收获: ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 五、课后作业： 1、完成《综合与实践活动》P27活动创新 2、如图，已知Rt?ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，请在图中作出有一边与BC边平行的内接等边三角形，并求出其边长（结果保留根号） B C 3、探究题： 问题1：如图,在直角坐标系里有?AOB,各顶点坐标:A（1，2）、 O（0，0）、B（3，1），以原点O为位似中心将?AOB放大为原来的3倍，并读出放大后三顶点的坐标。 规律：原?AOB上任 一点P （a,b）经过此变 化后坐标是 ____________ 问题2：如图，若现以B为位似中心将?ABC放大为原来的3倍，得?A′B′C′，则：点A′（_____ ，______）,点B′（_____ ，______），点C′（_____ ，______）

二次函数及三角形周长,面积最值问题

二次函数与三角形周长，面积最值问题 知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例1.(2018·)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。

练习 1、如图，已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）． y ax x c （1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． 2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE长度的最大值； 练习 1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，1、如图，抛物线y= 2

4.5 利用全等三角形测距离

第四章 三角形 5利用三角形全等测距离 楚雄一中 侯翠英 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在本章的前几节内容中已经学习了“三角形”，“全等三角形”以及“探索三角形全等的条件”。尤其是通过探索三角形全等，得到了“边边边”， “角边角”，“角角边”， “边角边”定理，用这些定理能够判断两个三角形是否全等,掌握了这些知识，学生就具备了“利用三角形全等测距离”的理论基础。 学生的活动经验基础：学生在前几节内容中已经经历过解决实际问题的过程，具备了一定的分析问题和解决问题的活动经验。 二、教学任务分析 学习的最高境界是将知识进行迁移，也就是知识的应用。在本章前几节学生已经掌握三角形知识的基础上，本课时的教学及学习任务是利用所探求的三角形全等的条件“边边边”， “角边角”，“角角边”， “边角边”来测距离。本节课的教学目标如下： 1、知识与技能：能利用三角形的全等解决实际问题。 2、过程与方法：通过让学生体会教科书中提供的情境,明白战士的具体做法,并尝试思考其中的道理,体会数学与实际生活的联系。 3、情感与态度： 通过生动、有趣、现实的例子激发学生的兴趣,引发他们去思考,并能在利用三角形全等解决实际问题的过程中进行有条理的思考和表达。 三、教学设计分析 本节课设计了六个教学环节：回顾与思考，情境引入，解决问题，类比迁移，小结，深化拓展，布置作业。 第一环节 回顾与思考 活动内容： ① 复习全等三角形的性质及判定条件 ② 在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC 全等，比比看谁快！（以小组为单位抢答或个人抢答或根据不同情况而定）题如下： B A C B A C A C B

专题03 三角形中的最值、范围(解析版)

专题03 三角形中的最值、范围 高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、不等式、导数等结合考查，试题难度控制在中等以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．本专题围绕三角形中的最值、范围精选例题，并给出针对性练习，以期求得热点难点的突破. 【热点难点突破】 例1.【2016年山东卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A += + （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 12 【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明； （Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC ，由基本不等式求cos C 的最小值. 试题解析：()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B ??+=+ ???， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+， 即()2sin sin sin A B A B +=+. 因为A B C π++=, 所以()()sin sin sin A B C C π+=-=. 从而sin sin =2sin A B C +. 由正弦定理得2a b c +=. ()∏由()I 知2 a b c +=, 所以 2 222222cos 22a b a b a b c C ab ab +??+- ?+-??==311842 b a a b ??=+-≥ ???，

