文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

2009年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学Ⅰ

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

参考公式:

样本数据12,,,n x x x 的方差2

2

11

11(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。请把答案填写在答题卡相应的位.......置上... 1.若复数1

2429,69z i z i =+=+,其中i 是虚数单位,则复数12()z z i -的实部为★.

【答案】20- 【解析】略

2.已知向量a 和向量b 的夹角为30

,||2,||==

a b a 和向量b 的数量积

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

= a b ★ .

【答案】3

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

【解析】232

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

=?= a b 。 3.函数

32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ★ .

【答案】(1,11)- 【解析】2

()330333(11)(1)f x x

x x x '=--=-+,由

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。

4.函数sin()(,,y A x A ω?ω?=+为常数,0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如

图所示,则ω= ★ . 【答案】3 【解析】

32T π=,2

3

T π=,所以3ω=, 5.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m )分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ★ . 【答案】0.2 【解析】略

6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表:

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

则以上两组数据的方差中较小的一个为s = ★ .

【答案】2

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

5

【解析】略

7.右图是一个算法的流程图,最后输出的W = ★ .

【答案】22 【解析】略

8.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1:2,则它们的面积比为1:4,类似地,在空间,若两个正四面体的棱长的比为1:2,则它们的体积比为 ★ . 【答案】1:8 【解析】略

9.在平面直角坐标系xoy 中,点P

在曲线3:103C y x x =

-+上,

且在第二象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标为 ★ . 【答案】(2,15)- 【解析】略

10.

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

已知12

a -=

,函数()x

f x a =,若实数,m n 满足()()f m f n >,则,m n 的大小关系为 ★ . 【答案】m n < 【解析】略 11.已知集合

{}2|log 2A x x =≤,(,)B a =-∞,若A B ?则实数a 的取值范围是

(,)c +∞,其中c =★ .

【答案】4

【解析】由2log 2x ≤得04x <

≤,(0,4]A =;由A B ?知4a >,所以c =4。

12.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:

(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β; (2)若α外一条直线l 与α内的一条直线平行,则l 和α平行;

(3)设α和β相交于直线l ,若α内有一条直线垂直于l ,则α和β垂直; (4)直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题...的序号 ★ (写出所有真命题的序号). 【答案】(1)(2) 【解析】略

13.如图,在平面直角坐标系xoy 中,1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的

四个顶点,F 为其右焦点,直线12A B 与直线1B F 相交于点T ,线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为 ★ .

【答案】5e =-

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

【解析】用,,a b c 表示交点T ,得出M 坐标,代入椭圆方程即可转化解得离心率. 14.设

{}n a 是公比为

q

的等比数列,

||1

q >,令

1(1,2,n n b a n =+= 若数列{}

n b 有连续四项在集合

{}53,23,19,37,82--中,则6q = ★ .

【答案】9-

【解析】将各数按照绝对值从小到大排列,各数减1,观察即可得解.

二、解答题:本大题共6小题,共计90

分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文

字说明、证明或演算步骤. 15.(本小题满分14分)

设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )ααββββ===-a b c (1)若a 与2-b c 垂直,求tan()αβ+的值;

(2)求||+b c 的最大值; (3)若tan tan 16αβ

=,求证:a ∥b .

【解析】由a 与2-b c 垂直,(2)20?-=?-?=a b c a b a c ,

即4sin()8cos()0α

βαβ+-+=,tan()2αβ+=;

(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c

2||+b c

22sin 2sin cos cos ββββ=+++2216cos 32cos sin 16sin ββββ-+ 1730sin cos ββ=- 1715sin2β=-,

最大值为32,所以||+b c

的最大值为

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

由tan tan 16αβ

=得sin sin 16cos cos αβαβ=,

即4cos 4cos sin sin 0αβαβ?-=,

所以a ∥b .

16.(本小题满分14分) 如图,在直三棱柱111ABC A BC -

中,E,F 分别是11A B,AC 的中点,点

D 在11B C 上,11A D B C ⊥

求证:(1)EF ∥ABC 平面

(2)111A FD BBC C ⊥平面平面

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

A

B

C

A

B 1

C 1

E

F

D

【解析】证明:(1)因为

E ,

F 分别是11

A B,AC 的中点,所以EF //BC ,又EF ?面ABC ,BC ?面ABC ,所以EF ∥ABC 平面;

(2)因为直三棱柱

111ABC A B C -,所以1111

BB A B C ⊥面,11BB A D ⊥,又11A D B C

⊥,所以

11

1A D B C C ⊥面B

,又11

AD AFD ?面,所以

111A FD BBC C ⊥平面平面。

17.(本小题满分14分)

{}n a 是公差不为零的等差数列,n S 为其前n 项和,满足2222234577a a a a ,S +=+= (1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ;

(2)试求所有的正整数m ,使得1

2

m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.

