12.同余
第十二讲同余
前面已介绍过整除的概念和带余除法
被除数=除数×商数+余数
在上面的式子里，若余数不为零，商叫做不完全商。
在生活中，人们也经常关心“余数”，让我们先看一个问题：
1993年6月1日是星期二，问20年后的6月1日是星期几？
由于每年有365天，20年有20×365=7300天，但每四年有一个闰年，20年中有5个闰年，故20年有7305天。
7305=7×1043+4
说明20年中有1043周，外加4天，我们关心的其实不是20年中有多少周，而是“外加的4天”（换句话说，关心的不是商数而是余数，有了余数就可求得20年后的6月1日是星期几）。因此，20年后的6月1日应该是星期六。
再看一个题目：
一个奇数去除288和510所得的两个余数相同且为29，求这个奇数。
如果从被除数=除数×商数+余数这个式子出发，必有
被除数-余数=除数×商数
可以知道：288-29和510-29都是除数的倍数。即259和481都是除数的倍数，或除数是259和481的公约数。
用辗转相除法求259和481的最大公约数。
481=259×1+222
259=222×1+37
222=37×6
故37是481和259的最大公约数，即37这个奇数恰为所求的除数。
验证一下：288=37×7+29
510=37×13+29
知37确实是所求的奇数。
换一下角度考虑：由于288和510被同一奇数除所得的余数相同，那么510和288差就一定是这个奇数的倍数。（求差时，相同的余数被减掉了）∵510-288=222=2×3×37
所求奇数为222的奇约数，只可能是37或111
但510=111×4+66
288=111×2+66
余数虽相同但并非29，故111不可能是所求的奇数，
510=37×13+29
288=37×7+29
故37为所求的奇数
一、同余的概念
象510和288这两个数，被37除所得的余数相同，（都是29）我们称510和288对于模37同余。
“对于模37同余”就是指被37除所得的余数相同，记为
510≡288（mod37）
这里mod37读作“模37”，“≡”读作“同余于”。
一般地，两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得的余数相同，就称a和b对于模m同余或a和b在模m下同余，记为
a≡b（modm）
有时也可简读作a与b同余，这时只是未将模m读出而已，很明显一谈到同余总与模有关容易看到，所有的偶数在模2下彼此同余，所有的奇数在模2下也彼此同余。
这里实际上是用2来将整数分成两类，一类被2整除（余数为零），另一类被2除余1。
偶数0，2，4，6，8，……，2k，……
奇数1，3，5，7，9，……，2k+1，……
如果用4来将整数分类，由于余数可为0、1、2、3共四种，因而可分为四类：
0，4，8，12，16……
1，5，9，13，17……
2，6，10，14，18……
3，7，11，15，19……
同一行的两个数，被4除的余数相同，也就是说在模4下同余，
如8≡16（mod4）5≡17（mod4）
2≡14（mod4）7≡15（mod4）
人们将一年的365天按星期日，星期一，星期二……星期六分为七类。
因此，对于每月的1号，8号，15号，22号，28号来说，1号是星期几，共其它几天也是星期几。
我们说过可用模将全体整数分类。
被3除余1的所有数，可用1（mod3）表示，即1，4，7，10……这些数的全体，这些数在模6下却分属两类，因为在模6下所有整数被分为下列六类：0，6，12，18，……0（mod6）
1，7，13，19，……1（mod6）
2，8，14，20，……2（mod6）
3，9，5，21，……3（mod6）
4，10，16，22，……4（mod6）
5，11，17，23，……5（mod6）
1（mod3）表示1（mod6）和4（mod6）两类
被2除余1的数1（mod2），在模6下却分属三类，即1（mod6），3（mod6），5（mod6）
二、同余的几条简单性质
性质1任何整数都和自己同余，（这条性质称为自反性）a≡a（modn）。
性质2甲、乙二整数，如果甲和乙同余，那么乙和甲也同余。（这条称为对称性）若a≡b（modm）现b≡a（modm）。
性质3甲，乙，丙三个整数，如甲和乙同余，乙和丙同余，那么甲和丙一定同余。（这条称为传递性）
若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）。
性质4甲和乙同余，丙和丁同余，那么甲与丙的和与乙和丁的和一定同余。（这条称为可加性）。甲与丙的差与乙和丁的差一定同余。（这条称为可减性）。甲与丙的积与乙和丁面积一是同余。（这条称为可乘性）。
若a≡b（modm）c≡d（modm）
则a+c≡b+d（modm）
a-c≡b-d（modm）
a×c≡b×d（modm）
特别是当a≡b（modm），c=d对，有
a+c≡b+c（modm）
a-c≡b-c（modm）
ac≡bc（modm）
性质5甲和乙同余，那么甲和乙同次乘方的结果仍然同余。（这条称为可乘方性，实际上是可乘性反复运用的结果）
若a≡b（modm），n为自然数
则a m≡b m（modm）
以上各条性质和等式的性质十分相似，不过同余式终究不是等式，并不是等式的各种性质都能移到同余式中来使用。
注意，同余式中不能随意使用“可除性”。即在同余式ac≡be（modm）两端，如同除以c之后可能不同余。
如10≡6（mod4）
即5×2≡3×2（mod4）
但53（mod4）
又如16≡2（mod7）
即8×2≡1×2（mod7）
却有8≡1（mod4）
可见在ac≡be（mod4）两端同除以C后，可能有a≡b（modm）也可能a b （modm），这取决于c与m之间的关系。
结论是：如果（c，m）=1，有a≡b（modm），如（c，m）≠1，就可能有a
b（modm）
例1求437×309×1993被7除的余数
分析：如将437×309×1993算出后，再用7去除从而求得余数，这显然是可以的，但是数字较大，比较麻烦，（实际上437×309×1993=269120769，被7除的余数为1）。
可将437，309，1993分别被7除求出余数，再用同余式性质将余数相乘即可容易得出原数被7除的余数。
解：∵437≡3（mod7）
309≡1（mod7）
1993≡5（mod7）
利用同余式的可乘性，将三式相乘得
437×309×1993≡3×1×5（mod7）
≡15（mod7）≡1（mod7）
即437×309×1993被7除余1
例2 70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和，这一行数最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21……，问这一行数最右边的一个数被6除的余数是几？
