解数学题不可不知道的十四个优先策略

解数学题不可不知道的十四个优先策略

湖南宁乡一中黎国之

新课程改革的一个落脚点就是要培养学生解决问题的能力。在课堂上，学生是自主学习锻炼能力的主体，教师不是知识的灌输者，而是学习过程的组织者、参与者和引导者，那么，如何引导才能达到培养学生能力的目的？教师心中要有明确的目标。本文认为，从引导学生培养解决问题的策略这个角度入手是一种有效的做法，因为，策略是哲学层次的东西，可以说是能力的能力。下面从14个方面展开论述。

1、好心态优先的策略。沉着冷静，从容镇定，战略上藐视问题，战术上重视问题，胆大心细，有大将风度，才会令解题者左右逢源，妙计叠出，否则只会“逻辑乱套，直觉失效，没有题感，死得很惨”。

【例1】、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为多少？

A、85 cm2

B、610 cm2

C、355 cm2

D、20 cm2（06年全国卷Ⅰ，11）

【解析】：对于绝大部分考生来说，这是一道难度较大的选择题，因为你去安排各边的长度时，组合的可能有许多，因此面对命题者用此题“把关”，不少考生选择放弃思考。其实由题设知道，这个三角形的周长是定值20，周长是定值的三角形在高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，因此对于直觉比较好的学生来说，会意识到只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时面积最大，也就是说，形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为7、7、6，因此易知最大面积为610 cm2，选B。

【练习】、函数f（x）=

19

1

i=

∑︱x-i︱的最小值为（）

A、190

B、171

C、90

D、45 （06年全国卷Ⅱ，12）

2、审题优先的策略。审已知，审隐含条件，审解题目标，审命题意图。要牢记审题口诀“逐字逐句逐标点，边读边画边联想”，要特别寻找题目中的关键词，还有那些括号里面的注记式的内容常常是被解题者忽略的，却肯定是命题者和阅卷者看重的。

【例2】、双曲线

22

22

1

x y

a b

-=（a＞1，b＞0）的焦距为2c，直线l经过点(,0)

a和(0,)b，

且点（1，0）到直线l的距离和点（-1，0）到直线l的距离之和

4

5

s c

≥，求双曲线的离心率e

的取值范围。（04全国）

【解析】：如果在审题时没有注意到a＞1这个条件（很多人当作a＞0看待）就按部就班地去做，也可以做出来，但解题过程相当繁琐；而利用这个条件，则马上就知道点（1，0）和（-1，0）位于直线l的同侧，且关于原点对称，所以它们到l的距离之和等于原点到l的距

离之和的2倍，条件45

s c ≥等价于2252d a b ≥+，以后可以顺利得出2252()ab a b ≥+这个关键等式，进而不难解得5,52e ??∈????

。

【练习】、求y=3sin （-2x+3

π）+1的单调递减区间。 3、设计优先的策略。审题完毕，也莫着急，易见之途，常是弯的。尤其是解析几何中的问题，表面上看思路并不难，但如果贸然动笔，则很可能运算繁难，正所谓“望山跑煞马”也。解题不设计，越解越生气。方案若繁难，就得换主意。事实上，按照匈牙利数学家G ·波利亚在其名著?怎样解题?中的说法，解题中必须先设计方案，再动手解决（执行方案）。只有在设计出最优方案以后再动手，才不至于浪费时间。

【例 3】、已知双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0，b ＞0）的离心率e =2， 一条准线方程为22

x =，直线l 与双曲线右支及双曲线的渐近线 交于A 、B 、C 、D 四点（如图），证明：|AB|=|CD|。

【解析】：若想直接证明|AB|=|CD|，简直比登天还难！但若认真设计，意识到只要证明线段AD 与BC 的中点重合，则豁然开朗！过程从略，请读者自己试试。

【练习】、求证：椭圆22

194

x y +=与直线10kx y k -+-=有两个交点。 4、定性优先的策略。何谓定性？就是在大方向上对问题的类型和性质进行识别与判断，首先是用定义去进行比照。例如，这个问题是排列问题还是组合问题？要看它是有序的还是无序的；这个问题是应该用加法原理去做还是应该用乘法原理去做？要看它是分类完成还是分步完成；如果是概率统计方面的问题，则它是四大概型（等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验中某事件发生k 次的概率——贝努利概型）中的哪一类型？离散型随机变量是服从四大分布（一点分布、两点分布、二项分布、几何分布）中的哪一种分布？给你一个立体图形或者圆锥曲线图形，它是已经固定了还是可以变化？若是可以变化，主变量是什么？

【例 4】、从一点O 引出四条射线，它们两两所成的角相等，记为θ，则cos θ= 。

【解析】：这是一道小题，但是忽悠过不少人。首先你要意识到这是一个空间问题而非平面问题，然后你不要以为这四条射线都往同一个大方向延伸，而要领悟到它们是在空间“均匀”发散的，这样，你的思维方向就对了。这个问题等价于求甲烷分子（CH 4）的键角的余

弦值，利用等体积法或者向量法不难求得cos θ= 13-。 【练习】、已知(1,2),(0,1),AB BC ==-u u u r u u u r 则AB u u u r 与BC uuu r 的夹角等于 。

5、定位优先的策略。立体几何中求二面角的大小，则它的平面角在哪里？在图中找出来

就可以了还是需要作出来？使用三垂线定理解题，基本平面在哪里？它的“两足”（垂足与斜足）在哪里？涉及圆锥曲线问题，它的焦点在什么位置？在x 轴上还是y 轴上？中心在哪里？根据图象求正弦函数或者余弦函数的解析式，需要求它的初相，那么它的第一零点在哪里？

【例5】、求经过两点12111(,),(0,)332

P P -的椭圆的标准方程。 【解析】：并不知道椭圆的焦点在哪里，就想当然地以为其在x 轴上去求，是错误；知道焦点位置尚不明确，而采用分类讨论去求，是中策；选择椭圆的统一表达式221Ax By +=结合待定系数法去求，是上策。这就是说，不但要有优先定位的习惯，还要有善于定位的水平。答案：22

111

45

y x +=。 【练习】、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆周上。P 是⊙O 所在

平面外的一点，且PA 垂直面⊙O ，∠ABC=3

π， BC =1，PA=2。 假设有一只蚂蚁从A 点出发沿多面体PABC 的表面并经过棱PC

到达点B ，则蚂蚁经过PC 上什么位置时路程最短？

6、定义域优先的策略。在解函数题时，这一条极其重要。如判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称；对变量进行换元，要记住“换元必换域”的口诀，比如令sinx+cosx=t ，必须随即写上新变量t 的取值范围；复合函数的内层函数的值域是外层函数的定义域，等等。

【例6】、求函数y=lg(x 2+2x)的单调区间。

【解析】：注意先考虑定义域。

【练习】、试判断函数2sin (1)

x y x x =+的奇偶性。 7、定义法优先的策略。定义是知识的生长点，用定义法解题是回归本源的高明方法。波利亚解题法中就有“回到定义去”的重要提醒句。

【例7】、已知椭圆9x 2+25y 2=225内有一点A （1，1），右焦点F ，请在椭圆上找一点P ，

使∣PA ∣+53

∣PF ∣最小。 【解析】：先把53

∣PF ∣转化为P 点到右准线的距离就好办了。 【练习】、已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则_____;_____.a b ==（07湖北）

8、前提优先的策略。用均值不等式求最值的前提是“一正二定三相等”，否则用单调性解决；涉及等比数列问题，它的公比的取值情形如何？凡是欲使用韦达定理或判别式解题，要先问方程的二次项系数是否为零？

【例8】、求函数224

3x y x +=+的最小值。

【解析】：如果由解析式变形：2222224

(3)1132333

x x y x x x x +++===++≥+++，而得到“最小值为2”的答案，那就错了，原因在取“=”号的条件“221

33x x +=

+”无法满足！应该运用单调性法求解，答案是

433。 【练习】、求()2sin (0,)sin 2

y θθπθ=+∈的最小值。 9、范围优先的策略。在三角函数这个内容里面，有一句口诀叫做“求角先求函数值，总要优先定范围”。

【例9】、已知3sin 2x+2sin 2y-2sinx=0，求cos 2x+cos 2y 的取值范围。

【解析】：如果由条件得223sin sin sin 2

y x x =-， 则222221cos cos 2sin sin sin sin 22x y x y x x +=--=-+=2133(sin 1)222

x -+≥就错了！原因是没有考虑到条件等式中隐藏有对sin x 的制约，应该由222sin sin 3in 0y x x =-≥先解出sin x 的取值范围再求解，答案是140,9??????

