5.2向量的数量积(二)

南通市工贸技工学校

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课题：

教学目的要求：

教学重点、难点：

授课方法：讲授法

教学参考及教具（含多媒体教学设备）：三角板，直尺授课执行情况及分析：

板书设计或授课提纲

教案用纸附页

、若，则

、，

、已知、与垂直，与

直，求与

、已知求与

、已知求与

、若与，且，

已知，向量与

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两个向量的数量积说课稿

《两个向量的数量积》说课稿 各位评委：您们好！ 我叫李健，来自川师成都学院。今天我说课的课题是高二下册第九章第2节《两个向量的数量积》（第一课时），现我就教材分析、教学目标分析、教学重难点、教法与学法设计、教学过程、五个方面进行说明。恳请在座的各位评委批评指正。 一、教材分析 本节课是人教B版选修2-1第三章第节的内容，是在学生学习了空间向量的线性运算和空间向量基本定理的基础上进一步学习的内容，是平面向量数量积及其研究方法的推广和拓展。它丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点、新的方法，并且是本章和今后学习的重要基础。 二、教学目标 介于本节课的重要地位和课程标准的要求，根据学生实际学习水平和思维特点，我确立本节课的教学目标如下： 知识与技能：（1）掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；（2）掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；（3）掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。 ！ 过程与方法：（1）经历空间向量数量积知识的形成过程（2）体会低维与高维相互转化的思维过程（3）发展联想、类比、探究的能力、培养数学表达和交流能力（4）培养用联系的观点看问题，渗透数形结合的思想 情感、态度：（1）激发学生求知欲，提高学习兴趣，树立学好数学的信心（2）认识数学的科学价值、应用价值，体会数学的理性精神 三、教学重难点分析 根据教材内容和学生观察、形象思维能力强，而空间想象能力不足的特点，我制定了以下重难点 教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用 教学难点：（1）两个向量的数量积的几何意义（2）如何把立体几何问题转化为向量计算问题

高中数学-两个向量的数量积测试题

高中数学-两个向量的数量积测试题 自我小测 1．已知非零向量a ，b 不平行，并且其模相等，则a ＋b 与a －b 之间的关系是( ) A ．垂直 B ．共线 C ．不垂直 D ．以上都有可能 2．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于( ) A.97 B ．97 C.61 D ．61 3．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝ π3 ，则cos 〈OA →，BC →〉＝( ) A.12 B.22 C ．－12 D ．0 4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0， 则△BCD 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 5．已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则 a 与 b 的夹角的取值范围是( ) A.??????0，π6 B.??????π3，π C.??????π3，23π D.???? ??π6，π 6．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，则a ＋b ＋c 的模等于__________． 7．已知a ，b 是异面直线，a ⊥b ，e 1，e 2分别为取自直线a ，b 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a⊥b ，则实数k 的值为__________． 8．如图所示，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ?平面α，AC ⊥平面α，BD ⊥AB ，BD 与平面α成30°角，则点C 与D 之间的距离为__________． 9．已知空间四边形ABCD ，求AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD → 的值．