分析如果将这70个数都写出，再用6去除最右边的数当然可以，但工作量相当大。
本题中并未要求算出最右边的那个数，仅要求这个数被6除的余数。
根据这70个数组成的规律：中间的一个数的3倍是它两边的数的和。（两头的两个数除外）
那么中间那个数被6除的余数的3倍与两边两数被6除的余数之和再被6除的余数应该相同，（在模6下同余）
将0，1，3，8，21，55……，被6除的余数依次写出为0，1，3，2，3，1，……
仔细观察这串余数，中间的数的3倍与两边二数之和在模6下同余（被6除的余数相同）。因此，用70个数中每个数被6除的余数组成的新数串来代替原数串，不会影响题目的要求（求最右边的数被6除的余数）。现在变为求新的数串中最右的数了。
写新数串的工作量比原来小多了。让我们观察新数串是否有一定规律，如能找到规律还可进一步减少工作量。
将新数串（被6除的余数串）多写几个数试试看：
0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，……
可以看出前12个数一段，将重复出现。
70个数的前5段共60个数，第六段的第十个数为4，这就是原来数串中第70个数被6除的余数。
例3求被7除的余数
分析：由于这个数字太大，真正除工作量太大，不过可以试一试是否有某种规律。
经过试除发现111111可被7整除，这样可将被除数从最高位开始六位一段，由于共有1993个1，即有1993位。
1993=6×332+1
最后剩下的一位上的1，恰好是原数被7除的余数。
故被7除余数为1
（商为158730158730……158730。由332个158730连写组成）
如知道1001是7的倍数，那么
111111=100100+10010+1001
右端的3个数均为7的倍数，所以111111也是7的倍数。
再象上面那样，将从左往右六位一段，最后剩下1，被7除仍余1。
如将除数7改为6，被6除的余数是多少？
作除法试试看
即除第一个1外每3位一段，1111111被6除余1，
1993-1=3×664
在商式上将出现185连写664次，在商中最后一个5的位置所对的1恰好为
余数，因此
被6除余1。
改换一种考虑办法，由于6=2×3，可知原数数字和是1993个1之和为1993，而1993被3除余1。
即被3整除，而也被2整除，因此被6整除。
=+1
故被6除余1。
三、弃九法
在进行计算时，要求准确无误，可是当数字较大或运算复杂时，容易出现错误，这就要求我们有较简便的办法判断是否出错，如能迅速认定计算有误将便于改正。
如4278×39682=169759894这个式子一看便知不正确，因为从末位数字8与2相乘，末位不可能是4，这种办法称为末位检验法。
但如改为4278×39682=169759896，从末位看不出问题，不敢确定计算有无错误。
在“同余的几条简单性质”的例1中，我们曾计算三个数的乘积被7除的余数，若改为计算乘积437×309×1993被9除的余数，根据同余的性质可分别计算437、309、1993，再求三个余数之积被9除的数即可
∵437≡（4+3+7）（mod9）≡5（mod9）
309≡（3+9+0+）（mod9）≡3（mod9）
1993≡（1+9+9+3）（mod9）≡4（mod9）
∴437×309×1993≡5×3×4（mod9）
≡6（mod9）
故知437×309×1993被9除余6
由于求被9除的余数，只需计算数字和被9除的余数，因而可用被9除的余数来检验计算的错误。
如4278×39682=169759896，从末位看不出问题，若计算是正确的，那么两端被9除的余数应相同。若两端被9除余数不同，那么计算肯定有错。
由4278≡3（mod9）
39682≡1（mod9）
有4278×39682≡3（mod9）
但169759896≡6（mod9）
∴4278×39682≠169759896
以上办法称为弃九法。不过应该注意，用弃九法可发现错误，但用弃九法没找出错误却不能保证原题一定正确。
如下列算式明显有错误，但用弃九法却未能发现。
1278×17384=216387
∵1278≡0（mod9）
17384≡5（mod9）
1278×17384≡0×5≡0（mod9）
而216387≡0（mod9）
但从末位可见1278×17384≠216387，这就是说弃九法未发现问题，不能认为计算一定正确，（其实一个四位数乘以一个五位数不可能得到一个六位数）对于除法算式转化为乘法即可检验。
如465187586÷9762=47653是否正确？可转化为9762×47653=46518786是否正确？
从末位数字看，找不出问题。从被乘数的位数（四位），乘数的位数（五位）、积的位数（九位）看也找不出问题。
弃九法检查
9762≡6（mod9）
47653≡7（mod9）
9762×47653≡6×7≡42≡6（mod9）
但 465187586≡5（mod9）
∴9762×47653≠465187586
故465187586÷9762≠47653
弃九法一般都用在整数范围内，对于小数运算可将小数先“当作”整数，方可使用弃九法。
如0.12345×0.9876=0.12191820是否正确？只需看12345×9876=12191820是否正确，即直接去掉小数点，检查数字计算是否正确，再考察小数点位置是否正确。
习题三
1.求16×941×1611被7除的余数。
*2.求被41除所得的余数
3.用弃九法检验乘积
5483×9117=49888511
是否可能正确。
4.用弃九法检验商
1226452÷2683=334
是否可能正确。
5.乘法算式
3145×92653=2910____93995
的横线处漏写了一个数字，你能以最快的办法补出吗？
6.13511，13903，14589被自然数m除所得数相同，问m最大值是多少？
7.求123123+456456+789789被3和9除的余数
8.将奇数按下列图排好，各列分别用A、B、C、D、E、F、G作为代表，问1993所在的列以哪个字母作为代表？
A B C D E F G
1 3 5 7 9 11
23 21 19 17 15 13
25 27 29 31 33 35
47 45 43 41 39 37
49 51 53 55 57 59
……………………
*9.如果2与3均不能整除a与b，那么必有a2=b2（mod24）
*10.形如8k+7的数不能表为三个平方数的和。
参考答案
习题三
1.余数为6；
2.余数29；
3.不正确；
4.不正确；
5.应补上8；
6.m的最大值为98；
7.被3除余0，被9除余0；
8.1993处于第二列（以B代表的列）
9.证明a2-b2能被8与3整除即可；
10.利用（2k）2=4k2被8除余0或余4，
（2k+1）2=4k2+4k+1=4k（k+1）+1被8除余1，即可证明。
数学趣题：
妙用余数
