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2019版二轮复习数学通用版讲义：第二部分第一板块学通考场解题常用12术——解得快 Word版含解析

第一板块 ?

学通考场解题常用12术——解得快

第1术抛砖引玉活用特例

方法一：取特殊数值

[例1]设f (x )＝?????

log 2

[4(x －1)]，x ≥2，????12x ＋1，x <2，

若f (x 0)>3，则x 0的取值范围为( ) A ．(－∞，0)∪(2，＋∞) B ．(0,2) C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D ．(－1,3) [常规解法]

当x 0≥2时，log 2[4(x 0－1)]>3，

即log 24＋log 2(x 0－1)>3，∴log 2(x 0－1)>1， ∴x 0－1>2，即x 0>3.

当x 0<2时，????12x 0＋1>3，即????1

2x 0>2，∴x 0<－1. 综上可知x 0>3或x 0<－1，

即x 0的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． [提速解法]

取x 0＝1，则f (1)＝12＋1＝3

2<3，故x 0≠1，排除B 、D ；取x 0＝3，则f (3)＝log 28＝3，

故x 0≠3，排除A ，故选C.

[答案]C

[例2]在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n －1＋ln ???

1＋

1n －1(n ≥2)，则a n ＝( )

A ．2＋ln n

B ．2＋(n －1)ln n

C ．2＋n ln n

D ．1＋n ＋ln n

[常规解法]

∵a n ＝a n －1＋ln ? ??

1＋1n －1，

∴a n －a n －1＝ln ? ???

?1＋1n －1＝ln n

n －1

＝ln n －ln(n －1)．又a 1＝2，

∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n .

[提速解法]

不妨取n ＝2，则a 2＝a 1＋ln 2＝2＋ln 2，选项A 、B 符合，C 、D 不符合，排除C 、D ；再取n ＝3，则a 3＝a 2＋ln 3

＝2＋ln 3，选项B 中，a 3＝2＋2ln 3，不符合，排除B ，故选A.

[答案]A

方法二：取特殊点

[例3]函数f (x )＝|1－x 2|

1－|x |

的图象是( )

[常规解法]

f (x )＝|1－x 2|1－|x |＝|(1－x )(1＋x )|1－|x |.

当x >1时，f (x )＝－x －1；当x <－1时，f (x )＝x －1；当0≤x <1时，f (x )＝x ＋1；

当－1

因为x ≠±1，所以排除A ；因为f (0)＝1，所以排除D ；因为f ????12＝????1－????1221－???

?12＝3

2，所以排除B ，故选C.

[答案]C

[例4]如图，点P 为椭圆x 225＋y 29＝1上第一象限内的任意一点，过

椭圆的右顶点A 、上顶点B 分别作y 轴、x 轴的平行线，它们相交于点C ，过点P 引BC ，AC 的平行线交AC 于点N ，交BC 于点M ，交AB 于D ，E 两点，记矩形PMCN 的面积为S 1，三角形PDE 的面积为S 2，则S 1∶S 2＝( )

A ．1

B ．2 C.12D.13 [常规解法]

设P (x ，y )，由题意可知直线AB 的方程为x 5＋y

3＝1，

∴D ????5－53y ，y ，E ????x ，3－35x . 又∵N (5，y )，M (x ,3)， ∴S △ADN ＝12×y ×53y ＝5

y 2，

S 梯形ACME ＝12×????35x ＋3×(5－x )＝3

10(25－x 2)． ∵P (x ，y )在椭圆上，∴x 225＋y 29＝1，∴y 2

＝9－9x 225，

∴56y 2＝3

10(25－x 2)． ∴S △ADN ＝S 梯形ACME .

∵矩形PMCN 的面积是S 1，三角形PDE 的面积是S 2， ∴S 1∶S 2＝1∶1. [提速解法]

不妨取点P ????4，95，则可计算S 1＝????3－95×(5－4)＝65.由题易得PD ＝2，PE ＝6

5，所以S 2＝12×2×65＝6

，所以S 1∶S 2＝1.

[答案]A

方法三：取特殊函数

[例5]若函数y ＝f (x )对定义域D 中的每一个x 1，都存在唯一的x 2∈D ，使f (x 1)·f (x 2)＝1成立，则称f (x )为“影子函数”，有下列三个命题：

①“影子函数”f (x )的值域可以是R ； ②“影子函数”f (x )可以是奇函数；

③若y ＝f (x )，y ＝g (x )都是“影子函数”，且定义域相同，则y ＝f (x )·g (x )是“影子函数”．

上述命题正确的序号是( ) A ．①B ．② C ．③D ．②③

[解析]对于①：假设“影子函数”的值域为R ，则存在x 1，使得f (x 1)＝0，此时不存在x 2，使得f (x 1)f (x 2)＝1，所以①错误；

对于②：函数f (x )＝x (x ≠0)，对任意的x 1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，取x 2＝1x 1

，则f (x 1)f (x 2)

＝1，又因为函数f (x )＝x (x ≠0)为奇函数，所以“影子函数”f (x )可以是奇函数，②正确；

对于③：函数f (x )＝x (x >0)，g (x )＝1

x (x >0)都是“影子函数”，但F (x )＝f (x )g (x )＝1(x >0)

不是“影子函数”(因为对任意的x 1∈(0，＋∞)，存在无数多个x 2∈(0，＋∞)，使得F (x 1)·F (x 2)＝1)，所以③错误．

[答案]B

方法四：取特殊位置

[例6]已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP ―→＝m AB ―→，A Q ―→＝n AC ―→，则1m ＋1

＝( )

A ．3

B ．4

C ．5 D.1

[常规解法]

分别过点B ，C 作BM ∥AD ，CN ∥AD ，分别交P Q 于点M ，N .

