高中数学讲义
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思维的发掘 能力的飞跃
题型一: 平面向量基本定理
【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底,则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )
A .1e 与—2e
B .31e 与22e
C .1e +2e 与1e —2e
D .1e 与21e
【例2】 在ABC △中,AB =c ,AC =b .若点D 满足2BD DC =,则AD =( )
A .
2133+b c B .5233-c b C .21
33-b c
D .12
33
+b c
【例3】 如图,线段与互相平分,则可以表示为 ( )
A .
B . C.
D.
【例4】 在ABC △中,AB c =,AC b =.若点D 满足2BD DC =,则AD =( )
A .2133
b c +
B .5233
c b -
C .2133
b c -
D .1233
b c +
AB CD BD AB CD -11
22
AB CD -
+1
()2
AB CD -()AB CD -
-
典例分析
板块二.平面向量基本定理
与坐标表示
高中数学讲义 2 思维的发掘 能力的飞跃
【例5】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ,设A B a =,AD b =,
用向量a 和b 表示向量BD ,AO .
【例6】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ,设对角线AC =a ,BD =b ,用a ,b 表示BC ,AB .
【例7】 在△ABC 中,已知 AM ︰AB =1︰3, AN ︰AC =1︰4,BN 与CM 交于点P ,且, AC AB a b ==,
试 用, a b 表示AP .
【例8】 如图,平行四边形ABCD 中,E F 、分别是BC DC 、的中点,G 为DE BF 、的交点,若AB =
a ,AD =
b ,试以a ,b 为基底表示DE 、BF 、CG .
A
C
F C
B
A
B A C
P
N
M
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思维的发掘 能力的飞跃
【例9】 设P 是正六边形OABCDE 的中心,若OA a =,OE b =,试用向量a ,b 表示OB 、OC 、OD
.
【例10】 如图,在△ABC 中,已知2AB =,3BC =,60ABC ∠=?,AH BC ⊥于H ,M 为AH
的中点,若AM AB BC λμ=+,则λμ+= .
【例11】 已知向量a ,b 不共线,()c ka b k =+∈R ,d a b =-,如果c d ∥,那么( )
A .1k =且c 与d 同向
B .1k =且c 与d 反向
C .1k =-且c 与d 同向
D .1k =-且c 与d 反向
【例12】 已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A ,C ),则AP 等于( )
A .()A
B AD λ+,(01)λ∈, B .()AB B
C λ+
,0λ?∈ ??
C .()AB A
D λ+
,0λ?
∈ ?
? D .()AB BC λ-
,0λ?∈ ??
O
B '
D '
D
C
B
A P
A
B
C
H
?M
高中数学讲义 4 思维的发掘 能力的飞跃
【例13】 已知向量a b ,不共线,m n ,为实数,则当0ma nb +=时,有m n += .
【例14】 在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点.若AC AE AF λμ=+,其中λ,
μ∈R ,则λμ+= .
【例15】 在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的点.且
1BF a FC a =-,1DE b
EC b
=
-,若AC AE AF λμ=+,其中λ,μ∈R ,则λμ+= .
【例16】 证明:若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线,当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=,
使得OC OB OA λμ=+.
【例17】 如图,在ABC △中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两
点M N ,,若AB mAM =,AC nAN =,则m n +的值为
.
F
B
O
C
A
O
N
M
C
B
A
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思维的发掘 能力的飞跃
【例18】 在△OAB 中,11
,42
OC OA OD OB ==,AD 与BC 交于点M ,设OA =a ,OB =b ,用a ,b 表
示OM .
【例19】 如图所示,OM AB ∥,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不
含边界)运动,且OP xOA yOB =+,则x 的取值范围是 ;当1
2
x =-时,y 的取值范围是 .
【例20】 已知P 是ABC ?所在平面内一点,AP 的中点为Q ,BQ 的中点为R ,CR 的中点为S .证明:
只有唯一的一点P 使得S 与P 重合.
【例21】 点M 、N 、S 分别是OAB ?的边OA 、OB 、AB 上的点,OA a =,OB b =,
⑴若M 、N 分别是OA 、OB 的中点,线段AN 与BM 的交点为P ,求OP ; ⑵若OS 是AOB ∠的角平分线,求OS .
⑶若:1:3OM OA =,:1:4ON OB =,线段AN 与BM 交于点Q ,求OQ .
高中数学讲义 6 思维的发掘 能力的飞跃
【例22】 如图,设P 、Q 为△AB C 内的两点,且2155AP AB AC =
+, AQ =23AB +1
4
AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( )
A .15
B . 45
C . 14
D .1
3
【例23】 如图,已知ABC ?的面积为2
14c m ,D 、E 分别为边AB 、BC 上的点, 且
::2:1AD DB DE CE ==,AE 、CD 交于点P ,求APC ?的面积.
【例24】 设正六边形ABCDEF 的对角线,AC CE 分别被内点,M N 分成为
AM CN
r AC CE
==,如果,,B M N 共线,求r 的值.