动物学校举行的数学竞赛，最后是小猴和小兔进入了决赛，大象老师给它们每人出了一道题。
（1）猴妈妈带4只小猴给37棵树浇水，每只小猴浇的同样多，猴妈妈浇的棵数最多，猴妈妈至少浇了多少棵？
（2）兔妈妈带4只小兔拔萝卜，共拔23个，每只小兔拔的同样多，兔妈妈拔的最多。每只小兔比妈妈至少少拔几个？
余秀华诗歌集
余秀华，女，1976年生，诗人，湖北钟祥人石牌镇横店村村民。因出生时倒产、缺氧而造成脑瘫，使其行动不便，高中毕业后赋闲在家。余秀华从2009年开始写诗，主题多关于她的爱情、亲情、生活感悟，以及她的残疾和无法摆脱的封闭村子。1995年，19岁的余秀华“在非自由恋爱下结婚”，这段婚姻除了给她带来了一个现在已经18岁在武汉念大学的儿子外，更多的是不幸和苦闷，尽管直到现在两人并未离婚，但多年来两人已少有联系。 代表作《穿过大半个中国去睡你》、《如何让你爱我》、《经过墓园》、《我爱你》、《井台》、《梦见雪》、《致雷平阳》、《那些秘密突然端庄》、《打谷场的麦子》、《我们在这样的夜色里去向不明》、《摇摇晃晃的人间》等。 《穿过大半个中国去睡你》 其实，睡你和被你睡是差不多的，无非是 两具肉体碰撞的力，无非是这力催开的花朵 无非是这花朵虚拟出的春天让我们误以为生命被重新打开 大半个中国，什么都在发生：火山在喷，河流在枯 一些不被关心的政治犯和流民 一路在枪口的麋鹿和丹顶鹤 我是穿过枪林弹雨去睡你 我是把无数的黑夜摁进一个黎明去睡你 我是无数个我奔跑成一个我去睡你 当然我也会被一些蝴蝶带入歧途 把一些赞美当成春天 把一个和横店类似的村庄当成故乡 而它们 都是我去睡你必不可少的理由 《蓝色的牵牛花》 这么多空酒杯，这么多被举起就已经坍塌的力 这么多言简意赅的坚持，这么多伸进秋天的诅咒 哦，这么多落进枝头不再流浪的云 一滴露水滚在杯口是危险的 一束夕光聚在杯底是危险的 有风是危险的，没有风更危险 ——更危险的是，我对这样的危险着迷 它的蓝多需要怀疑 又多需要省略 只是，这漫山遍野的蓝 这比湖水更清冽的呼吸 我不习以为常，又能怎样 《如何让你爱我》
同余
同余 同余式性质应用非常广泛，在处理某些整除性、进位制、对整数分类、解不定方程等方面的问题中有着不可替代的功能，与之密切相关的的数论定理有欧拉定理、费尔马定理和中国剩余定理。 基础知识 三个数论函数 对于任何正整数均有定义的函数，称为数论函数。在初等数论中，所能用到的无非也就有三个，分别为：高斯(Gauss)取整函数[x]及其性质，除数函数d(n)和欧拉(Euler)函数和它的计算公式。 1．高斯(Gauss)取整函数[] 设是实数，不大于的最大整数称为的整数部分，记为[]；称为的小数部分，记为｛｝。例如：［0.5］＝0， 等等。 由的定义可得如下性质： 性质1.； 性质2.； 性质3.设，则； 性质4.;;
性质5.； 性质6.对于任意的正整数，都有如下的埃米特恒等式成立： ； 为了描述性质7，我们给出如下记号：若，且，则称为恰好整除，记为。例如：我们有等等，其实，由整数唯一分解定理：任何大于1的整数能唯一地写成的形式，其中为质（素）数（）。我们还可以得到：。 性质7.若，则 请注意，此式虽然被写成了无限的形式，但实际上对于固定的，必存在正整数，使得，因而，故，而且对于时，都有 。因此，上式实际上是有限项的和。另外，此式也指出了乘数的标准分解式中，素因数的指数的计算方法。 2．除数函数d(n) 正整数的正因数的个数称为除数函数，记为d(n)。这里给出d(n)的计算公式： d(n)＝，为素数唯一分解定理中的指数。为了叙述地更加明确，我们组出素数唯一分解定理。
算术基本定理（素数唯一分解定理）：任何一大于1的整数均可以分解为素数的乘积，若不考虑素数乘积的先后顺序，则分解式是唯一的。 例如：。当一个整数分解成素数的乘积时，其中有些素数可以重复出现。例如在上面的分解式中，2出现了三次。把分解式中相同的素数的积写成幂的形式，我们就可以把大于1的正整数写成 （1） 此式称为的标准分解式。这样，算术基本定理也可以描述为大于1的整数的标准分解式是唯一的（不考虑乘积的先后顺序）。 推论1.若的标准分解式是（1）式，则是的正因数的充要条件是： （2） 应说明（2）不能称为是的标准分解式，，其原因是其中的某些可能取零值（也有可能不含有某个素因数，因而） 推论2.设，且，若是整数的次方，则也是整数的次方。特别地，若是整数的平方，则也是整数的平方。 3. 欧拉(Euler)函数 设正整数0,1，……中与互素的个数，称之为的欧拉函数，并记为 。若的标准分解式是，则的计算公式是： 例如：；
余秀华的诗句
余秀华的诗句 其实，睡你和被你睡是差不多的，无非是两具肉体碰撞的力，无非是这力催开的花朵无非是这花朵虚拟出的春天让我们误以为生命被重新打开大半个中国，什么都在发生：火山在喷，河流在枯一些不被关心的政治犯和流民一路在槍口的麋鹿和丹顶鹤我是穿过槍林弹雨去睡你我是把无数的黑夜摁进一个黎明去睡你我是无数个我奔跑成一个我去睡你当然我也会被一些蝴蝶带入歧途 把一些赞美当成春天把一个和横店类似的村庄当成故乡而它们都是我去睡你必不可少的理由《穿过大半个中国去睡你》 但你还是你，有我一喊就心颤的名字。《风吹》 雪下不下来都阻挡不了我的白，我白不白都掩饰不了一生的荒唐《雪》 我爱上这尘世纷纷扰扰的相遇爱上不停重复俗气又沉重的春天 爱上这承受一切，又粉碎的决心《源》
幸福如一片叶子含在嘴里这个三月，走得小心翼翼我不知道我是否能够获取水分并从一条经脉上得到秋天的走向想让我的一个短句穿过秋天的埋伏天凉的时候，我怀抱紧张回首，还会惊心我不知道我身后的脚印是否如一个酒杯怀揣着月亮我开始信任我的平凡，我的世俗和一钱不值我把一个句子放在山后长长的斜坡上让叶子盖满它的身体可我不知道哪一片叶子的泪光 会得到整个秋天的原谅《但是，我不知道》 除了陽光，我总是不够富裕从春天开始的寂寞的流程让我越来越满，无法掏空《陽光肆意的窗口》 但是我谢谢那些深深伤害我的人们也谢谢我自己：为每一次遇见不变的纯真《再见，2014》 我是我自己的灾难，你是灾难的四分之三。《37岁生日自嘲》 无论如何，我依旧无法和他对称我相信他和别人的都是爱情唯独我，不是《唯独我，不是》 我是穿过槍林弹雨去睡你我是把无数的黑夜摁进一个黎明去睡你
第二讲整除与同余(教师版)