三角形顶点绕着图形的一点旋转

三角形顶点绕着图形的一点旋转 Ⅰ．三角形绕着矩形的对称中心旋转 原型题1：一次数学兴趣活动，小明提出这样三个问题，请你解决： （1）把正方形ABCD 与等腰Rt △P AQ 如图（a ）所示重叠在一起，其中∠P AQ ＝90°，点Q 在边BC 上，连接PD ，求证：△ADP ≌△ABQ ． （2）如图（b ），O 为正方形ABCD 对角线的交点，将一直角三角板FPQ 的直角顶点F 与点O 重合，转动三角板使两直角边始终与BC 、AB 相交于点M 、N ，求证：OM ＝ON ． （3）试探究四边形ONBM 的面积是一个定值，并求出这个定值． 变式1：某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD 的对角线交点O 旋转（如图所示）．已知AB ＝8，BC ＝10，图中M 、N 分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD 的边CD 、BC 的交点．问：是否存在某一旋转位置，使得CM +CN 等于445？ 若存在，请求出此时DM 的长；若不存在，请说明理由． 变式2：如图所示，O 为矩形ABCD 的对称中心，将直角三角板的指教顶点与O 点重合，转动三角板使两直角边始终与BC 、AB 相交，交点分别为M 、N ．如果AB ＝6，AD ＝8，OM ＝x ，ON ＝y ，则y 与x 的关系是 ．（不填x 的取值范围）

表示出所有可能的OF的值． Ⅱ．三角形的顶点在矩形对角线交点上移动 原型题2．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q． （1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想． 变式1：如图1，直角∠EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合，两直角边PE，PF分别和AB，AD所在的直线交于点E和F．易得△PBE≌△PDF，故结论“PE＝PF”成立； （1）如图2，若点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由； （2）如图3将（2）中正方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变，若AB=m，BC=n，直接写 出PE PF的值．

高二关于求阿基米德三角形面积最小值的解法

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形。 角形有一些有趣的性质，如若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其 准线上。设抛物线y2=2px （p>0），弦AB 过焦点，△ ABQ为其阿基米德三角形，则△ ABQ的面积的最小值为___ 。_ P ￡ 解：抛物线y2= 2px （p>0 ）的焦点F②0）,可设直线AB的方程为x= ty +J , 代入y2= 2px 得y2—2pty —p2=0 设点 A (x i, y i) , B (X2 , y2) (y i>0 , y2<0 )贝9 y i + y2= 2pt , y i y2=—p2, |AB| = |FA|+|FB| = ( x i +P) + ( x2 +」)=x i + X2 + p y/ 芝;"i*珥)」￡珀坯tzpt) !十即[ =2卩+即+ p = 2卩+ p = 即+ p = 2p ( 1 + t2) y/ pPh-H, 设切线AQ：y= k i (x—环)+ y i = k i x + —环—，代入y2= 2px 得, 切线AQ的方程：y = 切线BQ的方程: 1 2 ■ I 山、亍L2 2 - |AB| - d = P ⑴ t)>P 可见t=0 （即直线AB: x=与x轴垂直）时取等号，△ ABQ的面积最小值为p2 阿基米德三 (k i x + 即) —2px，整理得X+ =0 =0，整理（两同乘；，再用平方差公式）(4pfe1y12p2) ( -2p2)=0 =0, ( k i y i—p) 2= 0 , k i ='，从而 设切线BQ: y = k2 (x —X2)+ y2 = k2（x —即）+ y2, 同理可得，k2= 联立①②，解得 (y=—=p L 于是点Q （,pt）,其到直线AB的距离d= =P T1+? 从而S △ ABQ = k i2x2+ 财P冲亦）1

利用三角形全等测距离

北师大版实验教科书数学七年级下册高陵县泾渭中学马香娥 3.5利用三角形全等测距离 教学目标： 1、能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系； 2、能在解决问题的过程培养学生有条理的思考和表达。 3、通过讨论探究培养学生面对数学活动中的困难，并积累独立克服 困难和运用所学知识解决问题的成功经验，从而树立学习的信心。教学重点：能利用三角形的全等解决实际问题。 教学难点：能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。 教学方法：探索、归纳总结。 教学工具：多媒体课件，投影仪。 一、回顾与思考（5分钟） （ppt2—ppt3显示问题并检查学生复习情况）： 1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为或 2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成或 3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成或 4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成或 5、全等三角形的性质：两三角形全等，对应边，对应角 6、请你在图1中以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等，

