分式方程一对一辅导讲义
课 题
分式方程 教学目的 1、会根据定义判别分式方程与整式方程，了解分式方程增根产生的原因，掌握验根的方法。 2、掌握可化为一元二次方程或一元二次方程的分式方程的解法。
3、渗透转化思想。
教学内容
一、课前检测
（一）、选择题
1．下列各式中，不是分式方程的是（ ）
111..(1)1111.1.[(1)1]110232
x A B x x x x
x x x C D x x x -=-+=-+=--=+- 2．如果分式2||55x x x
-+的值为0，那么x 的值是（ ） A ．0 B ．5 C ．－5 D ．±5
3．把分式22x y x y
+-中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大2倍 C ．扩大4倍 D ．缩小2倍
4．下列分式中，最简分式有（ ）
32222
2222222212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b
-++-++---- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
5．分式方程2114339
x x x +=-+-的解是（ ） A ．x=±2 B ．x=2 C ．x=－2 D ．无解
（二）、填空题
1．若分式||55y y
--的值等于0，则y= __________ ． 2．在比例式9:5=4:3x 中，x=_________________ ．
3．计算:
1111b a b a a b a b
++--- =_________________ ． 4．当x> __________时，分式213x
--的值为正数． 5．计算:1111x x ++-=_______________ ．
（三）、解答题
计算题:
2222444(1)(4);282
a a a a a a a --+÷-+--
222132(2)(1).441
x x x x x x x --+÷+-+-
答案
一、选择题
1．D 2．B 3．A 4．C 5．B
二、填空题
1．y= －5 ． 2．x=
2027 ． 3．值是 2()a b ab + ． 4．当x> 13 时 5．1111x x
++-= 221x - ． 三、解答题
计算题． 2222222444(1)(4);28241(2)1.(2)(4)424
a a a a a a a a a a a a a a --+÷-+----==-+--+ 解:原式 2222132(2)(1).441(1)(1)1(1)(2)1.(2)112
x x x x x x x x x x x x x x x x --+÷+-+-+----==-+-- 解:原式
二、知识梳理
1、分式的概念：整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式.如果除式B 中含有字母，那么称B A
为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母.
2、分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，即：
3、分式加减：)0(≠±=±c c b a c b c a
4、约分：把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫分式的约分.
分式约分的依据是分式的基本性质
注意：一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
彻底约分后的分式叫最简分式.
5、通分：把各分式化成相同分母的分式叫做分式的通分.
三、例题解析
例1、解方程
（1） （2）1
1112-=+x x
（3） （4）
14
222=-+-x x x
变式： x x 321=-2212
1--=--x x x
y y y y -+-+-=32483
增根问题
1. 若方程1322
a x x x -=---有增根，则增根为_____，a=________. 2.当a 为何值时，关于x 的方程223242
ax x x x +=--+①会产生增根？ 分式方程解法步骤
（1） 去分母
（2） 换元法
（3） 注意解分式方程必须检验
例2、某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后
得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天比甲小组多修8套；学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元．
（1）求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套．
（2）在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天10元的生活补助．现有以
下三种修理方案供选择：
① 由甲单独修理；② 由乙单独修理；③ 由甲、乙共同合作修理．
你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明
变式：工厂生产一种电子配件，每只的成本为2元，毛利率为25%，后来该工厂通过改进工艺，降低了成本，在售价不变的情况下，毛利率增加3.5%，问这种配件每只的成本降低了多少元？（精确到0.01元）
（1）本题等量关系是什么？（毛利率＝售出价-成本成本
） （2）售出价是多少？ （ 2×（1＋25%）=2.5（元））
(3) 成本是多少？（原来成本是2元，设这种配件每只降低了x元，则降价后的成本是（2－x）元）
(4) 根据等量关系，你能列出方程吗？
例3、杭州国际动漫节开幕前，某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销，就用32000元购进了一批这种玩具，上市后很快脱销，动漫公司又用68000元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该动漫公司两次共购进这种玩具多少套？
（2）如果这两批玩具每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？
四、课内练习
（一）、选择题
1．若2x+y=0，则
22
2
2
x xy y
xy x
++
-
的值为（）
A ．－
13.55
B -
C ．1
D ．无法确定 2．关于x 的方程233x k x x =+--化为整式方程后，会产生一个解使得原分式方程的最简公分母为0，则k 的值为（ ） A ．3 B ．0 C ．±3 D ．无法确定
3．使分式224
x x +-等于0的x 值为（ ） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不存在
4．下列各式中正确的是（ ）
.
...a b a b a b a b
A B a b
a b a b a b a b
a b
a b a b C D a b a b a b b a -++--==-----++--+-+-==-+-+- 5．下列计算结果正确的是（ ）
22222211.
