2无理数2

，－

7

，

2、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

0.351，－

?

?

6

9.4,

3

2

，3.14159，－5.2323332…，123456789101112…(由

相继的正整数组成).

3、在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.

怎样证明根号2是一个无理数

怎样证明2是一个无理数 2是一个非常著名的无理数， 第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点. 证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数. 证法2：奇偶分析法.假设2=b a .其中(a, b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2 c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底. 证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行 的.222b a =改写成a a b ?= 22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2 a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与 b ，这与(a,b )=1矛盾. 证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾. 证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a 2121=，n s n s s q q q b 2121=，其中m p p ,,1 与n q q ,,1 都是素数，m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数，因此m r m r r p p p 2222121 =2n s n s s q q q 2222121 ，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.

2.1-认识无理数---导学案

一、学习准备: 1、 _____________ 和 ____________ 统称为有理数。 2、 如下图所示：图 A 与图B 都是边长为1的正方形，若把两正方形都沿对角线剪开拼成 正方形C,那么 正方形C 的面积为 二、 学习目标： 1通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性 2借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想 3会判断一个数是有理数还是无理 数 三、 学习提示： 1、 活动一：自主探究 （1） 、上图中的正方形 C 的边长可能是整数么 （2） 、上图中的正方形 C 的边长可能是分数么 （3） 、你还能举出类似这样的情况么 2、 活动二：自学 P 34内容，估算面积为 2的正方形的边长为多少 3、 叫做无理数 练习 1、P 21随堂练习 1, P24随堂练习 2、面积为101 的止方形的边长为（ ） A ,整数 B ，无限小数 C ，有理数 D ，无理数 3、下列各数中， 哪些是有理数哪些是无理数 4 . . , ,0.57, 0?…（相邻两个1之间0的个数逐次加1） 3 四、 学习小结：你有哪些收获 五、 夯实基础： 1、下列各数中，哪些是有理数哪些是无理数 2 , ——，，，一…，12…（由连续的正整数组成）. 3 有理数： ____________________________________________________________ 丹东市二十四中学八年级数学上 认识无理数 主备：孙芬 副备：李春贺 曹玉辉 审核: 2016/8/4 1

六、能力提升： 设面积为10 n 的圆的半径为a . (1) a 是有理数吗说说你的理由. (2) 估计a 的值(精确到十分位). (3) 如果精确到百分位呢 评价反思 自我 评价 反思 学习态度 A B C D 学习效果 A B C D 合作情况 A B C D 尚需改进 无理数： _______________________ 2、 判断题： (1)、无限小数都是无理数. ⑵、无理数都 是无限小数.( 3、 面积为6的长方形，长是宽的 A.小数 ( ) ) 2倍，则宽为( ) 3 4、 已知：在数一 ，- 4 (1) 写出所有有理数； (2) 写出所有无理数； 5、 如图1是面积分别为 B.分数 C.无理数 D.不能确定 2 2 / 八2n 亠 ,0,4 , ( 1),—…中， 3 1.42 , n ” 123,4,5,6,7,8,9 的正方形 11 1 1 1 1 1 . 边长是有理数的正方形有 .个, 图1 边长是无理数的正方形有 初三(2)班体育成绩 成绩 不及格 及格 人数 25 20 15 10 5 0 良好

认识无理数第一课时教案

2.1认识无理数 （第一课时） 一、教学目标叙写 １．学生通过预习教材21页,并思考情景引入中的问题1． ２．学生通过合作探究部分，初步感知数不够用了,让学生充分感受“新数”（无理数）的存在. ３．学生通过交流知识点、易错点和思想方法，培养学生归纳能力和有条理的表达能力．４．学生通过完成“五、当堂评价”，能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解． 二、教学重难点 １．重点：让学生经历无理数的发现过程. ２．难点：会判断一个数是否为无理数． 三、教学过程 （一）、情景引入 ［师］同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢? ［生］在小学我们学过自然数、小数、分数. ［生］在初一我们还学过负数. ［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题. 1、思考：⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？ 2、已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，并提出问题：x是整数（或分数）吗？ （二）、自主探究 1.问题的提出 ［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？ ［生］好.(学生非常高兴地投入活动中). ［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下. 同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师. ［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：