比比看谁快！ （如图1） 二、情景导课（25分钟） （ppt4—ppt6显示问题，教师引导学生通过讨论，利用所学知识探究解决问题） （10分钟）情景一：教师向学生讲述战争年代的故事：在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日本鬼子的碉堡，需要测出我军阵地到鬼子碉堡的距离。由于没有任何测量工具，我八路军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明的八路军战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功。（如图2） 这位聪明的八路军战士的方法如下：战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个

三角形中求周长、面积的最值

三角形中求周长、面积的最值 一、解答题 1．已知ABC ?的内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ,且2cos a A ccosB bcosC =+. (1)求角A 的大小; (2)若2a =,求ABC ?周长的取值范围. 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 且()2 2 sin B sin A sinC sinB sinC -=?-. （1）求角A ； （2）若ABC ?为钝角三角形，且b c >，当a =b c -的取值范围. 3．已知ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积为S ，且√3(b 2+c 2?a 2)=4S （1）求角A 的大小； （2）若a =√3，当b +2c 取得最大值时，求cosB

4．已知ABC ?的内角分别为,,A B C ，其对应边分别是,,a b c ，且满足cos cos 2cos b C c B a B +=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若b =2+a c 的最大值. 5．如图所求扇形OPQ 的半径为1，圆心角为 3 π ，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记COP a ?. （1）当AB =时，求tan2α的值； （2）记矩形ABCD 的面积为()f α，求()f α最大值，并求此时α的值. 6．已知ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a =bcosC ?√3 3 csinB ． （1）求B ； （2）若点D 为边AC 的中点，BD =1，求ΔABC 面积的最大值．

7．（本小题满分12分）已知函数f(x)=?sinωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递减，在区间[π3,2π 3 ]上单调递增； 如图，四边形OACB 中，a ，b ，c 为△ABC 的内角以B ， C 的对边，且满足tanA =sinB+sinc 4ω 3 ?cosB?cosC ． （Ⅰ）证明：b+c =2a ： （Ⅱ）若b=c ，设∠AOB =θ．(0<θ<π),OA =2OB =2，求四边形OACB 面积的最大值． 8．在ΔABC 中，已知内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且a 2+b 2=c 2+ab ， （1） 若a b =cosB cosA ，且c =2，求ΔABC 的面积； （2）已知向量m ?? =(sinA,cosA ),n ? =(cosB,?sinB )，求|m ?? ?2n ? |的取值范围. 9． 在△ABC 中，BC =2，AB +AC =3，中线AD 的长为y ，AB 的长为x ， （1） 建立y 与x 的函数关系式，并指出其定义域. （2） 求y 的最小值，并指出x 的值.