.()223..()955b a a b A B a ab a b ab a a m n n xy xy C D xy x x m a a
--=-÷-=-÷=÷= （二）、填空题 1．当分式2223211
x x x x x +++--与分式的值相等时，x 须满足_______________ ． 2．已知x+
1x =3，则x 2+21x
= ________ ． 3．已知分式212
x x +-:当x= _ 时，分式没有意义；当x= _______时，分式的值为0；当x=－2时，分式的值为_______． 4．当a=____________时，关于x 的方程23ax a x +-=54的解是x=1． 5．一辆汽车往返于相距akm 的甲、乙两地，去时每小时行mkm ，?返回时每小时行nkm ，则往返一次所用的时间是
_____________．
（三）、解答题
1．化简求值．
（1）（1+
11x -）÷（1－11x -），其中x=－12
；
（2）
213(2)22x x x x x -÷-+-++，其中x=12．
2．解方程:
（1）
1052112x x +--=2； （2）2233111
x x x x +-=-+-．
3．课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当x=3，5－22，7+3时，求代数式22212211
x x x x x -+-÷-+的值．小明一看，说：“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？?请你写出具体的解题过程．
4．对于试题：“先化简，再求值：23111x x x
----，其中x=2．”小亮写出了如下解答过程： ∵ 2313111(1)(1)1
x x x x x x x ---=----+- ① 31(1)(1)(1)(1)
x x x x x x -+--+-+ ②
=x －3－（x+1）=2x －2， ③
∴当x=2时，原式=2×2－2=2． ④
（1）小亮的解答在哪一步开始出现错误： ① （直接填序号）；
（2）从②到③是否正确： 不正确 ；若不正确，错误的原因是 把分母去掉了 ；
（3）请你写出正确的解答过程．
5．小亮在购物中心用12.5元买了若干盒饼干，但他在一分利超市发现，同样的饼干，这里要比购物中心每盒便宜0.5
元．因此当他第二次买饼干时，便到一分利超市去买，如果用去14元，买的饼干盒数比第一次买的盒数多
25，?问他第一次在购物中心买了几盒饼干？
答案
一、选择题
1．B 2．A 3．D 4．C 5．B
二、填空题
1． x ≠±1 ． 2．x 2+
21x = 7 ． 3．已知分式212
x x +-，当x= 2 时，分式没有意义；当x= －12 时，分式的值为0；当x=－2时，分式的值为 34
． 4．a= －173
5． （a a m n +）h ． 三、解答题
1．化简求值．
（1）（1+
11x -）÷（1－11x -），其中x=－12
； 解：原式=1111111122
x x x x x x x x x x -+---÷==----- ． 当x=－12时，原式=15
． （2）213(2)22x x x x x -÷-+-++，其中x=12． 解：原式=22(1)(2)(2)3121(2)(1)2211
x x x x x x x x x x ---+++÷=-=-+-++-- ． 当x=12
时，原式=43． 2．解方程．
（1）
1052112x x
+--=2； 解：x=74
． （2）2233111x x x x +-=-+-． 解：用（x+1）（x －1）同时乘以方程的两边得，
2（x+1）－3（x －1）=x+3．
解得 x=1．
经检验，x=1是增根．
所以原方程无解．
3． 解：原式=2(1)1(1)(1)2(1)x x x x x -++-- =12
． 由于化简后的代数中不含字母x ，故不论x 取任何值，所求的代数式的值始终不变．
所以当x=3，5－22，7+3时，代数式的值都是
12． 4．对于试题：“先化简，再求值：23111x x x
----，其中x=2．”小亮写出了如下解答过程： ∵ 2313111(1)(1)1
x x x x x x x ---=----+- ① 31(1)(1)(1)(1)
x x x x x x -+--+-+ ② =x －3－（x+1）=2x －2， ③
∴当x=2时，原式=2×2－2=2． ④
（1）小亮的解答在哪一步开始出现错误： ① （直接填序号）；
（2）从②到③是否正确： 不正确 ；若不正确，错误的原因是 把分母去掉了 ；
（3）请你写出正确的解答过程．
解：正确的应是：23111x x x ----=312(1)(1)(1)(1)1
x x x x x x x -++=-+-++ 当x=2时，原式=23
． 5． 解：设他第一次在购物中心买了x 盒，则他在一分利超市买了
75x 盒． 由题意得：12.51475
x x -=0.5 解得 x=5．
经检验，x=5是原方程的根．
答：他第一次在购物中心买了5盒饼干．
五、课堂小结
解分式方程
（1）数学思想：转化思想，把分式方程转化为整式方程
（2）方法：去分母，方程两边同乘以最简公分母，突出最简
（3）验根：分式方程根的检验是必不可少的步骤，因为方程两边同乘以整式和可能使求的x 的值不是原方程的根
（4）增根：使分母为零的根叫增根，增根应该舍去。
（5）漏乘：去分母时当某一项是整式时应把它看成是分母是1，不要漏乘。
六、课后作业
（一）、选择题
1.下列运算正确的是( )
A.x 10÷x 5=x 2
B.x -4·x=x -3
C.x 3·x 2=x 6
D.(2x -2)-3=-8x
6 2. 一件工作,甲独做a 小时完成,乙独做b 小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时.
A.
11a b + B.1ab C.1a b + D.ab a b
+ 3.化简a b a b a b --+等于( ) A.2222a b a b +- B.222()a b a b +- C.2222a b a b -+ D.2
22()a b a b
+-
4.若分式2242
x x x ---的值为零,则x 的值是( ) A.2或-2 B.2 C.-2 D.4
5.不改变分式52223x y x y -
+的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( ) A.2154x y x y -+ B.4523x y x y -+ C.61542x y x y
-+ D.121546x y x y -+ 6.分式:①
223a a ++,②22a b a b --,③412()a a b -,④12x -中,最简分式有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.计算4222x x x x x x ??-÷
?-+-??的结果是( ) A. -12x + B. 12
x + C.-1 D.1 8.若关于x 的方程x a c b x d
-=- 有解,则必须满足条件( ) A. a ≠b ，c ≠d B. a ≠b ，c ≠-d C.a ≠-b , c ≠d C.a ≠-b , c ≠-d
9.若关于x 的方程ax=3x-5有负数解,则a 的取值范围是( )
A.a<3
B.a>3
C.a ≥3
D.a ≤3
10.解分式方程2236111
x x x +=+--,分以下四步,其中,错误的一步是( ) A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)
B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6
C.解这个整式方程,得x=1
D.原方程的解为x=1
（二）、填空题:
11.把下列有理式中是分式的代号填在横线上 ．
(1)－3x ；(2)y x ；(3)22732xy y x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7)－π-12m ； (8)5
.023+m . 12.当a 时，分式
321+-a a 有意义． 13.若x=2-1,则x+x -1=__________.
14.某农场原计划用m 天完成A 公顷的播种任务,如果要提前a 天结束,那么平均每天比原计划要多播种_________公顷.
15.计算1
201(1)5(2004)2π-??-+-÷- ???的结果是_________.
16.已知u=
121
s s t -- (u ≠0),则t=___________. 17.当m=______时,方程233x m x x =---会产生增根. 18.用科学记数法表示:12.5毫克=________吨.
19.当x 时，分式x
x --23的值为负数． 20.计算(x+y)·22
22x y x y y x
+-- =____________. （三）、计算题:
21.23651x x x x x +----; 22.242
4422
x y x y x x y x y x y x y ?-÷-+-+.
（四）、解方程:
23.21212339
x x x -=+--。
（五）、列方程解应用题：
24.甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天, 再由两队合作2天就完成全部工程,已知甲队与乙队的工作效率之比是3:2,求甲、 乙两队单独完成此项工程各需多少天?