。 【练习】：直线l 过定点P （1，-2），且与线段AB 相交，其中A （-2，1），B （4，332-），则直线l 斜率的取值范围是 。

10、特情优先的策略。命题者出于考查严谨性的考虑，一般都有意识地在题目中设置一些特殊情况作为问题的一个小分支，这个小分支本身并不难，但要求解题者不要漏掉。比如：分母为零吗？二次项系数为零吗？等比数列的公比为1吗？直线方程的斜率存在吗？斜率为零吗？直线方程中截距为零吗？集合问题中考虑集合为空集的情形了吗？所给的集合是点集还是数集？端点值能够取到吗?求数列通项公式时，第一项是否不符合通项公式而需要单列呢？解题时要做到“先为不可胜而待敌之可胜” ，就要养成特情优先的良好习惯。

【例10】、某国际旅行社共有11名翻译人员，其中5人只会英语，4人只会日语，另有2人既会英语又会日语。现在从这11名翻译人员中选4人担任英语翻译，4人担任日语翻译，共有多少种不同的选派方法？

【解析】：在这里，两名既会英语又会日语的翻译人员是“多面手”，是特殊元素，因此优先考虑他们的安排是破题的关键。选派的8人中没有1个多面手担任英语翻译的派法有

4456C C 种；选派的8人中恰好有1个多面手担任英语翻译的派法有134255C C C 种；选派的8人中

恰好有2个多面手担任英语翻译的派法有2242

54C C C 种；因此一共有

4456C C +134255C C C +224254C C C =185种。

【练习】、已知直线l 过点P （2，3）且在x 轴和y 轴上的截距相等，求直线l 的方程。

11、整体法优先的策略。此法堪称第五大数学思想，它是全局思想在解题中的体现。换元法解方程，等积法求三角形的高或求点面距离，用射影面积法求二面角的大小，解析几何中的“点差法”解决中点弦问题，解复杂方程组时的整体消元，平均值法解决有关排列组合数问题，等等，都是运用这一思想的体现。另外，三角题中有一类求值问题，用解二次方程组的方法则繁难之至，而用“凑角法”则很简单。

【例11】、已知：x 、y 均为锐角，且cos （x+y ）=35，cosx=513

，求siny=？ 【解析】：没有结构眼光的人往往是想到联立方程组513cosy-1213siny=35

，cos 2y+sin 2y=1去求，费力不讨好；而整体意识好的人则会利用siny=sin 〔（x+y ）-x 〕=sin （x+y ）cosx + cos （x+y ）sinx 轻易得解。

【练习】、过点P （5，1）的直线l 与双曲线22

194

x y -=交于两点A 、B ，且点P 是线段AB 的中点。求直线l 的方程。

12、间接法优先的策略。间接法体现了思维的灵活性，所谓“间接法”有两层意思，一是从反面考虑问题，二是从侧面考虑问题。凡有关“至多、至少”问题，使用从反面考虑问题的间接法，一般都比较简便，这一点在解决有关概率统计问题时尤其明显，在解有关排列组合问题上也是如此，原因是可以避免繁杂的分类讨论；此外， 解小题（填空题或者选择题），优先使用从侧面考虑问题的间接法，是赢得时间的重要策略，这里就不赘述了。

【例12】、ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（ ）

A 、0﹤a ≤1。

B 、a ﹤1。

C 、a ≤1。

D 、0﹤a ≤1或a ﹤0。（课本一册上P .43）

【解析】：此题如果用直接法求解，花10分钟也未必解决得了。如果由选项看出，0和1

是两个关键数字，以0代入，得x=-12

符合要求，排除A 、D ；再以1代入，得x=-1符合要求，所以选C 。 【练习】设函数(1)()()x x a f x x

++=为奇函数，则_____a =（07宁夏） 13、结构优先的策略。解数学题是要有结构眼光，因为结构决定功能。无论是对式子的结构还是图形的结构，都要保持足够的敏感度。例如看到形如 a 2+b 2的式子或者形如∣x 1-x 2∣的式子，你是否想到它有表示“距离”的几何意义？看到形如分式x b x a

++之类的式子，你是否想到它可以理解为斜率公式或者是定比分点公式？再如，看到a x x

+这类式子，你是否意识到它可能用上均值不等式。解析几何中，有些线段本身就是焦点弦或者是焦半径；立体几何中，有些图形是经典的三垂线结构或者三余弦结构，有些图形本身就是从正方体中切下来的

一部分；等等。意识到这一点，往往就容易找到破题的口子。

【例13】、已知变量x、y满足约束条件

20

1

70

x y

x

x y

-+≤

?

?

≥

?

?+-≤

?

，则

y

x

的取值范围是（）

（A）

9

,6

5

??

??

??

（B）[)

9

,6,

5

??

-∞+∞

?

??

U（C）(][)

,36,

-∞+∞

U（D）[]

3,6（07辽宁）

【解析】：把y

x

看作斜率，容易求得答案。选A.

【练习】：已知

1,

10,

220,

x

x y

x y

≥

?

?

-+≤

?

?--≤

?

则22

x y

+的最小值是。（06海南）

14、易处优先的策略。解决任何问题，都不免会碰到困难，人们的一个策略就是先易后难，逐步解决。体现在对待数学问题的态度上，当然也是如此。数学解答题，常常是一设多问，难度逐渐加大，解答时候就应该遵循这个顺序，这本身就是一个“热身”的过程；另外，有些问题看起来比较复杂，我们可以先解答一个类似的但比较简单的问题，以期从中受到启发进而找到思路，这叫“稚化策略”。至于解答一份完整的数学试卷，就更应该先易后难了。

【例14】、函数f（x）=

19

1

i=

∑︱x-i︱的最小值为（）

A、190

B、171

C、90

D、45 （06年全国卷Ⅱ，12）

【解析】：在解此题时，若你直觉足够好，能直接意识到x取1~19的中间值（平均值）10时f（x）取到最小值，那当然就简单了；若你直觉欠好，可用“稚化策略”，先把问题稚化为求f（x）=

3

1

i=

∑︱x-i︱=︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱的最小值，你就会豁然开朗了。

【练习】：如图所示是某城市的网格状道路，

中间是公园，其内没有公路。某人驾车从城市

的西南角的A处要到达东北角的A处，最短的

路径有多少条？（加拿大数学竞赛题）

提示：先假设没有公园，并且只有3横4纵，然后假设已经到达了与B共线的各交叉点，标注上此时的走法数（都是1）；再退回至离B最近的对角顶点处，标注上此时的走法数是2；……，这样步步回退，直到A处，就知道答案了！当然这仅是方法之一。

练习题参考提示与答案：1、C；2、

5

,,

1212

k k k Z

ππ

ππ

??