二次根式知识点总结复习整理

二次根式知识点总结 1. 二次根式的概念 二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义． 2. 二次根式的性质 1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a 3. ? ??<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替． 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号． 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两

个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a a a =?来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥?=b a b a ab 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥=?b a ab b a 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥=b a b a b a 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥=b a b a b a 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．

数学中考试题分类大全无理数及二次根式

(2008年安徽省) =_________。 6．（2008年芜 湖市） ）． Ａ．6到7之间 Ｂ．7到8之间 Ｃ．8到9之间 Ｄ．9到10之间 河北 周建杰 分类 （2008年泰州市）21．计算：01)41.12(45tan 32)3 1 (-++---ο． （2008年南京市）4．2的平方根是（ ） A ． 4 B C ． D ． （ 2008年南京市）11 的结果是 ． 以下是河南省高建国分类： （2008年巴中市）计算：2008(1)2tan 20cot 20-+o o （2008年自贡市）写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 。 （2008年自贡市）计算 1 03 130tan 3)14.3(27-+?---） （π 以下是湖北孔小朋分类： （1）（2008福建福州） 计算：01 (π4)sin 302 ---o ； 以下是河北省柳超的分类 （2008 年遵义市）3 ） A ．点P B ．点Q C ．点M D ．点N （2008年遵义市）14 ．若20a -=，则2a b -= ． 以下是江西康海芯的分类: 1. （2008年郴州市）下列计算错误的是（ ） A ．－（－2） =2 B ．=．22x +32x =52x D ．235()a a = 2.（ 2008年郴州市）计算： 201 ()2sin 3032 --+?+- 3.（2008年郴州市）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距 地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30?，B 村的俯角为60?（．如图7）．求A 、

B 两个村庄间的距离． 1.414 1.732==） 辽宁省 岳伟 分类 2008年桂林市 1 2008年桂林市 2 、 在 下 列 实 数 中 ， 无 理数是（ ） A 5πg g 22 、0.1 Ｂ、 Ｃ、-4 Ｄ、 7 2008年 3、下列计算错误的是（ ） A ．－（－2） =2 B =．22x +32x =52x D ．235()a a = 2008年 4、实数a 、b 在数轴上的位置如图1所示，则a 与b 的大小关系是（ ） A ．a > b B ． a = b C ． a < b D ． 不能判断 2008年桂林市 5、计算：0 012008453 +-1（）（） 2008年 6、计算： 201 ()2sin 3032 --+?+- 11. ( 2008年杭州市) 写出一个比1-大的负有理数是 ______ ; 比1-大的负无理数是 __________ . 以下是安徽省马鞍山市成功中学的汪宗兴老师的分类 1．（2008年?南宁市）计算：4245tan 2 1 )1(10+-?+--。 9．(08年宁夏回族自治区)计算：825-= ． 17．(08年宁夏回族自治区)先化简，再求值：)1()1 11 2(2-?+--a a a ，其中33-=a 。 以下是辽宁省高希斌的分类 1．（2008年湖北省咸宁市）下列说法：①对角线互相平分且相等的四边形是菱形； ②计算2-的结果为1；③正六边形的中心角为60?； ④函数y =x 的取值范围是x ≥3． Q B C P A 450 60? 30? 图7 图1

