习题课B
1122l
l P
A
B
C
()
a B
A
C
/N kN
/x mm
1212.42
12.98
()
c A A P
P
112
2B
1
x 2x 1A γ1A γ2A γ1
N 2
N ()
b o
x
材料力学习题课
计算题
第一章: 绪论
四、计算
1.矿井起重机钢绳如图（a ）所示，AB 段截面积
21300A mm =，
BC 段截面积22400A mm =，
钢绳的单位体积重
328/kN m γ=，长度50l m = ，起吊重物的重量12P kN =， 求：1）钢绳内的最大应力；2）作轴力图。
解：1）在可能危险的1段B 面，2段C 面截开（图b ），有
4112283105012.42B N P Al kN
γ-=+=+???=
3
4112.4210
41.4310B B N MPa A σ-?=
==?
4
12
12.42284105012.98C N P Al A l kN γγ-=++=+???=
3
4
212.9810
41036.8C C N A MPa
σ-?=
=?=
所以
max 41.4B MPa σσ==
2）作轴力图
取1-1截面（AB 段，见图（b ））
()()()11110N x P A x x l a γ=+ ≤≤
取2-2截面（BC 段）
()()()()212222N x P Al A l x l l x l b γγ=++- ≤≤
由式（a ）
()()112A B N N O P kN
N N l P A l kN
γ-4=====+ =12+28?3?10?50 =12.42
()12.42B N N l kN
==
由式（b ）
()()
1224C N N
l P A l A l l kN
γγ-4==+ +2-=1.42+28??10?50=12.98
在图(c)所示 N x - 坐标下,由式(a)、(b)知()N x 随
x 呈直线变化。由三个控制面上控制值
A B C
N N N ，， 画出由两段斜直线构成的轴力图。见下图
2.某车间一自制桅杆式起重机如图(a)所示。已知起重杆（杆1）为钢管，外径D=400mm ，内径 d=20mm ，许
用应力 []180MPa σ= 。
钢丝绳2的横截面积
2
2500A mm =，许用应力[]260MPa σ= 。
若最大起重量
P=55kN ，试校核此起重机的强度是否安全。
15
45
B
P
1
N 2
N x
y
x '
y '
()
b 15
45
1
2
A B
C
P
4530
P
A
B
C
1
2
()
a 4530
C
P
1
N 2
N x
y
()
b
解：1）确定杆件受力
根据图（b ）所示B 铰受力图，在x-y 坐标下，由平衡条件
121
2sin15sin 450cos15
cos 450
X N N Y N N =-==-=∑∑
解得
12
1.414cos15sin151sin150.518cos15sin 451sin15P
N P
P
N P
=
=??
- ?
??==??
- ?
??
2）校核各杆强度
112σσ2 设、分别为杆、杆应力，则
()3
11224
1326
2 1.414551082.580/442100.518551057.06050010N MPa A N MPa
A σπσ-2
-??===>-???===
[][]()[]11σσησσσ111 -其中超过，但它们相对差值=/=3%<5%，工程上仍认为安全。
3.图（a ）所示结构中，杆1材料为碳钢,横截面面积为2
1200A mm =,许用应力[]1160MPa σ=;杆2材料为
铜合金，横截面积
2
2300A mm =，许用应力[]2100MPa σ=。试求此结构许可载荷[]P
解: 1)结构中各杆应满足平衡条件 对节点C 取图(b)所示研究对象，有
()()1
2
1
2
sin 45sin 300cos 45cos 300X N N Y N N P a b =-+= =+-= ∑∑
由式（a ）、(b)解得各杆轴力与外载的关系
()()
()()
1220.5181320.73213P N P P
N a b P == +== +拉杆拉杆
2）结构中各杆应满足各自强度条件
[][]()[][]()11112
222N N A N N A e f σσ≤= ≤=
由式（e ）、式(f)，有
[][]11
43
10.5182101601061.780.518P A P kN σ-≤???≤
=
由式(f) 、式（d ），有
α
P
P
I
I
ααP
A
B C
l
l ()
a α
αP
x
y
N
N
C
()
c n
B σε
=ε
σo ()
b [][]22
432
0.7323101001040.980.732P A P kN
σ
-≤???≤=
[][]2
40.9841P P kN
=
=≈取
4、 图示杆件由两种材料在I-I 斜面上用粘结剂粘结而成。已知杆件横截面面积A=2000mm2, 根据粘结剂
强度指标要求粘结面上拉应力不超过s0=10MPa, 剪应力不超过t0=6MPa, 若要求粘结面上正应力与剪应力同时达到各自容许值，试给定粘结面的倾角a 并确定其容许轴向拉伸载荷P 。
解: 根据轴向拉伸杆件斜截面上正应力和剪力公式,各自的容许条件为
()()
2200cos cos sin cos sin cos x x P
A
P
A a b αα
σσααστσαααατ=== ===
式(b)除以式(a),得
tan 0.631αα= ≈，=30.96
将此结果代入式(a),得
2227.2cos cos 31A P kN
ασα6-6
10?10?2000?10= ==
可利用式(b)校核结果是否正确
36
27.210sin 31cos 31 6.0200010MPa α
τ-?==?
5. 图(a)所示简单桁架由AC 杆、BC 杆组成，杆的横截面积为A ，长度为 l. 试求节点C 的铅垂位移，已知：
1）材料的弹性模量为E ，在载荷P 作用下处于线弹性范围；2）材料在P 作用下的应力-应变关系为s n=Be (图(b)), 其中n, B 为已知材料常数。
解: 1)对线弹性材料
(1)求杆的轴力 ()2cos 0N P αα=-= ∑节点C 的受力如图（c ）。由平衡条件
P
Y ，得 N=a 2cos
（2）求杆的变形
()
2cos Nl Pl
l EA EA α?== AC 、BC 杆的伸长变形相同，即
b
（3）求节点位移
c CC ''?=在变形-位移图（图（
d ））中，
知节点C 受力P 后位移至C ，铅垂位移。
2
cos 2cos l Pl
c c EA αα'''?? ?== () 由小变形条件，对CC C 可写出
α
α
A
B
C
()
d C '
C '
l
?l
?A
m I I
I
T n
左
（b ）
II
II
II T n
1010
右（c ）
2）对非线性弹性材料 (1) 求杆的轴力
同1），结果仍为式（a ）
2）由应力求杆的变形 两杆的正应力均为
2cos N P
A A σα=
=
/1
2cos n n
n
B l l P l l l B A B σεεσεα-=??? ?=== ?
??
已知应力应变关系，而应变=，则
3）求节点位移
1
cos 2cos n
n l P l c A B αα+13 ???
?== ???
同）中（），相应有
第三章: 扭转与剪切
1.II -II 2杆件受扭转力偶如图（a ）所示。1）求指定横截面I-I 、上的扭距；）作扭距图。
解:1)求I-I 截面上的扭距
I A I
作I-I 截面，取左段为研究对象（图（b ））。为求T 应先从整体平衡求出约束扭距m ，然后由左段平衡求T
15101015x A AB m m kN m =0 =+-=? (∑由杆
，转向如图（b ）)
015x I A I A m T m T m kN m =- = =? ∑由I-I 截面左段
， = （-）
I I T T 其中转向可自行假定，一般难按实际转向设定，如此处。由平衡条件确定其大小与实际转向后，再根据扭距符号规定给以正、负号说明。如此处为负。
101000x II II m T T =- +=
∑由I-I 截面左段
作II-II 截面，取右段为研究对象（图（c ））。由，=
/T kN m
?x
O
()
+()
-10
15
（d ）
15I II III T kN m T T kN m =-? ? 2）作扭距图
如1），用截面法不难求得
， =0 ， =+10作此杆扭距图（图（d ））。
2x m kN m =? 2. 汽车主传动轴将发动机输出的驱动力偶传递给后轮以推动汽车前进。设主传动轴能传递的最大扭转力偶为，主传动轴则由外径D=89mm 、壁厚t=2.5mm 的钢管制成，且已知材料的剪切弹性模量G=80GPa 。求管的剪应力、剪应变和相应比能。
解: 由钢管外径与壁厚可知
0 2.5 2.5
2.9%5%89 2.586.5t t D D t ===<--
32833333
22210(86.5)10 2.51068.10.8511011
68.10.85110291029/22x x m m t t MPa
G u MPa kJ m τπππτ
γτγ--6-3
--??==
??? =68.1?10 N/=68.1
=
=
=?80?10 ==???=?=002可以应用薄壁圆筒扭转剪应力公式。由截面法知扭距T=，于是
2T =D D m t
D T t
D A A T 2
020
002 ,42 :P60πτδπδτ===
=
x m ?3. 图（a ）所示钻探机钻轴的下端一段长度上承受均布摩擦
力 （单位为N m/m ）。图中的长度单位为mm 。已知钻轴材料的最大剪应力不能超过70MPa 。试求：1）扭距T 的最大许可值；2）总扭转角（G=80GPa ）。
A
x
B C
x
m x
m ()
b T
()
-x
m 20
φx
m A
B
C
x
100
200
()
a []336666max
0max 210 1.57101616
7010 1.5710110(1)
2110BC t t x x x BC
l x AB x
x AB BC P BC P P AB
x W d T W AB BC AB T m BC T x m x m
x l m l m xdx m l l GI l GI GI l m T π
π
τφφφφ---==
??=?==???=?= ?=? ???=+=+=+?==??max 3
AC
AC AB BC 1）求T m N m
2)求分段与段，段，段（解）=，则有取N ：m ,
p
p p , ,GI Tl
GI Tdx d GI T dx d ===???
