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高等数学期末复习题下

高等数学期末复习题(86个题目)

一、选择题:

1.已知向量j i a -=、k j b +=,那么=?b a ( A ) A.k j i +-- B.k j i -+ C.k i

+- D.k j - 2.已知点()λ,1,3--A 、()4,,2λ-B ,若OB OA ⊥,则=λ( D )

A.0 B.6 C.6- D.56

3.设向量a 与b ,若0=?b a

,则( B )

A.0=a 或0=b B.b a ⊥ C.b a

∥ D.0=b 4.已知点()2,1,0A 、()0,3,1B ,则有结论( B )

A.A 、B 两点的距离等于9 B.线段AB 的中点是?

?? ??1,2,2

1 C.k j i AB

23++-= D.平面()()0212=-+-+z y x 通过A 、B 两点

5.在空间直角坐标系下,母线平行于y 轴的柱面是( A )

A.12

2=+y x B.12

-=x z

C.191622=+z y D.1

4162

2=-y z

6.下列曲面方程中表示旋转抛物面的是( )

A.222y x z += B.221y x z --= C.22-=x z D.2y z =

7.方程组??

?=++=+11

22z y x y x 在空间的图形为( ) A.椭圆 B.圆 C.圆柱面 D.抛物线

8.过点()0,0,1且平行于平面032=++z y x 的平面方程是( A ) A.232=++z y x B.223=++z y x

C.23=++z y x D.2322=++z y x

9.过点()3,1,4-且平行于直线51

2

3-=

=-z y x 的直线方程是( D ) A.52z y x == B.

53

1124+=-=+z y x C.231154-=+=-z y x D.

531124-=+=-z y x 10.

0000(,)0,(,)0

x y f x y f x y ''==是二元可微函数(,)z f x y =在点00(,)x y 取得极值

的 ( B )

A .充要条件

B .必要条件

C .充分条件

D .既不充分也不必要

11.二元函数(,)f x y 在点0,0()

x y 处存在偏导数是(,)f x y 在该点可微分的

( A )

A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.必要且充分条件 D.既不必要也不充分条件

12. 设

22

,x y

z e dz +==( A ) A .2

2

2();x y e xdx ydy ++ B .

2

2

2();x y

e xdy ydx ++ C . 22();x y e xdx ydy ++ D .

22

222().x y e dx dy ++ 13.已知xy

z e =,则z

x ?=? ( A )

A .xy ye

B .xy xe

C .xy xye

D . xy e

14.设22

()z f x y =+,则

z z y x x y ??-??等于

( B )

A .x y +

B .0

C .22x y +

D .

22

()f x y + 15.

设D :

2

2

1

x y +≤,则

D

dxdy

??等于

( C )

A .33x c +

B .3

3y c + C .π D .2π

16. 设D 是由曲线2

1y x y ==与所围的区域,则sin cos D

x ydxdy =

??

( )

A.0

B.12

C.2π

D.π

高等数学期末复习题下

17.

数(,)f x y =

的定义域是

( B )

A .222{(,)|41}D x y y x x y =≤+<且;

B . 222

{(,)|41}D x y y x x y =≤+<且0< ;

C .222{(,)|41}

D x y y x x y =<+≤且; D .

222{(,)|41}D x y y x x y =<+≤且0<. 18. 设函数x y z x y +=

-, 则z y ??=

( A)

A . 22()x x y -;

B .21()x y --;

C .1()x y - ;

D .2

2()y

x y -.

19.

对于函数22

(,)f x y x y =-,点(0,0) ( )

A .不是驻点;

B .是驻点而非极值点;

C .是极大值点;

D .是极

小值点. 20.

设D 是

,,

a x

b

c y

d ≤≤≤≤

D

d σ

??等于

( )

A .a b c d +++;

B . a b c d ;

C . ()()a b d c --;

D .()()b a d c -- 21.

设D

是01,01,x y ≤≤≤≤长方形域,则

D

xyd σ

??等于

( )

A . 1;

B . 12;

C . 13;

D . 1

4.

22.设

(,)D I f x y dxdy

=??, 其中D 是由曲线

24y x =与y x =所围成, 则 ( )

A

.4

0(,)x

I dx f x y dy

=??

; B .

40

(,)x

I dx f x y dy

=??;

高等数学期末复习题下

C .2

4

40

(,)x I dy f x y dx

=??

; D .44

(,)I dy f x y dx

=??.

23.

110

(,)x

dx f x y dy -=

??

( )

A .11

0(,)dy f x y dx

?

?; B .1

10

0(,)x

dy f x y dx

-?

?

; C .110

(,)x

dy f x y dx

-??; D .1

10

(,)y

dy f x y dx

-??

24.微分方程

的一个解是( C ).

高等数学期末复习题下

A.

B.

C.

D.

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25. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ).

高等数学期末复习题下

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A.

B.

C.

D.