(完整版)2.1.2认识无理数

2.1.2认识无理数 上课时间：第二周星期四第一节 学习目标： 1、让学生经历无理数发现的过程． 2、借助计算机探索无理数是无限不循环小数. 3、会判断一个数是否为有理数. 重点、难点：有理数与无理数的区别，并能正确地了解无理数与有理数进行判断。 学习方法：实验法、合作探究法 学前准备：做一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形 导学过程： 知识回顾： 有理数：______和______统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n （m ，n 都是整数，且n≠0）的形式。任何有限小数或无限循环小数都是有理数. 例：(1)判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由 (2)边长a 的整数部分是几？十分位是几？百分位是几？千分位呢？…… a 是有限小数吗？ 无理数： 实数及分类： 例：练习：在73; －π； ；0；0.3 ；3 ；0.33 ；0.3131131113…（两个3之间依次多一个1）中 属于有理数的有： 属于无理数的有： 属于实数的有：

当堂训练 1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14，－34，??75.0，0.1010010001…，0.4583，?7.3，－π，－7 1 2.判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。 （1） 无限小数都是无理数；（ ） （2） 无理数都是无限小数（ ） （3） 有理数都是实数，实数不都是有理数；（ ） （4） 实数都是无理数，无理数都是实数；（ ） （5） 实数的绝对值都是非负实数；（ ） （6） 有理数都可以表示成分数的形式。（ ） （7） 有理数与无理数的差都是有理数. （ ） （8） 两个无理数的和不一定是无理数（ ） 总结评价：今天的学习，我学会了： 【书面作业】A 组： 习题2.2第2题 B 组： 习题2.2第2题 【预习内容】识记1到20的平方。 【板书设计】 【教后反思】

(完整版)二次根式及经典习题及答案

二次根式的知识点汇总 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件， 如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意 义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等 于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没 有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即 0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.

知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或 0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平 方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，， 而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无 意义，而.

2.1认识无理数(第1课时)同步练习题

第二章实数 2.1认识无理数（一） 基础导练 1 ?边长为4的正方形的对角线长是（ ） 2. 在下列各数一0.333……，-n - , 3.1415, 2.0101001……（相邻两个1之间依 次多1个0）, 76.0123456??…（小数部分由相继的正整数组成）中， 是无理数的 有（ ） A . 3个 B . 4个 3. 下列说法正确的是（ ） A .有理数只是有限小数 C .无限小数是无理数 4. _________________________ 下列语句错误的是 （填序 （1）无限小数都是无理数； （2） n 是无理数，故无理数也可能是有限小数. (2) 3.57 , -, 3.1415926,, 0, n 6 .比较大小：22 ________ n 7 7.已知直角三角形的两条直角边分别是 4和5,这个直角三角形的斜边的长度在两 个相邻的整数之间，这两个整数是 ____________ 和 _________ . 8 .如图，数轴上表示数 3的点是 _________________ . A B C * -------- L B _I ! 1_ad --------------------- > --10 12 3 4 A .整数 B .分数 C .有理数 D .不是有理数 C. 5个 D . 6个 B .无理数是无限小数 D. 丄是分数 3 5. 下列各数属于有理数的是 属于无理数的是 ______________ . 1 丄,0.1212212221 2 0.1234

9. 边长为1的正方形，它的对角线的长可能是整数吗？可能是分数吗?

认识无理数

《认识无理数》 一、选择题 1．下列各数是无理数的是（） A． B．3.14 C．D．0 2．下列各数中无理数的个数是（） ，0.…（省略的为1），0，2π． A．1个B．2个C．3个D．4个 3．下列命题中正确的是（） A．有理数是有限小数 B．有理数是有限小数 C．有理数是无限循环小数 D．无限不循环小数是无理数 二、填空题 4．指出下列各数中哪些是有理数哪些是无理数 3，，，，﹣π，，901，…，…． 有理数有______，无理数有______． 5．如果x2=10，则x是一个______数，x的整数部分是______． 6．已知正方形ABCD的面积是16cm2，E，F，G，H分别是正方形四条边的中点，依次连接E，F，G，H得一个正方形，则这个正方形的边长为______cm．（结果保留两个有效数字） 7．有六个数：，（﹣）3，，，﹣2π，…，若其中无理数的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，则x+y+z=______． 三、解答题 8．有四张不透明的卡片2，，π，，除正面的数不同外，其余都相同，将其背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为多少