矢量三角形法--专题

矢量三角形法在三力平衡问题中的应用 在静力学中，经常遇到在力系作用下处于平衡的物体其所受诸力变化趋势判断问题．这 种判断如果用平衡方程作定量分析往往很繁琐，而采用力三角形图解讨论则清晰、直观、全 面．我们知道，当物体受三力作用而处于平衡时，必有∑F=O ，表示三力关系的矢量图呈闭 合三角形，即三个力矢量(有向线段)依次恰好能首尾相接．当物体所受三力有所变化而又维 系着平衡关系时，这闭合三角形总是存在而仅仅是形状发生改变．比较不同形状的力三角形各几何边、角情况，我们对相应的 每个力大小、方向的变化及其相互间的制约关系将一目了然．所 以，作出物体平衡时所受三力矢量可能构成的一簇闭合三角形， 是力三角形法的关键操作。 三力平衡的力三角形判断通常有三类情况． 一、三力中有一个力确定，即大小、方向不变，一个力方向 确定。这个力的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定 例1 如图1所示，用细绳通过定滑轮沿竖直光滑的墙壁匀速向上拉动， 例2 则拉力Ｆ和墙壁对球的支持力Ｎ的变化情况如何？ 分析与解 以球为研究对象，在平衡时受重力，绳上的拉力及墙壁 对球的支持力，三力关系可由一系列闭合的矢量三角形来描述。其中重 力为确定力，墙壁对球的支持力为方向确定力， 如图2，取点Ｏ作表示 重力的有向线段①，从该箭头的端点作支持力Ｎ的作用线所 在射线②,作从射线②任意点指向Ｏ点且将图形封闭成三角形的一系列有向线段③它们就是绳子拉力矢量。用曲线箭头 表示变化趋势，从图中容易分析绳子拉力不断增大，墙壁对 球的支持力也不断增大，因上升的过程中图中角度θ在不断 增大 例2 如图3装置，AB 为一轻杆在B 处用铰链固定于 竖墙壁上，AC 为不可伸长的轻质拉索，重物Ｗ可在AB 杆上滑行。试分析当重物W 从A 端向 B 端滑行的过程中，绳索中拉力的变化情况以及墙对AB 杆作用力的变化情况。 分析与解 以AB 杆为研究对象，用力矩平 衡的知识可较为方便明确AC 拉索中的拉力变化情 况，但不易确定墙对AB 杆作用力的情况。我们考虑 到AB 杆受三个力作用且处于平衡状态，则它们的作 用线必相交于一点，这样三力关系可由闭合的矢量 三角形来描述。其中重物对杆的拉力为确定力，拉索对杆的拉力为方向确定力，与上题类似。 如图4，取O 点作表示重物对AB 杆拉力的有向线 段①，过O 点作绳索拉力的作用线所在射线②，从①箭头 端点作指向射线②上任意 点的有向线段③，则③就是墙对AB 杆的作用力. 用曲箭头表明变化趋势。从图中可以看出：随着重物从A 端向B 端移动的过程中，①、③的夹角θ逐渐减小，所以 绳索的拉力不断减小，墙对AB 杆的作用力先减小后增大。 综上所述，类型一问题的作图方法是：以确定力矢量 为力三角形系的基准边，在它的箭头端沿已知方向力的方 向作射线，从射线上的点作指向确定力矢量箭尾的有向线 图4 图 1 图2 图3

七年级数学下册 利用三角形全等测距离

4.5 利用三角形全等测距离 基础训练 1.如图,将两根钢条AA',BB'的中点O连在一起,使AA',BB'可以绕着点O自由转动,就做成了一个测量工件,由三角形全等得出A'B'的长等于内槽宽AB,那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是( ) A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边 2.如图,要测量河中礁石A离岸边B点的距离,采取的方法如下:顺着河岸的方向任作一条线段BC,作∠CBA'=∠CBA,∠BCA'=∠BCA.可得△A'BC≌△ABC,所以A'B=AB,所以测量A'B的长即可得AB的长.判定图中两个三角形全等的理由是( ) A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS 3.某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳.图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳

宽度AD设计为30 cm,则由以上信息可推得CB的长度也为30 cm,依据是( ) A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS 4.教室里有几盆花,如图①,要想测量这几盆花两旁的A,B两点间的距离不方便,因此,选点A,B都能到达的一点O,如图②,连接BO并延长BO 到点C,使CO=BO,连接AO并延长AO到点D,使DO=AO.那么C,D两点间的距离就是A,B两点间的距离. 理由:在△COD和△BOA中,错误!未找到引用源。所以△COD≌△BOA( ).所以CD= .所以只要测出C,D两点间的距离就可知A,B两点间的距离. 5.如图,由两根钢丝固定的高压电线杆,按要求当两根钢丝与电线杆的夹角相同时,固定效果最好.现已知钢丝触地点到电线杆的距离相等,那么请你判断图中两根钢丝的固定是否合乎要求,并说明理由.(电线杆的粗细忽略不计)

