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求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值

求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值

1、已知三角形ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,P是三角形ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值.

求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值

解:由题意三角形ABC为直角三角形,以直角顶点C为原点,CB为x轴,CA为y轴建立坐标系(如图)

则C(0,0)A(0,3)B(4,0)

以B为旋转中心,将△BPC绕点B逆时钟旋转60°至△BP'C',连接PP'、CC'、AC'

则△BPP',△BCC'均为等边三角形

所以PB=PP',PC=P'C'

所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'≥AC'

而C'(2,-2√3)

所以AC'=√[(0-2)2+(3+2√3)2]=√(25+12√3). 即PA+PB+PC的最小值等于AC'的长√(25+12√3).

2、已知三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC=21,P 是三角形ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值.

求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值

解:过A作AD⊥BC于D,设BC=x,则CD=21-x

由勾股定理得AD2=102-x2=172-(21-x)2,解得x=6,AD=8,DC=15

以D为坐标原点,BC为x轴,DA为y轴建立坐标系(如图)

则A(0,8)B(-6,0)C(15,0)

以C为旋转中心,将△CPB绕点C逆时钟旋转60°至△CP'B',连接PP'、BB'、AB'

则△CPP',△CBB'均为等边三角形

所以PC=PP',PB=P'B'

所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'B'≥AB'

而B'(9/2,-21√3/2)

所以AB'=√[(0-9/2)2+(8+21√3/2)2]=√

(415+168√3).

即PA+PB+PC的最小值等于AB'的长√(415+168√3). 【补充说明】(1)如图,以△ABC的三边为边,分别向外作等边三角形BCD、ACE、ABF,连接AD、BE、CF,则(1)AD、BE、CF交于一点P,且∠APB=∠APC=∠BPC=120°,(2)P到A、B、C三顶点距离的和最小,且PA+PB+PC=AD=BE=CF。

求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值

证明:∵AF=AB,∠FAC=∠BAE,AC=AE

∴△AFC≌ABE

∴CF=BE

同理可证△BCF≌BDA,CF=AD

∴AD=BE=CF.

∵△AFC≌ABE

∴∠AFC=∠ABE

∴∠BPF=∠BAF=60°,∠BPC=120°

同理可证∠APB=∠APC=120°

∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°

至于P到三顶点距离之和为何最小上面两题已明。

(2)给出三个点,怎样用尺规作图,使某一点P到这三点的距离之和最短

求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值

解:如果三个点在同一直线上,P点为居中的那个点

如果三个点能组成三角形,这里的点P就是著名的“费马点”这时的一般结论是:

当三角形有一个内角大于或等于120度的时候,费马点就是这个内角的顶点;

如果三个内角都小于120度,那么,费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。

作法:设三点为A、B、C

1、作等边三角形ABD、等边三角形ACE

2、作上述两个三角形的外接圆,两圆交于点P 则P即为拟求作的点