16
,32
3
p 4
p d W d I ππ=
=
48898
210 1.571032
1100.2100(1)0.0219 1.258010 1.57102200P I rad π
φ---=
??=??=+==????4
AC m [][] 4.40810.5/n G τ? 255===图（a)所示传动轴的转速为200r/min ，从主动轮上输入功率kW ，由从动轮1、3、4及5输出的功率分别为10kW 、13kW 、22kW 及10kW 。已知材料的许用应力MPa,剪切弹性模量GPa ，要求m 。试选定轴的直径。
[][]
max max
max
3
2
max
3
3
6
45
9550
2149200
(/16)16162149 6.5104010
d
N T T d
T d ττππτπ-==?=≤?≥
==???1）由强度平衡条件求直径作轴上各段功率分配图（图（b ）)，它可代表轴的扭距图。N m m 解：=65mm
1.5m
2.5m
3
()
a 1.5m
1.75m
2
1
45
n
1055132210kW
()
b ()
+()
-10
45
32
10kW
1D 2d 1
d (a)
11
223
3（a ）
a
a
2
a A
B
C 2
2m qa =q
B
m B
Y qa
[]max max 42
492
18032
3221491807.51081100.5
d
T G d d d π
??ππ-=≤?
???≥=????=2)由刚度条件求直径m=75mm 综上述所以取75mm
[][]
[]()
max 313
13
24
7.59549954971610016164516461t P T n T T
W d T
d mm T
D mm πππ??==??=? ???
τ==≤τ ≥=τ ≥
=τ-α轴所传递的扭距为
N m N m 由实心轴的强度条件 解：有
：
)
1(16
),1(32
43
p 4
4
p απαπ-=
-=
D W D I
第四章:弯曲内力与强度问题
1.梁受力如图（a ）所示，求1-1，2-2，3-3面上的剪力与弯距。其中1-1面与2-2面分别在紧靠外力偶m 作用面C 的左则与右则。
1
11110()0O M M O Y qa qa
m F M qa a -=--= =- =+?= ∑∑1111现用设正法1）求1-1截面上Q 、用截面截取梁左段为研究对象。如图（b ）所示，设截面上作用有正向Q 、，为截面形心。由静力平衡条件 解： Q Q 2
1M qa
=-1 Q 为负值，说明它实际方向向上。同时，按剪力+、-号规定也应为负值，说明它实际转向为顺时针，按弯距+、-号规定也应为负值。
5. 如图(a)所示，实心轴和空心轴通过牙式离合器连接在一起。已知轴的转速n ＝100r/min ，传递的功率P ＝ 7.5kW ，材料的许用切应力 。试选择实心轴的直径d1和内外径比值为0.5的实心轴的外径D2。
[]40τ=MPa
()
c a
2
2
2
2qa qa
A
O 2
Q 2
M ()
d a 33
22qa qa
A
3
Q 3M q
C /2
a ()
e 33
B
3
Q 3
M q /2a B
m B
Y
（a ）
2a
x
A
B
C
m Pa
=3B m Pa
=B Y P
=P
2a
x
x
2
222
220()201O M Y qa qa
m F M qa a qa M qa M =--= =- =+?-= = ∑∑22222)求2-2截面上Q 、取截面，设正后研究对象受力如图（c ） Q Q 对Q 的说明同）；为正值，说明它实际转向与所设 相同，即逆时针，按弯距+、-号规定也应为正值。
32323302
3()20
224
3
8
2O M a
Y qa q qa a a a
m F M qa q qa M qa M =--?= 3 =-
2
=+?+??-= =∑∑33333）求3-3截面上Q 、方法同上，由图（d ）有 -Q Q
对Q 、的说明同）。
3
2323231
22
202
1
()202422
38
B B O M Y qa m qa M a
Y q qa qa a a a m F M q qa qa M qa = ==-?+= 3 =-
2
=--??+?-= =
∑∑33334）取右段平衡求Q 、为此应先由整梁平衡（见图（a ））求出固定端约束力，。取右段，设正后（注意此时Q 、
的正值方向）如图（e ） Q Q 结果与取左段相同，符合同一截面上两侧的内力为 作用反作用关系。因此4）也可作为步骤3）所得结果正确性的校核。
2. 列方程作图（a ）所示梁的剪力图与弯距图
x
P
Q
（b ）
x
M
Pa
2Pa
3Pa
（c ）
A
B
x
x
/3
l l
016
A Y q l
=013
B Y q l
=01
6
R q l =
q ()
q x ()
a ()()()()()322B B x M Y P m Pa x M x AC x P x a M x Px x a CB x P == =- ≤ =- ≤ =- 如图（a ）建轴，列方程作Q 、图的步骤如下：1）求支承约束力
用整梁平衡条件求得、（图（a ））。2）列Q 、方程
段Q （解：0<）（0<）段Q ()2424a x a M x Px Pa a x a ≤ =- +
（<）（<<）
()()()()()()02223A C C M x P M x Px M M O M M a Pa P CB M x Px Pa M M a Pa M Pa P M 3=- =- ====--=- + ==-=-左右B 左）给定分段面（控制面）上Q 、值并连线作图
根据AC 、CB 段Q ，知Q 图为一水平线（图（b ））。AC 段，，弯距图为一斜直线（斜率为）。段，，，弯距图为一斜直线（斜率也为-），得图如图（c ）。
max max
M M
3.简支梁受线性分布载荷作用如图（a)所示，试作Q 、图，并写出Q 、。
()()0000002
3
21
03311
036111
0362A B A B B B A B R q l
x l Y Y m F R l Y l Y q l
m F R l Y l Y q l
Y q l q l q l = =?-?= = =?-?= = =+-=
∑∑∑1）求支承约束力
1此时可视为分布载荷的合力=（三角形分布载荷为距2形分布之半）作用与处，设A 、B 处有约束力、。
， ， 核： 解校
()()()()()()()()()()02
0003
000111162621111162366x M x x x M x q
x x q x x l
q x q l q x x q l x x l l q M x q l x q x x x q lx x l 2= =-?=- 0<<
=?-?=- ）列Q 、方程
本题载荷为的一次函数，Q 、分别为二次、三次曲线方程，利用方程辅以微分关系作图较为方便。应注意此时不能再用R 代替分布载荷来写内力方程了（为什么？）
取面左段为研究对象，面上载荷集度为。
Q ()x l 0≤≤
01
6
q l 013
q l ()
+()
-C
()
Q /3
l ()
b C
()
+2
0193
q l ()
M ()
c 2P
a
a
m Pa
=A
C
B
（a ）
()()()()00011
36
0/3(),0M q l q l x x x l x q x x A B q 3)=
=- ===↓-A 右B 左C 作Q 、图
Q 图（图（b ）） Q ，Q ，Q 为二次曲线。它区别于直线，应取底三个控制面。可由Q 得（Q =0），由dQ/d 知Q 的斜率由面的开始一直取负值至面的，Q 图为“上凸”的二次曲线。
()()()3
2000200max max 00/3111
663393
11
693A B M M M M x x x M x M M x l q l l M q l q l l q l x l M q l = = ==??= ?- ?= ???4 ==极 图（图（c ）），，为三曲线，由dQ/d Q 可知，的斜率开始为正值，越来越小，经0（C 面）变成负的，绝对值越来越大，它使曲线形成“上凸”（在规定坐标下）的三次曲线。在C 面（）弯距取极值
）Q =，（）； （/3x l =）。
max max
4.M M
用叠加法求图（a ）所示梁的Q 、图，并写出Q 、。
在熟练掌握作Q 、M 图方法的基础上，有时可将多个载荷共同作用下的梁，按载荷分成几个简单基本的梁，分别作Q 、M 图后加以叠加而得出总Q 、M 图。现将图示梁（a ）分成梁（b ）与梁（c ）。
梁（b ）的外力是对称的，画出的Q 图是反对称的，M 图是解：对称的。
A B m m Y Y = =
梁（c ）在A 端作用有力偶。切忌将AB 整梁的剪力看成零，弯距为M=。这是忽略了约束力（步骤上忘了求约P P
束力）的错误结果，求约束力（向下）。22
（向上）后的结果如图示。
2P
A
C
B
（b ）
A Y P
=B Y P
=m Pa
=A
B
（c ）
2
B P Y =
2
A P Y =
2P
a
a
m Pa
=A
C
B
（a ）
P
P
()
-()
+()
+Pa
2
P ()
-Pa
1
2
Pa
()
+Pa
32
Pa ()
+()
-32