在生活中应用全等三角形测距离

在生活中应用全等三角形测距离 在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决。下面，我们举例谈谈怎样构造全等三角形，测量两地的距离，看看在实际生活中的应用。 例1：有一池塘，要测池塘两端A、B间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=CB，连结DE，量出DE的长，这个长就是A、B之间的距离。 （1）按题中要求画图。 （2）说明DE=AB的理由，并试着把说明的过程写出来。 解：（1）如图1。 （2）因为在△ABC和△DEC中， CA CD ACB DCE CB CE 所以△ABC≌△DEC 所以DE=AB 例2、如图2，某同学把一块三角形的玻璃摔成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（） A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去。 析解：怎样做一个三角形与已知三角形全等，可以依据全等三角形的判定方法进行具体分析，题目中的一块三角形的玻璃被摔成三块，其中①仅留一个角，仅凭一个角无法做出全等三角形；而②没边没角；③存在两角和夹边，

于是根据“ASA”不难做出与原三角形全等的三角形。故应选C。 例3、如图3、小红和小亮两家分别位于A、B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案。 分析：本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，使一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，就可求出两家的距离。 方案：如图3，在点B所在的河岸上取点C，连结BC并延长到D，使CD=CB，利用测角仪器使得∠B=∠D，A、C、E三点在同一直线上。测量出DE的长，就是AB的长。因为∠B=∠D，CD=CB，∠ACB=∠ECD， 所以△ACB≌△ECD 所以AB=DE。 例4、如图4，点C是路段AB的中点，两人从C点同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到过D、E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E到路段AB 的距离相等吗？为什么？ 分析：因为两人是以相同的速度从点C同时出发，且同时到达D、E两点，所以CD=CE。要说明DA与EB是否相等，则只需说明△ADC和△BEC全等。 解：D、E到路段AB的距离相等。

一道三角形面积最小值的计算

来路、思路、出路 ——一道求三角形面积最小值问题 （于都三中 蔡家禄） 题目：如图，已知点P （2，3），过点P 的直线l 交y 轴的正半轴于点A ，交x 轴的正半轴于点B.求△ABO 的面积s 的最小值. 来路：由三角形面积公式可知，12 s OA OB =?，观察图象，A 、P 、B 三点共线，当OB 增大时，OA 减小.反之，当OB 减小时，OA 增大.若设点A 的坐标为（0，b ），则由A （0，b ）、P （2，3）两点坐标用待定系数法可求得直线l 的解析式为32b y x b ?= +.进而可求出点B 的坐标为（23 b b ?，0），因此212233b b s b b b =??=??.从中可看出s 是b 的函数.但遗憾的是此函数模型并非初中学生所熟悉的，因此解题至此陷入困境. 思路：当解决问题受阻时，不防退一步，从特殊情形出发（赋值法）. 设4b =，则2 41643 s ==?； 设5b =，则2 512.553 s ==?； 设6b =，则2 61263 s ==?； 设7b =，则2 712.2573 s ==?…… 此时，我们便可猜想：当6b =时，s 最小为12. 我们再反过来思考： 若s =16，则2 163 b b =?，去分母后解得14b =，212b =.结合图象思考，就是当△ABO 的面积为16时，对应的直线l 有两种位置，即过点（0，4）或过点（0，12）； 若s =12，则2 123 b b =?，去分母后解得126b b ==.结合图象思考，就是当△ABO 的面