（六）、阅读理解题:
25.阅读下列材料:
∵11111323??=- ????
, 111135235??=- ????
,
111157257??=- ????
, ……
1111171921719??=- ????
, ∴
11111335571719
++++???? =11111111111(1)()()()2323525721719
-+-+-++- =11111111(1)2335571719
-+-+-++- =119(1)21919-=. 解答下列问题:
(1)在和式111133557
+++??? 中,第6项为______,第n 项是__________. (2)上述求和的想法是通过逆用________法则,将和式中的各分数转化为两个数之差,使得除首末两项外的中间各项可以_______,从而达到求和的目的.
(3)受此启发,请你解下面的方程:
1113(3)(3)(6)(6)(9)218
x x x x x x x ++=++++++.
参考答案
一、选择题：
1、B
2、D
3、A
4、C
5、D
6、B
7、A
8、B
9、B 10、D
二、填空题：
11、⑵、⑸、⑹ 12、a ≠-32 13、22 14、()
aA m m a - 15、-2 16、12S S u u
-+ 17、-3 18、1.25×10-8 19、2＜X ＜3 20、x+y 三、计算题：
21、解：原式=3651(1)x x x x x +----=3365(1)(1)(1)
x x x x x x x x x -++----
=3365(1)x x x x x -+---=8(1)(1)x x x --=8x
22、解：原式=
24222222222()()xy x y x y x y x y x y x +-÷-+-=222222xy x y x y x y --- =2222
xy x y x y --=()()()xy y x x y x y -+-=xy x y -+ 四、解方程：
23、解：121233(3)(3)
x x x x -=+-+- 方程两边相乘(x+3)(x-3)
x-3+2(x+3)=12
x-3+2x+6=12
3x=9
x=3
经检验：x=3是原方程的增根，所以原方程无解。
五、列方程解应用题：
24、解：设甲队、乙队的工作效率分别为3x,2x ，则有 12(32)12x x x
-+= 11021211
12
x x
x x -===
经检验x=
112是原方程的解，所以原方程解为x=112
所以甲队工作效率为14，乙队工作效率为16， 所以甲队独做需4天，乙队独做需6天。
六、阅读理解题：
25、⑴11113? 1(21)(21)
n n -+ ⑵分式加减 抵消
⑶解：11
11111113()()()333363692(9)
x x x x x x x -+-+-=++++++
11111113()3336692(9)1113()392(9)
1933(9)2(9)
33(9)2(9)
(9)(2)0
x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+-=++++++-=++?=++=+++-= 解得：x 1=-9,x 2=2
经检验x=2是原方程的解，所以原方程解为x=2
分式及分式方程复习讲义汇总
分式及分式方程 教学目标： 1 ?掌握分式概念、性质及运算. 2 ?掌握分式方程的概念、解法、及增根问题. 一、知识回顾 知识点1:分式及分式概念 分式：分母还字母的代数式：易辨错的分式有: 分式方程：分母含 字母的方程叫分式方程. 知识点2:分式性质 易错点1约分，找 公因式，同时约去分子分母的公因式?用的是分式的除法性质 易错点2通分，找 最简公分母，化异分母为同分母，用的是分式的乘法性质. 知识点3:解分式方程 1 ?思路：去分母，变分式方程为整式方程求解，记得验根. 2 .易淆点 (1) 把分子分母中的分数，小数变成整数时，是分子分母同时扩大多少倍，用的是分式的性质； (2) 去分母，方程的每项同乘分母的最简公分母，用的是等式性质； 3.增根问题 增根的概念：是 整式方程的根，同时又使最简公分母为 0的根叫增根，必须满足这两个条件. 常考题型：求含参数的增根问题. ?课前热身 1. 下列式子中，哪些是分式？哪些是整式? 分式： ______________________ ；整式 _____________________ ； 2. 当x ___________ 时，分式 土N 有意义；当x _____________ 时，分式 ：_2无意义. x —3 x 一4 2x — 4 3. 若分式 ------- 的值为0,那么 _______________ . X +1 -1等. x ①x '②:’③為’④写’⑤亡’⑥ 2 x 2x1 x 2 -2x 1 2 ⑦c" a-b ，⑧—，⑨(x-1)， x
2 a 1 = 2a 1 a 1 a 1 ； 2 a -4 a — 2 8.下列关于x 的方程，是分式方程的是（ ） 2 x c 3 x x-1 c x a b x (x-1)2 彳 A. _3 一 B. --- =3—X C. =— —— D. 1 5 6 7 a a b a b X -1 x - a 3 9. 若关于x 的分式方程 ----- - 一=1有增根，则a= ______________ x -1 x x 5 10. 解下列分式方程： 1 ； 2x —5 5—2x 分式部分 二、例题辨析 的值为正数，则x 的取值范围是（） x A. x >0 B. x >-4 C. x M0 D. x >-4 且 x M0 如果把分式 中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ x+y A .不变 B .变大3倍 C .缩小3倍 D .无法确定 (1 )当 x _____________ 时，分式 的值为负 数. 12 —6x 4.填空（1） 3x 2 x 2 2x () x 2 (2) （—）； （x y ） 2 ； (3) a 2 - a b a - b ab ( _______ ) 5.化简: 3a 2b 3 -12ab 2 3a 2 b(m -1) 2 9ab (1 - (3) 2 m - 2m 1 1 -m 2 6.计算: 6a 2y 2 8y 3a 7 a 2 1 _ a —2 a 2 2a
初一语文一对一讲义