P 12
P ()
d 4.0
2.5
M
?单位：kN m
max max P M Pa = 叠加 将分段面上的Q 、M 相应值相加，然后按相应图上线型（现均为直线），连线即可得总Q 、M 图（d ），
33
并有Q =、。
22
[][]5.3060σσ = =t c 图a 所示为一T 字形铸铁梁，已知受弯时抗拉许用应力
MPa ，抗压MPa 。试校核此梁是否安全。
图示截面尺寸长度单位为mm 。
32324
2.54.082
228 4.212122 2.87631212763
1475.2C C C C z z z M M M y y I cm I W c y =?=-?80?20?10+120?20?80
= =52
80?20+120?20 =?+??+?+??= ===上上max 1）作弯距图
图如图(b)、可能危险面为C 、B 。kN m ，kN m 。2）计算抗弯截面系数
设参考坐标轴z 。形心坐标，则
m 解m ：3
376386.78.8
z z m I W cm y =
==下下
max
()()366
366
3 2.51028.81028.886.7104.01027.21027.214710C B t t C M M y y C σσσ--<
max max 2max 2
max m ）危险点应力计算
由于面受正弯距，上缘出现压应力，下缘出现拉应力，B 面受负弯距，上缘出现拉应力，下缘出现压应力，考虑
到，，所以面上缘非危险点，其他
三个危险点因应力为
C 面 N/m MPa B 面 N/m MPa ()()[]()[]366
4.01046.11046.186.710
28.83046.1c t t c σσσσ-?==?=?=<==<=2
ax max max c N/m MPa C 面有MPa MPa B 面有MPa 60MPa 强度安全。
A
B
C
D
1m
1m
1m
（a ）
9kN
4kN
y
c
y z
z C
80
20
20
120
s
σs
σh
b
弹性区
s
σs
σe
M (a)
h 0
h 弹性区
塑性区
s
σs
σe p
M ，(b)
s
σ1/2h b
塑性区
s
σs
σp
M /2
h 2
s
σ(c)
36./e e p P P e M b h M M M M M σs ，由A 钢（可视为理想弹塑性材料）制成的矩形截面纯弯梁受弯距，已知屈服极限，截面尺寸、，试求弹性失效弯距、弹塑性弯距，极限弯距、和比值。
()()22
222
2200166
6
36412e e s e s e p e p e p s s s s s M M bh W bh M W M bh
M M M b y bh b b h h h b h σσσσσσσσ== = =?=+=??--?0max ，h/2，h /2弹性失效弯距相应的应力分布图如图（a ） ，， 弹塑性弯距相应的应力分布图如图（b ）
+2dy
（=+ = a ）
解 （：）
2
122
2222444
6
1.5
4p p p s s p s e s
bh h bh W s s bh M W M bh f M b c h σσσσ=+=??=
==?
=??=极限弯距相应的应力分布图如图（c ）
由式（c ）、（a ）有
=（）
第五章:弯曲变形与静不定问题
四、计算
1. P l EI ωθ B B 试求图示悬臂梁挠度、转角方程，并确定自由端B 的挠度、转角。已知、、为常量。
()()()()()()2231
211
26
M x A M x Pl Px x l dw EI Plx Px C dx EIw Px Px Cx D M x -<≤=-+
=-++
21）写并作积分
求出固定端处的约束力，并在图上注明。于是有 = 0 a b ）定积分常数由于整梁用一个表示，所以此处可用梁两端的约束
条件来定积分常数。
根据固定端对位解：移的约束性质()()A θω，端应有 0=0 ， 0=0
P
A
B
C
2
l l
A Y P
=x
w A m Pl
=B '
B
w B
θ
A
C
B
q
l
ωC
θA
θB
l
x
w
14
A Y ql
=34
B Y ql
=()()()()()()()20003001
212B B
B C D C C D x x C D EI x Plx Px EI x P θωθωθωθω== === = -
=而端是自由端，不提供确定的约束条件。事实上，两个约束条件恰好确定两个待定常数和。将0=0代入式（a ），则有。将0=0和代入式（b),则有。）确定 、和、令式（a ）、（b)中、，即得
c ()
231
6
lx Px - d
()()22233312211263B B
B B Pl l Pl Pl EI EI Pl l Pl Pl EI EI θθωωθω1?? = =- = ???1?? ==- = ???
于是得自由端的转角与挠度分别为、如图所示，均为正值。
2.A B q l EI 试求图示梁中点C 的挠度与、端的转角。已知、为常数。
()()()()()
()12121131111
81
24M x C M x M x AC CB M x qlx x l dw EI qlx C dx EIw qlx C x D 0≤≤ =+
=++ 写并作积分。由于整梁上的载荷在图示处不连续，所以必须分别用、表示与段的弯距，因而只能分段积分。求得约束力如图所示，于是1
解： =4a ()()()()
2
22M x qlx q x l l x l
1 = -- ≤≤2
b 14
()()()()
3
2224
322218124dw EI
qlx q x l C dx EIw qlx q x l C x D A B C ACB A B 1=--+ 6
1 =--++ 24
c d 四个积分常数可由、处的两个约束条件和截面处的两
个连续条件来共同确定。
根据挠度曲线的特征，轴线变形后应仍为处处光滑连续的弹性曲线，因而可写出、处两个铰链提供的两个约束条件
()()2l ωω
1 0=0 ， 2=0
()()()()()()()123
121233
124
48
9024848548A B C l l l l ql D D C C ql ql l EI EI ql l EI
ωωθθθθθθωω
7 ==0 ==-
7==-=
=-
12C 1及截面提供的两个连续条件
= ， =代入式（a ）-（d ），可得到，以下计算从略，最后求得
， = = 所得的结果表示与图上。
EI C A 3. 已知，求端挠度及截面的转角。
根据卡氏定理， 解： 有
()()c l
M x M x U f dx P EI P ??==
???
()()
A l
M x M x U dx
m EI m θ??==???
对AB 段 有
()
1111C A P a m M x R x m x m
l l ??=-=-- ???
()111
M x a x P l ?=-? ()1111M x x m l ?=-?
对BC 段 有
()2
22M x Px =-
()220M x m ? =? ()222M x x P ?=-
?
()1110222220
11363l c c a
P a U
m a f x m x dx P EI l l l Px Pa l mal Pa x dx EI EI ???????==--- ? ??????
??????
-+-=++ ?
??
??
所以
()()1110120
1111063l c A a
P a x U m x m dx m EI l l l
Pal ml Px dx EI EI θ???????=
=--- ? ????????????
+-=+ ?
??
??
m
P
A
B
C
l a
1
x 2
x m
P
A
B
C
l a
1
x 2
x
2EI
EI
B
A
C P l
l
（a ）
4.2B AB AC EI CB EI B θω B 悬臂梁受力如图（a ）所示，已知段的抗弯刚度为，段为。试求自由端处的转角和挠度。
()()()()()()2
1132
11122112221126M x M x Px Pl x l dw AC Px Plx C dx EI w x Px Plx C x D EI CB - 0<≤?? =-+ ???
?? =-++
???方法1 积分法 1）写，积分
= 由于是边截面（梯形）梁，必须分段积分
段 a b 解：()()()22232
2221122116dw Px Plx C dx EI w x Px Plx C x D EI ??
=-+ ???
?? =-++
???段 c d
()()()()()()1111223220031
43A C D C l l l l C Pl D Pl θωθθωω = =0 = =- 1122）定积分常数
由固定端处的约束条件
=0，0=0 代入式（a ）、（b ）得
，由面的连续条件
= ，=分别代入（a ）、（c ）和（b ）、（d ）得
，
()()()222
22
32233
11342224541131284264332B x l
B AB CB x x dw P l Pl l Pl dx
EI Pl EI l P l Pl l Pl l Pl EI Pl EI
θωθωθωω= ??=
=
?-?+ ???