∵D 是BC 的中点，

∴DE 是梯形CNMB 的中位线．又AP ―→＝m AB ―→，A Q ―→＝n AC ―→， ∴m ＝|AP ―→|

|AB ―→|，n ＝|A Q ―→||AC ―→|，

∴1m ＋1n ＝|AB ―→||AP ―→|＋|AC ―→||A Q ―→

| ＝|AP |＋|BP ||AP |＋|A Q |＋|Q C ||A Q |

＝1＋

|BP ||AP |＋1＋|Q C ||A Q |＝2＋|BP ||AP |＋|Q C |

|A Q |

＝2＋|BM ||AE |＋|CN ||AE |＝2＋|BM |＋|CN ||AE |

＝2＋

2|DE ||AE |＝2＋|AE |

|AE |

＝2＋1＝3. [提速解法]

由于直线P Q 是过点E 的一条“动”直线，所以结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．

法一：如图(1)，令P Q ∥BC ，

则AP ―→＝23AB ―→，A Q ―→＝23AC ―→，此时，m ＝n ＝23，

故1m ＋1

＝3.

法二：如图(2)，直线BE 与直线P Q 重合，此时，AP ―→＝AB ―→，A Q ―→＝12AC ―→

，故m ＝1，

n ＝12

，所以1m ＋1

n ＝3.

[答案]A

[例7]如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝B Q ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )

A ．3∶1

B ．2∶1

C ．4∶1 D.3∶1 [常规解法]

设三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为V ，

∵侧棱AA 1和BB 1上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝B Q ， ∴四边形P Q BA 与四边形P Q B 1A 1的面积相等，

故四棱锥C -P Q BA 的体积等于三棱锥C -ABA 1的体积，等于1

3V ，

则几何体CP Q -C 1B 1A 1的体积等于2

V ，

故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为2∶1. [提速解法]

将P ，Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝B Q (＝0)，

则有VC -AA 1B ＝VA 1-ABC ＝1

VABC -A 1B 1C 1.

因此过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为2∶1. [答案]B

方法五：取特殊图形

[例8]AD ，BE 分别是△ABC 的中线，若|AD ―→|＝|BE ―→|＝1，且AD ―→与BE ―→

的夹角为120°，则AB ―→·AC ―→＝______________________________________________________________.

[常规解法]

由已知得???

BA ―→＋BC ―→＝2BE ―→，

AB ―→＋AC ―→＝2AD ―→

，

BC ―→＝AC ―→－AB ―→，

解得???

AB ―→＝23AD ―→－23

BE ―→，

AC ―→＝43AD ―→＋23

BE ―→

，

所以AB ―→·AC ―→＝89|AD ―→|2－49|BE ―→|2－49AD ―→·BE ―→＝23.

[提速解法]

若△ABC 为等边三角形，则|AB ―→|＝23

3，

∴AB ―→·AC ―→＝|AB ―→||AC ―→|cos 60°＝23.

[答案]23

[即时应用体验]

1．动点A 在双曲线x 2m 2－y 2

n 2＝1上，B ，C 为其左、右焦点．在△ABC 中，角A ，B ，C

的对边分别是a ，b ，c ，且a ＝10，c －b ＝6，则tan B 2tan C

＝( )

A.14

B.1

2 C.3

D ．1 解析：选A 由题意得双曲线的方程为x 29－y 216＝1，取特殊位置AC ⊥BC ，可得C ＝π

2，

则a 2＋b 2＝(6＋b )2，解得b ＝

163，故tan B ＝8

15，则tan B 2＝14

，所以tan B 2tan C 2＝1

2．若f (x )和g (x )都是定义在实数集R 上的函数，且方程x －f [g (x )]＝0有实数解，则g [f (x )]的解析式不可能是( )

A ．y ＝x 2＋x －15

B ．y ＝x 2＋x ＋1

C ．y ＝x 2－15

D ．y ＝x 2＋1

解析：选B 法一：设x 0为方程x －f [g (x )]＝0的一个实根，则f [g (x 0)]＝x 0.设g (x 0)＝t 0，则f (t 0)＝x 0.所以g (x 0)＝g [f (t 0)]＝t 0，即g [f (t 0)]－t 0＝0，这说明方程g [f (x )]－x ＝0至少有一个实根t 0，而对于选项B ，当g [f (x )]＝x 2＋x ＋15时，方程x 2＋x ＋1

＝x 无实根，故选B.

法二：取特殊函数法．令f (x )＝x ，即可把原题改写为x －g (x )＝0有实数解，g (x )不可能是哪个代数式．A 、C 、D 均可使x －g (x )＝0有实数解，只有B 不能使x －g (x )＝0有实数解，故选B.

3．设f (x )＝?

????

1，x 为有理数，

0，x 为无理数，则使所有x 均满足不等式xf (x )≤g (x )的函数g (x )为( )

A ．sin x

B ．x

C ．x 2

D ．|x |

解析：选D 若g (x )＝sin x ，应有xf (x )≤sin x ，取x ＝2，则f (x )＝1，于是2

4．cos 2α＋cos 2(α＋120°)＋cos 2(α＋240°)＝__________. 解析：令α＝0°，则原式＝3