就给你造成一个美丽的黄昏。 ⑧一个生命会到了“只是近黄昏”的时节，落霞也许会使人留恋、惆怅。但人类的生命是永不止息的。地球不停地绕着太阳自转。东方不亮西方亮，我窗前的晚霞，正向美国东岸的慰冰湖上走去…… 1985年4月26日清晨5. 作者在第一自然段中提到四十年代读到过“很使我惊心的句子”。第五自然段中写到自己几十年后的体会“云彩更多，霞光才愈美丽”。 （1）使作者心惊的原因是什么？（不超过20字） （2）作者体会里的“云彩”实质上是指什么？（不超过12字） 6. 第五自然段中作者用拟人手法写“霞”。第七自然段中又用许多比喻写对云霞的感悟，不同的手法各有好处，对表现作者的性格心理起到了不同的作用。请用概括的语言，表述两种手法的好处和作用。 （1）采用拟人的手法的好处是，利于表现作者幼年时□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。（不超过30字） （2）采用比喻手法的好处是；利于表现作者老年时□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。（不超过40字） 7. 作者最后一句说：“我窗前的晚霞，正向美国东岸的慰冰湖走去……”，这句话是要表明什么的？（不超过12字） □□□□□□□□□□□□ 8. 下列对文章的分析和鉴赏，错误的三项是（） A．作者认为生命中的云翳既有快乐，也有痛苦。 B．留恋、惆怅“近黄昏”的时节，就是欣赏生命的晚霞的时候。 C．作者认为生命中自然存有痛苦，但不是只有痛苦。 D．文语言朴素、淡雅，但表现力却深沉有力，富有哲理。 E．本文体物是把云彩写得璀璨多彩，述怀时写得深沉有力，意味隽永。 (二)阅读下文，回答9—12题。 我的家在哪里？ ①梦，最能“暴露”和“揭发”一个人灵魂深处自己都没有意识到的“向往”和“眷恋”。梦，就会告诉你，你自己从来没有想过的地方和人。 ②昨天夜里，我忽然梦见自己在大街旁边喊“洋车”。有一辆洋车跑过来了，车夫是一个膀大腰圆、脸面很黑的中年人，他放下车把，问我：“你要上哪儿呀？”我感觉到他称“你”而不称“您”，我一定还很小，我说：“我要回家，回中剪子巷。”他就把我举上车去，拉起我走。走过许多黄土铺地的大街小巷，街上许多行人，男女老幼，都是“慢条斯理”地互相作揖，请安、问好，一站就站老半天。 ③这辆洋车没有跑，车夫只是慢腾腾地走呵走呵，似乎走遍了北京城，我看他褂子背后都让汗水湿透了，也还没有走到中剪子巷! ④这时我忽然醒了，睁开眼，看到墙上挂着的文藻的相片。我迷惑地问我自己：“这是谁呀？中剪子巷里没有他!”连文藻都不认识了，更不用说睡在我对床的陈玙和以后进屋里来的女儿和外孙了! ⑤只有住着我的父母和弟弟们的中剪子巷才是我灵魂深处永久的家。连北京的前圆恩寺，在梦中我也没有去找过，更不用说美国的娜安辟迦楼、北京的燕南园、云南的默庐、四川的潜庐、日本东京麻市区，以及伦敦、巴黎、柏林、开罗、莫斯科一切我住过的地方，偶然也会在我梦中出现，但都不是我的“家”! ⑥这时，我在枕上不禁回溯起这九十年来所走过的甜、酸、苦、辣的生命道路，真是“万千恩怨集今朝”，我的眼泪涌了出来…… ⑦前天下午我才对一位朋友戏说：“我这人真是‘一无所有’!从我身上是无‘权’可‘夺’，无‘官’可‘罢’，无‘级’可‘降’，无‘款’可‘罚’，无‘旧’可‘毁’；地道的无顾无虑，无牵无挂，抽身便走的人。”万万没想到我还有一个我自己不知道的，牵不断、割不断的朝思暮想的“家”! 9．文中第①段中“梦，最能‘暴露’和‘揭发’一个人灵魂深处自己都没有意识到的‘向往’和‘眷恋’”，这里的“向往”和“眷恋”是指什么？
八年级数学-分式讲义
分式 一、从分数到分式： （1）.分式定义：一般地，形如 A B 的式子叫做分式，其中A 和B 均为整式，B 中含有字母。整式和分式称为有理式。注意：判断代数式是否是分式时不需要化简。 例：下列各式πa ，11x +，1 5x y +，22a b a b --，23x -，0?中，是分式的有___ ________；是整式的有 _____ ______；是有理式的有___ ______． 练习： 1.下列各式:①312-x ;②x x 22;③21x ;④πv .其中分式有 。 2.在代数式m 1,41,xy y x 22,y x +2,3 2a a +中，分式的个数是 。 （2）分式有意义的条件：分母不等于0. * 例：下列分式，当x 取何值时有意义． （1）21 32 x x ++； （2）2323x x +-． 练习： 1.当___________________时,分式 ) 2)(1(--x x x 有意义. 2.当____________________时,分式 2) 2(--x x x 无意义. 3.当m____________时，分式m m 412 7-+有意义. 4.下列各式中，不论字母x 取何值时分式都有意义的是( ) A. 121+x B.15.01+x C.231x x - D.1 23 52 ++x x — 5.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ） A ．121x + B ．21x x + C ．231 x x + D ．2221x x + 7．使分式||1x x -无意义，x 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．1± 8.应用题:一项工程，甲队独做需a 天完成，乙队独做需b 天完成，问甲、乙两队合作，需________天完成. (3)分式的值为0：分子等于0，分母不等于0 例：1.当x=____________时,分式x x x -2的值为0，
【考点训练】八年级数学 第16章 分式 16.3分式方程： 换元法解分式方程-1
【考点训练】换元法解分式方程-1 一、选择题（共5小题） 1．（2006?宜昌）已知方程，若设=a，则原方程变形并整理为（） 2．（2007?重庆）附加题：用换元法解方程，若设y=x+，则原方程可化为（） 3．（2006?淄博）解分式方程+3=0时，设=y，则原方程变形为（） 4．（2006?舟山）用换元法解方程+2=0，如果设y=，那么原方程可化为（） 5．（2009?上海）用换元法解分式方程﹣+1=0时，如果设=y，将原方程化为关于y的整式方程，那 二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值） 6．（2008?上海）用换元法解分式方程﹣=2时，如果设=y，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是_________． 7．（2006?宜宾）（按非课改要求命制）用换元法解方程，设，则原方程可变形为 _________． 8．（2009?滨州）解方程时，若设，则方程可化为_________． 三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷） 9．（2012?天水）Ⅰ．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