《空间向量数量积的运算》的教学反思

《空间向量数量积的运算》教学反思 本节课我讲了选修2-1第三章《空间向量的数量积运算》这个节，这是本章第三节的内容，主要学习的是空间向量的数量积的运算及应用。根据大纲，要求学生能熟练应用空间向量的运算解决简单的立体几何问题，这也是本节课的难点。突破难点的方法是让学生会用已知向量表示相关向量，就是利用三角形法则或多边形法则把未知向量表示出来，进而再求两个向量的数量积、夹角、距离等。 三方面实行整体设计，注重与学生已有知识的联系及相关学科知识的联系（物理学：功），因为本节知识是向量由二维向三维的推广，所以预习平面向量的运算起了一定的作用，使学生体会知识的形成过程和数学中的类比学习方法。在整个教学过程中，我还是沿用知识复习、学生探究、教师例题分析、师生合作归纳小结的主线实行教学，符合学生的认知规律，也易于学生对知识的掌握，在教学方法上，我注重多媒体演示和传统板书教学有效结合，较好地辅助了教学。同时，结合新高考的要求，我注重了数学核心素养的培养，在教学中例题分析与归纳时，我注重了数学思想方法的渗透，如本节课我就渗透了数形结合思想、类比思想等，本节课的核心理念是体现学生在学习中的主体性。但我注重调动学生的主观能动性，最大限度的发挥学生的主体作用，在教学过程中，学生的思维活跃，积极讨论问题，自主解决相关例题。精彩处在于学生积极参与互动，学生评判，教师引导，学生积极归纳知识点，整个课堂热烈有序，张而有驰，整体课多次出现教学高潮，博得了学生与听课专家的热烈掌声，从课后反馈来看，本堂课普片反应学懂了，掌握了知识和解决问题的水平，正在学有所用。 不足之处：在创设情境时，我用的是知识性引课，不够引人入胜，要是能想出更好的引课方式或动画设计，在一开始就抓住学生的眼球，调动起学生学习的积极性，应该效果会更好。其次，在课堂中没有充分发挥学生的主体性，老师由引导者又逐步变成了主导者。另外，难点突破应该在两个例题上，不过前边耽误了时间，导致重点地方没有充足的时间解决，没达到最初的意图。对问题的探究需要时间，课上让学生放开去探究，减少了课堂容量，影响到了例题的分析讲解。应

空间向量的数量积(人教A版)(含答案)

空间向量的数量积（人教A版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)，，若向量分别与，垂直，则向量的坐标为( ) A.(1，1，1) B.(-2，-1，1) C.(1，-3，1) D.(1，-1，1) 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 2.已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4）．设，则与夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 3.（上接试题2）若向量与互相垂直，则实数k的值为( ) A.或2 B.或2 C.2 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 4.向量，若，且，则的值为( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1

答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 5.已知空间向量，若与垂直，则( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 6.若向量，且与夹角的余弦值为，则λ等于( ) A.4 B.−4 C. D. 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则( ) A.1 B.2 C.3 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积 8.如图，棱长为a的正四面体ABCD中，( )

两个向量的数量积的性质.

课 题：向量的数量积（1） 教学目的：掌握向量的数量积及其几何意义；掌握向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学过程： 一、问题情境： 1.问题：向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？ 2.实例:一个物体在力的作用下发生了位移,那么该力对此物体所做的功为多少? 力做的功：θcos ||.||s F w =，θ是F 与s 的夹角. 二、讲解新课： （一）概念形成与知识建构： 1．两个非零向量夹角: ，叫做向量a 与b 的夹角. 注：当0=θ时，与同向；当πθ=时，与反向；当2π θ=时，与垂直，记⊥. 2．平面向量数量积（或内积）的定义： ，记作?，即?a b θcos ||.||b a =，（０≤θ≤π）.规定0与任何向量的数量积为0. 注:当与同向时，?= ；当与反向时，? ； 特别地, ?a a 2||a = 或=||a (二)?探究： 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别: （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定 （2）两个向量的数量积称为内积，书写时符号“· ”不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若0≠a ，且0=?b a ，则0=b ；但是在数量积中，若0≠a ，且?0=，不能推出0 =. (三)知识应用: 例1. 判断正误，并简要说明理由 ①00=?；②00=?；③-0＝；④?||.||b =；⑤若0≠a ，则对任一

《空间向量的数量积运算》示范教案

3.1.3空间向量的数量积运算 整体设计 教材分析 本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法． 通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高．课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法； 2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律； 3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题． 过程与方法 1．运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程； 2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义． 情感、态度与价值观 1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生空间向量的应用意识． 重点难点 教学重点： 1．空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义； 2．空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用． 教学难点： 1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用； 2．空间向量的数量积运算及其几何应用和理解． 教学过程 引入新课 提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′的中点，点F在线段 D′C′上，D′F＝1 2FC′，如何确定BE → ，FD → 的夹角？