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26.若方程

是恰当方程, 则

高等数学期末复习题下

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( ).

A.

B.

C.

D.

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27.当

)

(1

∑∞

=+n n n

b a

收敛时,

∑∞

=1

n n

a

∑∞

=1

n n

b

( )

(A )必同时收敛。(B )必同时发散(C )可能不同时收敛 (D )不可能同

时收敛 28.级数∑∞

=1

2

n n

a 收敛是级数∑∞

=1

4

n n

a 收敛的( )

(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (B )充要条件 (D )既非充分也非必要条件 29.

∑∞

=1

n n

a

为任意项级数,若

+n a 且0

lim =∞

→n n a ,则该级数( )

(A )条件收敛 (B )绝对收敛 (C )发散 (D )敛散性不确定

30.设常数0λ>,而级数2

高等数学期末复习题下

1

n

n a

=∑

收敛,则级数1

(1)

n

n ∞

=-∑是( )。 (A )发散 (B )条件收敛 (C )绝对收敛 (D )收敛与λ有关 31.设

2n n n a a p +=

,2n

n

n a a q -=, 1.2

n =,则下列命题中正确的是

( )。 (A )若1n

n a

=∑条件收敛,则1n

n p

=∑与1n

n q

=∑都收敛。 (B )若1

n

n a

=∑绝对收敛,则1

n

n p

=∑与1

n

n q

=∑都收敛。

(C )若1n

n a

=∑条件收敛,则1n

n p

=∑与1n

n q

=∑的敛散性都不一定。 (D )若

1

n

n a

=∑绝对收敛,则

1n

n p

=∑与

1

n

n q

=∑的敛散性都不定。

32.设0,1,2

n a n >=,若1

n

n a

=∑发散,1

1

(1)

n n

n a ∞

-=-∑收敛,则下列结论正确的是

( )。 (A )

21

1n N a

-=∑收敛,

21

n

n a

=∑发散. (B )

21n

n a

=∑收敛,

21

1

n n a

-=∑发散.

(C )21

21

()

n n n a

a ∞

-=+∑收敛. (D )21

21

()

n n n a

a ∞

-=-∑收敛.

33.设α

为常数,则级数2

1

sin()(

)n n n α∞

=∑是( )

高等数学期末复习题下

(A )绝对收敛. (B )条件收敛. (C )发散. (D )收敛性与α取

值有关. 34.级数1

(1)(1cos

)

n n n α

=--∑(常数0α

)是( )

(A )发散. (B )条件收敛. (C )

绝对收敛. (D )收敛性与α

有关. 35.

(1)ln(1)

n n u =-+

,则级数

高等数学期末复习题下

(A )1

n

n u ∞

=∑与2

1

n

n u

=∑都收敛. (B )1

n

n u

=∑与21

n

n u

=∑都发散.

(C )1

n

n u

=∑收敛而20

n

n u

=∑发散. (D )1

n

n u

=∑发散而21

n

n u

=∑收敛.

二、填空题:

1.过点()3,1,2且垂直于直线1213

1-=

-=+z

y x 的平面方程是

2.与平面0632=+-+z y x 垂直,且过点()

1,2,3-的直线方程为

3.曲面125942

22=++z y x 与xoy 平面的交线方程是

4.过点()2,1,2M 且垂直于OM 直线段的平面方程是

5.方程

2

2y x z +=

的图形是

6.方程组??

?=+=+1122y x y x 在空间表示

7. 已知函数

2

ln z x y =,则(1,)

e dz =

8. 函数(1)x z e y =+,则22

z

y ?=? .

9.设(,,)y z

f x y z x y =,则f

y ?=? .

10.

D

d δ=

?? ,D 是以原点为圆心,半径为5的圆形区域.

11.设D 是由曲线1,1x y x y +=-=及0x =所围的区域,则D

dxdy =

?? .

12.设

210

(,)x

x

I dx f x y dy

=??,交换积分顺序后,则I = .

13.11

2

cos y

dy x dx ??= .

14. D 为由0,1,1y y x y x ==+=-所围成的平面区域,

2

D

y d σ??= .

15.设区域D 由曲线2

1,0y x y =-=围成,则D

xd σ=

?? . 16.二重积分

1220

1

(,)(,)y y

I dy f x y dx dy f x y dx

-=+????

交换次序所成的二重积分

是 .

17.设L 是XOY 平面上沿顺时针方向绕行的闭曲线,且

?=++-L

dy y x dx y x 9)34()2(,则

L 所围成平面区域D 的面积等

于 。

18.22)32()43(y x y x bxdy

aydx +++(

0,02

2≠≠+ab y x )是某个二元函数的全微分,则a,b 的关系为 。

19.设L 是圆周122=+y x ,取顺时针方向,则ds x I L ?=61与ds y I L ?=62的大小关

系是 。

20.设P(x,y,z)在空间有界闭区域V 上有连续的一阶偏导数,又∑是V 的光滑边

界曲面之外侧,由Gauss 公式

??∑

dydz

z y x P ),,(= 。 21.设∑是球面2

2

2

2

a z y x =++的外侧,则??∑

zdxdy

= 。 22.设函数

,则

=______.