题型二: 平面向量的坐标表示与运算
【例25】 设向量(2,3)AB =,且点A 的坐标为(1,2),则点B 的坐标为 .
【例26】 若(2,1)a =,(3,4)b =-则34a b +的坐标为_________.
【例27】 设平面向量()()3,5,2,1a b ==-,则2a b -=( )
A .()6,3
B .()7,3
C .()2,1
D . ()7,2
A
B
C
D E P
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思维的发掘 能力的飞跃
【例28】 已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+,若a b =,则x = ,y = .
【例29】 若A (0, 1), B (1, 2), C(3, 4) 则-2BC =
【例30】 若M(3, -2) N(-5, -1) 且 1
2
MP =
MN , 求P 点的坐标;
【例31】 已知两个向量()()121a b x ==,,,,若a b ∥,则x 的值等于( )
A .1
2
- B .
12
C .2-
D .2
【例32】 若向量()1a x =-,与()2b x =-,共线且方向相同,求x
【例33】 已知向量,如果那么( )
A .且与同向
B .且与反向
C .且与同向
D .且与反向
【例34】 已知向量()11a =,,()2b x =,若a b +与42b a -平行,则实数的值是( )
A .-2
B .0
C .1
D .2
【例35】 若向量a =(1,1),b =(-1,1),c =(4,2),则c = ( )
A .3a +b
B . 3a -b C.-a +3b D. a +3b
【例36】 在平面直角坐标系xoy 中,四边形AB CD 的边AB ∥DC,A D ∥B C,已知点A (-2,0),B (6,
8),C(8,6),则D 点的坐标为___________.
(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-//c d 1k =c d 1k =c d 1k =-c d 1k =-c d x
高中数学讲义 8 思维的发掘 能力的飞跃
【例37】 已知向量,,,若∥,则= .
【例38】 在直角坐标系xOy 中,已知(3,13)A --,(0,2)B ,(2,12)C ,求证:A 、B 、C 三点共线.
【例39】 已知()12a =,,()32b =-,,当ka b +与3a b -平行,k 为何值( )
A
14 B -14 C -31 D 3
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【例40】 已知(1,2),(3,2)a b ==-,当实数k 取何值时,k a +2b 与2a —4b 平行?
【例41】 点(2,3)A 、(5,4)B 、(7,10)C ,若(R)AP AB AC λλ=+∈,试求λ为何值时,点P 在一、
三象限角平分线上.
【例
,求线段AB 的其中一个四等分点P 的坐标.
【例43】 若平面向量a ,b 满足1a b +=,a b +平行于轴,()21b =-,
,则a = .
(3,1)a =(1,3)b =(,7)c k =()a c -b k x
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思维的发掘 能力的飞跃
【例44】 设O 为坐标原点,向量()12OA =,.将OA 绕着点O 按逆时针方向旋转90?得到向量OB ,
则2OA OB +的坐标为 .
【例45】 正方形PQRS 对角线交点为M ,坐标原点O 不在正方形内部,且(03)OP =,,(40)OS =,,
则RM =( )
A .7122??-- ???,
B .7122?? ???,
C .(74),
D .7722??
???
,
【例46】 已知(10)(21)a b ==,,,,
①求3a b +;
②当k 为何实数时,ka b -与3a b +平行,平行时它们是同向还是反向?
【例47】 已知A (—2,4)、B (3,—1)、C (—3,—4)且3=,2=,求点M 、N 的坐标
及向量MN 的坐标.
【例48】 已知向量(2,2),(5,)a b k =-=,若a b +不超过5,则k 的取值范围是
.
【例49】 已知向量(1sin )a θ=,,(1
3cos )b θ=,,则a b -的最大值为 .
高中数学讲义 10
思维的发掘 能力的飞跃
【例50】 已知向量a =(1sin ,1)θ-,b =1(,1sin )2
θ+,若a //b ,则锐角θ等于( )
A .30?
B . 45?
C .60?
D .75?
【例51】 已知点O(0,0),A (1,2),B (4,5)及OP OA t AB =+,
求(1)t 为何值时,P 在x 轴上?P 在y 轴上?P 在第二象限。
(2)四边形O AB P 能否构成为平行四边形?若能,求出相应的t 值;若不能,请说明理由。
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
平面向量及空间向量高考数学专题训练(四) 一、选择题(本大题共12小题,每小题分6,共72分) 1.设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b , 则锐角α为( ) A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2.已知点)0,2(-A 、)0,3(B ,动点2),(x y x P =?满足,则点P 的轨迹是( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3.已知向量值是相互垂直,则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(( ) A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4.已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-( ) A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5.将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a (2,3 π )平移,再将所得图像上各点的横坐标 变为原来的2倍,则所得图像的解析式可以写成( ) A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x -3 π )-2 C.y=(321π+x )-2 D.y=sin(321π-x )+2 6.若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7.从点A(2,-1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为( ) A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8.平面直角坐标系中,O 为坐标原点, 已知两点A(3, 1), B(-1, 3),若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则?的值为 ( ) A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10.O 为空间中一定点,动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。