18.1.2平行四边形的性质定理1、2的应用

平行四边形的性质定理1、2的应用

A 夯实基础练

一、选择题

1.如图，在?ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于E ，若AE=2，AE ：ED=2：1，则?ABCD 的周长是（ ）

A ．10

B ．12

C ．9

D ．15

2.已知如图4-4-1所示，直线m ∥n ,A 、B 为直线n 上两点，C 、D 为直线m 上两点，BC 与AD 交于点O ，则图中面积相等到的三角形有（） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对

3.如图4-4-2所示，AB ∥CD,O 为∠ACD 、∠BAC 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则AB 与CD 间的距离为（）

A ．2

B ．2．5

C ．3

D ．4

4.为了增加游人观赏花园风景的路程，将平行四边形花园中形如图4-4-3(1)的恒宽为a 米的直路改为形如图4-4-3（2）恒宽为a 米的曲路,道路改造前后各余下的面积（即图中阴影部分面积）分别记为1s 和2s ，则1s 2s （填“＞”“=”或“＜”）.

9题

5.如图4-4-4所示，一个四边形花坛ABCD ，被两条线段MN ，EF 分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，若MN ∥AB ∥DC ，EF ∥DA ∥CB ，则有（）A ．1S =4S B ．1423S S S S +=+ C ．1423S S S S = D ．都不对 二、填空题

6.用14厘米长的一根铁丝围成一个平行四边形，短边与长边的比为3：4，则短边和长边的长分别为

7..已知ABCD 的周长为60cm ，两邻边之比为1：2，则这个平行四边形的长分别为＿＿＿＿＿。

8已知：在同一平面内，直线a ∥c ，且直线a 到直线c 的距离是3；直线b ∥c ，直线b 到直线C 的距离为5，则直线a 到直线b 的距离是 . ○C

9.如图4-4-7所示，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE=4，BD=8， ABD 的面积为16，则 ACE 的面积为 .

三、解答题

10.如图4-4-8所示，四边形ABCD 是平行四边形，连接AC.

（1）请根据以下语句画图，并标上相应的字母（用黑色字迹的钢笔或签字笔画）. ①过点A 画AE ⊥BC 于点E ；

②过点C 画C F ∥AE ，交AD 于点F ；

（2）判断线段AE 和CF 之间的数量关系，并说明理由.

11．如图4-4-9所示，BD 是 ABCD 的对角线，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F.求证： ABE ≌ CDF

12.如图1，已知直线m ∥n ，点A 、B 在直线n 上，点C 、P 在直线m 上； （1）写出图1中面积相等的各对三角形：

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 （2）如图①，A 、B 、C 为三个顶点，点P 在直线m 上移动到任一位置时，总有

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿与△ABC 的面积相等； （3）如图②，一个五边形ABCDE ，你能否过点E 作一条直线交BC （或延长线）于点M ，使四边形ABME 的面积等于五边形ABCDE 的面积．

2．如图4-4-11所示，一条两边平行的纸带的宽度（两平行线间的距离）为8cm ，现将纸带折起压平（两条相对的长边应相交），那么重叠部分 ABC 面积的最小值为（）○C

2题图

3题图

A ．16cm 2

B ．32 cm 2

C ．64 cm 2

D ．无最小值

3.如图所示，直线 1234l l l l ∥∥∥，相邻两条平行线间的距离都等于h ，若正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（ ）

A.2

4h B.2

5h C.2 D. 2

4.如图所示，A 、B 、C 为一个平行四边形的三个顶点，且A 、B 、C 三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4，6）。

（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标； （2）求这个平行四边形的面积。

5.（2012滨州）如图（1）所示，1234l l l l 、、、是一组平行线，相邻两条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD 的4个顶点A ，B ，C ，D 都在这些平行线上，过点A 作AF ⊥3l 于点F ，交2l 于点H ，过点C 作CE ⊥2l 于点E ，交3l 于点G 。 （1）求证：ADF CBE ≌； （2）求正方形ABCD 的面积

（3）如图（2）如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为123h h h 、、，试用123h h h 、、表示正方形ABCD 的面积S 。

C 拔尖拓展练

1.如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ， （1）△ABC 与△DBC 的面积相等吗？为什么？ （2）若S △A O B =21cm 2，求S △C O D ；

（3）若S △A O D =10cm 2，且BO ：OD=2：1，求S △A B D ．

第2课时平行线的性质定理及平行线之间的距离。

答案：

【A】1.A 分析：由 ABCD，根据平行四边形的对边平行且相等，可得AD∥BC，AD=BC，AB=CD，又由BE是∠ABC的平分线，可得∠ABE=∠CBE，易得AE=AB（等角对等边），即可求得 ABCD的周长．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，

∴∠AEB=∠CBE，

∵BE是∠ABC的平分线，

∴∠ABE=∠CBE，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AE=AB=2，

∵AE：ED=2：1，

∴ED=1，

∴AD=AE+ED=3，

∴ ABCD的周长是10．

故选A．

点拨：本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．

2.C 点拨：根据平行线之间的性质可知面积相等垢三角形有△ACD和△BCD，△AOC和BOD，△ABC和△ABD三对。

3．D 点拨：过点O作AB的垂线．交AB与M，交CD与N．线段MN的长就是AB、CD 间的距离。可根据角平分线的性质解答．

4．＝

5．C 点拨：因为Sl与S3等高．所以面积比，就是底边的比．S2与S4也一样，面积比也是那两底边的比．所以Sl ：S3＝S2：S4．

6.4,3

7．10cm、20cm

82或8 点拨：易出现漏解，应针对三条直线的位置关系进行讨论，体现分类讨论的数学思想。

98 点拨：根据△ABD的面积是16，底BD＝8，可知平行线AE、BD之间的距离等于4.所以△ABD的面积是8.