积为12时，对应的直线l 只有一种位置情况，即过点（0，6）.结合图象分析△ABO 的面积变化情况可知，s 只有最小值，没有最大值.当s 为最小值时，直线l 对应的位置是唯一的，而非最小值时，直线l 对应的位置有两个.因此，s 的最小值应为12. 出路：由以上探究可知，s 与b 是相互关联的，即2 3 b s b =?.又直线l 与两数轴的正半轴有交点A 、B ，在2 3 b s b =?中，显然30b ?>，因此可化为230b sb s ?+=.对于此方程，我们可以作以下理解： （1）s 表示△ABO 的面积，b 表示直线l 与y 轴交点的纵坐标，即决定直线l 与y 轴交点的位置； （2）s 可以看作是关于b 的一元二次方程的系数，它保证该方程有实数解； （3）求s 的最小值. 基于以上思考与认识，于是我们找到以下解题出路: 解：设点A 的坐标为（0，b ），则经过点P （2，3）和点A （0，b ）的直线l 的解析式为32b y x b ?= +.当0y =时，得23b x b =?，即B （23 b b ?，0）. 所以△ABO 的面积2 12233 b b s b b b =??=??. 因为直线l 与两数轴的正半轴有交点A 、B ，所以30b ?>，因此，去分母并整理可得230b sb s ?+=.又因为关于b 的一元二次方程有实数解，所以2()4130s s ?=????≥，解得12s ≥(0s ≤舍去)，因此，所求△ABC 的面积s 的最小值为12.

2018年中考数学压轴题专题练习---因动点产生的三角形面积最值问题

2018年中考数学压轴题专题练习---因动点产生的三角形面积最值问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，，直线MN 分别与x 轴、y 轴交于点M （6，0），N （0， ），等边△ABC 的顶点B 与原点O 重合，BC 边落在x 轴正半轴上，点A 恰好落在线段MN 上，将等边△ABC 从图l 的位置沿x 轴正方向以每秒l 个单位长度的速度平移，边AB ，AC 分别与线段MN 交于点E ，F （如图2所示），设△ABC 平移的时间为t （s ）． （1）等边△ABC 的边长为_______； （2）在运动过程中，当t =_______时，MN 垂直平分AB ； （3）若在△ABC 开始平移的同时．点P 从△ABC 的顶点B 出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线BA —AC 运动．当点P 运动到C 时即停止运动．△ABC 也随之停止平移． ①当点P 在线段BA 上运动时，若△PEF 与△MNO 相似．求t 的值； ②当点P 在线段AC 上运动时，设PEF S S ?=，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点P 的坐标． 2．如图，A 、B 两点的坐标分别为（0，4），（0，2），点P 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AP 的垂线，过点B 作BP 的垂线，两垂线交于点Q ，连接PQ ，M 为线段PQ 的中点． （1）求证：A 、B 、P 、Q 四点在以M 为圆心的同一个圆上； （2）当⊙M 与x 轴相切时，求点Q 的坐标； （3）当点P 从点（1，0）运动到点（2，0）时，请直接写出线段QM 扫过图形的面积． 3．如图12，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=6cm. 点P 从点A 出发，沿AB 边以2 cm/s 的速度向点B 匀速移动；点Q 从点B 出发，沿BC 边以1 cm/s 的速度向点C 匀速移动. 当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t(s). （1）当PQ ∥AC 时，求t 的值；