选修2-1两个向量的数量积课时作业

课时作业18两个向量的数量积 时间：45分钟满分：100分 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列式子中正确的是() A．|a|·a＝a2 B．|a·b|2＝a2·b2 C．(a·b)·c＝a(b·c) D．|a·b|≤|a||b| * 【答案】D 【解析】选项A，|a|·a应是一个向量，而a2是一个数．选项B，|a·b|2＝a2·b2·cos2〈a，b〉，而不是a2·b2.选项C，向量运算中没有乘法结合律． 2．已知空间四边形每条边和对角线的长等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2等于() A．2BA→·AC→B．2AD→·BD→ C．2FG→·CA→D．2EF→·CB→ 【答案】B 【解析】2BA →·AC→＝－a2,2AD→·BD→＝a2,2FG→·CA→＝－a2,2EF→·CA→＝－ a2,2EF→·CB→＝－1 2a2. 3．已知a，b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b 且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是() ( A．30°B．45°

C ．60° D ．90° 【答案】 C 【解析】 AB →＝AC →＋CD →＋DB →， ∴AB →·CD →＝(A C →＋C D →＋D B →)·C D → ＝A C →·C D →＋CD 2→＋D B →·C D →＝0＋12＋0＝1，又|A B →|＝2，|C D →|＝1. ∴cos 〈A B →，C D →〉＝A B →·C D →|A B →||C D →|＝12×1＝12. ∴a 与b 所成的角是60°. } 4．已知向量a ，b ，c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则 |a －b ＋2c |等于( ) B ．5 C ．6 【答案】 A 【解析】 (a －b ＋2c )2＝a 2＋b 2＋4c 2－2a ·b ＋4a ·c －4b ·c ＝1＋1＋4－2cos60°＝5.∴|a －b ＋2c |＝ 5. 5．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与BC 1所成角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．105° D ．75° 。 【答案】 B 【解析】 设AB ＝2BB 1＝2a ，则AB 1→·BC 1→＝(AB →＋BB 1→)·(BC →＋CC 1→)＝AB →·BC →＋BB 1→·BC →＋AB →·CC 1→＋BB 1→·CC 1→＝2a 2·cos120°＋a 2＝0，∴AB 1→⊥BC 1→，即AB 1与BC 1所成角的大小为90°. 6．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为2，E 、F 分别是AB 、A 1C 1

(完整版)《平面向量的数量积》教学设计及反思

《平面向量的数量积》教学设计及反思 交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。 一、总体设想： 本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。 二、教学目标： 1.了解向量的数量积的抽象根源。 2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角 3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算 三、重、难点： 【重点】1.平面向量数量积的概念和性质 2.平面向量数量积的运算律的探究和应用

【难点】平面向量数量积的应用 四、课时安排： 2课时 五、教学方案及其设计意图： 1．平面向量数量积的物理背景 平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为Wθ ? F，这里的θ是矢量F和s的夹角，也即是两个 =s cos ? 向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念。 2．平面向量数量积（内积）的定义 已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）. 并规定0与任何向量的数量积为0. 零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a?b = |a||b|cosθ无法得到，因此另外进行了规定。 3. 两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）

空间向量的数量积运算练习题

课时作业(十五) [学业水平层次] 一、选择题 1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确． 【答案】 D 2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14. 【答案】 D 3．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连结AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( ) A.PC →与BD → B.DA →与PB → C.PD →与AB → D.P A →与CD →

【解析】 用排除法，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，故P A →·CD → ＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，P A ⊥AD ，又P A ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面P AB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C. 【答案】 A 4. 如图3-1-21，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( ) 图3-1-21 A ．2BA →·AC → B ．2AD →·DB → C ．2FG →·AC → D ．2EF →·CB → 【解析】 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2 ，故D 错；2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确．