=-
??= =
?-?+?- ???
-B
B 23）求、将求得的常数代入式（a ）-（d ）便得到、段的和，由此可计算 =
（a ）
40MPa
20MPa
30
()
()
2
323b B b B AC C Pl EI Pl EI
θω 1 =-=-方法叠加法
）如图（b ）所示，将段暂看成刚性梁，即面成为固定端，查表有
（a ）
2 （b ）
()
()
22323342456412c C c C AC EI B P C P m Pl CB C C P m EI Pl Pl l Pl EI EI EI Pl Pl l Pl EI EI EI
θω=? =--=-
? = --=-
2）如图（c ）所示，段恢复为刚度为2的梁。将处平移至面，等效载荷为和。此时段无变形只有由面带动的位移，分别按处由和作用查表得（注意刚度为2）
()
()
()()()
2
333345371246c c B C c c c B C C CB C B Pl EI
Pl Pl Pl l EI EI EI
θθωωθ'' ==-
= + =--=- 由段位移到斜直线，有
（c ）（d ）
()
()
()()
222333354473362b c B B B b c B B CB Pl Pl Pl EI EI EI Pl Pl Pl EI EI EI
θθθωωω =+ =--= -
= +=--=-
B 3)图（c ）段应有图（b ）所示的变形与位移，所以最后结果
分别由式（a ）与式（b ），式（c ）与式（d ）叠加得到 2两种方法得到的结果相同。
第六章:应力、应变分析
1.已知应力状态如图（a ）所示，要求：1）用截面法求指定 截面上应力；2）用斜截面上应力公式校核；3）用应力圆 法校核。
2220sin 30sin 3040cos 30cos 30020sin 3040cos 3020sin 30sin 3040cos 30sin 30020sin 3040sin 30cos 30A n A A A t A A A αααασσττ=-+==++=∑∑1）对图（b ）写平衡条件（设斜面面积为d ） d d d 所以 =-=-25MPa
d d d 所以 =-cos30-=-26MPa 实解：际方向均与所设方向相反。
P
()c B
ω2EI
B
A
C m Pl
=()()c c C B θθ=B '
C '
()
c C
ω（c ）刚性
EI B
A
C
P
（b ）()b B
ω()
b B θB '
30
30
30
120
20
40
x
y
t
n
α
σα
τ1
1
2
2
dA
（b ）1σ
()
20,0()
-25,-26()5,26()
-40,0234240
A
B C
O 68
τ
（c ）
20MPa
50
80
50
80
τ
τ
60
（a ）
6030
30
A
B C
O
E F
G
1
σ2
σσ
τ
50
80
（b ）
()()()()()()()20400cos 212010300.525sin 2120300.86626x y xy αασσταστ=+=-= =+120=?=-+=-=
?=-=-2）已知MPa ,MPa ,，，则11
20-40+20+40+0
22
MPa 1
20+40MPa 2
3124025326C C C OB B ααστθαστ=+==-==-3)作应力圆（图（c ））
（1）取比例尺，1cm-20MPa ，在-坐标平面内作点1（+20，0）、2（-40，0）；（2）由点1、2，得圆心，以1为半径作圆；（）自逆时针转圆心角得点3；
（4）按比例尺量得图（b ）所求=+120面上的应力 MPa ，MPa
2.二向应力状态如图（a ）所示（应力单位为MPa ），
试求主应力并作应力圆。
18050//3030OA OE E EF A EF G GC AGC C GC CA r B στσσ==∠==）应力圆法
如图（b ），取比例尺，在轴上作MPa ，MPa ；过作轴，过作与轴成夹角的斜线，交与；作，解使，则以为圆心，为半径作： 应力圆，交轴于。
123tan 30(8050)tan 3020sin 60/2
8024080400
GE AE r OB OA AB r ττ
σσσσ=?=-=
=
==-=-==== = =10 3 =17.3MPa
103
MPa
3 =MPa 所以 MPa ，MPa ，
()()()()
()()()
()28000508080cos 260080sin 260040x xy y y y y y αααστασσττσστσσ == ==++-?-=-?+）解析法
由图（a ），MPa ，，=6 ，
MPa 其中，=待求，由斜截面上
应力公式
11
50 a 221
b 2
由a 式得
=MPa
σ
σ
τ
4545
στ，4545
στ--，O
90
90
（c ）x
45
+45
-45
σ45
σ-45τ（d ）
σ
x
（b ）
45ε45D
d A
x
m x
m （a ）
()23080400xy x y ατττσσσσσ= = ====1代入式 b 得
==103MPa =17.3MPa 由于，于是
MPa ，MPa ，
451353.45135E συεε 拉伸试件如图（a ）所示。已知横截面上正应力，材料的弹性模量和泊松比，试求与轴线成与方向上的正应变与。
()
()
451354545451351351354545135112112E E E E
ασσσσσυσ
εσυσυσ
εσυσ- ====-=-=?
-=- =?
利用广义胡克定律求解。
对图（b ）所示单向应力状态作应力圆（图（c ）），得图（d ）所示应力状态，即有、方向正应力 /2 ， /2 代入广义胡克定律有
解：
3
4.20010120/min 12080210D d E ευ- =?===45用电阻应变仪测得空心钢轴表面一点与母线成45方向上的正应变。已知该轴转速为r ，外径mm ，内径mm,钢材GPa ，=0.28，求轴传递的功率。
()()()()
134501119550x P P A a E E E
m N
W nW στσστ
υ
εσυστυτττ=+ = =-+=-=--=????==123 从图（a ）所示受扭圆轴表面点取出纯剪应力状态，作应力圆45方位上的两向应力状态（图（b ）），于是有 ，， 解：b
45
135
（a ）
()()4
3436645
9
631121018/1216
16
109550112021010272.31020010112955010.28P P W D n E
N W π
π
αευ----??
=
-=
??-??=?=??+?=?????=+3 272.3m
所以 kW
第七章: 强度理论
[][][]309090t c
σσυσσ===
1. 构件内危险点应力状态如图所示，试作强度校核：
1）材料为铸铁，已知许用拉应力MPa,压应力
MPa ，泊松比=0.25；2）材料为铝合金，MPa ；3）材料仍为铸铁，应力分量中为压应力。
[]22
13
1311511541522
24.330t σσσσσσσ2=±+? = 24.27 =>==<=1，r 1）求主应力
（-9.27）MPa 铸铁为脆性材料，且，主应力中拉应力占优，主要是最大拉应力引起脆性断裂，选第一强度理论 MPa 解：MPa
()[]()()()()[]132222222
12233122224.279.2733.549041541533.5412124.279.2724.279.27230.090σσσσσστσσσσσσσσ=-=--=<==+=+?=??=-+-+-?
???
=
++--?
? =<=334r r r 2)铝合金为塑性材料，选第三强度理论
MPa MPa 或 MPa 选第四强度理论 MPa MPa []222231531530.090σστσ=+=+?=<=4r
或 MPa MPa
15τ=MPa
15σ=MPa
τ
（b ）
1
σσ
τ
τ
-O
x
45
+45-3στ
=-τ
+3
σ1στ
=+
()()[]221313123151
1541522
9.270.25024.2715.3430t σσσσσσυσσσ2 =±+? = 24.27 =>=-+=--=<=2，r 3）求主应力
（-9.27）MPa 铸铁为脆性材料，抗拉与抗压强度不等，又，主应力中压力占优。选第二强度理论
MPa MPa
[][][][]2.2t c σσσσ 对图（a ）所示应力状态推出其强度条件：1）材料为（低碳）钢，许用应力； ）材料为铸铁，已知许用应力，； 3）材料为中碳钢，已知许用应力。
[][]()()[][][][]
1231322
2230.333123720.378220.5t
t
σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ= = =- 1=-=≤≤??=
++=
≤?
?≤=≤≤341r r r 求主应力(可用应力圆法或解析法) ，，）对低碳钢，选第三理论或第四理论 ， ，
）对铸铁，拉应力占优，选第一理论
，解：
()()()[]()()222
12233123123**σσσσσσσστσστ2??=
-+-+- ?