构造全等三角形测量距离

全等三角形复习 构造全等三角形测量距离 上海市实验学校东校吴其胜 【执教时间和地点】 2．执教地点:上海市实验学校东校教学楼402室。 【教学内容】 本课选自九年义务教育课本，七年级第二学期第十四章第86页-第103页，是对全等三角形应用的复习专题。上海教育出版社。 【学情分析】 多数学生认识到生活中处处有数学，数学无处不在。这为学生对本节课的学习打下了重要的基础，也为提高学生的解决问题能力和实践能力创造了条件。 学生接触全等三角形的题目比较多，多次经历全等三角形有关证明的全过程，但是对利用全等三角形实际应用的问题较少，这是第一次利用全等三角形的知识对实际生活中测量距离进行系统分析和方案设计。根据本人长期的教学实践，在教学利用全等三角形测量距离应用等问题时，常感到学生对数学建模感到有畏难情绪，对生活中的问题与数学问题的联系和区别不是很清楚，数学建摸设计方案的表述不是很完整和准确，需要教师进一步的加以指导和规范。此外，由于是第一次在这个班级授课，对小组合作学习的活动形式和效果没有很准确的把握。 为此，我首先通过创设情境，开门见山地引导新课，为上好本节课做好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“创设情境——探索方法——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据学生的思维规律，设计变式，展开系列活动，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握构建三角形全等模型的方法，能够类比解决实际问题。由于本次活动内容都具有开放性，所以要鼓励学生多讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正。【教材分析】 本节课是在学生了解全等三角形概念、性质和判定方法的基础上，结合三

角形的章节复习而补充的。这一知识既是前面所学全等三角形知识的继续，又为以后学习较复杂的几何问题及实际应用做准备。补充材料由一个引例复习全等三角形的判定的应用，激发了学生学习的兴趣。学生在动手构建数学模型，设计测量距离的过程中感悟和理解全等三角形应用的实际意义，得出测量距离的多种方法，从而体现了补充教材螺旋式上升特点，进一步促使学生形成数学应用意识，提高学生应用数学的能力。同时补充材料仍然具有内容丰富、关注学生的经验与体验、体现知识的形成过程、鼓励测量距离多样化、改变学生的学习方式，体现开放性的教学方法等特点。 【教学目标】 1.知识与技能 （1）使学生能构造三角形的全等解决实际生活中测量距离问题，体会数学应用的价值以及数学与实际生活的联系。 （2）使学生能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表述。 2.过程与方法 （1）使学生掌握构造全等三角形的基本方法，理解数学建模的基本思想和方法。 （2）通过采取分组合作学习的模式，使学生学会采用知识迁移、类比，培养学生学习的主动性、创新意识和求异思维，注重一题多解、举一反三，培养学生发散思维的能力，进一步发挥小组合作学习的优势，相互补充和促进，达到共同提高的目的。 3.情感与态度 通过系列活动的开展探讨全等三角形在生活中应用的奥妙，激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值，培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力，促进学生的数学建模意识与建模能力的形成，提高学生解决实际问题的应用能力，激发他们勇于探索、热爱科学的精神。【教学重点】 根据三角形全等的知识测量距离。 【教学难点】 分析实际测量问题中的条件，构造全等三角形的方法与技巧（即根据题意

利用全等三角形测距离教案文档

5.6利用三角形全等测距离 教学目标：1、能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学于实际生活的联系； 2、能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。 教学重点：能利用三角形的全等解决实际问题。 教学难点：能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。 教学方法：探索、归纳总结。 教学工具：练习卷，投影仪，三角板 教学过程： ㈠知识回顾： 1.判断两个三角形全等的方法有： (1)：； (2)：； (3)：； (4)：； 2、全等三角形的性质：两三角形全等， 则对应边，对应角， 3、如图，若△ABC ≌△DEF，则， ，，， ，。 ㈡动手画一画： 请你在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等，比比看谁快！

㈢议一议： 在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的 日本鬼子的碉堡，需要测出我军阵地到鬼子碉堡的 距离。由于没有任何测量工具，我八路军战士为此 绞尽脑汁，这时一位聪明的八路军战士想出了一个办法， 为成功炸毁碉堡立了一功。 这位聪明的八路军战士的方法如下： 战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离。 你觉得他测得的距离准确吗？说明其中的理由。 ㈣ 如图，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案，解决此问题吗？ BC= DC A C B D ？ 理由：在△ACB 与△ACD 中， △ACB ≌△ACD （ASA ） ∠BAC=∠DAC AC=AC （公共边） ∠ACB=∠ACD=90° 全等三角形的对应边相等 步测距离 碉堡距离 想一想