10.解：（1）如答图所示

（2）AE＝CF，理由：两平行线间的距离相等。

11.证明（一）：∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，又∵∠ABC＝∠CDA∴DF∥BE，∴BE

△ABE≌△

＝DF，DE＝BF∴AE＝CF，又∵∠A＝∠C∴CDF

点拨：证明本题的关键是利用平行线问的平行线段相等，找到证明三角形全等的条件。培养学生对知识的综合运用能力．

12.

分析：（1）找出图①中同底等高的三角形，这些三角形的面积相等；

（2）因为两平行线间的距离是相等的，所以点C、P到直线n间的距离相等，也就是说△ABC 与△PAB的公共边AB上的高相等，所以总有△PAB与△ABC的面积相等；

（3）只要作一个三角形CEM与三角形CED的面积相等即可．

解：（1）∵m∥n，

∴点C、P到直线n间的距离与点A、B到直线m间的距离相等；

又∵同底等高的三角形的面积相等，

∴图①中符合条件的三角形有：△CAB与△PAB、△BCP与△APC，△ACO与△BOP；

（2）∵m∥n，

∴点C、P到直线n间的距离是相等的，

∴△ABC与△PAB的公共边AB上的高相等，

∴总有△PAB与△ABC的面积相等；

（3）连接EC，过点D作直线DM∥EC交BC延长线于点M，连接EM，线段EM所在的直线即为所求的直线

点拨：本题主要考查了三角形的面积及平行线的性质，利用平行线间的距离相等得到同底等高的三角形是解题的关键．

【B】1.BE＝DF或BF∥DE或AF＝CE

2.B 点拨：解答本题时不能从图中找到条件易出错。由于两直线平行，且平行线间的距离为8cm，故△ABC的高不变，当三角形的底边AC最短时，三角形的面积最小。

3.B 点拨：运用方程思想，根据平行线的性质可设AE x =，则2AD x =，由勾股定理得出

DE =，再根据三角形的面积公式

11222x x h = 求得x =，所以正方形

ABCD 的面积等于22)5h =。

4.解（1）BC 为对角线时，第四个坐标为（7，7）；AB 为对角线时，第四个点为（5，1）；

当AC 为对角线时，第四个点坐标为（1，5）。 （2）图中1

33(131322)4

2

ABC =?-

?+?+?=△面积，所以平行四边形面积＝2×△ABC 面积＝8.

点拨：运用转化思想，问题(1)木题应从BC 为对角线、AB 为对角线三种情况入手讨论，即可得出第四个点的坐标．问题(2)解本题时应将三角形进行分化，化为几个直角三角形的和，解出面积和，乘以2即为平行四边形的面积．

5.证明：（1）在Rt △AFD 和Rt △CEB 中，∵AD ＝BC ，AF ＝CE ，∴Rt AFD CEB △≌Rt △； （2）∵90ABH CBE ∠+∠=

，90ABH BAH ∠+∠=

，∴∠CBE ＝∠BAH ，又∵AB ＝BC ，∠AHB ＝∠CEB ＝90

∴ABH BCE

△≌△，同理可得，

ABH BCE CDG DAF

△≌△≌△≌△，

∴

1

442

2S A B

H

A B C D

S S +???+?△正方形正方形＝＝＝；

（3）由（1）知，A F D C △≌△，故13h h =，由（2）知，

A B H

B C E C D G △≌△≌△≌△，∴

22

121

1

442

2

ABH ABCD HEGF S S S h h h h h

+?+=++ △正方形正方形＝＝（h +h ）h 。 点拨：本题涉及到三角形全等的判定、平行线的性质等知识．解答本题的关键是根据平行间

的距离找三角形全等的条件，培养学生的分析判断能力和l 综合运用能力．

【C 】 1.分析：（1）根据已知得出∴△ABC 的边BC 上的高和△DBC 边BC 上的高相等，设此高为h ，根据三角形的面积公式求出即可；

（2）根据△ABC 的面积和△DBC 的面积相等，都减去△OBC 的面积，即可得出△AOB 的面积和△DOC 的面积相等；

（3）求出BD=3OD ，根据面积公式代入求出即可． 解：（1））△ABC 与△DBC 的面积相等，理由是： ∵AD ∥BC ， ∴△ABC 的边BC 上的高和△DBC 边BC 上的高相等，设此高为h ， ∴△ABC 的面积是

12BC h ?，△DBC 的面积是1

2

BC h ? ∵BC=BC ，

∴△ABC 与△DBC 的面积相等 （2）

∵S △A B C =S △D B C ，

∴S △A B C -S △O B C =S △D B C -S △O B C ，

∴S △A O B =S △D O C =21cm 2

，

即S △C O D =21cm

2

（3）∵BO ：OD=2：1， ∴BD=3OD ， ∵△AOD 的边OD 上的高和△ABD 的边BD 上的高相等，设此高为a

2

1

102AOD S OD a cm =??=△∵ ∴22

11303103022

ABD S BD a D a cm cm =??=??=?=△

点拨：本题考查了平行线间的距离和三角形的面积，注意：等高的三角形的面积之比等于对

应的边之比．

地脚：

方法技巧：1．方程思想(B3) 2．转化思想(B4) 3．分类讨论(A8)

易错点：l ．不能从图中找到条件易出错(B2) 2.判断两平行线间的距离考虑不周出错(A8)

平行四边形的性质(一)