9．小华家新买了一张边长1.4m的正方形桌子，原有的边长是1m的两块正方形台布都不适用了，但扔掉太可惜，小华想了一个办法，如图，将两块台布拼成一块正方形大台布，请你帮小华计算一下，这块大台布能盖住现在的新桌子吗 10．在棱长为4cm的正方体箱子中，想放入一根细长的玻璃棒，则这根玻璃棒的最大长度可能是多少（结果保留3位有效数字） 11．下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段．（要求：所作线段不得与图中已有的线重合）

认识无理数

1 认识无理数 1．无理数 (1)无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数． 学习无理数应把握住无理数的三个特征：①无理数是小数；②无理数是无限小数；③无理数是不循环小数．判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个也不能少． (2)有理数与无理数的区别 事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无 限循环小数也都是有理数．如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为31 这样的分数形式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为3750 . 有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能． 【例1】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3．141 592 6，－43，2.5·8·，6.751 755 175 551 7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1),0，227 ，－5.23·，－π2 . 分析：有理数指有限小数或无限循环小数，整数和分数都是有理数，无理数指无限不循环小数． 解：有理数有：3.141 592 6，－43，2.5·8·，0，227 ，－5.23·； 无理数有：6.751 755 175 551 7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1)，－π2 . 2．无理数近似值的估算方法 要估算无理数的近似值，第一步应确定被估算无理数的整数取值范围；第二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求出无理数的近似值． 【例2】 面积为7的正方形的边长为x ，请你回答下列问题． (1)x 的整数部分是多少？ (2)把x 的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？ (3)x 是有理数吗？请简要说明理由． 解：令正方形的面积为S ，则S ＝x 2＝7，当2＜x ＜3时，4＜x 2＜9，当2.6＜x ＜2.7时， 6.76＜x 2＜ 7.29； 当2.64＜x ＜2.65时，6.969 6＜x 2＜7.022 5； 当2.645＜x ＜2.646时，6.996 025＜x 2＜7.001 316； … 则有： (1)x 的整数部分为2. (2)精确到十分位时，x ≈2.6，精确到百分位时，x ≈2.65. (3)x 不是有理数．因为没有一个整数的平方 等于7，也没有一个分数的平方等于7，另由计算可知，x 是无限不循环小数． 释疑点 如何四舍五入 利用四舍五入法取近似值时要比精确到的位数多考查一位． 3．无理数的常见类型 判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的

21认识无理数(教师)

课题2.1 认识无理数 课型新授授课日期 主备人温亚玲审核人杨海东授课人使用班级学生姓名学号 学习目标 ①通过探究活动，让学生感受客观世界中无理数的存在； ②能判断三角形的某边长是否为无理数； ③学生亲自探究，培养学生的自主学习能力和探索精神； ④能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解； 学习重点能判断三角形的某边长是否为无理数； 学习难点能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解 教具及实验设 计 教学活动知识与方法第一环节：课题引入 【想一想】 一个边长为1的正方形，对角线长为多少？ 第二环节：自主探究 1．【算一算】 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平 方，请问：x是整数（或分数）吗？ 2．【做一做】 （1）图1—1中，以直角三角形的斜边为边的正 方形的面积是多少？22 1

（2）设该正方形的边长为b，b满足个什么条件？ （3）b是有理数吗？ 第三环节：获取新知 【议一议】：已知22 a=，请问：①a可能是整数吗？②a可能是分数吗？【释一释】：1．满足22 a=的a为什么不是整数？ 2．满足22 a=的a为什么不是分数？ 【忆一忆】：回顾“有理数”概念，既然a不是整数也不是分数，那么a一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础 【找一找】：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长Array度不是有理数的线段 第四环节：应用与巩固 1．如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？ A 2 h D B C

2. 下图中阴影部分是正方形，求出此正方形的面积。此正方形的边长是有理数吗？为什么？ 8 15 第五环节：课堂小结 1．通过本课学习，感受有理数又不够用了，请问你有什么收获与体会？ 2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？ 3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？ 第六环节：课后反思