A ( a m 1 a m 2 a 0 ) p . 【例题分析】 位数? 于是所求的三位数只有 512. 3 .一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与 千位数字互换，十位数字与百位数字互换） ，所得的新数减去原数，所得的差为 7812，求原来的四位数。 解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为 x,y,z ，则 3 2 原数 10 x 10 y 10z y ①; Q O 颠倒后的新数 103y 102z 10y x ② 、整数的进位制 1、【十进制数】给定一 个 m 位的正整数 10 的m 1次多项式，即A m 1 a m 1 10 i 01,2, L ,m 1 且 a m 1 2、【p 进制数】若十进制正整数 A 第二讲 整除与同余 A ，其各位上的数字分别记为 a m 1,a m 2, ,a 。, A 可以表示成 m 2 a m 2 10 A a m 1 a m 可以表示为: a {0,1,2,L,p 1}, i 0,,,2,L,m 1 且 a m 1 0 , a i 10 a °，其中 a i {0,1,2,L ,9}, 2 a 0 . m 1 A a m 1 p a m 2 m 仍然为十进制数，则称 a 1 p a ，其中 p 进制数，记为 解: 由于 100 abc 999，则100 (a b 3 c) 999，从而 5 a b c ! 9 ； 当a b c 5时， 53 125 (1 2 5)3 ; 3 当a b c 6时，6 216 (2 1 6)3; 当a b c 7时， 73 343 (3 4 3)3 ; 3 当a b c 8时，8 512 (5 1 2)3; 当a b c 9时， 93 729 (7 2 9)3; b c ）3的所有三位数 1、（2008）a 是由2005个9组成的2005 位数, 是由2005个8组成的2005 为数, 则ab 是（） A 4000 B 4004 C 4008 4010 2.求满足abc (a abc 。
新-12系列建筑标准设计图集
【新 -12 系列建筑标准设计图集】 序号图集代号图集名称 1新 12J01建筑用料及做法 2新 12J02屋面 3新 12J03外装修 4新 12J04-1内装修—墙面 5新 12J04-2内装修—配件 6新 12J04-3内装修—吊顶 7新 12J05-1公用卫生间、盥洗室 8新 12J05-2住宅厨房、卫生间 9新 12J06楼梯 10新 12J07室外工程 11新 12J08地下工程防水 12新 12J09附属建筑 13新 12J10无障碍设计 14新 12J11-1内隔墙构造（轻质条板） 15新 12J11-2内隔墙构造（非抹灰轻质砌块） 16新 12G01砌体房屋结构构造（多层烧结、普通多孔砖） 17新 12G02钢筋混凝土结构构造18新 12G03墙下扩展基础 19新 12G04钢筋混凝土过梁 20新 12G05现浇钢筋混凝土楼梯 21新 12G06预应力混凝土空心板（中强度预应力钢丝） 22新 12G07预制混凝土槽形板23新 12G08管沟及盖板 价格 110元 110元 100元 160元 160元 100元 110元 新12G01——新12G10一共四册，共 400 元，书店没有新12G01——新12G09，只有第 四册的新 12G10
24新 12G09村镇建筑抗震构造 序号图集代号图集名称价格25新 12G10结构总说明示例 26新 12S1卫生设备安装150 元27新 12S3排水工程150 元28新 12S2给水工程 140 元29新 12S4专用给水工程 30新 12S5热水工程 150 元31新 12S6消防工程 32新 12S7建筑中水工程 180 元33新 12S8室外给排水管道附属构筑物 34新 12N1供暖工程 180 元35新 12N2通风与空调工程 36新 12N3管道及设备绝热防腐 150 元37新 12N4室内管道支吊架 38新 12D1图形符号与技术资料 180 元39新 12D210kV/0.4kV 变配电装置及安装 40新 12D3电力线路敷设安装150 元41新 12D4常用风机、水泵控制及照明装置 180 元42新 12D6防雷与接地工程 43新 12D5智能化系统设计及设备安装140 元44新 12R301城镇天然气输配工程设计与施工65 元
浅谈同余及其应用
揭阳职业技术学院 毕业论文（设计） 题目：浅谈同余定理及其应用 学生姓名黄指导教师某某某 系（部）师范教育系专业数学教育 班级 999 班学号 11211211 提交日期200 年月日答辩日期 200 年月日 200 年月日
浅谈同余定理及其应用 摘要 初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它以算术方法为主要研究方法，在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数。同余理论是初等数论中的重要内容之一，其性质及应用研究已引起许多学者的关注。本文归纳总结了同余的若干性质，结合实例，探究了同余性质在检验、判断整除问题、求余数、判断合数、韩信点兵问题等方面的具体应用。体现了用同余性质解决问题的简洁性。 关键词：同余整除余式方程
绪论 初等数论是研究整数性质的一门学科，它是数学中最古老的分支之一，内容极为丰富，曾被数学家说成是数学的皇后。同余问题在当今中小学乃至大学的数学教学中都有涉及，它作为初等数论的核心内容之一，具有很强的应用价值，很多数学问题都要借助同余理论来解决。同余的应用问题分为很多种类型，每种类型的题目又有一定的解题技巧。掌握了这些题型的技巧，可以提高大家解决问题的能力。本文基于对同余理论的理解，将应用同余理论解决的问题具体整理分类，从中分析出一些借助同余理论解题的技巧与规律。现在初等数论中关于同余的内容主要包括：同余的定义及基本性质、剩余类与剩余系、欧拉定理、费马小定理、循环小数、一次同余方程及一次同余方程组。 到目前为止，古今中外很多学者与数学家，对同余的应用问题都有了一定的研究。在中国，早在宋代，大数学家秦九韶所著的《数书九章》中就记载了求解同余方程的“大衍求一术”。还有，著名的古代数学著作《孙子算经》中也记载能解决“物不知其数”问题的孙子定理，也被称作“中国剩余定理”。以及“韩信点兵”问题的研究，都为解决一次同余方程和同余方程组的问题带来了便利。在西方，除了高斯引入同余的概念之外，欧拉和费马提出的定理也为解决同余的相关问题做出了重要的贡献。希望通过本文的研究能将同余理论的应用问题更加系统全面的展现出来。以便，今后大家在探究同余理论时，能对同余应用问题的类型和解决技巧有一个清晰的认识和理解，更好的解决相关问题。 1 相关性质定理[1] 性质1同余是一种等价关系，即有： （1）反身性 a≡a（mod m）. （2）对称性若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）. （3）传递性若a≡b（mod m）， b≡c（mod m）， 则a≡c（mod m）. 性质2同余式可以相加减,即 若 a≡b（mod m），c≡d（mod m），则 (1) a＋c≡b＋d（mod m）. (2) a－c≡b－d（mod m）. 性质3同余式可以相乘,即有：
新-12系列建筑标准设计图集
系列建筑标准设计图集】【新-12 价格图集名称图集代号序号 110元12J01新建筑用料及做法1 110元12J02新屋面2