? =+≤ 4
r ）对中碳钢，虽为塑性材料，但比低碳钢塑性要差，可选用第三强度理论。
而强度条件式在平面应力状态下（即应力分量、在同一平面内，见图（b ））分别选用第三、四理论推得的结果。
τσ
=2σ
（b ）
τσ
=2σ
（a ）
人教a版数学【选修1-1】作业：1.1.2四种命题(含答案)
1.1.2四种命题 课时目标 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换． 1．四种命题的概念： (1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题． (2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题． (3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题． 2．四种命题的结构： 用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是： 原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”． 逆命题：________________________.即“若q，则p”． 否命题：______________________.即“若綈p，则綈q”． 逆否命题：________________________.即“若綈q，则綈p”． 一、选择题 1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4 2．命题“若A∩B＝A，则A?B”的逆否命题是() A．若A∪B≠A，则A?B B．若A∩B≠A，则A?B C．若A?B，则A∩B≠A D．若A?B，则A∩B≠A 3．对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是() A．它的逆命题是真命题 B．它的否命题是真命题 C．它的逆否命题是假命题 D．它的否命题是假命题 4．有下列四个命题： ①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题； ③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题； ④若“A∪B＝B，则A?B”的逆否命题． 其中的真命题是() A．①②B．②③C．①③D．③④ 5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是() A．4 B．3 C．2 D．0
工程热力学B试题
吉林大学汽车工程学院本科课程考试试卷 考试课程与试卷类型：工程热力学B —A 姓名： 学年学期：2012-2013-1 学号： 考试时间：2013-01-09 班级： 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 工质被压缩、向外放热并温度升高，该过程的多变指数的取值范围是（ ） A ：（-∞，0） B ：（0，1） C ：（1，k ） D ：（k ，+∞） 2. 系统从相同的初态出发，分别经过不可逆过程A 和可逆过程B 达到相同的终态，则（ ） A ：B A S S ?=? B ：B A S S ?>?错误!未定义书签。 C ：B A S S ?
期望与方差例题选讲含详解
概率统计（理）典型例题选讲 (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： ① 计算一次试验的基本事件总数n ; ② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n =求值; ④ 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种.
第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 典型例题分析 1.有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5.从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字和为ξ，求Eξ与Dξ. 解：这3张卡片上的数字和ξ这一随机变量的可能取值为6，9，12，且“ξ=6”表示取 出的3张卡上都标有2，则P （ξ=6)=.“ξ=9”表示取出的3张卡片上两张为2， 一张为5，则P (ξ=9)= .?? “ξ=12”表示取出的3张卡片上两张为5，一张为 2，则P (ξ=12)=.??? 则期望Eξ=6×+9×+12×=,???? 方差Dξ= 2 + 2 + 2 =. 2.（2010江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、
高二数学选修1、1-1-2四种命题及其相互关系
1.1.2四种命题及其相互关系 一、选择题 1．(2009·重庆文，2)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是() A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” [答案] B [解析]考查命题与它的逆命题之间的关系． 原命题与它的逆命题的条件与结论互换，故选B. 2．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是() A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题 C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题 [答案] D [解析]∵原命题为真，逆命题为假， ∴逆否命题为真，否命题为假． 3．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是() A．若A∪B≠A，则A∩B≠B B．若A∩B＝B，则A∪B＝A C．若A∩B≠B，则A∪B≠A D．若A∪B≠A，则A∩B＝B [答案] A [解析]否命题是对命题的条件和结论都否定，故选A. 4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的() A．逆否命题B．逆命题 C．否命题D．原命题 [答案] C [解析]特例： p：若∠A＝∠B，则a＝b r：若∠A≠∠B，则a≠b
s：若a≠b，则∠A≠∠B t：若a＝b，则∠A＝∠B. 5．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则集合{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命题，否命题，逆否命题的真假结论是() A．都真B．都假 C．否命题真D．逆否命题真 [答案] D [解析]原命题为真，故逆否命题为真． 6．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是() A．4B．3 C．2D．0 [答案] C [解析]当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形为真，故逆否命题为真， 逆命题：△ABC为等腰三角形，则AB＝AC为假， 故否命题为假． 7．设a，b，c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是() A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β B．b?β，c是α在β内的射影，若b⊥c，则a⊥b C．b?β，则b⊥α，则β⊥α D．b?α，c?α，若c∥α，则b∥c [答案] C [解析]C选项的逆命题为“设a，b，c表示三条直线，α、β表示两个平面，b?β，若β⊥α，则b⊥α”，这个命题是假命题，b与α的位置关系除垂直外，还可能b与α相交或b∥α. 8．与命题“若m∈M，则n?M”等价的命题是() A．若m∈M，则n?M B．若n?M，则m∈M C．若m?M，则n∈M D．若n∈M，则m?M [答案] D [解析]原命题与逆否命题等价． 9．有下列四个命题： (1)“若x－y＝0，则x，y为相等的实数”的逆命题； (2)“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
工程热力学研究生复试B卷
工程热力学研究生复试 B卷 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
研究生入学考试《工程热力学》复试试卷B 一、判断题（10小题，每题2分，共20分） 1. 真空度和表压都是压力测量仪表测得的压力数据，两者没有任何区别。 （）2. 稳定流动中外界得到的功量等于工质的容积功。 （）3. 工作于相同热源间的任何热机，其效率都不会高于可逆卡诺热机效率。 （）4. 理想气体在等温过程中，可以把吸收的热量全部转换成功。 （）5. 定熵流动时，要达到超音速，必须采用缩放形喷管。 （）6. 活塞式压缩机的耗功用于提高气体的热力学能和对外放出热量。 （）7. 使用相同材料时，在相同的环境条件下，效率以定压加热循环最高。 （）8. 湿空气中的水蒸汽不是理想气体，不能用理想气体状态方程来进行计算处理。 （）
9. 逆向卡诺循环的制冷系数和供暖系数之间存在确定的关系。 （）10. 不存在多变指数为负的热力过程。 （） 二、简单题（3小题，每题10分，共30分） 1. 为什么工质的热力学能、焓和熵为零的基准可以任选，所有情况下工质的热力学能、焓和熵为零的基准都可以任选理想气体的热力学能或焓的参照状态通常选定哪个或哪些个状态参数值对理想气体的熵又如何 2. 试以理想气体的定温过程为例，归纳气体的热力过程要解决的问题及使用方法。 3. 实际气体性质与理想气体性质差异产生的原因是什么在什么条件下才可以把实际气体作理想气体处理 三、论述题（2小题，每题25分，共50分） 1. 如何利用状态方程和热力学一般关系式求取实际气体的?u、?h、?s 2. 某理想气体经历4个过程，如下图所示。指出各过程加热或放热，膨胀或压缩。
《工程热力学B》A卷试题10111