23.设z=f(x6-y6)可微,则

=______.

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24.三重积分=______,其中Ω是球

2221x y z ++≤.

25.微分方程y"+4y'+3y=0的通解为y=______.

26.幂级数

的和函数是______.

27.幂级数∑∞

=≤<0)10(n p

n

p n x 的收敛区间为 。 28.级数

∑∞

=+0

11

n n

a

当a 满足条件 时收敛。

29.幂级数∑∞

=-?-01

38)1(n n

n n n x 的收敛半径为 。

30.若)41()1(31

<--=+∑x x a x n n 则n a = 。

31.dt

t x

?0

2cos 的麦克劳林级数为 。

三、计算题:

1. 求下列函数的二阶偏导数.

(1)322

25z x x y xy =+-;

(2)(,)e xy

f x y x =;

(3)sin cos z xy x y y x =++. 2. 求下列函数的全微分.

(1)22

z x y y =+;

(2)

22

ln()z x y =+. 3..化二重积分

(,)D

f x y d σ

??为二次积分,其中积分区域D 分别为:

(1)由直线y x =及抛物线2

y x =所围成的区域;

(2)由直线y x =,2x =及双曲线1xy =(x >0)所围成的区域. 4.计算下列二重积分:

(1)1D x

dxdy xy +??

,D 由01y ≤≤且01y ≤≤确定;

(2

)D σ

??,D

是两条抛物线2

y y x ==;

高等数学期末复习题下

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(3)

22

()D

x y x d σ+-??

,D 由直线 2,,2y y x y x ===围成.

(4) 计算

2

cos ,D

y dxdy ??其中D 是由1,2,1x y y x ===-所围成的封闭区域.

(5) 计算二重积分2

D x d y σ??

其中D 是由2,y y x ==和曲线1xy =围成的区域. 5.计算

,L 是圆周x2+y2=a2沿逆

时针方向.

6.计算

,∑为柱面x2+y2=1及平

面z=0,z=3所围成立体的全表面外侧.

7..改变积分次序: (1)ln 1

(,)e

x

dx f x y dy

??

(2

)2

3

1

(,)dx f x y dy

?

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8.设D 是由(0),0y kx k y =>=和1x =所围成的三角形区域,且

21

15D

xy dxdy =??,

求K 的值. 9.求下列函数的极限:

(1) 2212

3lim x y xy x y x y

→→++ (2)

00

sin()lim

x y xy x

→→

高等数学期末复习题下

10.

判断正项级数的敛散性.

11.求幂级数的收敛半径和收敛区间.

12.求微分方程y"+3y'+2y=e-x .

13.计算dx

y x L

)56(22-?

,L 为(0,0)设y x 22=到(2,2)的弧度。

14.L 为圆周12

2

=+y x ,求

ds x L

?2

16.计算?--+L dy y x dx y x )4()23(,L 为122

22=+b y a x 取逆时针方向。

17.

ds z ??∑

2

,∑为柱面

60,42

2≤≤=+z y x 。 18.计算dxdy z dzdx y dydz x 111++??∑,∑为椭圆面1222222=++c z b y a x 的外侧。

2221xyzdxdydz x y z Ω

Ω++=???19.计算,其中为球面及三个坐标面所围成的在

第一卦限内的闭区域。

20.

23,10xy z dxdydz z xy y x x z Ω

Ω====???计算,其中是由曲面与和所围成的闭区域。

3

0,0,0,1(1)dxdydz

x y z x y z x y z Ω

Ω===++=+++???

21.计算,其中为平面所围成的四面体。

22.判断下列级数的敛散性。

(1)∑∞

=+1)1(3n n

n

n n (2)

∑∞

=+12!1

2n n n n

(3)∑∞

=+11

sin )

2ln(1n n n 23判断下列级数的敛散性,如果收敛是条件收敛还是绝对收敛。 (1))

1()1(1

∑∞

=-+-n n

n n (2).∑∞

=++-1

11ln

)1(n n n n

24.求下列幂级数的收敛区间。

(1).1

211)!12)(12()1(-∞

=+∑---n n n x n n (2)1214)1(-∞

=∑?-n n n

n x n

25.将下列函数展成在指定点的幂级数,并求出其收敛区间。 (1)2()sin (0f x x x ==处) (2)()ln (f x x x =在=1处) 26.将函数

1()arctan

1x

f x x +=-展为x 的幂级数。

23(1,1,2),3

4

3

z xy z xyz π

π

π

αβγ=+-=

=

=

27.求函数在点处沿,的方向导数。

2222

22221()1x y x y z a b a b =-++=28.求在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数。

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