-++∈

??

??

；3、直线过椭圆内一个定点（1

，

1）；4、2arccos 55

；5、将三棱锥沿PB 、BC 剪开，使平面PBC 与平面PAC 共面，联结AB 交PC 于点K 。6、非奇非偶；7、13,2a b ==；8、52；9、]()

,13,?-∞-+∞?U ；10、50x y +-=或者320x y -=；11、209910x y --=；12、由(1)(1)0f f -+=得1a =-；13、5；14、110。

初三数学(特殊值法)

专题一初中数学（特殊值法） (1)题目中没有出现具体的数据，只有倍数关系 （猜）（初一）1．一个圆柱的底面半径比一个圆锥的底面半径多3倍，高是原来的1/4，则这个圆柱的体积是原来圆柱体积的（） A、3/4 B、27/4倍 C、12倍 D、4/3倍 （猜）（初三）2.AB=2/3AH，AG=2/3AM，三角形ACF的面积是四边形CIKE的（） （猜）（初三）3.圆O被A,B,C,D,E,F,G,H八等分，求 ①∠BEC=（）度 ②与线段AB相等的线段有（）条（不包括自己） ③BC( )1/2CE (填等于大于小于) ④八边形ABCDEFGH是圆O面积的（） （初二）4. 已知关于x的一次函数y=ax-a+1和y=(a-1)x-a+2，它们的图象交点是。 （初一）5.若a<-2，则3-│3-│a-3││化简的结果是（）

A、3-a B、3+a C、-3-a D、a-3 （初一）6.当m＜0时，m与m的大小关系为（） A、m＞m B、m＜m C、m=m D、无法确定 ★（初二）7. （初一）8.已知有理数a、b满足a＞b，则下列式子正确的是（） A．-a＜b B. a＞-b C. -a＜-b D. -a＞-b ★（初三）9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点（－2，0），（，0），且。与y轴的正半轴的交点在点（0，2）的下方，则下列结论①a＜b＜0；②2a＋c＞0；③4a＋c＜0；④2a－b＋1＞0中正确的是。（写出序号） （初二）10．若a、b满足，则的值为。 ★（初三）11. （初一）12.若x＞0，y＜0，且│x│＜│y│，则x+y 0。 若x<0 ，y<0，且│x│＞│y│，则x+y 0 。 ★（初二）13. A、a、b、c都不小于0 B、a、b、c都不大于0 C、a、b、c至少一个小于0 D、a、b、c至少一个大于0

2020高中数学---特殊值法解决二项式展开系数问题

第83炼 特殊值法解决二项式展开系数问题 一、基础知识： 1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质 2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式 3、常用赋值举例： （1）设()011 222 n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=+++ +++， ①令1a b ==，可得：01 2n n n n n C C C =++ + ②令1,1a b ==-，可得： ()0123 01n n n n n n n C C C C C =-+-+-，即： 0213 1 n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++（假设n 为偶数），再结合①可得： 0213112n n n n n n n n n C C C C C C --++ +=++ += （2）设()()2 01221n n n f x x a a x a x a x =+=+++ + ① 令1x =，则有：()()0122111n n a a a a f +++ +=?+=，即展开式系数和 ② 令0x =，则有：()()02010n a f =?+=，即常数项 ③ 令1x =-，设n 为偶数，则有：()()01231211n n a a a a a f -+-++=-?+=- ()()()021311n n a a a a a a f -?+++-+++=-， 即偶次项系数和与奇次项系数和的差 由①③即可求出()02n a a a +++和()131n a a a -+++的值 二、典型例题： 例1：已知()8 2 8012831x a a x a x a x -=+++ +，则1357a a a a +++的值为________ 思路：观察发现展开式中奇数项对应的x 指数幂为奇数，所以考虑令1,1x x ==-，则偶数项相同，奇数项相反，两式相减即可得到1357a a a a +++的值 解：令1x =可得：8 0182a a a =++ + ①

克服高三数学会做的题但是总出错的毛病

克服高三数学会做的题但是总出错的毛病 2011年12月13日19:54 爱学网江苏在线 1、习惯于依赖知识点，看到题马上就用知识点去写，忽略了问题问什么，题目条件是什么 题目看错的原因：1、最多的是因为看到题目非常熟悉，想都不想就做，导致错误；2、精神恍惚看错（不认真，这种情况极少，通常考试时注意力是非常集中的）解释：很多同学看到题目感觉很熟悉很简单，想都不想就开始算，结果一不小心方向就错了，没有弄清楚问题是什么，忽略了题目条件表述和你以前熟悉的题型上细微的差别，导致做错。这是过于想当然造成的，中了命题人的陷阱。这属于“兴奋”型马虎。 而真正的“看错”题目，指的是精神不集中不认真导致看错，这个除非考生心不在焉，不把考试放在心上，或者因为生病，基本上不可能出现这种错误的。但是很多同学认为自己“粗心”看错是因为精神恍惚，其实本质上也是由于过于兴奋或者过于紧张，题目一看，见过，兴奋，然后回忆，不自觉忽略了细节。或者因为没见过，紧张，开始回忆知识点，也忽略了细节。 【解决方法】做题的时候，一定要先看完再写，不要看的过程就马上产生解题的念头。有时候你猜中了开头，却忽略了结尾。一定要看清楚问什么，题目条件是什么后，再思考，就可以避免这种错误。做题要以题目本身为出发点。根据问题、题设开读懂题意。题目让干什么就干什么，千万不能想当然。 2、个人习惯过于分散。喜欢心算，心里想着怎么解答，结果写的和心里想的不一样 计算错误多的原因：1、喜欢心算造成的；2、草稿乱打，东一块西一块；3、太随心所欲，所以容易抄错。 解释：这个多半与考生性格有关。一般容易犯这类毛病的考生都有“随手乱丢东西”的毛病。在考试时，喜欢心算。宁愿在脑海里推演步骤，强行记住结果，也不愿意写出来。如果实在要打草稿，多半信手拈来，草稿纸一片混乱，随便找个空白处就开始计算，形成东一块、西一块的拼凑型草稿，结果一不小心抄错。更有甚者，由于打草稿过于随意，考试一紧张，找不到之前计算的部分，或者过于随意，笔迹夸张，自己不认识或抄错。这就是计算错误的根本原因。

类比法

类比法 （一）什么叫类比法 类比法是一种从个别到个别（或从特殊到特殊）的推理方法．它是在甲、乙两个（或两类）事物之间进行对比，从它们的某些类似或相同（相异）的属性出发，根据甲具有某一种属性，推出乙可能也有与之类似或相同（相异）的另一属性． 在数学中，类比法推理的基本公式是： 因为，对象A有属性a、b、c，对象B有属性a′、b′（a′，b′分别与a、b相同或类似），所以，对象B也可能有属性 c ′（c ′与c相同或类似）． 由于类比推理把人们对甲类事物的认识推移（推广）到对乙类事物的认识，扩大了认识领域，所以，类比是从旧知识推出新知识的一种思考方法，是启发人们联想的思维工具，是创造性思维的一种形式． （二）类比法在立体几何中的应用 类比法在立体几何中主要有下列三方面的应用： 1．学习新知识 学习立体几何教材，最基本的方法之一是与平面几何类比． 学习立体几何时，对出现的新问题与平面几何的有关知识进行类比，大胆猜想，可以发现新知识，从而达到温故而知新． 首先要选好类比对象．例如，选三角形与三棱锥．这是因为，在平面上，用直线围成的封闭图形中，三角形所用的直线条数最少；在空间中，用平面围成的封闭图形中，四面体所用的平面个数最少，所以，三棱锥与三角形可以类比． 例1 如何用类比法学习三棱锥的体积公式． 【解】用类比法学习三棱锥的体积公式可分下列两步进行： （1）类比发现三棱锥的体积公式