100元12J03新外装修312J04-1新内装修—墙面412J04-2新内装修—配件5 160元12J04-3新内装修—吊顶612J05-1 新公用卫生间、盥洗室712J05-2新住宅厨房、卫生间8 12J06新楼梯9 160元12J07新室外工程10 12J08新地下工程防水11 100元12J09新附属建筑1212J10新无 障碍设计13 110元12J11-1新内隔墙构造（轻质条板）14 12J11-2新内隔墙构造（非抹灰轻质砌块）15 砌体房屋结构构造（多层烧结、普通多12G01 新16 孔砖）12G02新钢筋混凝土结构构造17新12G01——新12G10一共12G03新墙下扩展基础18 400 四册，共12G04新钢筋混凝土过梁19元， 书店没有新——新12G0112G05新现浇钢筋混凝土楼梯20，只有第12G09预应力混凝土空心板（中强度预应力钢四册的新12G06新21丝）
12G10 新12G07预制混凝土槽形板22新12G08管沟及盖板23 新12G09村镇建筑抗震构造24价格序号图集名称图集代号 12G10新结构总说明示例25 150 元新12S1卫生设备安装26 150 新12S3元排水工程27
12S2新给水工程28 140 元 12S4新专用给水工程29 12S5新热水工程30 150 元 12S6新消防工程31 12S7新建筑中水工程32 180 元 12S8新室外给排水管道附属构筑物33 12N1新供暖工程34 180 元 12N2新通风与空调工程35 12N3新管道及设备绝热防腐36 150 元 12N4新室内管道支吊架37 12D1新图形符号与技术资料38 180 元 变配电装置及安装12D2新10kV/0.4kV 39 150 新12D3元电力线路敷设安装40 12D4新常用风机、水泵控制及照明装置41 180 元 12D6新防雷与接地工程42
初等数论 第三章 同余
第三章 同 余 §1 同余的概念及其基本性质 。，所有奇数；所有偶数，例如，。 不同余，记作：对模则称；若所得的余数不同，同余，记作：对模则称所得的余数相同，与去除两个整数，称之为模。若用设)2(mod 1)2(mod 0)7(mod 18)(mod ,)(mod ,≡≡≡≡/≡∈+a a m b a m b a m b a m b a b a m m Z 定义1。 故同余关系是等价关系；（传递性），则，、若；（对称性） ，则、若；（反身性） 、：关系，它具有下列性质同余是整数之间的一种)(mod )(mod )(mod 3)(mod )(mod 2)(mod 1m c a m c b m b a m a b m b a m a a ≡≡≡≡≡≡ 。 则，，，设。 ，，即同余的充分必要条件是对模整数)(|)()(mod ,0)(|,2121212211b a m q q m b a r r m b a m r r r mq b r mq a t mt b a b a m m b a -?-=-?=?≡<≤+=+=∈+=-证明定理1Z 。 ，则若； ，则，若)(mod )(mod )2()(mod )(mod )(mod )1(21212211m b c a m c b a m b b a a m b a m b a -≡≡++≡+≡≡性质1 。 ，则特别地，若； ，则，若)(mod )(mod )(mod )(mod )(mod 21212211m kb ka m b a m b b a a m b a m b a ≡≡≡≡≡性质2 。 ，则， ；特别地，若则 ，，，若)(mod ,,2,1,0)(mod )(mod ,,2,1)(mod )(mod 0110111111 111 111m b x b x b a x a x a n i m b a m y y B x x A k i m y x m B A n n n n n n n n i i k k i i k k k k k k k k +++≡+++=≡≡ =≡≡----∑∑ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛαααααααααααααααα定理2。，则，，，若)(mod )(mod 1),(1111m b a m b a m d d b b d a a ≡≡===性质3
余秀华的诗歌
【我爱你】 巴巴地活着，每天打水，煮饭，按时吃药 阳光好的时候就把自己放进去，像放一块陈皮 茶叶轮换着喝：菊花，茉莉，玫瑰，柠檬 这些美好的事物仿佛把我往春天的路上带 所以我一次次按住内心的雪 它们过于洁白过于接近春天 在干净的院子里读你的诗歌。这人间情事 恍惚如突然飞过的麻雀儿 而光阴皎洁。我不适宜肝肠寸断 如果给你寄一本书，我不会寄给你诗歌 我要给你一本关于植物，关于庄稼的 告诉你稻子和稗子的区别 告诉你一棵稗子提心吊胆的 春天 【穿过大半个中国去睡你】 其实，睡你和被你睡是差不多的，无非是 两具肉体碰撞的力，无非是这力催开的花朵 无非是这花朵虚拟出的春天让我们误以为生命被重新打开 大半个中国，什么都在发生：火山在喷，河流在枯 一些不被关心的政治犯和流民 一路在枪口的麋鹿和丹顶鹤 我是穿过枪林弹雨去睡你 我是把无数的黑夜摁进一个黎明去睡你 我是无数个我奔跑成一个我去睡你 当然我也会被一些蝴蝶带入歧途 把一些赞美当成春天 把一个和横店类似的村庄当成故乡 而它们 都是我去睡你必不可少的理由
【石磨】 横店的石磨上，谁栓住了我前世今生 谁蒙住了我的眼睛 磨眼里喂进三月，桃花，一页风流 磨眼里喂稗草，苍耳，水花生 ——假如风能养活我，谁就不小心犯了错 我转动的上磨大于横店，横店是静止的下磨 大于横店的部分有我的情，我的罪，我的梦和绝望磨眼里喂世人的冷，一个人的硬 磨眼里喂进散，大雾，雪 ——风不仅仅养活了我，谁一错再错 谁扯下我的眼罩，我还是驮着石磨转动 白天和夜里的速度一样 没有人喂的磨眼掉进石头，压着桃花 掉进世俗，压住悲哀 ——这样的转动仅仅是转动 【就做一朵落败的花】 我承认，我是那个住在虎口的女子 我也承认，我的肉体是一个幌子 我双手托举灵魂 你咬不咬下来都无法证明你的慈悲 不要一再说起我们的平原，说出罪恶的山村 生活如狗 谁低下头时，双手握拳 花朵倒塌，举着她的茎鲜血淋漓 我一再控制花朵的诉说，和诗毒蔓延 如同抵挡身体的疾病和死亡的靠近 你需要急切地改变注视的方向 改变你害怕举灯看见的自己的内心 生活一再拖泥带水
余数性质及同余定理(B级) 1
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
第三讲 同余理论