Ⅱ．解方程x2﹣2x+=8． 10．（2010?嘉兴）（1）解不等式：3x﹣2＞x+4；（2）解方程：+=2．
【考点训练】换元法解分式方程-1 参考答案与试题解析 一、选择题（共5小题） 1．（2006?宜昌）已知方程，若设=a，则原方程变形并整理为（） =a代入方程 =2 2．（2007?重庆）附加题：用换元法解方程，若设y=x+，则原方程可化为（） ，即可把原方程化为整式方程． y=x+ 3．（2006?淄博）解分式方程+3=0时，设=y，则原方程变形为（）
初二 代数方程分式方程和无理方程讲义
代数方程2---分式方程 无理方程 板块一、分式方程 1、用“去分母”的方法解分式方程 例题1. 解分式方程 12244212=-+-++x x x x 例题2、解分式方程 2123x x x ++- + 2226x x x -+-＝2632 x x x --+ 限时训练： 1、已知方程（1）11=+x x （2）6323=+x x （3）11182=+x （4）1=x x 中， 分式方程的个数是（ ） （A ） 1 （B ） 2 （c ）3 （D ）4 2、分式226232 x x x x +---的值等于零，则x 的值应是________________ 3、分式方程1 214--=+x x x 的根是______________ 4、分式方程14 1212=-++x x 的最简公分母是________________ 5、分式方程21 32=+-x x 去分母后化为整式方程是___________________ 压轴题： 1、已知方程 24k 2-x 12x 2x -=-+有增根，求k 的值。 2、已知关于x 的分式方程 () 02222=-++-+-x x k x x x x x 只有一个解，求k 的值。
2、用“换元法”解分式方程： 例1、解分式方程 012 1863222=+-+-+-x x x x 例2：解下列分式方程： 2 122112122=+++-+x x x x 限时训练： 1、 分式方程0101712=+?? ? ??--??? ??-x x x x ，若设y x x =??? ??-1，则原方程可化为关于y 的整式方程为___________________________ 2、 在分式方程41 331122=+++++x x x x 中，可设____________=y ，则原方程化为关于y 的整式方程为__________________________ 3、 解分式方程12 222422=+-+ -x x x x ，宜用_______法来解，并且设____________=y 较合适。 4、 解分式方程组???????=++=-+871033y y x y y x 时，可设m=______________，n=_______________， 原方程组可化为整式方程组_________________ 压轴题： 1、已知：622122=+++ x x x x ，求x x 1+的值 2、解方程：22 356635620x x x x -+- +=
初二数学 分式经典讲义
第十七章 分式 §17.1 分式及其基本性质 一． 知识点： 1.分式的概念：形如 B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母（未知数），B ≠0)的式子，叫做分式(fraction ).其中A 叫做分式的分子(numerator ),B 叫做分式的分母（denominator ）.整式和分式统称有理式（rational expression ）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义。（分式有意义的条件） 2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分. 3.分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。 二．学习过程： 1．先由分数，整数，有理数的概念引入分式，有理式。（单项式和多项式统称为整式。代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式） 再按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。 2. 和学生一起完成课后习题。 三．例题及习题： 教材中的题目。 典型例题 1.23m m 是一个分式么？ 答：是。虽然可以化成3m 的整式形式，但在化简的过程中正是运用了分式的基 本性质化简的，另外2 3m m 与3m 中的字母的取值也不同． 习题一 （1）．当x 取什么值时，下列分式有意义？(1)12+a a ;(2) 3252 -a a （2）. 要使分式)5)(32(23-+-x x x 有意义，则.（ ）
（A ）x ≠23- (B)x ≠5 (C)x ≠23-且x ≠5 (D)x ≠23 - 或x ≠5 （3）. 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是.（ ） （A ）112++a a （B ）12+a a （C ）112++a a （D ）2 1 a a + （4）. 当x 是什么数时，分式25 2++x x 的值是零？ 解：由分子x+2=0得x=-2 而当x=-2时，分母2x-5≠0 所以，当x=-2时，分式的值是零 习题二 一、填空题 1.约简公式 = . 2.a 取整数 时，分式(1-114++a a )·a 1 的值为正整数. 3.如果x+x 1=3，则1x x x 2 42 ++的值为 . 4.已知x=1+a 2,y=1-a 1 .用x 的代数式表示y ，得y= ；用y 的代数式表 示x ，得x= . 5．要使代数式3a 2a 3 a 2 ---的值为零，只须 . 6.已知s=) y s (q 1yq x ≠--,用x 、y 、s 表示q 的式子是 . 7.两个容积相等的瓶子中装满了酒精和水的溶液，其中一个瓶子中酒精与水的容积之比是p ∶1，另一个瓶子中是q ∶1.若把这两瓶溶液混合在一起，混合液中酒精与水的容积之比为 .
