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求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值

求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值

1、已知三角形ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,P是三角形ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值.

求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值

解:由题意三角形ABC为直角三角形,以直角顶点C为原点,CB为x轴,CA为y轴建立坐标系(如图)

则C(0,0)A(0,3)B(4,0)

以B为旋转中心,将△BPC绕点B逆时钟旋转60°至△BP'C',连接PP'、CC'、AC'

则△BPP',△BCC'均为等边三角形

所以PB=PP',PC=P'C'

所以PA+PB+PC=AP+PP'+P'C'≥AC'

而C'(2,-2√3)

所以AC'=√[(0-2)²+(3+2√3)²]=√(25+12√3). 即PA+PB+PC的最小值等于AC'的长√(25+12√3).

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