第二章 同余理论 2.1 同余的概念和基本性质 【定义2.1.1】给定一个正整数m ，两个整数a 、b 叫做模m 同余，如果a －b 被m 整除，或b a m -|，记作b a ≡ ()m mod ； 否则叫做模m 不同余，记作a≠b （（mod m ）） 【注】由于b a m -|等价于b a m --|，所以同余式 b a ≡ ()m mod 等价于 b a ≡()()m -mod ， 故以后总假定模1≥m 。 【例1】 7│28＝29－1，故29≡1（mod 7）； 7│21＝27－6，故27≡6（mod 7）； 7│28＝23－（－5），故23≡－5（mod 7）； 同余运算的相关性质： 【性质1】设m 是一个正整数，a 、b 是两个整数，则a≡b（mod m ）?存在整数k ，使得a ＝b ＋km 。 （证）a≡b（mod m ） ? b a m -| ? 存在k ，使得 a －b ＝km ，即a ＝b ＋km 【性质2】同余是一种等价关系。即 自反性：a≡a（mod m ） 对称性：a≡b（mod m ）? b≡a （mod m ） 传递性：a≡b（mod m ）且b≡c （mod m ）? a≡c （mod m ） （证）（i ）m│0＝a －a ? a≡a（mod m ） （ii ）a≡b （mod m ）? m│a－b ? m│b－a ＝－(a －b) ? b≡a （mod m ） （iii ）a≡b（mod m ），b≡c（mod m ）? m│a－b ，m│b－c ? m│(a－b)＋ (b －c)＝a －c ? a≡c （mod m ） 【性质3】（等价定义）整数a 、b 模m 同余?a 、b 被m 除的余数相同。 （证）由欧几里得除法，存在q ，r ，q '，r '，使得 a ＝qm ＋r ， b ＝q 'm ＋r ' 即 a －b ＝(q －q ')m ＋(r －r ') 或 （r －r '）＝(a －b)－ (q －q ')m
余秀华经典诗歌
余秀华经典诗歌
余秀华经典诗歌 《穿越大半个中国去睡你》 其实，睡你和被你睡是差不多的，无非是 两具肉体碰撞的力，无非是这力催开的花朵 无非是这花朵虚拟出的春天让我们误以为生命被重新打开大半个中国，什么都在发生：火山在喷，河流在枯 一些不被关心的政治犯和流民 一路在枪口的麋鹿和丹顶鹤 我是穿过枪林弹雨去睡你 我是把无数的黑夜摁进一个黎明去睡你 我是无数个我奔跑成一个我去睡你 当然我也会被一些蝴蝶带入歧途 把一些赞美当成春天 把一个和横店类似的村庄当成故乡 而它们 都是我去睡你必不可少的理由[10] 《经过墓园》 如同星子在黄昏，一闪。在墓园里走动，被点燃的我 秘密在身体里不断扩大，抓不住的火 风，曳曳而来，轻一点捧住火，重一点就熄灭我
他们与我隔土相望。站在时间前列的人 先替我沉眠，替我把半截人世含进土里 所以我磕磕绊绊，在这座墓园外剃去肉，流去血然而每一次，我都会被击中 想在不停的耳语里找到尖利的责备 只有风，在空了的酒瓶口呼啸似的呼啸 直到夜色来临，最近的墓碑也被掩埋 我突然空空荡荡的身体 仿佛不能被万有引力吸住 《井台》 许多井散落在地里，你若有醉意 就无从寻觅。 哪一口枯了，风声四起 哪一口丰盈，拍一拍就溢出蜜 而井台，蛊惑里的善良和敌意 让日子一砖一砖扣得紧密 漏风，漏雨无非一种象征意义 汲水的人消逝于水的自身 大地饥渴 红衣的女子用乳房一遍遍 搽去井台上的几粒鸟粪 整个胸堂，都弥漫云的回音
《梦见雪》 梦见八千里雪。从我的省到你的省，从我的绣布 到你客居的小旅馆 这虚张声势的白。 一个废弃的矿场掩埋得更深，深入遗忘的暗河 一具荒草间的马骨被扬起 天空是深不见底的窟窿 你三碗烈酒，把肉身里的白压住 厌倦这人生粉扬的事态，你一笔插进陈年恩仇 徒步向南 此刻我有多个分身，一个在梦里看你飘动 一个在梦里的梦里随你飘动 还有一个，耐心地把这飘动按住 《致雷平阳》 我以诗人的身份向你致敬，以农民的身份和你握手 他年，我流离失所，我就抵挡一辈子的清白沽酒一壶 邀你对酌 为只为，一只狗在你心头吠过秋风 为只为，牧羊的时候，你的孤独，对峙，和解和贪图 为只为，一条河弯弯曲曲，只有你清楚他的去向 为只为，一个老诗人离去，你在异乡的佛像前长跪，泣不成声
六年级奥数第27讲-同余法解题(教)
学科教师辅导讲义 学员编号：年级：六年级课时数：3 学员姓名：辅导科目：奥数学科教师： 授课主题第27讲——同余法解题 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，教学目标 和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 知识梳理 一、带余除法的定义及性质 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 三、中国剩余定理 1.中国古代趣题 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？ 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。 2.核心思想和方法 对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法: 今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？ 题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。 先由5735 ?=，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数35270 ?=是否可以，很显然70除以3余1 类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。 最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算： k k ?+?+?±=-，其中k是从1开始的自然数。 270321245[3,5,7]233[3,5,7] 也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。 例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”， 那么我们可以计算2703212452[3,5,7]23 ?+?+?-?=得到所求 如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”, 我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。 典例分析
同余的性质与应用