2,无理数、二次根式

一、选择题 1．已知n -12是正整数，则实数n 的最大值为（ ） A ．12 B ．11 C ．8 D ．3 2．下列根式中，不是．． 最简二次根式的是（ ） A B ． C D 3．3最接近的整数是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．5 4．4的算术平方根是（ ） A ．2± B ．2 C ． D 5．下列根式中不是最简二次根式的是（ ）． A ．2 B ．6 C ．8 D ． 10 6．下列运算正确的是（ ） A 、39±= B 、 33-=- C 、39-=- D 、932=- 7 ） A ． B ．- C D ．8 2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 9．|－9|的平方根是（ ） A ．81 B ．±3 C ．3 D ．－3 10 ．函数y =x 的取值范围是（ ） A ．2x >- B ．2x -≥ C ．2x ≠- D ．2x -≤ 11．实数a,b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 0a b +> B. 0a b -> C. 0>ab D ．0a > 12 的绝对值是（ ） A ．3 B ．3- C ．13 D ．13 - 13．下列计算正确的是：（ ） A ．= B 1= C =D ．=

14 ） A ．3- B ．3或3- C ．9 D ．3 15．函数y =x 的取值范围是（ ） A ．12x -≥ B ．12x ≥ C ．12x -≤ D ．12 x ≤ 162的值( ) A ．在1到2之间 B ．在2到3之间 C ．在3到4之间 D ．在4到5之间 17．28-的结果是（ ） A ．6 B ．22 C ．2 D ．2 18．实数2-，0.3，17π-中，无理数的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 19．下列运算正确的是（ ） A ．623a a a =? B ．1)14.3(0=-π C ．2)2 1(1-=- D ．39±= 20．下列根式中，不是．． 最简二次根式的是（ ） A B ． C D 21( ) Ａ．2 Ｂ． C ．- D ．± 22．下列运算正确的是（ ）． A ．523=+ B ．623=? C ．13)13(2-=- D ．353522-=- 23．下列四个数中，其中最小．． 的数是（ ） A ．0 B ．4- C ．π- D 24．在实数范围内，x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≤0 C ．x ＞0 D ．x ＜0 25．．． ，则x 的取值范围是 A ． 2x ≥ B ．2x > C ．2x < D ．2x ≤ 26．已知a A. a B. a - C. － 1 D. 0 27．下列运算中，正确的是 A 39±= B ()a a 236= C a a a 623=? D 362-=- 28．下面计算正确的是（ ） A ． 3333=+ B ． 3327=÷ C ． 532=? D ．24±= 29．估计20的算术平方根的大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 30 ）

初中数学_根号2是有理数吗第一课时教学设计学情分析教材分析课后反思

八年级下册第七章实数第三节2是有理数吗（第一课时） 教学设计 《7.32是有理数吗（第一课时）》来源于九年八年级下册第7章第3节。这是一节概念课，所以我把这节课的重心放在探究活动上，也就是探究2是无理数和无理数与有理数概念的辨析。教学设计如下： 一、复习导入环节 1. 复习有理数的分类，主要是让学生回顾有理数按整数，分数分类。 2. 练习题，将下列各数填在适当的括号内。这样设计的目的是加深对有理数概念，分类的理解，另外设计了0.262662666…（每两个2之间依次多一个6）这个数。有的学生可能错把这个数当成分数或有理数，课堂上，我抓住这个错误，让一名优秀的学生做了解释，它是无限不循环小数。这个数自然而然成为了学习无理数的切点，导入新课。 二、合作探究环节 我把这部分的要求展示在课件上，学生能做到心中有数。分为三部分：自主学习、合作探究、小组展示。 导学案我是这样设计的： 探究一：无理数的定义 探究二：构造2 探究三：说明2是无限不循环小数 探究二中，通过求腰长是1的等腰直角三角形中斜边ＡＣ的长度，构造新数2。紧接着，探究2到底是一个什么样的数。通过证明它不是整数不是分数，得出它不是有理数。又借助计算机，求出2小数点后的十分位和百分位，让学生感受到2是无限小数，并且小数位数没有规律，得出2是无限不循环小数，也就是无理数。 我又通过课件展示了2更多的小数位数，加深了学生对2是无限不循环小数的认可。进而，找到了3，π……等更多的无理数。这里设计了填空和选择题，巩固概念。这时，