第六章平行四边形 １. 平行四边形的性质（一） 杨家湾二中顾怀林 一、学生起点分析 学生知识技能基础：学生在小学已经学习过平行四边形，对平行四边形有直观的感知和认识。 学生活动经验基础：在掌握平行线和相交线有关几何事实的过程中，学生已经初步经历过观察、操作等活动过程，获得了一定的探索图形性质的活动经验；同时，在学习数学的过程中也经历了很多合作过程，具有了一定的学习经验，具备了一定的合作和交流能力。 二、学习任务分析 四边形和三角形一样，也是基本的平面图形，在三角形有关知识的基础上，探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和简单的推理，将为学生学习空间与图形的后继内容打下基础，本节将用多种手段（直观操作、图形的平移、旋转、说理及简单推理等）探索平行四边形的性质并培养学生的探索意识。 教学目标： 1．经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯； 2．探索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用； 3．在探索活动过程中发展学生的探究意识。 教学重点：平行四边形性质的探索。 教学难点：平行四边形性质的理解。 教学方法：探索归纳法 三、教学过程设计 本节课分5个环节： 第一环节：实践探索，直观感知 第二环节：探索归纳，交流合作 第三环节：推理论证，感悟升华 第四环节：应用巩固，深化提高 第五环节：评价反思，概括总结

第一环节：实践探索，直观感知 1．小组活动一 内容： 问题1：同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张。将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的一边重合，得到一个四边形。 （1）你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下； （2）给出小明拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置关系？说说你的理由，请用简捷的语言刻画这个图形的特征。 目的： 通过学生动手实践，引出平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形； 平行四边形的相邻的两个顶点连成的一段叫做它的对角线。 教师进一步强调：平行四边形定义中的两个条件：①四边形，②两边分别分别平行即AD // BC 且AB // BC；平行四边形的表示“”。 2．小组活动二 内容：生活中常见到平行四边形的实例有什么呢？你能举例说明吗？ 目的：加强知识的直观体验，使学生感受数学来源于生活，数学图形和生活是紧密相联系的。 效果：通过动手实践、探索、感知，学生进一步探索了平行四边形的概念，明确了平行四边形的本质特征。 第二环节探索归纳、合作交流 小组活动三： 内容：⑴平行四边形是中心对称图形吗？如果是,你能找出他的对称中心并验证你的结论吗?⑵你还发现平行四边形的那些性质呢? 活动目的： 这个探索活动与第一环节的探索活动有所不同，是从整体的角度研究平行四边形中心对称性的特征,明确了两条对角线的交点就是其对称中心，感知平行四边形的对边,对角的性质：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等等。

电解原理及应用

电解原理及应用 学习目标 知识与技能：1、理解电解原理，会判断电解池、电极产物、电极周围溶液pH值及整个溶液pH值的变化； 2、能书写电极反应式及总反应式，培养分析归纳知识的能力。 过程与方法：1、利用惰性电极电解氯化铜的实验，探究电解原理 2、了解电解的应用，特别是电解在电镀、电解精炼、电冶炼等方面的应用。情感态度与价值观：通过电解知识的学习，发现其在日常生活和工农业生产中的广泛应用，激发学生勇于创新、积极实践的科学态度。 重点：理解电解原理和以电解CuCl2溶液为例得出惰性电极作阳极时的电解的一般规律。 难点：理解电解原理，非惰性电极作阳极对电解产物的判断，电解原理的应用。 先学后教 回顾：电解质是指在________________________________能够导电的___________。电离是指电解质在_____________或__________状态下离解成____________过程。电解质溶液或熔融电解质导电的实质是。 一、电解 1、定义： 2、电解装置—电解池（槽） （1）定义： （2）构成条件： ①——提供电能 ②——形成闭合回路 ③——帮助实现能量转化 （3）能量转化方式： （4）电极名称、电极判断和电极反应类型： 左边石墨棒电极名称：，电极反应类型： 右边石墨棒电极名称：，电极反应类型： 电解质溶液中离子的迁移方向： 二、电解原理 1、离子放电顺序（惰性电极通常包括和等） 阴极阳离子放电顺序：Ag＋> Hg 2＋> Fe 3＋> Cu 2＋>H＋> Pb 2＋>Sn 2＋>Fe 2＋>Zn 2＋> Al 3＋>Mg 2＋>Na＋>Ca 2＋>K＋ 阳极阴离子放电顺序：S2－> I－> Br－>Cl－> OH－> 含氧酸根> F－ 思考与交流：①上述阳离子顺序与离子的氧化性或金属活动性顺序有何联系？上述阴离子顺序与离子的还原性有何联系？ ②若用铜做电极，阳极的放电情况会怎么样？ 2、电极反应式书写

平行四边形及其性质

平行四边形及其性质

课题： 4 . 1 平行四边形及其性质 教材：北师大版义务教育课程标准实验教科书八年级上册 一、教材分析 1．教材的地位与作用 平行四边形是最基本的几何图形，也是“空间与图形”领域中研究的主要对象之一．它在生活中有着十分广泛的应用，这不仅表现在日常生活中有许多平行四边形的图案，还包括其性质在生产、生活各领域的实际应用． 本节课既是平行线的性质、全等三角形等知识的延续和深化，也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的坚实基础，在教材中起着承上启下的作用．平行四边形的性质还为证明两条线段相等、两角相等、两直线平行提供了新的方法和依据，拓宽了学生的解题思路．另外本节课是在学生掌握了平移、旋转知识的基础上探究平行四边形的性质，能使学生经历观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，对于培养学生的合情推理能力、发散思维能力以及探索、体验数学思维规律等方面起着重要的作用． 2．教学目标： 知识技能：理解并掌握平行四边形的相关概念和性质，培养学生初步应用这些知识解决问题的能力． 数学思考：通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力． 解决问题：学生亲自经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，体会解决问题策略的多样性． 情感态度：培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐． 3．教学重点、难点： 重点：理解并掌握平行四边形的概念及其性质． 难点：运用平移、旋转的图形变换思想探究平行四边形的性质． 4．教材处理： 基于“创造性地使用教材”和“真正地以学生为本”的教学理念，我将教材内容进行合理内化、整合． 首先，打破了原教材的知识结构，构建成一个新的教学体系，分为探索平行四边形的性质和平行四边形性质的应用这样两部分，本节课是探索平行四边形的性质．这样安排能很好地体现知识结构的完整性和系统性． 然后，将教材中平行四边形性质的探究活动完全开放，给学生充分探索的时间与空间，动手实验，动脑思考．力图构建学生主动探索、获取知识的平台，使学生真正成为实践的