高中数学-两个向量的数量积练习题

高中数学-两个向量的数量积练习题 课后训练 1．|a ＋b|＝|a －b |的充要条件是( ) A ．a ＝0或b ＝0 B ．a∥b C ．a·b ＝0 D ．|a|＝|b| 2．下列式子中正确的是( ) A ．|a|·a ＝a B ．(a·b )2＝a 2·b 2 C ．(a·b )c ＝a (b·c ) D ．|a·b|≤|a|·|b| 3．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3 ，则cos 〈OA u u u r ，BC uuu r 〉＝( ) A ．12 B ．2 C ．12 D ．0 4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB u u u r ·AC u u u r ＝0， AC u u u r ·AD u u u r ＝0，AB u u u r ·AD u u u r ＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 5．若|a|＝1，|b|＝2，c ＝a ＋b 且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角是( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 6．|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，则a ＋b ＋c 的模等于__________． 7．a≠c ，b≠0，a·b ＝b·c 且d ＝a －c ，则〈b ，d 〉＝__________. 8．向量a ，b 之间的夹角为30°，|a|＝3，|b|＝4，求a·b ，a 2，b 2，(a ＋2b )·(a － b )． 9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．

两个向量的数量积(教案)

高二数学教学案 一、预习提纲： 1．空间向量的夹角及其表示、异面直线 2．向量的数量积 3．空间向量数量积的性质 4．空间向量数量积运算律 二、预习达标： 1、=++ ，2 =3，4=，则,a b <>r r =______ A 、3π B 、 4π C 、2π D 、32π 2、空间向量a 、b =8，,a b <>r r =3 2π，求 （1）（+2）?=_____________, （2）（+2）?(2?)=__________________ 三、学案导学： 1．空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量,a b r r ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ，则AOB ∠叫做向量a r 与b r 的夹角，记作,a b <>r r ；且规定0,a b π≤<>≤r r ，显然有,,a b b a <>=<>r r r r ； 若,2 a b π<>=r r ，则称a r 与b r 互相垂直，记作：a b ⊥r r ； ﹡ 异面直线：_______________________________

2．向量的模： 设OA a =u u u r r ，则有向线段OA u u u r 的长度叫做向量a r 的长度或模，记作：||a r ； 3．向量的数量积： 已知向量,a b r r ，则||||cos ,a b a b ??<>r r r r 叫做,a b r r 的数量积，记作a b ?r r ，即a b ?=r r ||||cos ,a b a b ??<>r r r r ． 已知向量AB a =u u u r r 和轴l ，e r 是l 上与l 同方向的单位向 量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''u u u u r 叫做向量AB u u u r 在轴l 上或在e r 上的正射影；可以证明A B ''u u u u r 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=?u u u u r u u u r r r r r ． 4．空间向量数量积的性质： （1）||cos ,a e a a e ?=<>r r r r r ． （2）0a b a b ⊥??=r r r r ． （3）2||a a a =?r r r ． 5．空间向量数量积运算律： （1）()()()a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r ． （2）a b b a ?=?r r r r （交换律）． （3）()a b c a b a c ?+=?+?r r r r r r r （分配律）． 四、典例剖析： 例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。 已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥ 求证：l α⊥． 证明：在α内作不与,m n 重合的任一直线g ， 在,,,l m n g 上取非零向量,,,l m n g r r r r ，∵,m n 相交， ∴向量,m n r r 不平行，由共面定理可知，存在 唯一有序实数对(,)x y ，使g xm yn =+r r r ， ∴l g xl m yl n ?=?+?r r r r r r ，又∵0,0l m l n ?=?=r r r r ， ∴0l g ?=r r ，∴l g ⊥r r ，∴l g ⊥， 所以，直线l 垂直于平面内的任意一条直线，即得l α⊥． 例2．已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥． 证明：（法一）()()AD BC AB BD AC AB ?=+?-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2AB AC BD AC AB AB BD =?+?--?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()0AB AC AB BD AB DC =?--=?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． l m n m n g g l

向量的数量积(二)