解析:(1)设公差为d ,则2

222

2

543

a a a a -=-, 由性质得43433()()d a a d a a -+=+,

因为0d ≠,

所以4

30a a +=,

即1250a d +=,

又由77S =得176

772

a d ?+=, 解得1

5a =-,

2d =

所以

{}n a 的通项公式为27n a n =-,前n 项和26n S n n =-。

(2)

12272523m m m a a (m )(m )

a (m )

++--=-,令23m t -=,

1242m m m a a (t )(t )a t ++--=8

6t t

=+-,

因为t 是奇数,所以t 可取的值为1±,

当1t =,2m =时,8

63t t +-=,2573?-=,是数列{}n a 中的项;

1t =-,1m =时,8

615t t

+-=-,数列{}n a 中的最小项是5-,不符合。

所以满足条件的正整数2m =。 18.(本小题满分16分)

在平面直角坐标系xoy 中,已知圆2

21:(3)

(1)4C x y ++-=和圆

222:(4)(5)4C x y -+-=

(1)若直线l 过点(4,0)A ,且被圆1C

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

截得的弦长为,求

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

直线l 的方程;

(2)设P 为平面上的点,满足:存在过点P 的无穷多对互相垂的直线12l l 和,它们分别与圆1C 和圆2C 相交,且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P 的坐标. 【解析】(1)

0y =或7

(4)24

y x =-

-, (2)P 在以C 1C 2的中垂线上,且与C 1、C 2等腰直角三角形,利用几何关系计算可得

点P 坐标为313(,)22-

或51(,)22

-。 19.(本小题满分16分)

按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为a 元,如果他卖出该产品的单价为m 元,则他的满意度为

m

m a

+;如果他买进该产品的单价为n 元,则他的满意度为

n

n a

+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ,则他对这两种交易的

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元,甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲,乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙 (1) 求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式;当3

5

A B m m =时,求证:h 甲=h 乙; (2) 设3

5

A

B m m =,当A m 、B m 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?

(3) 记(2)中最大的综合满意度为0h ,试问能否适当选取A m 、B m 的值,使得0h h ≥甲和

0h h ≥乙同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。

(4) 求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式;当3

5

A B m m =时,求证:h 甲=h 乙; (5) 设3

5

A

B m m =,当A m 、B m 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?

(6) 记(2)中最大的综合满意度为0h ,试问能否适当选取A m 、B m 的值,使得0h h ≥甲和

0h h ≥乙同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。

【解析】

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

(1)h h 乙甲([3,12],[5,20])A B m m ∈∈ 当3

5

A B m m =时,

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

h =甲

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

h =乙

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

显然=h h 乙甲

(2)当3

5

A B m m =时,

h ==甲

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

由111

[5,20][,]205

B B m m ∈∈得

, 故当

1120

B m =即20,12B A m m ==时,

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

20.(本小题满分16分)

设a 为实数,函数2()2()||f x x x a x a =+--.

(1) 若(0)1f ≥,求a 的取值范围;

(2) 求

()f x 的最小值;

(3) 设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞,直接写出....

(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.

【解析】(1)若(0)1f ≥,则20

||111

a a a a a

(2)当x a ≥时,22()32,f x x ax a =-+2

2

min

(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ?≥≥???

==??<

当x a ≤时,

22

()2,f x x ax a =+-2

min

2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ?-≥-≥??==??<

综上22

min

2,0

()2,03

a a f x a a ?-≥?

=?

(,)x a ∈+∞时,()1h x ≥得223210x ax a -+-≥,

222412(1)128a a a ?=--=-

当22

a a ≤-

时,0,(,)x a ?≤∈+∞;

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

当22a -<<0,?>

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

得(0x x x a

??--≥??>?

1

)(

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

2a ∈时,(,)x a ∈+∞ 2

)[]22a ∈-

时,[

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

)3

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

a x ∈+∞ 3

)(]2a ∈-

时,(,

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析

[)33

a a x a ∈+∞

2009年江苏高考---数学试题+答案+解析