再让学生总结无理数的一般形式就水到渠成了。后面设计了６个判断题，目的是区分无理数和有理数的概念。 通过对教材资源的整合，我设计了这样三个环节。我感觉这样更符合学生认识规律，学生更易于理解接受 三 、小结 归纳这节课的知识点，说出心中疑惑。学生提出问题 32+π是不是无理数。 四、达标侧评环节 这一环节设计了选择题和判断题，目的巩固学生对无理数概念的掌握和无理数与有理数定义的区分。 最后，评选得分最高的小组，并鼓掌鼓励。 由于运用了新课程教学方法和理念，知识从不同的方向得到了渗透。基本完成了课前制定的教学目标和教学要求，为进一步的深入理解打下了基础。 八年级下册第七章实数第三节2是有理数吗（第一课时） 学情分析 一、学生年龄段分析 ： 1.记忆力强 初中阶段是学生思维发育的黄金时期，记忆力强。这为我们的教学带来很大的好处，

北师版八年级数学上册第二章实数教案实数21认识无理数29

第二章实数 §2.1 认识无理数(一) 教学目标 (一)知识目标: 1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. 2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由. (二)能力训练目标: 1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神. 2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力. (三)情感与价值观目标: 1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情. 2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神. 3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神. 教学重点 1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 2.会判断一个数是否为有理数. 教学难点 1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程. 2.判断一个数是否为有理数. 教学方法 教师引导，主要由学生分组讨论得出结果. 教学过程 一、创设问题情境,引入新课 ［师］同学们,我们学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢? ［生］在小学我们学过自然数、小数、分数. ［生］在初一我们还学过负数. ［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题. 二、讲授新课 1.问题的提出 ［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？ ［生］好.(学生非常高兴地投入活动中). ［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请各组把拼的图展示一下. 同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师. ［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：

2021年中考数学模拟试题分类汇编无理数及二次根式

2021年中考数学模拟试题分类汇编无理数及二次根式 一、选择题 1．（2010年杭州月考）在实数中02)33(,)3(,...,45678.2,7 1 ,2, 3,0---ππ，无理数的个数为（ ） Ａ． 3 个 Ｂ．4个 C.5个 D. 6个 答案：B 2．（2010年河南模拟）下列等式一定成立的是（ ） Ａ．916916+=+ Ｂ．22a b a b -=- Ｃ．44ππ?=? Ｄ．2()a b a b +=+ 答案：C 3．（2010年河南模拟）若式子 1 32 x --有意义，则x 的取值范畴是 （ ） A.3x ≠ Ｂ．x ＞3 C. x 3 ≥且7x ≠ D.2x ≠ 答案：C 4.（2010年武汉市中考拟）函数y= 1 2 -+x x 中，自变量x 的取值范畴是（ ） A.x ＞－2且x≠1 B.x≥2且x≠1 C.x ≥－2且x≠1 D.x≠1 答案：A 5．（2010年武汉市中考拟）25的算术平方根是（ ） A ．5 B ． 5 C ．–5 D ．±5 答案：A 6．（2010年济宁师专附中一模）下列函数中，自变量x 的取值范畴是2x >的函数是（ ） A ．2y x =- B ．1 2y x = - C ．21y x =- D ．1 21 y x = - 答案：B 7．（2010年济宁师专附中一模）如图，数轴上A B ，两点表示的数分别为1-和3， 点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为（ ） A ．23-- B ．13-- C ．23-+ D ．13+ 答案：A 8．（2010年江西南昌一模）化简)22(28+- 得（ ）. A.-2 B.22- C.2 D ．224- C A O B （第7题图）