. 1 同余的性质及应用 1 引言 数论的一些基础容的学习，一方面可以加深对数的性质的了解，更深入的理解某些其他邻近学科，另一方面，可以加强数学训练.而整数论知识是学习数论的基础，其中同余理论有时整数论的重要组成部分，所以学好同余理论是非常重要的. 在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数，例如我们问现在是几点钟，就是用24去除某一个总的时数所得的余数；问现在是星期几，就是问用7去除某一个总的天数所得的余数，假如某月2号是星期一，用7去除这月的号数，余数是2的都是星期一. 我国古代子算经里已经提出了同余式11(mod )xb m ,22(mod )xb m ,…, (mod )k k xb m 这种形式的问题，并且很好地解决了它.宋代大数学家九韶在他的《数学九章》中提出了同余式1(mod )i i x M m ≡, 1,2,...,i k =, i m 是k 个两两互质的正整数， 12...k m m m m =,i i m m M =的一般解法. 同余性质在数论中是基础，许多领域中一些著名的问题及难题都是利用同余理论及一些深刻的数学概念，方法，技巧求解.例如，数论不定方程中的费尔马问题，拉格朗日定理的证明堆垒数论中的华林问题，解析数论中，特征函数基本性质的推导等等.在近现代数论研究中，有关质数分布问题，如除数问题，圆格点问题，等差级数问题中的质数分布问题，2an bn c ++形式的质数个数问题，质数个数问题，质数增大的快慢问题，孪生质数问题都有一定程度的新成果出现，但仍有许多尚未解决的问题. 数论的发展以及现代数学发展中提出的一些数论问题，都要求我们对于近代数论的一些方法和基础知识，必须熟练掌握.所以，本文主要介绍了同余理论中同余基本性
余秀华的诗-读这几首就够了
余秀华的诗，读这几首就够了 余秀华的走红表面上是一种诗歌现象，但本质上是一种传播现象，正因为这种现象的消费本质，导致了余秀华的诗歌被误读，其文学性被忽略。移动互联网的普及和自媒体时代的来临，为纪传色彩浓厚的作品的传播创造了条件，其中一些处境艰难的女作家尤其引人注目，她们敢于用文字述说生活的艰难，抒发个人的不幸，引发了大众的同情与共鸣。大众关注的是她们本人，而她们的作品则被忽略，被误读，余秀华的诗歌也许就是被误读、被歪曲最严重的。 《穿过大半个中国去睡你》是余秀华的成名作，却未必是她的代表作。许多人因这首诗而认识余秀华，但也有不少人因这首诗而拒绝余秀华。本文就是要在余秀华现象潮水过后，细数一下她的诗歌有多少值得回味和欣赏的东西，她诗歌中的文学成分有多少。 阳光好的时候就把自己放进去，像放一块陈皮身体的病痛、生活的不幸既是人间的苦难，也是人生的馈赠。面对这种馈赠，多数人宁愿把自己变得粗糙无感去回避，唯有诗人以一颗善感的诗心去接受。余秀华是善感的，她的诗歌绝大部分取材于家乡横店村，写自己简单的乡村生活，写个体生命的体验感受。她善于在日常生活的琐事中写出了属于她的生命感受。阳光、云彩、麦地这些普通的景物，常常被她翻
出前人未发之新意。赞美诗 这宁静的冬天阳光好的日子，会觉得还可以活很久甚至可以活出喜悦黄昏在拉长，我喜欢这温柔的时辰喜欢一群麻雀儿无端落在屋脊上又旋转着飞开小小的翅膀扇动淡黄的光线如同一个女人为了一个久远的事物的战栗 经过了那么多灰心丧气的日子麻雀还在飞，我还在搬弄旧书玫瑰还有蕾一朵云如一辆邮车好消息从一个地方搬运到另一个地方仿佛低下头看了看我《赞美诗》应属余秀华的代表作之一。这首诗是对冬日夕阳的赞美之诗，也是对未来希望的渴望之诗，是对心灵进行自我慰藉的温暖之诗。余秀华对阳光是敏感的，“阳光好的日子，会觉得还可以活很久/甚至可以活出喜悦”，在另一首诗中她写道：“阳光好的时候就把自己放进去，像放一块陈皮”，这种语言是一种掏心掏肺的神来之笔，说不清是什么技法，但它就是能道出了你胸中欲吐之块垒。而“一朵云如一辆邮车”，搬运着好消息，这种想象也令人眼前一亮。再看这首：下午，摔了一跤 提竹篮过田沟的时候，我摔了下去一篮草也摔了下去当然，一把镰刀也摔下去了鞋子挂在了荆棘上，挂在荆棘上的还有一条白丝巾轻便好携带的白丝巾，我总预备着弄伤了手好包扎但10年过去，它还那么白赠我白丝巾的人不知去了哪里我摔在田沟里的时候想起这些，睁开眼睛云白得浩浩荡荡散
余秀华读《给你》,不惧晦涩青春
余秀华读《给你》，不惧晦涩青春 有些青春美好又闪亮，然而也有些青春苦涩又迷茫。对于诗人余秀华来说，她的青春就是一段难以言说的“晦涩文章”。 余秀华，1976年生于湖北省钟祥市石牌镇横店村，她因出生时倒产、缺氧而造成脑瘫，使其行动不便，说起话来口齿不清。高中毕业后，便赋闲在家。余秀华19岁在“非自由恋爱”的情况下结婚，当时并不懂爱情是什么，觉得很不适应。 然而这么一个长期生活在社会底层、身体带有残缺的女人，并没有开始庸碌苦难的一生。2009年，余秀华正式开始写诗，主题多关于她的爱情、亲情、生活感悟，这些爱情，对于没有经历过爱情的余秀华来说，是“缺什么补什么”。2014年11月，《诗刊》发表其诗作，余秀华迅速成名。现场，余秀华说：“离婚，是因为我有钱了…”大家都为他高兴，虽然他的身体不自由，但是至少她的婚姻自由了，2015年，余秀华有了一定的经济基础，首先她选择了婚姻自由。2017年1月18日，余秀华凭借诗集《摇摇晃晃的人间》走红网络，成为20世纪90年代以来唯一一个诗集超过10万册销量的现象级“网红女诗人”。
对于许多人来说，经济水平的提高就意味着更加自由。可是余秀华却不以为然。“自由是你的生活状态是你最喜欢的生活状态。我的身体外貌都不符合男人的审美。当一个人真正爱我的时候我会马上退缩。” 今天，她朗读的是自己的诗集里的《给你》，虽然他的朗读比起其他的字正腔圆的朗读者嘉宾，她的朗读显然是“不及格的”。但是，透过这一字一顿的声音，我们仿佛看到一段滚烫的，苦涩的，绝望又无所畏惧的爱情，看到她的丰盛倔强的灵魂。 《给你》——余秀华 一家朴素的茶馆，面前目光朴素的你皆为我喜欢 你的胡子，昨夜辗转的面色让我忧伤 我想带给你的，一路已经丢失得差不多 除了窗外凋谢的春色 遇见你以后，你不停地爱别人，一个接一个 我没有资格吃醋，只能一次次逃亡 所以一直活着，是为等你年暮 等人群散尽，等你灵魂的火焰变为灰烬 我爱你。我想抱着你 抱你在人世里被销蚀的肉体 我原谅你为了她们一次次伤害我 因为我爱你
余秀华诗评
《诗歌，是人间的药》 ——刘年的第二本诗集，为何《生命苍凉如水》的后记 1 诗无定势，水无常形。 2 把“诗人”这顶帽子，从垃圾堆里翻出来戴上。 可以骂我，笑我，嫌我，唾我，弃我，但不要同情我。 我在怜悯世界。 3 深秋的后半夜，你会看到词语和星星一样，熠熠发光。 4 喜欢苏东坡。 诗人见面就当讲真话，五分钟之后，当可以谈心；诗人当有趣，好玩，当喜欢音乐和山水；诗人当像热爱诗歌一样热爱女人，当像热爱女人一样热爱生活；诗人把手里的笔换成刀，就是侠客，诗人当关心弱者和星空；诗人在写不出诗的时候，应当坐几个小时的汽车，再转手扶拖拉机，去乡下找一个煮得一手好鱼的朋友。 一生不读顾城诗。 5 希望，我的诗歌，当了外公的大学中文系的教授都喜欢看。 初中二年级接到第一封情书的女生，都看得懂。 6 写到最关键的时候，诗和禅一样，不可教，不可学，只可悟。 文字分行，并不是难事，如何让分行的文字，变成真正的诗歌，就如同把石头点成金一样，这是诗歌最神奇最神秘的地方。诗意就像一个顽皮的小妖精，你不知道她什么时候、躲在哪里，以何种面目出现，没有人可以完全控制她。 诗，通灵通神，诗，无法无天。 无法用公式推导，无法用定理来证明，无法用金钱来买通，也无法用手枪来威胁。 7 诗在城外六七里，过了柳庄再往西。