分式方程培优讲义全
分式方程拔高讲练 一、含有参数方程 1．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值围是 2．分式方程=1﹣的根为 3．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为 二、方程无解 1．若关于x的方程﹣=﹣1无解，则m的值是
2．若=0无解，则m的值是 3．若关于x的分式方程﹣=无解，求a= ． 三、有增根 1、如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为 2、关于x的分式方程有增根，则增根为． 3、若关于x的方程有增根，则m的值是．
4、解关于x的方程+=产生增根，则常数a= 四、整体代入解方程 1．已知在方程x2+2x+=3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关于y的整式方程是． 2、用换元法解方程﹣2?+1=0时应设y= ． 3．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是． 四、实际问题 1．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进
价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（） A．﹣10= B．+10= C．﹣10= D．+10= 2．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（） A．= B．=C．= D．= 3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（） A． B． C． D． 4．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植 树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5 天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（） A．﹣=5 B．﹣=5 C．+5= D．﹣=5 5．市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角的垃圾， 调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据 题意可列出方程为（）
(完整版)平行四边形复习一对一讲义
八年级下册章末复习---平行四边形 一、学习目标 复习平行四边形、特殊平行四边形性质与判定，能利用它们进行计算或证明. 二、学习重难点 重点：性质与判定的运用；难点：证明过程的书写。 三、本章知识结构图 1．平行四边形是特殊的 ；特殊的平行四边形包括 、 、 。 2．梯形 （是否）特殊平行四边形， （是否）特殊四边形。 3．特殊的梯形包括 梯形和 梯形。 4、本章学过的四边形中，属于轴对称图形的有 ；属于中心对称图形的有 。 四、复习过程 （一）知识要点1：平行四边形的性质与判定 1.平行四边形的性质： （1）从边看：对边 ，对边 ； （2）从角看：对角 ，邻角 ； （3）从对角线看：对角线互相 ； （4）从对称性看：平行四边形是 图形。 2、平行四边形的判定： （1）判定1：两组对边分别 的四边形是平行四边形。（定义） （2）判定2：两组对边分别 的四边形是平行四边形。 （3）判定3：一组对边 且 的四边形是平行四边形。 （4）判定4：两组对角分别 的四边形是平行四边形。 （5）判定5：对角线互相 的四边形是平行四边形。 【基础练习】 1.已知□ABCD 中，∠B =70°，则∠A =____，∠C =____，∠D =____． 2.已知O 是ABCD 的对角线的交点，AC =38 mm ，BD =24 mm,AD =14 mm ，那么△BOC 的周长等于__ __. 3.如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC =8，BD =6，则边AB 长的取值范围是（ ）. A.1＜AB ＜7 B.2＜AB ＜14 C.6＜AB ＜8 D.3＜AB ＜4 4.不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ） A.AB=CD,AD=BC B.AB CD C.AB=CD,AD ∥BC D.AB ∥CD,AD ∥BC 5.在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE=4，AF=6，ABCD 的周长为40，则ABCD 的面积是 （ ） A 、36 B 、48 C 、 40 D 、24 【典型例题】 例1、若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长. F D A O A B C D O A B C D
分式复习讲义.doc
分式复习 知识点复习 1. 分式的概念 （1）如果 A 、B 表示两个整式，且 B 中含有未知字母，那么式子 A B 叫做分式。 （2）分式与整式的区别： 分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。 2. 分式有意义的条件：分式的分母不能为 0，即 A B 中， B ≠ 0 时，分式有意义。 3. 分式的值为0的条件：分子为0,且分母不为0，对于A B ，即00 A B =??≠?时，A B = 0 . 4. 分式（数）的基本性质: 分式(数)的分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式(数),分式(数)的值不变。 A A M B B M ?=?, A A M B B M ÷=÷（ M 为 ≠ 0 的整式） 5. 分式通分 （1）通分的依据是分式的基本性质; (2)通分的关键是确定最简公分母; （3）通分后的各分式的分母相同; （4）通分后的各分式分别与原来的分式相等. 6. 分式通分的步骤 （1）确定最简公分母 ①取各分母系数的最小公倍数。 ②凡出现的字母（或含字母的式子）因式都要取。 ③相同字母（或含字母的式子）的幂因式取指数最大的。 ④当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。 （2）将各分式化成相同分母的分式。 7. 分式的约分 （1）约分的依据：分式的基本性质 （2）约分后不改变分式的值。 （3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式。 8. 分子的变号规则 分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。 用式子表示为： a a a b b b -==--；a a a a b b b b ---=-==-- 9. 分式的乘除法则 乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 10. 分式的乘方：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即n a b ?? ??? = 11. 分式的加减 （1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 （2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 a b c c ±= a c b d ±== 12. 分式的混合运算原则 （1）先乘方，再乘除，再算加减，有括号，先算括号内的。 （2）同级运算，按运算顺序进行。 bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a = ?=÷=?;
分式和分式方程 专题复习讲义设计(含答案)
分式和分式方程 专题复习讲义 中考考点知识梳理： 一、分式 1、分式的概念 一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成 B A 的形式，如果B 中含有字母，式子B A 就叫做分式。其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。 2、分式的性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 （2）分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3、分式的运算法则 （1） ;;bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? （2）);()(为整数n b a b a n n n = （3） ;c b a c b c a ±=± （4） bd bc ad d c b a ±=± 二、分式方程 1、分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程