吉林大学汽车工程学院本科课程考试试卷 考试课程与试卷类型：工程热力学B—A姓名： 学年学期：2010-2011-1 学号： 考试时间：2011-01-12 班级： 一、单项选择题（每小题2分，共10分） 1. 孤立系统经不可逆过程后（） A：熵值达最大B：熵值达最大 C：熵值为零D：熵值不变 2. 若在真空泵的作用下使房间内空气流过喷管获得超音速气流，则应选用（） A：渐缩喷管B：渐放喷管 C：缩放喷管D：三种均可 3. 下列哪一项不是空气比定压热容测定实验中的测试参数（） A：湿空气进口温度B：湿空气质量流量 C：湿空气体积流量D：湿空气相对湿度 4. 工质被压缩、向外放热并温度升高，该过程的多变指数的取值范围是（） A：（-∞，0）B：（0，1） C：（1，k）D：（k，+∞） 5. 下列说法不对的是（） A：水蒸气的汽化潜热与压力有关 B：水蒸气的汽化潜热与温度有关 C：由于水的临界温度是374.15℃，所以不存在400℃的水 D：饱和液体的温度与压力两参数各自独立 二、判断题（每小题2分，共18分，对的画“√”，错的画“×”） 1. 稳定状态稳定流动时，系统内各点的状态相同，且不随时间而变化。（） 2. 系统与外界交换的热量与过程无关。（） 3. 理想气体温度不变、压力升高时焓不变。（） 4. 绝热过程不一定是定熵过程。（） 5. 制冷循环为逆向循环，循环净功为负。（） 6. 系统经过一个不可逆循环后，系统的熵必定增大。（） 7. 活塞式压气机增压比增大时容积效率降低，有效吸气容积减少，产气量减少。（） 8. 压力低于临界压力时，水的气化潜热随压力的升高而减小。（） 9. 湿空气的含湿量大则一定空气潮湿。（） 第 1 页共2 页
理财计算题目选讲
某公务员今年35岁，计划通过年金为自己的退休生活提供保障。经过测算，他认为到60岁退休时年金账户余额至少应达到60万元.如果预计未来的年平均收益率为8%,那么他每月末需投入( D ) （A ）711元（B ）679元（C ）665元（D ）631元 60000012%8112%8112%8112992=??? ???????? ??+++??? ??++??? ??++ A 300600000 6318%1211128%=????+-??? ??????? 某三年期证券未来每年支付的利息分别为200元、400元、200元，到期无本金支付，如果投资者要求的收益率为8%，那么该证券的发行价格应为（ B ） （A ）800元（B ）686.89元（C ）635.07元（D ）685.87元 23200400200686.8872686.8918%(18%)(18%) P =++=≈+++ 软件设计师张先生最近购买了一套总价为50万元人民币的住房。由于他工作刚3年，积蓄不足，所以他按最高限向银行申请了贷款，20年期，贷款利率5.5%。如果采用等额本息还款方式，张先生每月需还款（ A ） （A ）3439.44元（B ）2751.55元（C ）2539.44元（D ）2851.55元 50000012%5.5112%5.5112%5.51123921=??? ???????? ??+++??? ??++??? ??++--- A
2405.5%500000123439.445.5%1112-?=????-+?? ??????? 某后付年金每年付款2000元，连续15年，年收益率4%，则年金现值为（ A ） （A ）22236.78元（B ）23126.25元（C ）28381.51元（D ）30000元 04.11104.11 104.11200004.1104.1104.1104.112000151532--??=??? ??++++ 15112000122236.774922236.780.04 1.04???-=≈ ??? 如果某股票的β值为0.8，当市场组合的期望收益率为11%，无风险利率为5%时，该股票的期望收益率为（ B ） （A ）13.8%（B ）9.8%（C ）15.8%（D ）8.8% 5%0.8(11%5%)5% 4.8%9.8%+?-=+= 一高级证券分析师预测某股票今天上涨的概率是20%，同昨日持平的概率是10%，则这只股票今天不会下跌的概率是（ B ） （A ）10% （B ）30% （C ）20% （D ）70% 假定上证综指以0.55的概率上升，以0.45的概率下跌。还假定在同一时间间隔内深证综指以0.35的概率上升，以0.65的概率下跌。再假定两个指数可能以0.3的概率同时上升。那么同一时间上证综指或深证综指上升的概率是（ B ） （A ）0.3 （B ）0.6 （C ）0.9 （D ）0.1925
四种命题与充要条件教案
四种命题与充要条件 廖士哲（时间：2008年10月22日 地点：06文 （1）） 一、教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解四种命题及其互相关系，会 分析四种命题的含义；理解必要条件充分条件充要条件的含义,反证法在证明过程中的应用． ． 二、教学重难点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系，必要条件充分条件充要条件的判断． 三、教学过程： （一）知识归纳： 1．命题：可以判断真假的语句叫做命题 2.四种命题 （1）．一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用┐p 和┐q 分别表示p 和q 的否定。于是 四种命题的形式为： 原命题：若p 则q （q p ?） 逆命题：若q 则p )(p q ? 否命题：若┐p 则┐q )(q p ??? 逆否命题：若┐q 则┐p )(p q ??? （2）．四种命题的关系： （3）．一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下四条关系： a.原命题为真，它的逆命题不一定为真。 b.原命题为真，它的否命题不一定为真。 c.原命题为真，它的逆否命题一定为真。 d.逆命题为真，否命题一定为真。 3.必要条件充分条件充要条件的含义 （二）几点说明 1．对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论 2．互为逆否命题的两个命题等价，为命题真假判定提供一个策略。 3.充要条件与集合的关系：小推大。 4．通常复合命题“p 或q ”的否定为“p ?且q ?”、“p 且q ”的否定为“p ?或q ?”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等； 5．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p ，则q ” 互 逆 互 为 为 否 逆 逆 互 互 互 逆
工程热力学试卷B试卷标准答案
浙江科技学院 2017- 2018 学年第 1 学期 B 试卷标准答案 考试科目 工程热力学 考试方式 闭 完成时限 120分钟 拟题人 许友生 审核人 批准人 2018 年1 月 9 日 命题： 一、 是非题（每小题2分，共20分） 1. 任何没有体积变化的过程就一定不对外做功。（错误） 2. 气体膨胀时一定对外做功，气体压缩时一定消耗外功。（错误） 3. 进行任何热力分析都要选取热力系统。（正确） 4. 水蒸气在等压汽化过程中温度不变。（正确） 5. 稳定状态不一定是平衡状态。（正确） 6. 热力学第二定律可以表述为“机械能可以全部变为热能，而热能不可能全部变为机械能”。（错） 7. 理想气体定温膨胀过程中吸收的热量可以全部转换为功。（正确） 8. 若从某一初态经可逆与不可逆两条途径到达同一终态，则不可逆途径的S ?必大于可逆过程途径的S ?。（错误） 9. 内燃机理论循环中压缩比愈大，其理论效率越高。（正确） 10. “循环功越大，则热效率越高”；“可逆循环热效率都相等”；“不可逆循环效率一定小于可逆循环效率”。（错误） 二、 选择题（每小题2分，共20分） 专 业班级 学号 姓名 ………… … … ……… … … ……… … … …… … … … ………………装订
1 当系统从热源吸收一定数量的热量时，工质绝对温度----，Array则系统熵的变化---- 热量转变为功的程度（ A ） A 越高/越小/越大 B 越高/越大/越大 C 越低/越小/越 小 D 越低/越小/越大 2由封闭表面包围的质量恒定的物质集合或空间的一部分称为（ C ） A 封闭系统 B 孤立系统 C 热力学系统 D 闭口系统 3与外界只发生功的交换的热力系统，不可能是（ C ） A 封闭系统 B 绝热系统 C开口系统 D B+C 4关于状态变化过程( C ) ①非静态过程在压容图上无法用一条连续曲线表示；②系统进行了 一个过程后，如能使系统沿着与原过程相反的方向恢复初态，则这样的过 程称为可逆过程；③内外平衡是可逆过程的充分和必要条件；④只有无 摩擦的准静态过程才是可逆过程。 A ①④对 B ②③对 C ①③④对 D ②对 5在T--s图上，某熵增加的理想气体可逆过程线下的面积表示该过程中系 统所( A )。 A 吸收的热量 B对外作的功量 C放出的热量 D 消耗的外界功 量 6不考虑化学反应和电磁效应的热力系统，过程的不可逆因素是( D ) A耗散效应 B有限温差下的热传递 C 自由膨胀D A+B+C 7卡诺循环包括( C )过程 A 定容加热，定容放热，绝热膨胀，绝热压缩 B 定温加热，定温放热，绝热膨胀，绝热压缩 C 可逆定温加热，可逆定温放热，可逆绝热膨胀，可逆绝热压缩 D 可逆定压加热，可逆定压放热，可逆绝热膨胀，可逆绝热压缩 8在P_V图上，某比容增加的理想气体可逆过程线下左侧的面积表示该过 程中系统所( C ) A作的膨胀功的大小B 消耗外界功的答案小 C作的技术工的大小D 消耗的热量
逻辑联结词、四种命题、充分条件与必要条件
逻辑联结词、四种命题、充分条件与必要条件 1. 主要内容： 命题、真命题、假命题的概念，逻辑连接词、简单命题、复合命题的概念、复合命题的真值表，四种命题、四种命题的关系，反证法、充分条件、必要条件的概念、充分条件的判断。 2. 重点： 判断复合命题真假的方法，四种命题的关系，关于充要条件的判断。 3. 难点： 逻辑连结词的理解与日常用语的区别，反证法的理解和应用，关于充要条件的判断。 【例题选讲】 例1. 分别指出下列复合命题的形式及构造的简单命题。 （1）小李是老师，小赵也是老师。 （2）1是合数或质数。 （3）他是运动员兼教练员。 （4）不仅这些文学作品艺术上有缺点，而且政治上有错误。