新北师大版八年级上册2.1认识无理数同步练习题

第二章 实数 2.1 认识无理数 ※课时达标 1.在下列数:2, 1.44,∏, 3.14, -9, 2+3, 3 1 , 1.2121……中,无理数有 _____________.有理数有_____________. 2.判断正误: （1）有理数包括整数、分数和零.( ) （2）无理数都是开方开不尽的数.( ) （3）不带根号的数都是有理数.( ) （4）带根号的数都是无理数.( ) （5）无理数都是无限小数.( ) （6）无限小数都是无理数.( ) 3.已知一直角三角形的两直角边长分别为1, 2,斜边长为x. (1)根据一直角三角形,写出关于x 的方程, 并说明x 是有理数吗?为什么? (2)估计x 的值(结果精确到十分位), 并用 计算器验证你的估计. (3)如果结果精确到百分位呢? [来源:学|科|网Z|X|X|K] 4.面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形 边长是有理数的正方形有________个，边长 是无理数的正方形有________个. https://www.wendangku.net/doc/819974117.html, ※课后作业 ★基础巩固 1.下列各数中：－1,2 3 ,3.14,－π,3,0,2,2 7, 2 5 ,－0.2020020002……(相邻两个2之间0 的个数逐次加1). 其中，是有理数的是_____________，是无 理数的是_______________. 在上面的有理数中，分数有____________， 整数有______________. 2.x 2=8，则x______分数，______整数，______ 有理数．（填“是”或“不是”） 3.面积为3的正方形的边长______有理数；面 积为4的正方形的边长______有理数． （填“是”或“不是”） 4.一个高为2米，宽为1米的大门，对角线大 约是______米（精确到0.01）. 5.下列数中是无理数的是（ ）. A.0.12? ?32 B. 2π C ．0 D ．7 22 6.下列说法中正确的是（ ）. A.不循环小数是无理数 B.分数不是有理数 C.有理数都是有限小数 D.3.1415926是有理数 7.下列语句正确的是（ ）. A.3.78788788878888是无理数 B.无理数分正无理数、零、负无理数 C.无限小数不能化成分数 D.无限不循环小数是无理数 ☆能力提高 8.在直角△ABC 中，∠C=90°，AC=2 3 ，BC=2， 则AB 为（ ）. A.整数 B.分数 C.无理数 D.不能确定 9.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽

认识无理数(第1课时)教学设计

序号：6 第二章实数 1. 认识无理数（第1课时） 一、教学目标 本节课的教学目标是： ①通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在； ②能判断三角形的某边长是否为无理数； ③学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和探索精神； ④能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解； 二、教学重难点 重点：能判断三角形的某边长是否为无理数。 难点：能正确地进行判断某些数是否为有理数。 三、教学过程设计 第一环节：质疑 内容：【想一想】 ⑴一个整数的平方一定是整数吗？ ⑵一个分数的平方一定是分数吗？ 目的：作必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理． 效果：为后续环节的进行起了很好的铺垫的作用 第二环节：课题引入 内容：1．【算一算】 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，并提出问题：x是整数（或分数）吗？ 2．【剪剪拼拼】 把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？ 目的：选取客观存在的“无理数“实例，让学生深刻感受“数不够用了”． 效果：巧设问题背景，顺利引入本节课题． 第三环节：获取新知 内容：【议一议】→【释一释】→【忆一忆】→【找一找】