的根。 3、分式方程的特殊解法 换元法： 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。 考点典例 一、分式的值 【例1】当x= 时，分式 x－2 2x＋5的值为0． 【答案】2. 【解析】 试题分析：∵x－2 2x＋5 的值为0，∴x-2=0且2x+5≠0，解得x=2. 考点：分式. 【点睛】使分式的值为零必须满足分子等于0分母不等于零这两个条件. 【举一反三】 1.使分式 1 1 x- 有意义的x的取值范围是（） A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x＜1 D．x＞1 【答案】A． 考点：分式有意义的条件． 2.若分式 21 1 x x - + 的值为0，则x＝ 【答案】1 【解析】 试题分析：根据题意可知这是分式方程， 21 1 x x - + ＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，
初一语文一对一讲义
永成教育一对一讲义 教师：学生：日期：星期：时段：课题基础知识与阅读理解 学习目标与分析一、复习学过的字、词、句子。 二、积累文学常识。 三、提高的阅读理解能力。 学习重难点 基础知识的巩固和阅读理解能力的提高学习方法讲练结合法 学习内容与过程教师分析与批改 第一部分基础知识 一、按要求填空。 1、冰心原名_________，是著名的_________、_________、________、__________。冰心，她一步人文坛，便以宣扬“________”著称。冰心的主要作品有：诗集《__________》、《__________》，散文集《______ __》。 2、冰心的小诗创作源于印度诗人_______的《____________》。其诗歌作品，在当时吸引了很多青年的模仿。《繁星》、《春水》中的诗篇表现出诗人对于________、________、________的见解。冰心的诗集《繁星》、《春水》是人们公认的小诗最高成就，被茅盾称为“________”、“__________” 3、冰心的诗有丰富而深刻的哲理，并恰当地运用对比，如：“言论的花开得愈大，_____________”。 4、冰心的《繁星》诗中发人深省的格言式小诗触目皆是，如“成功的花，_________!然而当初她的芽儿，_ __________，洒遍了牺牲的血雨。” 二、看拼音写词语。 huái yí yǐn bì hén jì suí yùér ān （）（）（）（） zhù zhái xuǎn zé jūn yún sōu suǒ ( ) ( ) ( ) ( ) 三、组词 蜡（）浑（）毫（）茎（） 腊（）挥（）豪（）经（）
分式培优讲义教学文案
讲义 ———分式 姓名： 分式 知识点一：分式的定义
一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（B ≠0） ②分式无意义：分母为0（B=0） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（A=0且B ≠0） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（或 ）
⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或 ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：，，其中 A、B、C是整式，C0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含 条件B0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 知识点五：分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
初中数学一对一学习辅导方法
青岛初中中考数学考前一对一辅导，是有很多的口诀的，能够掌握好这些口诀，运用得当，能让我们的效率事半功倍，希望博思给出的一些口诀能够对靠前的同学有所帮助 有理数的加法运算 同号两数来相加，绝对值加不变号。异号相加大减小，大数决定和符号。互为相反数求和，结果是零须记好。注：“大”减“小”是指绝对值的大小。 合并同类项 说起合并同类项，法则千万不能忘。只求系数代数和，字母指数留原样。 去、添括号法则 去括号或添括号，关键要看连接号。扩号前面是正号，去添括号不变号。括号前面是负号，去添括号都变号。 整式的运算 单项式，多项式，二者统称为整式;单项式，求几次，字母指数和即是;多项式，是几次，项中老大它就是;同底幂，做乘法，幂的指数要相加;同底幂，做除法，指数相减别忘啦;幂乘方，积乘方，牢记法则不要慌，前者指数要相乘，后者因数各得方，计算后，想一想，幂的底数不变样;零指数，负指数，指数为零结果1，指数为负变倒数;性质法则容易混，用心领会用心悟。巧运用，勤记勤练十日功。 完全平方公式 二数和或差平方，展开式它共三项。首平方与末平方，首末二倍中间放。
学生进入八年级后，“因式分解”、“分式方程的解法”及“解一元一次不等式”又是一个难点，教学时我们可结合一下口诀进行记忆。 因式分解 一提二套三分组，十字相乘也上数。四种方法都不行，拆项添项去重组。重组无 望试求根，换元或者算余数。多种方法灵活选，连乘结果是基础。同式相乘若出现， 乘方表示要记住。 注:一提(提公因式)二套(套公式) 解分式方程 先约后乘公分母，整式方程转化出。特殊情况可换元，去掉分母是出路。求得解 后要验根，原留增舍别含糊。 解一元一次不等式 先去分母再括号，移项合并同类项。系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。先 去分母再括号，移项别忘要变号。同类各项去合并，系数化”1”注意了。同乘除正 无防碍，同乘除负要变号。 学生进入九年级后，“一元二次方程的解法”及“圆”又是一个难点，我们可结 合一下口诀进行记忆。 解一元二次方程
分式方程及其应用(讲义及答案)
分式方程及其应用（讲义） 课前预习 1.请回顾相关知识，填空： 2.回忆并背诵应用题的处理思路，回答下列问题： （1）理解题意，梳理信息． 梳理信息的主要手段有_______________________________．（2）建立数学模型． 建立数学模型要结合不同特征判断对应模型，如： ①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑___________； ②不超过、不多于、少于、至少……，考虑_____________． （3）求解验证，回归实际． 主要是看结果是否_________________． 知识点睛
1. 分式方程的定义：__________________的方程叫做分式方程． 2. 解分式方程： 根据________________，把分式方程转化为__________求解，结果必须_______，因为解方程的过程中有可能产生______． 增根产生的原因是方程两边同乘了一个_________________． 3. 列分式方程解应用题，也要进行___________． 精讲精练 1. 下列关于x 的方程是分式方程的有__________．（填写序号） ① 315x -=；②x x π=π；③11123x y -=；④1152 x x +=+； ⑤11 x a b =-． 2. 已知方程2512kx x +=+的解为1x =，则k =_________． 3. 解分式方程： （1）2115225 x x x ++=--； （2）100602020x x =+-； （3）3201(1) x x x x +-=--； （4）2216124x x x ++=---； （5） 2236111 x x x +=+--；
四年级数学上册一对一讲义
数一数 知识点： 1认识数级、数位、计数单位，并了解它们之间的对应关系。 2、十进制计数法。相邻两个计数单位之间的进率是十，也就是十进制关系。 1、亿以内数的读数方法。 含有个级、万级和亿级的数，必须先读亿级，再读万级，最后读个级。（即从高位读起）亿级或万级的数都按个级读数的方法，在后面要加上亿或万。在级末尾的零不读，在级中间的零必须读。中间不管有几个零，只读一个零。 2、亿以内数的写数方法。 从高位写起，按照数位的顺序写，中间或末尾哪一位上一个也没有，就在那一位上写0。 3、比较数大小的方法。 多位数比较大小，如果位数不同，那么位数多的这个数就大，位数少