18.1.1 平行四边形的性质(教学设计)

第十八章平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第一课时 【岩帅中学李光兴】 一、教学目标： 1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、重点、难点 【重点】平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 【难点】运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？ 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？ 你能总结出平行四边形的定义吗？ (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“”来表示． 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC， 那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）； ②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）． 平行四边形性质一：平行四边形的两组对边分别平行；

注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下． 猜想平行四边形的对边相等、对角相等． 下面证明这个结论的正确性． 已知：如图ABCD， 求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D， ∠BAD＝∠BCD． 分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论． （作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．） 证明：连接AC， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． 又AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA （ASA）． ∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D． 又∠1＋∠4＝∠2＋∠3， ∴∠BAD＝∠BCD． 由此得到： 平行四边形性质二：平行四边形的对边相等． 平行四边形性质三：平行四边形的对角相等．

复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结

第六章留数理论及其应用 §1.留数1.（定理柯西留数定理）： 2.（定理）：设a为f(z)的m阶极点， 其中在点a解析，，则 3.（推论）：设a为f(z)的一阶极点， 则 4.（推论）：设a为f(z)的二阶极点 则 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数：

即，等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号 7.（定理）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有，但是，如果点为f(z)的可去奇点（或解析点），则可以不为零。 8.计算留数的另一公式： §2.用留数定理计算实积分 一.→引入 注：注意偶函数 二.型积分 1.（引理大弧引理）：上 则 2.（定理）设

为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 注：可记为 三.型积分 3.（引理若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周 上连续，且 在上一致成立。则 4.（定理）：设，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：（1）Q的次数比P高； （2）Q无实数解； （3）m>0 则有 特别的，上式可拆分成：

及 四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理小弧引理）： 于上一致成立，则有 五.杂例 六.应用多值函数的积分 §3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数： 2.（引理）：（1）设a为f(z)的n阶零点，则a必为函数的一阶极点，并且 （2）设b为f(z)的m阶极点，则b必为函数的一阶极点，并且 3.（定理对数留数定理）：设C是一条周线，f(z)满足条件： （1）f(z)在C的内部是亚纯的；

留数定理

留数定理编辑讨论3 上传视频 本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。[1] 中文名留数定理外文名Residue theorem别称柯西留数定理应用学科工程学、数学适用领域范围工学相关术语解析函数 目录 1 定律定义 2 推导过程 3 相关术语 定律定义编辑 假设U是复平面上的一个单连通开子集，，是复平面上有限个点，是定义在U\{ }的全纯函数。如果γ是一条把包围起来的可求长曲线，但不经过任何一个，并且其起点与终点重合，那么： 如果γ是若尔当曲线，那么I(γ,ak)=1, 因此： 在这里，Res(f, ak)表示f在点ak的留数，I(γ, ak)表示γ关于点ak 的卷绕数[2] 。卷绕数是一个整数，它描述了曲线γ绕过点ak的次数。如果γ依逆时针方向绕着ak移动，卷绕数就是一个正数，如果γ根本不绕过ak，卷绕数就是零。

推导过程编辑 以下的积分 在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等的微积分是不可能把它计算出来的。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从?a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到?a。取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。路径积分为： 由于eitz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z2 + 1为零时才具有奇点。由于z2 + 1 = (z + i)(z ? i)，因此这个函数在z = i或z = ?i时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。 由于f(z)是 f(z)在z = i的留数是： 根据留数定理，我们有： 路径C可以分为一个“直”的部分和一个曲线弧，使得：

平行四边形的概念和性质

平行四边形的概念和性质（1） 冒合中学杜碧玲 [教学目标] 1﹑了解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质，并能熟练用其来解决实际问题。 2﹑通过探索、发现、论证培养学生类比、转化的数学思想方法锻炼学生的自学能力和缜密的逻辑思维能力 3、让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，培养学生善于发现、积极思考、合作学习、勇于创新的学习态度 [教学重点、难点] （1）重点：掌握平行四边形的性质（2）难点：利用平行四边形的性质解决相关问题 [教学过程] 一、板书课题： 引入：在小学里，我们初步认识平行四边形，会计算平行四边形的周长和面积，这节课开始我们进一步来学习平行四边形的概念，研究它的性质—平行四边形的概念、和性质。 二、出示目标 出示事先写在小黑板上的教学目标： 1﹑了解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质，并能熟练用其来解决实际问题。 2﹑通过探索、发现、论证培养学生类比、转化的数学思想方法锻炼学生的自学能力和缜密的逻辑思维能力 3、让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，培养学生善于发现、积极思考、合作学习、勇于创新的学习态度 三、自学指导 （一）过渡语：怎样才能当堂达到学习目标呢？请同学们按照指导认真自学。（二）出示自学指导 认真看课本（P83-84）练习前面的内容。 1．理解平行四边形的概念和记法； 2．掌握平行四边形的对边相等对角相等的性质，注意兰色书签的内容； 3．利用三角形全等证明上述性质。