如图1-17，因为三角形的底边长a 对应三棱锥的底面积S ，三角形的底边a 上的高h 对应三棱锥的底面S 上的高H ，三角形的面积公式A= （2）类比发现三棱锥体积公式的证法 证明三角形的面积公式是用割补法，即把三角形补成一个平行四边形，易得三角形的面积是平行四边形的面积之半．类似地，证明三棱锥的体积公式，应先把它补成一个三棱柱，然后再分割成三个等积的三棱锥（参看高中课本《立体几何》）． 2．发现新定理和编制新命题 科学家开普勒（Kepler ）说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的．” 在立体几何中，类比法是发现新定理和编制新命题的一个主要工具． 例2 把直三面角（即三个面角都是直角）与直角三角形类比，对直角三角形的勾股定理，你能发现直三面角有什么新定理？ 【解】如图1-18，在Rt △ACB 与直三面角P-ABC 中，Rt △ACB 的两条直角边长a 、b 对应直三面角P-ABC 的三个直角三角形PAB 、PBC 、PAC 的面积S △PAB 、S △PBC 、S △PAC ，Rt △ACB 的斜边长c 对应直三面角P-ABC 的△ABC 的面积S △ABC ，因此，与 直角三角形的

利用特殊值法巧解中考数学填空题

利用特殊值法巧解中考数学填空题利用特殊值法巧解中考数学填空题 解法二：取AE=AG的特殊位置(如图2-3)，则四边形AGPE、PFCH都是正方形。由矩形PFCH的面积为矩形AGPE面积的2倍，得出PH=-PE ∵PA=-PE ∴PH=PA，易得PA=PH=PF，以P为圆心，PA为半径画圆，则∠HPF=90°∴∠HAF=45° [点评]：这道题若按常规做法解题，过程非常繁杂；针对填空题的特点，采用特殊值法，则非常方便。解法一，主要利用相似三角形的性质和勾股定理的知识，解法与学生的想法基本吻合；解法二，通过作圆的辅助线，由同弧所对的圆心角和圆周角之间的关系，得出结论，具有思路新颖，解法简单的特点。 例4.如图3-1所示，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN 的周长为____。(2019年辽宁省沈阳市中考题) [解析]：由题意可知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，M、N是在满足∠MDN=60°前提条件下AB、AC边上的动点，在移动过程中肯定存在MN∥BC的情况,取MN∥BC 的特殊位置，可以非常简单的求出△AMN的周长。 取MN∥BC的特殊位置，过D点作DH⊥MN垂足为H(如图3-2)，

可得△MDN也是等边三角形，∠BDM=∠HDM=30°， ∠MBD=∠MHD=90°，△MBD≌△MHD，∴MB=MH；同理可证，NC=NH，最后可得△AMN的周长=AB+AC=6。 [点评]：常规作法是延长NC到H点，使CH=BM，先证明 △DCH≌△DBM，得出∠BDM=∠CDH，∠NDH=∠NDM=60°，再证△NMD≌△NHD，得出NM=NH，最后得出△AMN的周长等于AB+AC=6。与常规作法相比，特殊值法的解法比较简单。 总之，利用特殊值法解决有关填空题，特别是对一些难度较大的题，会有很好的解题效果，这种解法充分体现了“特殊与一般”的辩证唯物主义的思想。 最后，提醒同学们两点： ①不是所有的填空题都适用特殊值法，所以一定要认真审题，要根据题的特点决定能否采用特殊值法。 ②采用特殊值法，设特殊的值或特殊的点时，一定要在允许的范围内。

极限法(特殊值法)在物理高考中的应用Word版

极限法（特殊值法）在物理高考中的应用 “极限法”是一种特殊的方法，它的特点是运用题中的隐含条件，或已有的概念，性质，对选项中的干扰项进行逐个排除，最终达到选出正确答案的目的。 极限法在物理解题中有比较广泛的应用,将貌似复杂的问题推到极端状态或极限值条件下进行分析，问题往往变得十分简单。利用极限法可以将倾角变化的斜面转化成平面或竖直面。可将复杂电路变成简单电路，可将运动物体视为静止物体，可将变量转化成特殊的恒定值，可将非理想物理模型转化成理想物理模型，从而避免了不必要的详尽的物理过程分析和繁琐的数学推导运算，使问题的隐含条件暴露，陌生结果变得熟悉，难以判断的结论变得一目了然。 1.（12安徽）如图1所示，半径为R 均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P （坐标为x ）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出： E =2πκσ()????????+-21221x r x ，方向沿x 轴。现考虑单位面积带电量为0σ的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r 的圆板，如图2所示。则圆孔轴线上任意一点Q （坐标为x ）的电场强度为 ( ) A. 2πκ0σ()2122x r x + B. 2πκ0σ()2122x r r + C. 2πκ0 σr x D. 2πκ0σx r 【解析】当→∝R 时，22x R x +=0，则0k 2E δπ=，当挖去半径为r 的圆孔时，应在E 中减掉该圆孔对应的场强）（220r x r x - 12E +=πκδ，即21220x r x 2E ）（+='πκδ。选项A 正确。 2.（11福建）如图，一不可伸长的轻质细绳跨过滑轮后，两端分别悬挂质 量为m 1和m 2的物体A 和B 。若滑轮有一定大小，质量为m 且分布均匀，滑 轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的磨擦。设细绳对A 和B 的拉力大小分别为T 1和T 2，已知下列四个关于T 1的表达式中有一个是正确 的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析判断正确的表达式是（ ） O R ● x P 图1 O r ● x Q 图2

特殊值法巧解数列题示例

特殊值法巧解数列题示例 特殊值法在解决选择题与填空题中是比较常用的一种方法，在解题中能否灵活运用，体现了解题者的数学素养与能力.下面举例说明特殊值法(特殊数列、特殊数值)在解一些数列题中的应用. 【例1】已知}{n a 是等比数列,且252,0645342=++>a a a a a a a n ，那么53a a +的值等于( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 【分析】取}{n a 为常数数列0>=a a n ，则由252645342=++a a a a a a 得2 54252=?= a a ，故5253==+a a a ，所以选A. 【例2】在等差数列}{n a 中,若45076543=++++a a a a a ,则=+82a a ( ) (A)45 (B)75 (C)180 (D)300 【分析】取}{n a 为常数数列a a n =，则由45076543=++++a a a a a 得904505=?=a a ,所以180282==+a a a ,所以选C. 【例3】在各项均为正数的等比数列}{n a 中,若965=a a ,则=+++1032313log log log a a a ( ) (A)12 (B)10 (C)8 (D)2+5log 3 【分析】取}{n a 为常数数列0>=a a n ，则由965=a a 得392=?=a a ,所以 103log 10log log log 31032313==+++a a a ,所以选B. 如果解题者心中有数（具备特殊化思想），那么直接观察利用心算立即可得结果，可大大地提高解题速度，避免不必要的计算。留心观察细事物，沙子也会变金银！