的这个数就小。如果位数相同，从左起第一位开始比起，哪个数字大，哪个数就大。如果左起第一位上的数相同，就开始比第二位……直到比出大小为止。 国土面积（多位数的改写） 知识点： 1、改写以“万”或“亿”为单位的数的方法。 以“万”为单位，就要把末尾的四个0去掉，再添上万字；以“亿”为单位，就要把末尾八个0去掉，再添上亿字。 2、改写的意义。 为了读数、写数方便。 一、填一填： （1）一个整数，从右数起，第四位是（）位，第十位是（）位。 （2）20800000是由2个（）和8个（）组成的。 （3）60006000是（）位数，最高位是（）位，左边的6表示（），右边的6表示（）。 （4）比最大的四位数多1的数是（），比最小的六位数少1的数是（）。（5）5000000=（）万 998300≈（）万8000000000=（）亿 1249990000≈（）亿（6）一个8位数，千万位、万位、千位上的数字都是9，其他数位上的数字都是0，这个数写作（），读作（），精确到万位约是（）。 二、判断题（对的打√，错的打×）。 （1）最小的七位数是1111111。（） （2）30904098这里面的三个0都在中间，所以都要读出来。（） （3）一个十二位数，它的最高位是千亿位。（） （4）449800000≈5亿。（） （5）最大的八位数与最小的九位数相差1。（） 三、选择题。 （1）下面各数中，最小的数是（）。 A．408065 B.408056 C.400856 （2）下面的数中，一个零也不读的数是（） A．500600 B.5060000 C.5006000
完整分式讲义
分式 1． 分式的概念： 形如B A (A,B 是整式，且B 中含有字母)。要使分式有意义，作为分母的整式B 的值不能为0， 即B ≠0。要使分式的值为0，只能分子的值为0，同时保证分母的值不为0，即A=0，且B ≠0。 1、式子①x 2 ②5y x + ③a -21 ④1 -πx 中，是分式的有（ ） A ．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④ 2、分式1 3-+x a x 中，当a x -=时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零 B.分式无意义 C. 若31-≠a 时,分式的值为零 D. 若31 ≠a 时,分式的值为零 3. 若分式 1 -x x 无意义,则x 的值是( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1± 4.如果分式x 211 -的值为负数,则的x 取值范围是( ) A.21≤x B.21
初中一对一教学计划大纲
***一对一教学大纲 基本情况： 姓名：*** 性别：男出生年月：1996.2.18（17 岁） 所在学校：川音附中年级：高一学校类别：艺术类专业 目前文化分数：数学30分期望文化分数：数学90 分 兴趣爱好：唱歌 学情分析： 针对贾杰允同学各个方面的测评，我们为此制定了下面一系列的教学计划。 根据贾杰允同学的基础相对欠缺这种情况，如果我们直接从高中开始补习，这样可能不会有多大的效果，反而会让学生对学习失去信心，丢失学习兴趣，导致贾杰允同学成绩无法达到预期提升目标。虽然是艺体生，但是根据高考的原则，艺体生还是要参加文化考试，即使专业成绩很优秀，但文化课程成绩不佳，也很难考上理想的大学。由于现在贾杰允同学还处于高中一年级阶段，距离高考还早，还有足够的时间来弥补自己各方面的不足。所以我们建议从初中知识进行开始补习，只有有了扎实的基础以及系统的知识结构，才能跟上高中的学习进度。再者，数学学科它是一门连贯性相对较强的学科，没有基础，高一之后的学习就会显得越发困难，成绩越难提升起来。 辅导计划：
我们制定了以下教学计划。总体分为前、中、后三期。前期（30课时）主要补习初中全部知识；重点放在解方程、因式分解、函数、勾股定理、三角形及其特殊的平行四边形、锐角三角函数等方面；中期（10课时）针对初、高中知识进行衔接：重点放在数学的运用方法及其函数的数形结合法上面，以培养学生基本的数学思维能力，为高中知识奠定基础；后期（20课时）针对高一上册知识进行辅导，并根据学生自身能力开张提高训练：重点放在集合、几种基本的函数、函数与方程、三角函数等方面。 我们会针对贾杰允同学的情况，制定出科学的学习方法，让他在学习数学中，找到快乐，产生浓厚的学习兴趣，从而逐步实现数学成绩的提升。 以下是初中及高一上册的课程纲要及课时安排： 一、初中数学学习 二、高一数学学习 初中数学 以下为各章重难点： （注：*、**、***三个级别用于标识“重点”在学科学习、中考中的重要程度，以及“难点”突
(完整版)分式及分式方程题型分类讲义
分式方程及其应用 一、基本概念 1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤： （1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去. 3. 用换元法解分式方程的一般步骤： ① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答. 4．分式方程的应用： 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： （1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 . 二、题型分类 考点一：分式方程 题型（一）分式方程去分母 1、解分式方程 时，去分母后变形为（ ）。 A ． ()()1322-=++x x B ．()1322-=+-x x C ．()()x x -=+-1322 D ．()()1322-=+-x x 2、下列方程是分式方程的是（ ） A ．0322 =--x x B ． 13-=x x C ．x x =1 D ．12=-π x 题型（二）解分式方程 用常规方法解下列分式方程：25211 111 332552323 x x x x x x x x x -+=+==+---++（）；（2）；（）； 题型（三）分式方程的解 1.已知方程 26 1=311x ax a x -=+-的解与方程的解相同，则a 等于（ ） A ．3 B ．－3 C. 2 D ．－2 2.方程134 622 32622+++++++x x x x x x -5=0的解是( ) A. 无解 B. 0 , 3 C. -3 D. 0, ±3 22311x x x ++=--
郭氏数学 八年级下册分式方程应用题
分式方程 分式方程应用题四步骤 1，设未知数 一般是问什么就设什么。 如果问题中有两个并列的，则一般设前面那个为x,把后面那个用x来表示（如第4、14、19题）。 如果问题问的量设为x之后题目中其他的量不容易用来表示，则设题目中容易表示其他量的量为x，然后把其他的量用x表示出来即可。（如第13题要设衬衫的单价而不能设总盈利，设衬衫的单价为x列出方程，求出x，再用x来求出总盈利） 2，找等量关系，从而列方程 列方程最重要的是找到等量关系，找到什么等于什么之后，用x来表示等号两边的量即可得到方程。那找等量关系的关键在哪呢？如何一眼看出等量关系呢？其实，非常简单。那就是找到这个题要达到的结果，那句话就是等量关系，所以找等量关系关键就是找到“题目要达到的那句话”。这句话一般都就是问题的前面那句话，如果不是，再到其他位置找。3，解分式方程 第一步是去分母。注意是去分母，而不是通分。去分母的关键就是方程两边同时乘上所有的分母的最小公倍数。这样可以直接去掉所有的分母。 第二步就是去括号了，利用乘法分配率化简。 第三步移项。把所有含x的项移到一边，不含x的项移到另一边。 第四步合并同类项。 第五步把x的系数化为1. 第六步：检验。检验结果是否让方程中的分母为零，为零则无意义。 解方程一定要严格按照以上步骤，每一步都达到每一步的结果。基本所有的分式方程就用以上五步就可以解出。不要把一步分成两步，去括号那一步就要去掉所有的括号，而不要分成两步来写，如果你认为要计算的太多一步得不到去括号的结果，那就在演草纸上算，把整个去括号的结果写上去即可。 4、当然，最后写上答案就完成了。 方程应用题的步骤就是以上4个，只要严格按照以上4个步骤，就可以轻松解决所有的方程题！！一定要严格按照步骤做，不要自创步骤，自作聪明。考试都不会太难，只要做到以上4点，基本是满分了。 郭氏数学直指问题核心、明晰出题意图、按图索骥，解题变成程序，让数学成为最容易得分的学科。详见郭氏数学官方博客。 郭老师每月收1名一对一学生，保证大幅度提升成绩，基础差的经过一段时间也可以提分到90-100。试讲免费。
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