【议一议】： 已知2 2a =，请问：①a 可能是整数吗？②a 可能是分数吗？ 【释一释】：释1．满足22a =的a 为什么不是整数？ 释2．满足22a =的a 为什么不是分数？ 【忆一忆】：让学生回顾“有理数”概念，既然a 不是整数也不是分数，那么a 一定 不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习 奠定了基础 【找一找】：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有 理数的线段 第四环节：应用与巩固 【画一画1】：在右1的正方形网格中，画出两条线段： 1．长度是有理数的线段 2．长度不是有理数的线段 【画一画2】：在右2的正方形网格中画出四个三角形 （右1） 2．三边长都是有理数 2．只有两边长是有理数 3．只有一边长是有理数 4．三边长都不是有理数 【仿一仿】：例：在数轴上表示满足()220x x =>的x 解： （右2） 仿：在数轴上表示满足()2 50x x =>的x 【赛一赛】：右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把 它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！ （右3） 第五环节：课堂小结 内容： 1．通过本课学习，感受有理数又不够用了， 请问你有什么收获与体会？ 2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？

实数和二次根式的基本概念解析

一．实数的基本概念 1．无理数的概念： （1）定义：无限不循环小数叫做无理数. （2）解读： 1）无理数的两个重要特征：①无限小数；②不循环. 2）无理数的常见类型： ①具有特定意义的数。如π等； ②具有特定结构的无限小数，如0.1212212221……（每相邻两个1之间依次多一个2）等； ③开方开不尽的数，如2，34等. 那么，是否所有带根号的数都是无理数呢？？？ 3）有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也必定是无理数. 2．实数的概念及分类： （1）定义：有理数和无理数统称为实数. （2）分类： ①按定义分： ?? ? ? ?? ? ? 整数 有理数 实数分数---有限小数或无限循环小数无理数-------无限不循环小数 知识点睛 实数、二次根式的基本概念

②按性质分：0??????????????? 正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 {} ?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数 （3）实数的性质： ①相反数：a 与b 互为相反数0a b ?+=. ②绝对值：,00,0,0a a a a a a >??==??-?=?-≤? （4）实数和数轴上的点是一一对应的. π是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是π，因为直径为1的圆的周长为π。 （5）实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的。 （6）实数中非负数的四种形式及其性质： 形式：①0a ≥；②2 0a ≥ 0≥（0a ≥） 0a ≥. 性质：①非负数有最小值0；②有限个非负数之和仍然是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. （7）实数中无理数的常见类型： ①所有开不尽的方根都是无理数，且不可认为带根号的数都是无理数； ②圆周率π及含有π的数是无理数，例如：21π+等； ③看似循环，但实质不循环的无限小数是无理数，例如：1.023*******…….

带根号的数未必是无理数

带根号的数未必是无理数 鹿泉市获鹿镇第三中学 崔怀平 在新教材七年级数学下册第十章第三节讲到：“很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数。”接着引出定义：“无限不循环小数又叫无理数。”例如： 2，3，是无理数，π=3.14159265......,也是无理数。时间一长， 有的学生把无理数和带根号的数混淆起来，误认为带根号的数就是无理数。其实带根号的数不一定是无理数，无理数也不一定都是带根号的数得来的。 无理数的定义是：“无限不循环小数叫无理数”。最本质特征是无限不循环。 我们知道，开方开不尽的数，开方后可以得到无限不循环小数，既无理 数。但是无限不循环小数不一定非得由开方得来，例如圆周率=3.14159265．．．．．．，它不是开放得来的，它是圆的周长除以直径得到的，它是一个比值。还有自然对数的底数e=2.718……也是无理数；它是通过求极限的方法得到的。还有我们也可以有意识地构造一些无理数，如：0.101001000…..，（构成的规律是1后面0的个数逐次增加一个），显然这个数是无限不循环的小数，也是一个无理数。就是说无理数并不都是开方开不尽而得来，还有其他方式可以形成无理数。 另一方面，虽然很多带根号的数都是无理数，例如：2、45、33等，但不是带根号的数就一定是无理数。例如：35 2++35 2-，从感觉上看，这个数很像无理数，但是他确实是一个有理数。现在证明一下：设x= 35 2++35 2- 两边3次方得：3x= 3 3 35 2 5 2? ? ? ? ?- + + = 3 35 2? ? ? ? ?++3? ? ? ? ? ?+ ? 2 35 235 2-+3? + ?35 2 2 35 2? ? ? ? ?-+