四、先学 （一）学生看书，教师巡视，师督促每一位学生认真、紧张的自学，鼓励学生质疑问难。 （二）检测 1、过渡语：同学们，看完的请举手。懂了的请举手。好下面就比一比，看谁能正确做出检测题。 2、检测题P84：1、2、3 3、学生练习，请三名同学到黑板上进行板演，教师巡视。（改集错误解进行二次备课） 五、后教 （一）更正：请同学们仔细看一看这三名同学的板演，发现错解的请举手（指名更正） （二）讨论： 教师根据学生发言的情况进行评平行四边形的概念，研究它的性质价，（教师要强调解题格式） （三）归纳：我们已经学习了平行四边形的概念和性质，你能说一说今天的收获吗？（指名说） 六、当堂训练 （一）讲述：让同学口答新知识，能运用新知识做对作业吗？好，要注意解题格式，书写工整。 （二）出示作业题： P90-91第1题2题第3题 （三）学生练习，教师巡视。

电解池(电解原理及应用习题)讲解学习

电解池(电解原理及应 用习题)

电解池及其应用 一、电解池的工作原理 1电解：在直流电的作用下，在两电极上分别发生和的过程叫做电解。 2电解池:把转化为能的装置叫 ,也叫。 3.电解池中的基本关系： 阳极：与电源相连，电子，发生反应，元素化合价 ①电极 阴极：与电源相连，电子，发生反应，元素化合价 ②闭合回路：电子从流出，经过、，流入 电解池内：阳离子从移动向，阴离子从移动向。 阴阳离子的定向移动形成电流。 4.电解池的构成条件： （1）（2） （3）（4） 5.电解池中离子的放电顺序： 物质在电解池的阴、阳两极得失电子发生发生氧化还原反应的过程叫放电。阴极（阳离子放电顺序）： Ag+>Hg2+>Fe3+>Cu2+>H+（酸)>Pb2+>Sn2+>Fe2+>Zn2+>H+ （水)>Al3+>Mg2+>Na+>Ca2+>K+ 阳极： ①为活性电极如金属单质（除Pt、Au）等时，则阳极材料自身优先放电。

②为惰性电极(石墨、Pt等)时，阴离子的放电顺序： S2－>I－>Br－>Cl－>OH－>含氧酸根（如NO3-、SO42-、CO32-等）>F- 常见惰性电极电解电解质溶液类型 ①H2SO4阴极阳极 总化学方程式 ②NaOH阴极阳极 总化学方程式 ③KNO3阴极阳极 总化学方程式 ○4HCl阴极阳极 总化学方程式 ⑤CuCl2阴极阳极 总化学方程式 ⑥NaCl阴极阳极 总化学方程式 ⑦CuSO4阴极阳极 总化学方程式 二、电解原理的应用 1、氯碱工业：电解饱和食盐水 2、电镀 阳极：；阴极：；电解质溶液： 3、精炼铜 阳极：；阴极：；电解质溶液： 4、电冶金 活泼金属，如钾、钙、钠、镁、铝的冶炼 钠的冶炼： 镁的冶炼：

平行四边形的性质典型例题

《平行四边形的性质》典型例题 例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度 例2 已知：如图，ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，AOB ?的周长比BOC ?的周长多8cm ，求这个平行四边形各边的长. 例3 已知：如图，在ABCD 中，BD AC 、交于点O ，过O 点作EF 交AB 、CD 于E 、F ，那么OE 、OF 是否相等，说明理由. 例4 已知：如图，点E 在矩形ABCD 的边BC 上，且DE AF AD DE ⊥=,，垂足为F .求证：.DC AF = 例5 O 是ABCD 对角线的交点，OBC ?的周长为59，38=BD ，24=AC ，则=AD ________，若OBC ?与OAB ?的周长之差为15，则=AB ______，ABCD 的周长=______. D C A B O

例6 已知：如图，ABCD 的周长是cm 36，由钝角顶点D 向AB ，BC 引两条高DE ，DF ，且cm DE 34=，cm DF 35=.求这个平行四边形的面积. 例7 如图，已知：ABCD 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ， 若?=∠60EAF ，cm BE 2=，cm FD 3=. 求：AB 、BC 的长和ABCD 的面积.

参考答案 例 1 分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数. 解 设平行四边形的一个内角的度数为x ，则它的邻角的度数为3x ，根据题意，得1803=+x x ，解得45=x ，∴.1353=x ∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°. 例2 分析 由平行四边形对边相等，可知=+BC AB 平行四边形周长的一半＝30cm ，又由AOB ?的周长比BOC ?的周长多8cm ，可知8=-BC AB cm ，由此两式，可求得各边的长. 解 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴.,,OO AO BC AD CD AB === 60=+++BC AD CD AB Θ，∴.30=+BC AB 8)(=++-++OC BC OB OB AB AO ，∴.8=-BC AB ∴.11,19====AD BC CD AB 答：这个平行四边形各边长分别为19cm ，11cm ，19cm ，11cm. 说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半.（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差. 例3 分析 观察图形，DOF BOE CFO AEO CDO ABO ?????????,,，从而可说明.OF OE = 证明 在ABCD 中，BD AC 、Θ交于O ，∴.OC AO = CD AB //Θ，∴CFO AEO FCO EAO ∠=∠∠=∠,， ∴)(AAS CFO AEO ???，∴.OF OE = 例4 分析 观察图形，AFD ?与DCE ?都是直角三角形，且锐角DEC ADF ∠=∠，斜边DE AD =，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE ，则ABE ?与AFE ?全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。 证明 ∵四边形ABCD 是矩形，∴?=∠90,//C BC AD ，∴.DEC ADE ∠=∠ DE AF ⊥Θ，∴?=∠=∠90C AFD ，

留数定理及应用

留数及其应用 摘 要 数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 内各孤立 奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可 以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用． 关键词 留数定理；留数计算；应用 引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法． 一. 预备知识 孤立奇点 1．设()f z 在点a 的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点 则)(z f 在R z z <-<00某去心邻域内解析，但在点a 不解析， 则称a 为f 的孤立奇点.例如sin z z ，1 z e 以0=z 为孤立奇点. z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点. 11sin z 以0=z 为奇点（又由1sin 0=z ，得1(1, 2...,)π ==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有