解数学题克服粗心六招

【拒绝粗心】解数学题克服粗心六招 粗心的危害不言而喻。每次考试成绩出来后总有很多同学痛心不已，感觉“无颜见江东父老”。分析试卷后得出结论：又是粗心惹的祸！而且粗心这个坏毛病“貌似”由来已久，总也改不掉。 粗心只是一种不好的习惯。一定能改掉！之前尝试过却没有成功的同学，只是没有找到正确的方法而已。下面总结出来的几招，渴望彻底改掉粗心习惯的同学可以试一试。 第一、慢慢读题。一遍读下来，基本也就只需要一遍，有用的信息都正确的进入自己的脑海，做题就能正确运用所有的已知条件啦！那么看错条件、数字，看漏条件这些事故，就彻底跟自己拜拜喽。 第二、演算工整、详细。 草稿纸上的计算过程比较整齐详细，干净醒目，那么就不会发生挪错数字，弄错符号等情况。解题过程自然一帆风顺！ 第三、回头检查。做完一道题目后，根据自己已有的经验，结合本题的结果，判断一下结果的合理性。比如：解出来发现结果的数很难看；或者解出来要求的时间竟然是负值。这时候我们就需要回头仔细检查一下刚才的计算过程。那么，干净整齐的草稿纸就发挥了它的另一项重要作用——方便检查！ 第四、深挖根源。有些题目老师稍稍一点拨，同学就知道正确的解题方法啦。这些看似粗心导致的错误，其实是概念不清晰。那么，这时候不能一改了之。应该抓住小问题不放手，深入挖掘根源，运用类比，对比等方法，把相关的知识统统过一遍，彻底理清楚。然后适当做些类似试题。这样才能真正掌握所学知识。 第五、专心做题。平时练习题目，作业要重视，把它们当作考试题目看待。做题的时候先把电视、电脑、MP3关掉，然后集中注意力，快速的完成。之后再去听音乐，休息。慢慢的养成专心做题，专注做事的习惯，粗心自然就会远离你。

类比法在数学中的应用

类比法在数学中的应用 类比是一切理解和思维的基础，作为一种逻辑方法，它在教学中有广泛的应用。在数学教学中应用类比法，可以帮助学生理解、鉴别各种概念、性质、定理、公式、题型等，达到正确认识，确定行之有效的解题策略的目的；这样既可以加强“双基”，又有利于培养学生良好的思维品质。 所谓“类比教学”，就是对有联系的知识进行归类比较，帮助学生找出知识之间的相同点、相似点和不同点，达到掌握知识的目的。在学习过程中，当新旧知识彼此相似而又不完全相同时，对原先知识又是一知半解，掌握不好时，新旧知识必然会混淆不清，应用时难免错漏百出，若不及时加以排解，势必影响其他章节的学习。因此，数学教学中，只有通过反复地归类比较，指出知识间的异同，帮助学生认识数学的本来面目，并加深印象，才能学好数学。 类比教学法既能从纵向找到新旧知识间的关系和区别，又能从横向找到有关知识的联系和区别，所以，在数学教学中应用类比方法进行教学与复习，就有着不可替代的作用，笔者在教学实践中的深刻体会是： 一、数学解题中多用类比法，讲解要少而精 教师对类比教学法在思想上要有正确的认识。在初中数学教学中，许多老师由于求胜心切，搞题海战术，题目讲得多而广，满堂灌，但都是为讲解而讲解，匆匆忙忙，往往收效甚微。如果在数学解题中多用类比法，讲解少而精，必定取得事半功倍的效果。正如奥苏伯尔所刘：“教育工作者向来强调学习广度的重要性，而把它与学习的深度对应，实际上如果在两者之间作出选择，我们宁愿少而精的知识，不愿要多而囫囵吞枣，少些但巩固的知识既有用又可以迁移，大量混淆不清的知识是完全无用的。” 二、运用类比法教学，要有针对性 类比教学中类比材料要有针对性，要从学生作业或试卷中的常见错误及缺漏中取得信息并寻求类比的典型材料。另外，课文的许多有内在联系，貌似实异，似是而非的知识都特别注意加以类比，寻求并分析各自的特点，掌握各知识在解题中的正确运用，避免张冠李戴，达到教与学的最佳效果。类比教学中我们要多掌握些实用的类比方法并灵活加以运用。常见的教学类比方法有：（一）因果类比法，是根据类比的两个对象各自的属性之间可能具有的一种因果关系而进行的一种推理方法。 （二）结构类比法。由于结构上极其相似，而将待证问题的条件或结论类比已知公式，进行适当代换，从而使问题获得解决的方法。

高中数学主要题型与方法归纳

高中数学重点题型与思维方法归纳 一、集合、逻辑、函数、导数、定积分 1.集合的运算——①图示法P1 9；②验证法P111；③空集分类法P2 14；④转化法P14 2.子集（元素）个数——①列举法；②2n法P1 6；③转化法P125 8 3.充分必要条件——①大小法(小充分，大必要)P3 1；②推导法(推出充分被推必要互推充要)P3 3 4.命题的否定——①结论否定法；②全特互化法)P3 4 5.求定义域——①有意义法（具体函数或实际问题）P6 12；②整体不变法(抽象函数)P5 5 6.求值域——①图象法；②单调性法P5 8、P7 8；③反函数法；④分离常数法P12 13（1）； ⑤配方法P10 13；⑥最值法 7.求最值——①函数值域法P7 8、P21 8、P86 13；②均值不等式法P11 4；③线性规划法； ④导数法P103 6；⑤转化法（立体与平面、同侧与异侧P67 5、P73 7、相离与相切P101 11） 8.求解析式——①换元法；②待定系数法P10 13（1）；③构造方程法P6 13；④化归法P22 13 9.画图——①特殊点法P15 9；②变换图象法P15 8、P27 7；③假设验证法P15 6； ④奇偶分析法P15 9；⑤导数法（原增导在上，原减导在下）P103 3 10.零点或交点——①图象法P9 8；②零点交点转化法P18 11；③韦达定理法P17 8； ④解方程法P17 1、P17 10；⑤估算法P17 5；⑥导数法 11.一元二次方程根的分布——①图象法P67 9；②判别韦达法P9 9 12.单调性问题——①图象法P7 9；②复合法（同增异减）P9 11；③定义法； ④导数法P12 13、P101 10、P103 5、P103 9；⑤性质法 13.奇偶性问题——①特殊值法P7 6；②定义法P16 14（1）；③化半法P8 13；④图象法P21 12 14.周期性问题——①图象法；②定义法P7 7；③三角公式法 15.对数计算——①逆运算转化法P13 3、P21 9；②化同法P13 5；③换底法 16.函数的应用——①列式法P19 4；②建模法P20 14、P64 14；图表法 17.求导数——①定义法P103 1；②公式法P101 2 18.求切线方程——①△=0法；②导数法P102 13、P104 11；③距离法（适用于圆） 19.求极值——①图象法P103 2；②导数法（左正右负极大值，左负右正极小值）P104 10、P104 13 20.求定积分或曲线围成面积——①图象法P105 11；②积分公式法P105 5；③概率法 二、三角函数、平面向量 1.三角函数符号（或角的象限）——①单位圆法P23 7；②πk2法P23 5 Rt法P25 2；②同角公式法 2.三角函数知一求余——①? 3.三角化简求值——①化切法P25 9；②化弦法；③1的代换P24 13；④和积互化P25 4； ⑤公式法P29 10；⑥换角法P30 13；⑦转化法（化同角、化同名、化同次）P25 8、P28 14 4.对称问题——①图象P21 12；②整体不变法；③公式法；④验证法P28 12 5.解三角形——①正弦定理P33 8；②余弦定理P33 9；③化边法P34 13；④化角法 6.平面向量的运算——①图解法P35 10、P97 9；②公式法P41 3；③坐标法P37 1、P41 10 7.向量平行（共线）问题——①成比例法P37 2；②公式法P35 2、P73 11、P99 7、12 8.向量垂直问题——①几何法P39 10；②公式法P39 7、P96 14 9.求夹角——①几何法P37 5；②公式法P41 11 10.求长度（模）——①平方法P37 9；②解三角形法P41 2