§ 2.4 向量的数量积（二） 编写：唐肖准 审核：顾冬梅 2015-1-8 【学习目标】： 1.掌握数量积的坐标表达式，并会简单应用； 2.掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式. 【重点与难点】： 重点：数量积的坐标表达式及其简单应用； 难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题. 【教学思路】： 活动一 1. 两向量共线的坐标表示； 2. 如何用坐标表示a b ?？ 活动二 1．向量数量积的坐标表示： 设1122(,),(,)a x y b x y == ，设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，试用a 和b 的坐标 表示a b ?. 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即a b ?2121y y x x += 2．长度、夹角、垂直的坐标表示： （1）长度：设(,)a x y =，则2||a = ||a ?= （2）两点间的距离公式：若1122(,),(,)A x y B x y ，则||AB ??→= ； （3）夹角：cos θ= ；（πθ≤≤0） （4）垂直的等价条件：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则b a ⊥? 活动三 例1. 已知(2,1),(3,2)a b =-=-，求(3)(2)a b a b -?-. 例2. 设(6,2),(3,)a b k ==-，当k 为何值时： （1）//a b ？ （2）a b ⊥ （3）a b 与的夹角是钝角？ 变式1：已知1,3,(3,1)a b a b ==+=，试求： （1）a b +； （2）a b +与a b -的夹角。

空间向量的数量积运算练习题

空间向量的数量积运算 练习题 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

课时作业(十五) 一、选择题 1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确． 【答案】 D 2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2 ＋2a ·b ＝|c |2 ，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1 4 . 【答案】 D 3．已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连结AC ，BD ， PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( ) A.PC →与BD → B.DA →与PB → C.PD →与AB → D.PA →与CD → 【解析】 用排除法，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故PA →·CD → ＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，PA ⊥AD ，又PA ∩AB ＝A ，所以AD

高二数学空间向量教案(一_两个向量的数量积)

空间向量教案 一:两个向量的数量积(关键要设基底,把要求的量用基底表示) 考点一：空间向量数量积的定义、运算律及性质 例1：已知向量,,,,,3 6 a b a c b c π π ⊥<>= <>= 且||1,||2,||3a b c ===，求向量a b c ++的模 解：依题意22||()17a b c a b c ++=++=+，所以||176a b c ++=+。 考点二：垂直问题 例1：已知空间四边形OABC 中，M 、N 、P 、Q 分别为BC 、AC 、OA 、OB 的中点,若AB=OC,求证: .PM QN ⊥ 证明:如图,设,,,OA a OB b OC c ===又P 、M 分别为OA 、BC 的中点， 221 [()]. 21 [()].21 [||||] 4 PM OM OP b a c QN b a c PM QN b a c ∴=-=-+=---∴?=---同理， 又AB=OC ，即||||,b a c -= 0,,.PM QN PM QN PM QN ∴?=∴⊥⊥即 考点三：夹角问题 例1：如图，已知E 是正方体111111ABCD A B C D C D -的棱的中点，试求向量11AC 与DE 所成的角。 解:设正方体的棱长为m, 1,,,AB a AD b AA c === ||||||,0a b c m a b b c a c ===?=?=?=则 又111111111 ,2AC A B B C a b DE DD D E C a =+=+=+=+ 221111 115 ,||2,||22AC DE a m AC m DE m ∴?====又 1111111110cos ,10|||| cos 10 AC DE AC DE AC DE AC DE arc ?∴<>= = ?∴与所成的角为 考点四：长度问题 例1：如图（1），在60ABC C CD C ? ?∠∠中，＝，为的平分线，AC=4，BC ＝２.过B 点作,BN CD ⊥ 垂足为N ，BN 的延长线交CA 于点E,将图形沿CD 折起，使120,BNE ? ∠=求折后所得线段AB 的长度。 解：如图（2），s i n 302A A M C D M A M A C ? ⊥= ?=过点作，垂足为，则 4cos302cos302sin301MN MC CN NB ???=-=-=== O P A M B N Q C A B D C A 1 E C 1 B 1 D 1