电解池(电解原理及应用习题)

电解池及其应用 一、电解池的工作原理 1电解：在直流电的作用下，在两电极上分别发生和的过程叫做电解。 2电解池:把转化为能的装置叫,也叫。 3.电解池中的基本关系： 阳极：与电源相连，电子，发生反应，元素化合价 ①电极 阴极：与电源相连，电子，发生反应，元素化合价 ②闭合回路：电子从流出，经过、，流入 电解池内：阳离子从移动向，阴离子从移动向。 阴阳离子的定向移动形成电流。 4.电解池的构成条件： （1）（2） （3）（4） 5.电解池中离子的放电顺序： 物质在电解池的阴、阳两极得失电子发生发生氧化还原反应的过程叫放电。 阴极（阳离子放电顺序）： Ag+>Hg2+>Fe3+>Cu2+>H+（酸)>Pb2+>Sn2+>Fe2+>Zn2+>H+（水)>Al3+>Mg2+>Na+>Ca2+>K+ 阳极： ①为活性电极如金属单质（除Pt、Au）等时，则阳极材料自身优先放电。 ②为惰性电极(石墨、Pt等)时，阴离子的放电顺序： S2－>I－>Br－>Cl－>OH－>含氧酸根（如NO3-、SO42-、CO32-等）>F- 常见惰性电极电解电解质溶液类型 ①H2SO4阴极阳极 总化学方程式 ②NaOH阴极阳极 总化学方程式 ③KNO3阴极阳极 总化学方程式 ○4HCl阴极阳极 总化学方程式 ⑤CuCl2阴极阳极 总化学方程式 ⑥NaCl阴极阳极 总化学方程式 ⑦CuSO4阴极阳极 总化学方程式

二、电解原理的应用 1、氯碱工业：电解饱和食盐水 2、电镀 阳极：；阴极：；电解质溶液： 3、精炼铜 阳极：；阴极：；电解质溶液： 4、电冶金 活泼金属，如钾、钙、钠、镁、铝的冶炼 钠的冶炼： 镁的冶炼： 铝的冶炼： 1．某学生欲完成反应2HCl＋2Ag===2AgCl↓＋H2↑而设计了下列四个实验，你认为可行的是() 2．用惰性电极电解下列溶液一段时间后，再加入一定量的另一种物质（括号内），溶液能恢复到与原溶液完全一样的是………………………………………………………（）A. CuCl2 (CuSO4) B．NaOH (NaOH) C．NaCl (HCl) D．CuSO4(Cu(OH)2) 3．pH＝a的某电解质溶液中，插入两支惰性电极通直流电一段时间后，溶液的pH>a，则该电解质可能是………………………………………………………………………（）A.NaOH B.H2SO4 C.AgNO3 D.Na2SO4 4．在H2O中加入等物质的量的Ag+、Na+、Ba2+、NO3ˉ SO42ˉ、Clˉ，该溶液放在惰性电极的电解槽中通电片刻后，氧化产物与还原产物的质量比是…………………（）A．1∶8 B．8∶1 C．35.5 ∶108 D．108∶35.5 5．用惰性电极电解M（NO3）x的水溶液，当阴极上增重a g时，在阳极上同时产生b L氧气（标准状况），则M的相对原子质量为…………………………………………（） A．22.4ax b B． 11.2ax b C． 5.6ax b D． 2.5ax b 6．用惰性电极实现电解，下列说法正确的是……………………………………（）A．电解稀硫酸溶液，实质上是电解水，故溶液p H不变 B．电解稀氢氧化钠溶液，要消耗OH－，故溶液pH减小 C．电解硫酸钠溶液，在阴极上和阳极上析出产物的物质的量之比为1∶2 D．电解氯化铜溶液，在阴极上和阳极上析出产物的物质的量之比为1∶1 7. 以铁为阳极、铜为阴极，对足量NaOH溶液进行电解，一段时间后得到2molFe（OH）3沉淀，此时消耗水的物质的量共为 A.2mol B.3mol C.4mol D. 5mol 8．用惰性电极电解一定浓度的硫酸铜溶液，通电一段时间后，向所得溶液中加入0.4 mol 氧化铜后恰好恢复至电解前的浓度。则电解过程中转移电子的物质的量是() A．1.6 mol B．1.2 mol C．0.8 mol D．0.4 mol

平行四边形的定义及性质

知识点讲解： 一、平行四边形定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(如图)，记作“□ABCD”。 平行四边形的表示：一般按一定的方向依次表示各顶点，如右图的平行四边形不能表示成 □ACBD，也不能表示成□ADBC。 二、平行四边形的性质 ①平行四边形的对边平行且相 等 四边形ACBD为平行四边形 ?AB CD ∥、AD BC ∥ ②平行四边形的对角相等； 四边形ACBD为平行四边形 A C B D ?∠=∠∠=∠ ， ③平行四边形的对角线互相平 分 四边形ACBD为平行四边形 OA OC OB OD ?== ， ④平行四边形是中心对称图 形，对称中心就是两条对角线 的交点；连接四边上任意一点 和平行四边形的对称中心，与 另一条边相交于一点，则这两 个点关于平行四边形的对称中 心对称。 四边形ABCD为平行四边形， E、F在AD，BC上，且线段 EF过点O?OE＝OF 平行四边形的定义及性质

⑤平行四边形中重要结论： O AOB BOC DOC D A S S S S ????=== AOB COD ??≌ AOD COB ??≌ ABC CDA ??≌ BCD DAB ??≌ 练个手先： 在□ABCD 中， ①若∠A －∠B ＝40°，则∠A ＝____； ②若周长为54cm ，AB －BC ＝5cm ，则AB ＝____cm ； ③若AC 平分∠DAB ，则对角线AC 与BD 的位置关系为____。 ④若∠A ＝30°，AB ＝7cm ，AD ＝6cm ，则ABCD S Y ＝ ____。 ⑤若E 为AD 上一点，且6ABE DCE S S ??+=，则ABCD S Y ＝ ____。