小学数学老师工作心得 如何克服做题时粗心马虎

小学数学老师工作心得如何克服做题时粗 心马虎 今天我校进行期中考试，在监考三年级数学时，我大致看了一下学生做的试卷，试卷整体程度并不难，可还是有很多学生因为粗心、马虎把题做错，俗话说：“一分定终身”，由此可见，做题时粗心、马虎所造成后果的严重性，那么如何克服学生粗心，马虎的不良习惯呢？下面我将从学生做题时粗心大意的类型、原因和以及克服粗心、马虎的策略来谈谈我的看法。 1、粗心大意的类型： ⑴漏题。有的学生在遇到难题时暂时放下，先答会的这是对的，可等答完后面的题，却把这道题忘了；有的填空题、判断题打印的比较密集，不仔细看也容易漏题。 ⑵跑题。在没有正确理解题意的情况下，匆忙下笔，结果答非所问； ⑶看错运算符号。如把“＋”号看成“×”号，把“÷”看成“－”，结果是失之毫厘，谬之千里。 ⑷计算马虎。计算过程中不细心，该进位时不进位，该退位时不没退去，造成计算错误。 ⑸抄写错误。学生在做题时，把数字抄错等。 ⑹书写粗心。如在A、B、C、D四个选项中选择的本是B，

但写答案时却写成了D。 2、粗心大意的原因： ⑴对粗心造成的危害认识不足。 有的同学认为粗心是小毛病，题都会做了，粗心出点错没什么了不起；甚至有的家长、老师也常常说：“这个孩子挺聪明，就是有点马虎。”孩子听了大人的话会认为粗心是可以原谅的小毛病，甚至把“粗心”和“聪明”联系在一起。由于老师、家长、孩子都认为粗心不是什么大事，导致粗心马虎在考试中频频出现。 ⑵平时缺乏基本技能训练。 有的学生平时忽视基本技能的训练，认为它是“小儿科”，对一些必备的基本技能掌握的不扎实、不熟练。如在平时的作业中遇到应用题，常列完式子后就把计算过程省略了，即使老师强调了也不按要求做，以为这样省时间。平时耍小聪明，练习少，导致考试经常出错。 ⑶没有认真审题。 这种情况常出现在比较简单的答题中，有的学生一看到比较容易的题就产生兴奋、激动，同时表现出浮躁、粗心，不再进行细致思考，仓促应答，出现错误；容易的题也容易出错，出题者往往在一些看起来较容易的题目中隐藏一些容易被忽视、被漏掉的问题，如不细心，极易出错；有的学生凭经验审题，当试题要求变化时，因审题不认真而丢分。

浅谈数学类比法

浅谈数学类比法 惠州市第一中学数学科组李海媚 科学史上有许多创造发明及现代科学研究，都广泛地运用了类比推理，例如仿生学可以说是专门使用了类比推理的科学。我们也可以用类比法来解决某些数学问题。为了解数 学问题B，我们可以联想到一个已经会解的问题A，问题B和问题A有许多类似的属性，于是我们推想问题B与问题A可能有某个或几个类似的结论，或者推测可以用解决问题A的类似方法来解决问题B，这种利用类比推理来寻找解决途径的方法叫类比法。其推理过程是:对象A具属性a、b、c、d 对象B具属性a、b、c 则对象B也可能具有属性d。下面浅谈数学类比法的一般方法。 一、一般与特殊的类比 研究一个较复杂的命题时，先解决命题的一个特殊情况，然后对解决特殊情况时所用的方法，所得的结果进行分析，大胆地与一般情况相类比，看能不能“照此办理”。当特殊问题不易求解时，也可先解决一般性问题。 :xR,,例1已知,为正常数且 1，f(x)f(x，a), 1,f(x) 则f(x)是否为周期函数,若是，求它的周期，若不是，说明理由。 分析:拿到已知条件很可能毫无思路，但我们注意到特例f(x)=tanx满足约束条件时，思路就豁然开朗了: ,1，tanx因为tan(x，),41,tanx ,且f(x),tanx是以,4，为周期的周期函数,所以可以猜测f(x)是以4a为周期的周期函数。,4

1，f(x)证明:？f(x，a),1,f(x) 1，f(x)1，1，f(x，a)11,f(x),,？f(x，2a),f(x，a)，a,,,,1，f(x)1,f(x，a)f(x)1, 1,f(x) 11,,？f(x，4a),f(x，2a)，2a,,,,,f(x)1f(x，2a),f(x) 因此()是以4为周期的周期函数，fxa。 32,，,1995219951993 例:2计算(1995年北京市初中数学竞赛题， 32，,199519951996 分析:本题很难就此计算，我们不妨将这种特殊情况转换成一般情况，看其规律，进行 求解。 1995,a 322 2(2)(2)(1)1993a,a,a,a,a,,,3221996(1)(2)(1)a，a,a，a，a, 二、生疏与熟悉的类比 对于某一数学问题，虽然我们暂时还不知道应该如何求解时，但发现这一问题的某些部分(条件、结论、图形、形式、数据等等)与我们熟悉的另一问题相类似，则可将两者加以类比，看能否把解决后一问题的方法移植过来，并逐步消除可能出现的差异，最后找出解决原来问题的解法。 例2设a满足:、、b、 2,a,bc,8a，7,0, ,22,b，c，bc,6a，6,0, 求a的取值范围。，1986全国高中数学竞赛试题， 解:把已知条件与我们熟悉的二元一次方程组的解法进行类比，容易想到代入法消c， 2 42222:baabaa由此得，(,14，13)，(,8，7),0

特殊值法解数学题

臧老师辅导课堂之 特殊值法专项训练 特殊值法是用满足条件的特殊值（式）代入题目去验证、计算，从而得到正确结论的一种方法．特殊值法在解题中有下列应用． 1．解选择题： 若a＞b＞c＞0，m＞n＞0．（m、n为数），则下列各式中成立的是[ ] A．a m b n＞b n c m＞c n a m B．a m b n＞c n a m＞b n c m C．c n a m＞a m b n＞b n c m D．b n c m＞c n a m＞a m b n 2．确定多项式的系数 已知当x是任何实数时，x2-2x+5＝a（x+1）2＋b（x＋1）＋c都成立，求a、b、c的值． 3．判断命题的真假 判断命题“式子a2＋（a＋1）2＋a2（a＋1）2=（a2＋a-1）2是恒等式”的真假． 4．解证定值问题 若a、b为定值，且无论k取何值时，关于x的一次方程 专项练习 1 已知a、b、c都是实数，且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是 [ ] 2．命题“式子x3＋9=（x＋2）3-6（x＋2）2+12（x+2）是恒等式”是真命题，对吗？ 值，求a、b应满足的关系式．并求出这个定值． 4．已知a＋b＋c≠0，求证：不论a、b、c取何实数时，三 5、设a、b、c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab，则x、y、z[] A．都不小于0B．都不大于0 C．至少有一个小于0D．至少有一个大于0 6、如果a、b均为有理数，且b＜0，则a、a-b，a＋b的大小关系是