解：（1）这个命题是p且q的形式，其中p：小李是老师，q：小赵是老师。 （2）这个命题是p或q的形式，其中p：1是合数，q：1是质数。 （3）这个命题是p且q的形式，其中，p：他是运动员，q：他是教练员。 （4）这个命题是p且q的形式，其中，p：这些文学作品艺术上有缺点，q：这些文学作品政治上有错误。 小结：正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键。应根据组成上述各复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式。 例2. 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；q：方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根。若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围。 解： 若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，
解得：1 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系 [学习目标] 1.理解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系.3.会利用逆否命题的等价性解决问题. 知识点一四种命题的概念 (1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. (2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题. (3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题. 知识点二四种命题的真假性的判断 原命题为真，它的逆命题不一定为真；它的否命题也不一定为真.原命题为真，它的逆否命题一定为真. 题型一四种命题的概念 例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假. (1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根； (2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧； (3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0； (4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B. 解(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题. 否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题. 逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题. (2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题. 哈尔滨工程大学本科生考试试卷 课程编号：0903301课程名称：工程热力学 一、判断题：（总分30分，每题2分） 1．孤立系统的熵与能量都是守恒的。（ ）2．孤立系统达到平衡时总熵达极大值。（） 3．在管道内定熵流动过程中，各点的滞止参数都相同。（） 4.不可逆绝热稳态流动系统中，系统的熵的变化△S sys =0。（ ）5.气体在充分膨胀的渐缩渐扩喷管的渐扩段（d f ＞0）中，流速大于当地音速。（） 6．规定三相点水蒸汽的内能为零，熵也为零。（ ）7．理想气体熵的计算式由可逆过程△S = δ1 2 ?q /T 得出，故只适用范围可逆过程。（）8．两种湿空气的相对湿度相等，则吸收水蒸汽的能力也相等。（ ） 9．绝热节流前后其焓不变，所以温度也不变。（）10．在蒸汽压缩式制冷循环中，所选用的致冷剂液体比热越小，那么节流过程引起的损失就越小。（） 11.任何不可逆过程工质的熵总是增加的，而任何可逆过程工质的熵总是不变的。（） 12.梅耶公式C P －C v =R 也能适用于变比热的理想气体。（ ）13．蒸发是发生于液体表面的汽化现象；沸腾是发生于液体内部的汽化现象。（） 14.卡诺循环的热效率仅取决于其热和冷源的温度，而与工质的性质无关。（） 15．在相同热源和在相同冷源之间的一切热机，无论采用什么工质，他们的热效率均相等。（） 二、图示题：（总分17分） 1．定质量理想气体经历由四个可逆过程组成的循环，1-2为可逆绝热过程；2-3为多变过程；3-4为可逆绝热过程；4-1为定容过程。试求： （1）填充表内所缺数据。 （2）将该循环表示在p-v 图及T-s 图上。 （3）判断是热机还是制冷机，并求出ηt 或ε１。 2．在湿空气的焓湿图上表示出A 点所对应的露点温度（t dew ）湿球温度（t w ）,含湿量（d），并将Ａ－Ｂ的绝热加湿过程示意性地表示出来。 三.简答题：（总分15分，每题5分） 1．工作在恒温热源间的两个可逆热机串联运行，第一个热机排出的能量进入第二个热机，假定第一个热机的效率比第二个热机高20％，最高和最低的恒温热源温度分别为1000K 和300K ，求第一个热机的排气温度是多少？ 2．画图分析新蒸汽参数和汽轮机出口背压对基本朗肯循环的热效率有和影响？3．柴油机的热效率一般比汽油机高，其主要原因是什么？ 四、计算题：（总分38分） 1．m=1.5kg 某种定比热理想气体(气体常数R=240J/(k g﹒K),绝热指数k=1.4)初始温度T1=470K,经定容过程其焓变 H=490kJ ；试求该过程的热量Q ，内能的变化过程 Q kJ △U kJ W KJ 1-2 0470.72-3 547.3164.2 3-4 04-1-209.60A h d φ=100％ 第十二章 方差分析 练习题： 1. 现今越来越多的外国人学习汉语，某孔子学院设计了3种汉字的讲授方法， 随机抽取了28名汉语基础相近的学生进行试验，试验后对每一个学生汉字理解记忆水平进行打分，满分为10分，28名学生的分数如下： 表12-3 三种汉字讲授方法下的学生得分 汉字讲授方法 9.1 6.6 6.2 8.6 7.0 7.4 9.0 8.0 7.8 8.1 7.4 7.9 9.4 7.6 8.2 9.2 8.1 8.1 8.8 7.4 6.7 9.4 7.9 6.9 7.5 1y = 2y = 3y = y = （1） 请分别计算3种汉字讲授方法下学生相应分数的平均值1y 、2y 与 3y 以及所有参加试验的学生的平均得分y ，并填入上表。 （2）请根据上表计算总平方和（TSS ），组间平方和（BSS ），组内平方和（WSS ）, 组间均方(MSS B )，组内均方（MSS W ），以及各自对应的自由度并填入下表。 B B W 组内 WSS ： n-k: MSS W ： —————— —— ———— 总和 TSS ： n-1: ———— —————— —— ———— （3）根据上表计算出F 值，并查附录中的F 分布表，看P 是否小于0.05。 （4）若显著性水平为0.05，请查附录中的F 分布表找出F 临界值，并填入上表。 （5）若显著性水平为0.05，请根据P 值或F 临界值判断三种汉字的讲授方法对 学生汉字的理解和记忆水平是否有显著性影响。 解： （1）1y =8.9222≈8.92，2y =7.5667≈7.57，3y =7.3800≈7.38，y =7.9357≈7.94． 1.金属电阻应变片与半导体材料的电阻应变效应有什么不同? 答：金属电阻的应变效应主要是由于其几何形状的变化而产生的，半导体材料的应变效应则主要取决于材料的电阻率随应变所引起的变化产生的。 2.直流测量电桥和交流测量电桥有什么区别? 答：它们的区别主要是直流电桥用直流电源，只适用于直流元件（电阻），交流电桥用交流电源，适用于所有电路元件（电阻、电容、电感等）。 3.采用阻值为120Ω灵敏度系数K =2.0的金属电阻应变片和阻值为120Ω的固定电阻组成电桥，供桥电压为4V ，并假定负载电阻无穷大。当应变片上的应变分别为1和1 000时，试求单臂、双臂和全桥工作时的输出电压，并比较三种情况下的灵敏度。 解：单臂时04K U U e =，所以应变为1时6 60421021044K U U e --创= == V ，应变为1000时应为3 30421021044 K U U e --创=== V ；双臂时02K U U e =， 所以应变为1时6 60421041022K U U e --创=== V ，应变为1000时应为3 30421041022 K U U e --创=== /V ；全桥时0U K U e =，所以应变为1时 60810U -= /V ，应变为1000时应为30810U -= /V 。从上面的计算可知： 单臂时灵敏度最低，双臂时为其两倍，全桥时最高，为单臂的四倍。 4.采用阻值R =120Ω灵敏度系数K =2.0的金属电阻应变片与阻值R =120Ω的固定电阻组成电桥，供桥电压为10V 。当应变片应变为1000时，若要使输出电压大于10mV ，则可采用何种工作方式（设输出阻 第一章常用逻辑用语 命题及其关系 四种命题 四种命题间的相互关系 级基础巩固 一、选择题 ．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( ) ．否命题 ．逆命题 ．逆否命题 ．无关命题 解析：将命题“对角线相等的四边形是矩形”写成“若，则”的形式为：“若一个四边形 的对角线相等，则这个四边形是矩形”．而将命题“矩形的对角线相等”写成“若，则”的形式为：“若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等”．则前一个命题为后一个命题的逆命 题． 答案： ．已知，，∈，命题“若＋＋＝，则＋＋≥”的否命题是( ) ．若＋＋≠，则＋＋＜ ．若＋＋＝，则＋＋＜ ．若＋＋≠，则＋＋≥ ．若＋＋≥，则＋＋＝ 解析：否定条件，得＋＋≠，否定结论，得＋＋＜.所以否命题是“若＋＋≠，则＋＋＜”． 答案： ．与命题“能被整除的整数，一定能被整除”等价的命题是( ) ．能被整除的整数，一定能被整除 ．不能被整除的整数，一定不能被整除 ．不能被整除的整数，一定不能被整除 ．不能被整除的整数，不一定能被整除 解析：原命题与它的逆否命题是等价命题，原命题的逆否命题是：不能被整除的整数，一 定不能被整除． 答案： ．下列说法： ①原命题为真，它的否命题为假； ②原命题为真，它的逆命题不一定为真； ③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真． 其中正确的是( ) ．②③ ．①② ．②③④ ．③④ 解析：互为逆否命题的两个命题同真假，互为否命题和逆命题的两个命题，它们的真假性 没有关系． 答案： ．