论文留数定理及其应用

石河子大学 本科毕业论文（设计） 留数定理及其应用 院系师范学院 专业数学与应用数学 姓名向必旭 指导老师曹月波 职称讲师 摘要 留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。综观复分析理论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义。同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路径的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了充分的基础。 1825 年，柯西在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题，并给出了关于留数的定义。随后，柯西进一步发展和完善留数的概念，形成了定义。 柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程，级数理论

及其他一些学科，并在相关学科中产生了深远影响，成为一个极其重要的概念。因而很自然地产生了这样一个问题：柯西为什么要定义这一概念或者说，什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想，揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义。随着留数的发展，复积分的相关问题得到了极大的进步，并解决了一些广义积分和特殊定积分的计算问题。 关键字：留数；留数定理；积分 目录 摘要··············································· 1. 引言············································· 2. 留数············································· 2.1 留数的定义及留数定理························ 2.2 留数的求法·································· 2.3 函数在无穷远处的留数························ 3. 用留数定理计算实积分 3.1 计算形如∫f (cos x ,sin x )dx 2π 0的积分············ 3.2 计算形如∫f (x )+∞ ?∞dx 的积分···················· 3.3 计算形如∫P (x ) Q (X )+∞?∞e imx dx 的积分················ 3.4 计算形如∫P (x )Q (x ) +∞?∞ cos mxdx 和∫P (x ) Q (x ) +∞?∞sin mxdx 的积分 3.5 计算积分路径上有奇点的积分···················· 参考文献 1. 引言

电解原理及其应用.doc

第四单元电解原理及其应用 单元测试 （时间：90min 总分：110分） 一、选择题：每小题3分，共60分。 1．某氯碱厂不慎有大量氯气逸出周围空间，此时，可以用浸有某种物质的一定浓度的水溶液的毛巾捂住鼻子。最适宜采用的物质是( ) A．NaOH B．NaCl C．KBr D．Na2CO3 2．1L0．1mol／LAgNO3溶液在以Ag作阳极，Fe作阴极的电解槽中电解，当阴极上增重2．16g时，下列判断正确的是(设电解按理论进行，溶液不蒸发) ( ) A．溶液的浓度变为0．08mol／L B．阳极上产生112mLO2(标准状况) C．转移的电子数是1．204×1022个D．反应中有0．01mol的Ag被氧化 3．用质量均为100g的铜做电极，电解AgNO3溶液，电解一段时间后，两电极的质量差为28g，则两电极的质量分别为( ) A．阳极100g，阴极128g B．阳极93．6g，阴极121．6g C．阳极91．0g，阴极119．0g D．阳极86．0g，阴极114．0g 4．四个电解装置都以Pt做电极，它们分别装着如下电解质溶液进行电解，一段时间后，测定其pH值变化，所记录的结果正确的是( ) A B C D 电解质溶液HCl AgNO3BaCl2KOH pH值变化减小增大不变增大 5．电解硫酸溶液时，放出25mL(标况)O2，若以等量的电量在同样条件下电解盐酸溶液，所放出的气体的体积最接近下列数据中的( ) A．45mL B．50mL C．75mL D．100mL 6．用惰性电极电解pH==6的CuSO4溶液500mL，当电极上有16mg铜析出时，溶液的pH值约是(设电解前后溶液体积变化可以忽略，阴极上没有H2析出) ( ) A．1 B．3 C．6 D．9 7．用指定材料做阳极和阴极来电解一定浓度的溶液甲，然后加入物质乙能使溶液物质为甲溶液原来的浓度，则合适的组合是( ) 阳极阴极溶液甲物质乙 A．Pt Pt NaOH NaOH固体 B．Pt Pt H2SO4H2O C．C Pt NaCl 盐酸 D．粗铜精铜CuSO4Cu(OH)2 8．如图所示，图中四种装置工作一段时间后，测得导线上均通过了0．002mol电子，此时溶液的pH值由小到大的排列顺序为(不考虑溶液的水解和溶液的体积变化) A．①<②<③<④B．②<①<③<④C．②<①<④<③D．①<②<④<③9．用惰性电极分别电解下列各物质水溶液一段时间后，向剩余电解质溶液中加入适量水能使溶液恢复到电解前浓度的是( )

平行四边形及其性质(一)

平行四边形及其性质(一) 一、教学目标： 1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角的性质． 2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的．3．培养学生发现问题、解决的能力及逻辑推理能力． 二、重点、难点 1．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等及对角线互相的性质，以及性质的应用． 2．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护栏，想一想它们是四边形。 平行四边形是我们常见的图形，请你在举出平行四边形在生活中应用的例 子。 你能说出平行四边形的定义吗？ (1)定义：两组对边分别的四边形是平行四边形． (2)如右图：平行四边形用符号“”来表示．读作。 2：平行四边的定义： ①用文字语言表示为： （如图是图形语言） 在四边形ABCD中，AB平行于DC，AD平行于BC，那么四边形ABCD是．②用符号语言表示为： ∵AB//DC，AD//BC，∴四边形ABCD是。（判定）；反过来： ∵四边形ABCD是。∴AB//DC，AD//BC（性质）． 注意：平行四边形中对边是指无公共的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共的边，邻角是指有一条公的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角． 所以我说定义很特殊：既可以当用，又可以当用。 3;平行四边的性质： 【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的一般性质（如内角和为360°）和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们进行探究．