8 诗歌，是一个情人，你需要的时候，总在那里。 你可以对他说内心最深处的话。 不管天再冷，夜多长，也不管你有没有户口和房产证。 9 喜欢落日、荒原和雪。 背着背包在雪原上行走，就像一颗背负着多重含义的汉字，在苍茫的白纸上奔突。 10 诗写到最后，拼的是胸襟、心质和风骨。 狭隘、卑鄙、贪婪、奸邪的小人，可以写一流的小说、散文、材料、电视剧连续剧剧本，可以写一流的书法，可以画一流的画，但拿一流的诗歌毫无办法。 唐人以诗取仕是有道理的，大唐的繁荣也是有道理的。 11 我诗歌里的痛，有十分之七，来源于这片大地。 12 我写诗，除了迷恋语言之外，还想成名，想让那些伴随我多年的误解变成理解。生活没规律，暴饮暴食，熬夜失眠，没有医疗保险又总喜欢冒险，对长寿没有追求，所以，我估计活不长，希望，诗歌能延长我的生命。 希望，百年之后的某个雪夜，有个人看着我的诗歌，像看着我一样，潸然泪下。 13 我有个儿子，经常教他读诗。 我不赞成他当诗人。 一生和灵魂近距离接触，是一件很危险的事。 14 新诗，本质就是自由。生命的本质，也是自由。 所以，诗歌，是纸上的生命，而每个生命，都是大地上的诗歌。 15 “女不看《三国》，男不看《红楼》。”
1.同余的概念及基本性质
第三章 同余 §1 同余的概念及其基本性质 定义 给定一个正整数m ，若用m 去除两个整数a 和b 所得的余数相同，则称,a b 对模m 同余，记作()mod .a b m ≡若余数不同，则称,a b 对模m 不同余，记作 ()\mod a b m ≡. 甲 ()mod . a a m ≡ （甲：jia 3声调； 乙：yi 3声调； 丙：bing 3声调； 丁：ding 1声调； 戊：wu 声调； 己：ji 3声调； 庚：geng 1声调； 辛: xin 1声调 天； 壬: ren 2声调； 癸: gui 3声调.） 乙 若()mod ,a b m ≡则()mod .b a m ≡ 丙 若()()mod ,mod ,a b m b c m ≡≡则()mod .a c m ≡ 定理1 ()mod |.a b m m a b ≡?- 证 设()mod a b m ≡，则12,,0.a mq r b mq r r m =+=+≤<于是， ()12,|.a b m q q m a b -=-- 反之，设|.m a b -由带余除法，111222,0,,0a mq r r m b mq r r m =+≤<=+≤<，于是， ()()1221. r r m q q a b -=-+- 故，12|m r r -，又因12r r m -<，故()12,mod .r r a b m =≡ 丁 若()()1122mod ,mod ,a b m a b m ≡≡则，()1212mod .a a b b m ±≡± 证 只证“+”的情形.因()()1122mod ,mod a b m a b m ≡≡，故1122,m a b m a b --，于是()()()()11221212|m a b a b a a b b -+-=+-+，所以()1212mod .a a b b m +≡+ 推论 若()mod ,a b c m +≡则()mod .a c b m ≡-
余秀华
余秀华：诗歌是我摇摇晃晃人生的一根拐杖 余秀华，女，1976年生，湖北钟祥石牌镇横店村人，因出生时倒产、缺氧而造成脑瘫，使其行动不便，19岁“在非自由恋爱下结婚”。2009年开始写诗,代表作《穿过大半个中国去睡你》，人们惊艳于余秀华的天才和诗歌的质朴滚烫、直击人心。 “我不想这样被关注。”余秀华对记者说，尽管她理解这种被打扰。1月17日，她面对众多媒体记者现场写了一首诗，“假如你是沉默的，海水也会停止喧哗。” 写了16年诗的湖北诗人余秀华几乎在一夜之间成了名人，她的作品行文质朴、感情浓烈，在微信圈中被反复传递，迅速被人熟知与谈论。过人的文字天赋、加身体残疾，更使余秀华和她的诗歌成了热门话题。 新华网武汉1月19日新媒体专电（“中国网事”记者俞俭）不必追问余秀华为何一夜之间火了，也不必着急给她安上一顶顶各种诗人的桂冠。记者奔赴湖北荆门的钟祥市石牌镇横店村。短短两天时间采访，难以完全读懂她那39年“摇摇晃晃的人生”。透过她的2000多首诗，能感受到在鄂中这片温热的土壤，余秀华怀着一颗不安的心，顽强地生长，诗意地栖居！ “诗歌是我摇摇晃晃人生的一根拐杖” 2014年《诗刊》9月号重点推出余秀华的诗，引发诗坛广泛关注，《诗刊》编辑刘年向读者郑重推荐余秀华。随后，余秀华的诗通过博客和微信发布，激起一波又一波阅读和转发热潮，点击量连连飙升，这位以诗歌为拐杖的“独行侠”一夜爆红。“我穿的羽绒服是红色的。”面对多家媒体记者的采访，余秀华不无幽默地回应她的“红”。 在横店村一座普通的农家院子里，余秀华曾在无数个日夜凝视天空，对望旷野，而眼下和记者们热情拥抱，谈笑风生，聊她的脑瘫，聊她的爱情，聊她的诗歌。她的内心没有高墙，连一道篱笆也没有。 她走路“摇摇晃晃”，努力平衡着自己的身躯，说话也似憋出来一样，尽可能让你听得更清楚。她出生时倒产，脑缺氧而致脑瘫，高二就退学在家。她不能干重活，平常就扫扫院子，农忙时帮忙烧饭洗衣，也摘棉花。她最喜欢喂兔子，家里养了几十只。这两天突然死了近10只，她难过得掉泪，兔子是她的“小情人”。 更多时间，她孤独，这促使她沉思，写诗。“其实我一直不是一个安静的人，我不甘心这样的命运。”她说，“只有在写诗歌的时候，我才是完整的，安静的，快乐的。”她给记者签名、写电话号码，足足花了2分钟。对她来说，每写一个字都很吃力，而诗歌是字数最少的一种文体。 “风，水，天空，云朵都是可以触摸的，它们从笔尖走下来。”牵牛花、狗尾巴草、柿子树、打谷场……生活里的点点滴滴都变成了诗歌。当那些扭扭曲曲的文字写满一整本的时候，她是那么快乐。她把一个日记本的诗歌给老师看时，老师称赞她“真是个可爱的小女生。”简简单单的一句话，让她非常感动。 打麻将玩牌是村民的娱乐，而她只是喜欢看书。一个人孤独寂寞，生活单调无聊，写诗就成了一种习惯，那是心灵深处发出的呼唤。弟弟余仕勇是钟祥市一所中学的老师，他说姐姐一直不服输，永远是那么倔强。 2012年她跑到温州，想找一份工作自食其力，却找不到合适的。写诗成为她生命的主要内容。她说，这么多年，除了诗歌，几乎厌倦所有的事情。余秀华痛悼诗友李小旭的一篇日记，道出了心声：“没有诗歌，我们怎么办？” 荆门市文联副主席李诗德认为，余秀华的写作，再一次证实了诗歌对生命的力