有下列四种命题： ①“若＋＝，则，互为相反数”的否命题； ②“若＞，则＞”的逆否命题； ③“若≤，则－－＞”的否命题； ④“对顶角相等”的逆命题． 其中真命题的个数是( ) ．．．． 解析：()原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若，互为相反数，则 ＋＝”，为真命题；()原命题与其逆否命题具有相同的真假性．而原命题为假命题(如＝，＝－)，故其逆否命题为假命题；()该命题的否命题为“若＞，则－－≤”，很明显为假命题； ()该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题． 答案： 二、填空题 ．命题“若<，则－<<”的逆否命题为，是(填“真”或“假”)命题． 解析：命题“若<，则－<<”的逆否命题为“若≥或≤－，则≥”，因为原命题是真命题， 所以其逆否命题也是真命题． 答案：若≥或≤－，则≥真 ．命题“当＝时，△是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真 命题有个．解析：原命题“当＝时，△是等腰三角形”是真命题，且互为逆否命题等价，故其逆否命 题为真命题．其逆命题“若△是等腰三角形，则＝”是假命题，则否命题是假命题．则个命题 中有个是真命题． 答案： ．设有两个命题：①不等式＋＞的解集是；②函数()＝是减函数．如果这两个命题中有且 只有一个是真命题，则实数的取值范围是．解析：①当＝时，＋＝＞恒成立，解集为.当≠时，若＋＞的解集为，必有＞. 综上知， 不等式＋＞的解集为，必有≥. （一）教学目标 ◆知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假． ◆过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力． ◆情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力． （二）教学重点与难点 重点：（１）会写四种命题并会判断命题的真假；（２）四种命题之间的相互关系． 难点：（１）命题的否定与否命题的区别；（２）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题； （３）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假． 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力． （三）教学过程 学生探究过程： １．复习引入 初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？ ２．思考、分析 问题１：下列四个命题中，命题（１）与命题（２）、（３）、（４）的条件与结论之间分别有什么关系？（１）若f（x）是正弦函数，则f（x）是周期函数．（２）若f（x）是周期函数，则f（x）是正弦函数． （３）若f（x）不是正弦函数，则f（x）不是周期函数．（４）若f（x）不是周期函数，则f（x）不是正弦函数． ３．归纳总结 问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。 ４．抽象概括 定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．让学生举一些互逆命题的例子。 定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题． 让学生举一些互否命题的例子。 定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题． 让学生举一些互为逆否命题的例子。 小结： (1)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题； (2)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题． 强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。 《工程热力学》试卷（B卷） 一、单项选择题（每题1分，共10分） 1．下列热力过程，除了哪个对任何一种热能动力装置都是共同的（C ） A、吸热 B、膨胀做功 C、冷凝 D、排热 2．准静态过程，系统经过的所有状态都接近于（C ） A、初始状态 B、环境状态 C、平衡状态 D、邻近状态 3．若已知工质的绝对压力P=0.18Mpa，环境压力Pa = 0.28Mpa，则测得的压差为（A ）。 A、真空Pv=0.1Mpa B、表压力Pe=0.1Mpa C、真空Pv=0.46Mpa D、表压力Pe=0.46Mpa 4．某封闭容器内的气体从热源吸收了100KJ的热量，同时内能增加了120KJ，则（A ）。 A、此过程为压缩过程，外界对气体压缩做功为20KJ B、此过程为膨胀过程，气体对外界膨胀做功为20KJ C、此过程为膨胀过程，气体对外界膨胀做功为220KJ D、此过程为压缩过程，外界对气体压缩做功为220KJ 5．下列哪个过程为非自发过程（A ）. A、热转换为功 B、热量由高温物体向低温物体传递 C、流体组分的自由混合 D、气体的膨胀 6．理想气体的可逆定温过程中（C ）。 A、q=0 B、h=0 C、△u=0 D、W=0 7．下面关于可逆定温过程、可逆定压过程和可逆定容过程中，多变指数描述正确的是（B ）。 A、∞、1、0 B、1、0、∞ C、0、1、∞ D、∞、0、1 8、pv k=常数，其中k=C p/C v，请问该方程适用于（D ） A、一切热力过程都适用 B、理想气体的绝热过程 C、任何气体的可逆绝热过程 D、理想气体的可逆绝热过程 9、q=△h+ωt方程（A ） A、可用于开口系稳定流 B、只能用于可逆过程 C、只能用于不可逆过程 D、不能用于闭口系 10、湿饱和蒸汽经定温膨胀过程后，其内能变化为_______；经定压膨胀过程后，其内能变化为________。（ A ） A、定温膨胀：△u>0；定压膨胀：△u>0 B、定温膨胀：△u>0；定压膨胀：△u<0 C、定温膨胀：△u<0；定压膨胀：△u>0 D、定温膨胀：△u<0；定压膨胀：△u<0 二、判断题（正确的，在题后括号内画“√”，错误画“×”，每题2分，共10 分） 1. 逆卡诺循环的热效率只能小于1，决不能等于1。（×） 2. 热力学第一定律适用于任意的热力过程，不管过程是否可逆。（√） 3. 膨胀功、流动功和技术功都是与过程有关的过程量。（×） 4. 理想气体任意两个状态参数确定后，气体的状态也就一定确定了。（×） 5. 对理想气体加热，其温度反而降低，这种情况是可能发生的。（√） 三、简答题（共4小题，共30分） 1、请谈谈你对准平衡过程以及可逆过程的理解，并说明两者之间的区别和联系？（7分） 答： 如果在热力过程中系统所经历的每一个状态都无限第接近平衡态，这个过程称为准平衡过程；当完成了某一过程后，如果有可能使工质沿相同的路径逆行而恢复到原来状态，并使相互作用中所涉及的外界亦恢复原来状态，而不留下任何改变，则这一过程就称为可逆过程。 《财务管理》第二章重难点讲解及例题：组合的方差与风险系数两项证券资产组合的收益率的方差 （1）计算公式 两项证券资产组合的收益率的方差 ＝第－项资产投资比重的平方×第－项资产收益率的方差＋第二项资产投资比重的平方×第二项资产收益率的方差＋2×两项资产收益率之间的相关系数X第－项资产收益率的标准差X第二项资产收益率的标准差×第－项资产投资比重×第二项资产投资比重 或： 两项证券资产组合的收益率的方差 ＝第－项资产投资比重的平方X第－项资产收益率的方差＋第二项资产投资比重的平方×第二项资产收益率的方差＋2×两项资产收益率的协方差X第－项资产投资比重×第二项资产投资比重 （2）相关结论 ①当两项资产收益率之间的相关系数＝1时，两项证券资产组合的收益率的标准差达到最大，等于单项资产收益率标准差的加权平均数，表明组合的风险等于组合中各项资产风险的加权平均，换句话说，当两项资产的收益率完全正相关时，两项资产的风险完全不能互相抵消，所以这样的组合不能降低任何风险。 ②当两项资产收益率之间的相关系数＝－1时，两项证券资产组合的收益率的标准差达到最小，甚至可能是零。因此，当两项资产的收益率具有完全负相关关系时，两者之间的非系统风险可以充分地相互抵消，甚至完全消除。因而，由这样的两项资产组成的组合可以最大程度地抵消风险。 【例题21.计算题】沿用例题19资料，假设A、B资产收益率的协方差为－1.48％，计算A、B资产收益率的相关系数、资产组合的方差和标准差。 【答案】 4.证券资产组合的风险 【提示】市场组合收益率（实务中通常用股票价格指数的平均收益率来代替）的方差代表了市场整体的风险，由于包含了所有的资产，因此，市场组合中的非系统风险已经被完全消除，所以市场组合的风险就是市场风险或系统风险。 5.β系数（系统风险系数） （1）单项资产的β系数 单项资产的β系数是指可以反映单项资产收益率与市场平均收益率之问变动关系的－个量化指标，它表示单项资产收益率的变动受市场平均收益率变动的影响程度，换句话说，就是相对于市场组合的平均风险而言，单项资产系统风险的大小。 β系数的定义式如下： 单项资产的β系数 ＝该资产收益率与市场组合收益率之间的协方差÷市场组合收益率的方差 ＝该资产收益率与市场组合收益率的相关系数×该资产收益率的标准差÷市场组合收益率的标准差 【提示】从上式可以看出，单项资产β系数的大小取决于三个因素：该资产收益率和市场资产组合收益率的相关系数、该资产收益率的标准差、市场组合收益率的标准差。 （2）证券资产组合的β系数 证券资产组合的β系数是所有单项资产β系数的加权平均数，权数为各种资产在证券资产组合中所占的价值比例。 【提示】 （1）β系数衡量的是系统风险，资产组合不能抵消系统风险，所以，资产组合的β系数是单项资产β 系数的加权平均数。 （2）单项资产的β系数的计算公式也适用于证券资产组合β系数的计算： 证券资产组合的β系数 ＝证券资产组合收益率与市场组合收益率的相关系数×证券资产组合收益率的标准差÷市场组合收益率 的标准差 （3）市场组合的β系数＝市场组合收益率与市场组合收益率的相关系数×市场组合收益率的标准差÷市场组合收益率的标准差＝市场组合收益率与市场组合收益率的相关系数＝1 【例题22.多选题】在下列各项中，能够影响特定资产组合β系数的有（）。高中数学选修2-1学案：1.1.2四种命题-1.1.3四种命题间的相互关系
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