[ ] A．a＜a+b＜a-b B．a＜a-b＜a+b C．a＋b＜a＜a-b D．a-b＜a＋b＜a 巧取特殊值解选择题 山东省茌平县傅平镇中学初三·一班鲁傅 我在解某些选择题时，采用了取特殊值法，使问题简捷，迅速地获得解决，如下面几例． 例1 已知a、b、c都是实数，且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是 [ ] （98年全国初中数学联赛）解：∵a＞b＞c， ∴可取a=1，b=0，c=-1代入各选择支，只有a+b=1＞b＋c=-1成立．故选（B）． 例2 设a、b、c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab，则x、y、z[ ] A．都不小于0B．都不大于0 C．至少有一个小于0D．至少有一个大于0 （94年全国初中数学联赛题）解：若令a=0，b=1，c=-1，则x=y=z=1，故可排除（B）、（C）； 再令a=0，b=c=1，则x=-1，y=z=1，又可排除（A）．故选（D）． （94年全国初中数学联赛题） 则[ ] A．M＜Q＜P＜N B．M＜P＜Q＜N

在数学解题中避免粗心大意

在数学解题中避免粗心大意 对于数学的学习，很多同学在数学上其实学的还不错，为什么就是考不了高分呢，多次发现，因为自己的粗心大意丢失的分值还真不少，有计算失误的、看题看错的、读题意没读懂的，各种粗心层出不穷。基础较差的学生在解数学题时往往容易出错，做错的原因不外乎两种：一是对概念的理解不透彻、不熟练；二是粗心大意.而我们教师都很注重对前一种出错的预防，却对后一种出错讲得少.如何才能帮助学生预防粗心大意而导致的错误呢？ 一、活用动词、引起注意、预防出错 在课堂上适当活用动词，增加感情色彩，可以增加学生记忆，预防出错.例如在讲授用配方法解一元二次方程时，对于方程x 2+6x+7=0，首先要把常数项移到右边.我在上课时这样讲解：我们把含x的项留在左边，把不含x的项“赶到”等式的右边.学生听到“赶到”两字很新鲜，忍不住笑起来.这样一来学生在笑中学到了知识，牢固掌握了配方法.再例如在讲解补集的概念时， 不管我如何讲解都有部分学生不能理解，求不出补集.后来我换了另一种方式讲解：在图1中，集合 A 的图1补集就是把集合 A 从全集 U 中“挖”出来后剩下的部分.这个“挖”字既形象，又生动，从而使学生牢固掌握了补集的概念. 二、抓关键词、理清概念、预防出错 在数学概念的教学中，如能抓住概念中的关键词，可以起到事半功倍的效果.例如在函数的教学中，讲完映射概念后，可给出这样一道题： 给出下列四个对应： 其中是映射的序号是（）. 学生看到题目十分茫然，只有部分学生选了（4），其他三个不知如何判断.按道理，刚讲完映射的概念，马上做这题应该不会出现这种情况.于是我要求学生再看一次概念，注意抓住两个关键词：“任意”“唯一”（映射概念是：设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射）.“任意”就是在集合A中任何一个元素，随意找一个元素，在集合B中都有“唯一”的，有且只有一个元素，只能是一个元素与之对应.题目(2)中的集合A内的2,4没有对应，不符合“任意”;(3)中集合B有3,4与1对应，不符合“唯一”；而（1）（4）符合两个关键词，因此选（1）（4）.后来我用同样的方法讲解函数的概念（函数概念是：设A，B是两个非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数）,同样是抓住关键词“任意”、“唯一”并让学生做下列练习：下列图形中表示函数图象的是（）. 学生充分抓住关键词“任意”、“唯一”，从而都能准确地选中 D . 三、引用幽默、加深记忆、预防出错 在课堂上适当引用幽默、有趣的比喻可以增强学生的记忆，预防出错.例如在讲解移项变号这个知识点时，不管如何强调移项要变号，但在解题时都有相当多的学生移项忘记变号.后来我打了一个比喻：把等号两边比喻成男女厕所，“+”号比喻成男人，“-”号比喻成女人；“+”号移到另一边，就像男人进女厕所，必需变成女人才能入厕，即“+”必需变成“-”才能到另一边.同理“-”号移到另一边，就像女人进男厕所，必需变成男人才能入厕，即“-”必需变成“+”才能到另一边.把“移项变号”问题类比为“男女厕所”问题，学生一听就哈哈大笑.这一笑，便记忆深刻（每当移项时仍笑声依旧），这一笑，就掌握了移项法则和要领.虽然这个比喻不怎么恰当，但却事半功倍. 四、巧用括号、理清头绪、预防出错

类比法在数学解题中的运用

类比法在数学解题中的应用 摘 要：类比是一种重要的逻辑方法，通过列举实例来说明类比法在数学解题中的应用，可以拓宽数学的解题思路，有助于培养学生的灵活性、独创性、广阔性和敏捷性。 关键词：类比法；数学解题；应用 类比是根据两个数学对象的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法，它通常称为类比法。它是以比较为基础，通过对两个(或两类)不同的对象进行比较，找出它们的相同点或相似点，然后以此为依据，将关于某一些知识或结论推移到另一种对象中去。其结论的可靠程度依赖于两个研究对象的共同属性，一般说来，共有属性愈多，结论的可靠程度就愈大；共有属性于是本质的，结论的可靠程度就愈高。类比既是一种逻辑方法又是一种科学研究的方法，它是人们思考问题和处理问题的重要手段，是发明创造的一把金钥匙。 类比分为简单类比和复杂类比两类。简单类比是一种形式性类比，它具有明显性、直接性的特征，其模式为 复杂类比是一种实质性类比，需要通过较为深入的分析后才能得出新的猜测，其模式为 类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其正确性，还必须经过严格的逻辑论证。运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：

类比思维在数学知识的延伸拓展过程中常借助于比较、联想，用作启发诱导以寻求思维的变异和发散。在数学学习中，我们可以通过类比学习新知识，也可以通过类比来寻求解题思路，甚至通过类比来推广数学命题。利用类比法，可使我们的思维能力、观察能力得到良好的锻炼。下面我们从数学解题的角度来谈谈类比法的应用。 一、平面几何与立体几何的类比 有些立体几何问题的解决可类比于平面几何问题解决的思路方法，有时可简化运算与推理，优化解题过程。 例1 如图1，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（于四个面都相切的球）的球心O ，且与BC 、DC 分别截于E 、F ，如过截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A —BEFD 与三棱锥A —EFC 的表面积分别为12,S S ，则必有( ) (A) 12S S > (B) 12S S < (C) 12S S = (D) 12S S 与的大小关系不能确定 图1 图2 分析 本题是立体几何问题，将立体中的有关图形、有关量与平面相应的元素进行类比: 由此可得到平面几何中相应的问题： 如图2，在ABC 中，直线EF 经过其内切圆的圆心O ，且与AB 、AC 分别交于E 、F ，如果线段EF 将ABC 分成面积相等的两部分,设AEF 与四边形EBCF 的周长分C