我们根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行以外，度量它的边和角，发现平行四边形的对边，对角，邻角， （1）证明，如图：∵AB∥CD，AD∥BC∴∠+∠BAD＝180°，∠+∠ =180°∴平行四边形中，相邻的角互为补角． （2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等． 下面证明这个结论的正确性． 已知：如图ABCD， 求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD． 分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形即可得到结论． （作对角线是解决四边形问题常用的线，通过作对角线，可以把四边形的问题转化为形的问题来解决．） 证明：连接AC，如图 ∵AB∥，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠＝∠4．又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA （ASA）． ∴AB＝，＝AD，∠＝∠D．又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD．由此得到：用文字语言表示为 平行四边形性质1 平行四边形的对边相等． 平行四边形性质2 平行四边形的对角相等． 用符号语言表示为： ∵如图在ABCD中∴AB＝，CB＝AD，∠B＝∠，∠A＝∠C． 五、例习题分析 例1如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE． 分析：要证AF=CE，需证△≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠=∠B ，AD= ，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得=DF．由“边角边”可得出所需要的结论． 证明．在ABCD中，∵AB=CD，又∵= ∴BE=DF. ∵CB＝AD，∠B＝∠D ∴△≌△∴. 六、随堂练习 1．填空： 50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度． （1）在ABCD中，∠A= （2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm． 2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足， 求证：BE＝DF． 七、课后练习

平行四边形性质专题

C F B E D A 一、平行四边形基本定义： 1、平行四边形 定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 表示：平行四边形用符号“□”来表示。 ２、平行四边形性质： ３、扩展性质： 二.平行四边形的面积： 平行四边形的面积： 等于底和高的积，即S□ABCD=ah，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边到其 对边的距离，即对应的高。 平行四边形中的等积法使用： DF BC DE AB? = ? 三、总结： （1）平行四边形的性质和扩展性质要能够理解并灵活运用。 （2）平行四边形中对角线是常用辅助线。 例题1如图，在?ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD 边于点E，且AE=3，则AB的长为（）A．4 B．3 C． 2 5 D．2 例题2如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于 点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论 中：①△ABC≌△AED；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④ S△ABE=S△CDE；⑤S△ABE=S△CEF．其中正确的是（）A．①②③ 平行四边 形性质 平行四边形对边相等； 平行四边形对角相等； 平行四边形对角线互相平分。 平行四边形对角线分平行四边形成面积相等的四个小三角形。 平行四边形对角线分平行四边形成四个小三角形中，相邻两个小三角形周 长差等于边长差 平行四边形对角线的一半和大于任意一边长 过平行四边形对角线交点的任意一条直线分平行四边形成面积相等两部分

B ．①②④ C ．①②⑤ D ．①③④ 平行四边形的面积问题 实例：如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，C 为边BD 延长线上一点，连结AC 、CE ，使AB=AC ． （1）求证：△BAD ≌△AEC ； （2）若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE 的面积． 平行四边形中的折叠 实例：如图，在?ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，AB 上，DE=BF ，把平行四边形沿直线EF 折叠，使得点B ，C 分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF 交于点G ，连接DG ，B′G． 求证：（1）∠1=∠2； （2）DG=B′G． DE=B′F，∴△DEG ≌△B′FG，∴DG=B′G． 一、选择题 1、如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且AB=5，△OCD 的周长为23，则平行四边形ABCD 的两条对角线的和是（ ）A ．18 B ．28 C ．36 D ．46 A ．246 B ．216 C ．-216 D ．274 2如图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有?ADCE 中，DE 最小的值是（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 *3如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＞CD ，按以下步骤作图：以A 为圆心，小于AD 的长为半径画弧，分别交AB 、CD 于E 、F ；再分别以E 、F 为圆心，大于 2 1 EF 的长半径画弧，两弧交于点G ；作射线AG 交CD 于点H ．则下列结论：①AG 平分∠DAB ，②CH=2 1 DH ，③△ADH 是

留数定理及其在积分中的运用

江西师范大学数学与信息科学学院 学士学位论文 留数定理及其在积分中的运用 （Residue theorem and the use in the Calculus） 姓名：刘燕 学号： 0507010122 学院：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 指导老师：易才凤（教授） 完成时间：2009年*月*日

留数定理及其在积分中的应用 【摘要】本文首先在预备知识中介绍了复函数积分，并介绍了留数的计算 方法等。在此基础上，我们叙述并证明了本文的主要内容--留数定理，并得到留数定理的推广。然后利用留数定理探讨分析学中的积分计算问题，并利用积分技巧得到它们的一般计算方法和公式，进而更简捷的解决了分析学中积分的计算问题. 【关键词】解析孤立奇点留数留数定理

Residue theorem and the use in the Calculus 【Abstract】This paper, we first introduce the prior knowledge of complex function Calculus，and introduce the method of calculating the residue, etc.On this basis,We described and proved the main contents of this article--the Residue theorem,and the promotion of the Residue theorem . This paper discussed the calculating problems of intgral in analysis with the theorem of residue, got the general computating method and formula by using analysical skills, and then made it easier to resolve the calculating problems. 【Key words】Analysis Isolated singular point Residue Residue theorem

(完整版)平行四边形性质定理

四边性质定理总结 平行四边形 定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形； 性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等； （2）平行四边形的对边平行且相等； （3）平行四边形的对角线互相平分。 判定：（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 三角形中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线； 定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半。 矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）矩形的四个角都是直角； （3）矩形的对角线相等； 判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形； 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 菱形 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）菱形的四条边相等； （3）菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角； （4）菱形的另一个面积计算公式：对角线乘积的一半。 判定：（1）定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边相等四边形是菱形。 正方形 定义：既是矩形又是菱形的四边形是正方形 性质：正方形具有矩形的性质又具有菱形的性质； （1）边：四条边相等，邻边相等，对边平行； （2）角：四个角都是直角； 对角线：相等且互相垂直平分;每一条对角线平分一组对角；正方形一条对角线上的一点到