如何对待小学生数学中的粗心问题

认真对待小孩子粗心的问题 在2011年的城区小学教师招聘面试过程中，评委老师突然打断 我的说课，冷不丁地问道：“在数学教学中，你是如何对待小学生在计 算中粗心的问题的？”由于事先未料道有提问这一程序，没有一点思 想准备，突然地打断让我一瞬间头脑中一片空白，嘴里絮絮叨叨，语 无伦次了好一会儿才转入正常思绪，但最终的回答也很不让自己满意。事后为自己应急能力差而感到羞愧和好笑。细想起来，这个问题对于 我们这些当了十几年近二十年教师的不是家常便饭，经常要面对的嘛。 其实，粗心是人们在生活学习中的一种常见现象，不仅孩子身上 存在这种毛病，在我们这些成年人身上也或多或少地存在着。只是粗 心的毛病在孩子身上表现得更明显、更突出。我们经常会看见这样的 情形，家长们打电话给老师，或者家长相互见面后经常会问的一个问 题是：孩子粗心怎么办?每当我们翻开孩子的作业本或者试卷，看看出错的地方多半是一些最简单最基本的题目，甚至漏题没有做。于是做 父母的有的苦口婆心对孩子进行矫正，有的大发雷霆对孩子进行训斥，而孩子呢却依然故我，毫无改进，这令许多家长们伤透了脑筋。借此 机会，我将与老师和家长们探讨一下孩子粗心话题。 一、造成孩子粗心的原因 孩子粗心的原因是很多方面的。在一个孩子身上，粗心往往有几 种表现方式，而且这些表现方式还不是一成不变的。比如说A同学在一次测验中表现出审题不仔细、进退位没有注意这些问题，在下一次 测验中审题仍不仔细，可是进退位却没有弄错，却忘了两个填空。孩

子的粗心会随着其心身状态的改变而改变，随环境的改变而改变，而 且粗心的程度还不一致，无论怎么说吧，粗心终归粗心，不管其以什 么方式什么程度出现，孩子总逃不出粗心的“魔掌”。经过调查和查阅资料，结合自己的教学工作心得和体会，本人认为造成孩子粗心的 原因主要有： 1、思维定势 《教育心理学》指出：定势是由于先前的活动而形成的一种习惯 性的心理准备状态，它会使人按照一种比较固定的方式思考问题或解 决问题。思维定势有其积极的一面，但也有消极的一面，小学生在计 算中思维定势的负面作用主要表现在旧法则干扰新法则，而产生"积累性错误"。如整数加法的法则是"数位对齐，个位算起"。学生在计算小数加法时却将末位对齐，如，或是在计算420÷42=10、630÷63=10这些口算题后，接着计算440－44时，由于思维定势学生往往会把减法错算成除法，即440÷44＝10。 比较常见的还有三年级学生在学习平面图形的周长计算后，在接 下来学习平面图形的面积的时候，往往是不算面积而算周长，或者在 书写面积单位的时候总是不加平方两字。一年级学生在《认识人民币》单元中，根据价格牌上价格读出价格总是频频出错，比如0.70元他们通常会读成7元。 2、感知粗略 小学生进行计算，必须首先感知数据和符号组成的算式。由于小 学生感知事物的特点是比较笼统、粗略、不具体。这一阶段学生的感 知发展水平在选择性、理解性、整体性上都比较低下，所以，往往只

类比法在小学数学教学

摘要：数学思想方法作为对数学知识内容的本质认识，往往隐藏在数学知识的背后，在课堂教学中应该创造机会，有意识让学生去体验、运用。类比法是一种重要的数学思想方法，在小学数学课堂教学中可运用类比法来探究新知；加深对概念的理解；建构知识网络，使知识更加系统化；激发创新思维。 关键词：类比法；小学数学；数学教学 数学思想方法是数学课程的重要目的，是发展学生智力的关键所在，是培养学生数学创新意识的基础，也是一个人数学素养的重要组成部分。而然而在数学思想方法的学习中发现，直接以小学数学内容为背景的数学思想方法及其教学的研究很少，在教育实习中也发现大部分小学数学教师认为小学数学教学内容简单、浅显，没有什么数学思想方法之谈，在课堂教学时主要局限于解题的技能与技巧层面。这很难让学生体验到数学的本质，很难领会到数学的魅力。从知识层面来看小学的数学教学内容较简单，但处处蕴含着数学思想方法，在教学中需要教师去挖掘与渗透。下面就类比思想方法在小学数学教学中的运用作些探析。 一、类比法的内涵 （一）类比法 类比是一种间接推理的思想方法，也是一种科学研究的方法。类比是利用两对象的某些相似性，由此对象的某些性质或结论，猜测乃至证明另一对象的相应性或结论，由处理此对象的某些方法，利用相似性移植或稍加改动后移植与另一系统，用以处理另一对象的相似的性质或结论。可见，类比是提出新问题和获得新发现的一条重要途径。正如著名的数学家波利亚所说：“类比是一个伟大的引路人”。 所谓类比法是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性，关系，特征，形式等）的相同或相类似之处，推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。 （二）类比的基本模式 类比的一般模式如下： S对象具有（或不具有）性质a、b、c、d； S′对象具有（或不具有）性质a′、b′、c′； a′、b′、c′与a、b、c、相同或相似； B类对象可能具有（或不具有）性质d′。

数学解题论文：特殊值法在高考数学解题中的应用

数学解题论文：特殊值法在高考数学解题中的应用 摘要：文章谈了特殊值法在高考数学解题中的应用。在考试中有些数学题采用一般方法很难求解，在这时可以选择代入特殊值，以达到简化题目、减少思维量的效果。 主题词：数学高考特殊值法简化应用 随着高考的日益临近，各位考生进入了紧张的备战阶段，如何在短时间内使数学成绩突飞猛进成为大家关心的问题。身为一个过来人，我想把我的经验传授给大家，让大家能在高考的考场上得心应手，取得好成绩。 第一，在高考场上要放松心态，抱着一颗冲击别人的心态来考试，比如你平时刚上重本线，可以把自己的目标定为上一个很好的二本即可，既没有超出你能力范围，又没有给你自己太大的压力，有利于考出好成绩。如果实在很紧张，还有一种很好的方法，就是在考试的前一天完全放弃看书，去亲近自然，接触自然，相信自己，给自己以良好的暗示，这样你就一定能在考场上发挥出平时的水平，甚至超常发挥。 第二，在最后一个月内要准确掌握书本上的知识点，掌握基本方法、基本技巧，这样即使你做不出最后一题，也能保证较高的分数。 第三，在掌握了基本的知识和技巧之后你就需要一定的

应试技巧来取得成功，这些技巧很多，如直接法，数行结合法，大致求解法，特殊值法，等等。这里着重介绍特殊值法在数学高考中的应用。 特殊值法的定义：解数学题时，如果直接解原题有时难以入手，不妨先考察它的某些简单的特例，通过解答这些特例，最终达到原题的目的。这种解决数学问题的思想方法，通常称为“特殊值法”。［１］ 特殊值法的理论基础：对于一般性成立的结果，特殊值则一定成立，而当特殊值成立时一般性的结果不一定成立。这是很简单的一个思维逻辑，我们可以通过显而易见的容易得出结果的特殊值进行运算，得出结果再与答案相比较，选出正确答案的方法。 如：要证明（教材基础）：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。 证：先证相邻对换的情形。 设排列为a…aabb…b，对换a和b，变为a…abab…b.显然，a，…，a;b，…，b这些元素的逆序数经过对换并不改变，而a，b两元素的逆序数改变为：当a＜b时，经对换后a的逆序数增加1而b的逆序数不变;当a＞b时，经对换后a的逆序数不变而b的逆序数减少1.所以排列a…aabb…b 与排列a…abab…b的奇偶性不同。