二维积分微分方程初边值问题的Taylor配置解和误差分析

数值积分与微分方程

2.3 数值积分 2.3.1 一元函数的数值积分 函数1 quad 、quadl 、quad8 功能 数值定积分，自适应Simpleson 积分法。 格式 q = quad(fun,a,b) %近似地从a 到b 计算函数fun 的数值积分，误差为10-6。 若给fun 输入向量x ，应返回向量y ，即fun 是一单值函数。 q = quad(fun,a,b,tol) %用指定的绝对误差tol 代替缺省误差。tol 越大，函数计 算的次数越少，速度越快，但结果精度变小。 q = quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,…) %将可选参数p1,p2,…等传递给函数 fun(x,p1,p2,…)，再作数值积分。若tol=[]或trace=[]，则用缺省值进行计算。 [q,n] = quad(fun,a,b,…) %同时返回函数计算的次数n … = quadl(fun,a,b,…) %用高精度进行计算，效率可能比quad 更好。 … = quad8(fun,a,b,…) %该命令是将废弃的命令，用quadl 代替。 例2-40 >>fun = inline(‘3*x.^2./(x.^3-2*x.^2+3)’); equivalent to: function y=funn(x) y=3*x.^2./(x.^3-2*x.^2+3); >>Q1 = quad(fun,0,2) >>Q2 = quadl(fun,0,2) 计算结果为： Q1 = 3.7224 Q2 = 3.7224 补充：复化simpson 积分法程序 程序名称 Simpson.m 调用格式 I=Simpson('f_name',a,b,n) 程序功能 用复化Simpson 公式求定积分值 输入变量 f_name 为用户自己编写给定函数()y f x 的M 函数而命名的程序文件名 a 为积分下限 b 为积分上限 n 为积分区间[,]a b 划分成小区间的等份数 输出变量 I 为定积分值 程序 function I=simpson(f_name,a,b,n) h=(b-a)/n; x=a+(0:n)*h; f=feval(f_name,x); N=length(f)-1;

我的mathematica_第6章微分方程的求解

第6章 微分方程的求解 6．1 微分方程解 在Mathematica中使用Dsolove[]可以求解线性和非线性微分方程，以及联立的微分分方程组。在没有给得到的解包括C[1],C[2]是待定系数。求解微分方程就是寻找未知的函数的表达式，在Mathematica中，未稳中有y'[x],y''[x]等表示。 下面给出微分方程（组）的求解函数 Dsolve[eqn,y[x],x] 求解微分方程y[x] Dsolve[eqn,y,x] 求解微分方程函数y Dsolve[{eqn1,eqn2,…},{y1,y2,….},x] 求解微分方程组 1．用Dsolve求解微分方程y[x] 解y[x]仅适合其本身，并不适合于y[x]的其它形式，如y’[x]，y[0]等，也就是说y[x]不是函数，例如我们并没有发生变化。

2．解的纯函数形式 使用Dsolve命令可以给出解的纯函数形式，即y,请分析下面的例子 这里y适合y的所有情况下面的例子可以说明这一点 在标准数学表达式中，直接引入亚变量表示函数自变量，用此方法可以生成微分方程的解。如果需要的只是量很方便。然而，如果想在其他的的计算中使用该结果，那么最好使用不带亚变量的纯函数形式的结果。 3．求微分方程组

请分析下面的例子 当然微分方程组也有纯函数形式。 4．带初始条件的微分方程的解 当给定一个微分方程的初始条件可以确定一个待定系数。请看下面的例子 第二个例子由于给出一个初始条件所以只能确定C[1]. 5.进一步讨论 对于简单的微分方程的解比较简单，对一些微分方程它的解就复杂的多。特别是对一些微分方程组或高阶微解，其解中可能含有一些特殊函数。并且很多特殊函数的提出就是为了解这些方程的如:

导热微分方程的推导_by Jacob

导热微分方程的推导 Jacob 〇．傅立叶定律 ??? ? ????+??+??-=?-=k j i z T y T x T gradT q λλ 其中，i ，j ，k 分别为x ，y ，z 坐标轴上的单位矢量。λ为导热率（单位 K m W ?）。 其含义表示，单位时间内，通过某单位截面上的热流q （单位2m W ），与该处的温度梯度gradT 成正比，但方向相反。 一．导热微分方程的推导依据 1．依据 根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，即导热微分方程； A E Q +?= Q ，物体在单位时间内获得的热量； E ?，物体在单位时间内内能的增加； A ，物体对外界所做的功。 对于固体来说，温度改变导致体积变化对环境所做的功A 可忽略不计，上式变 为： E Q ?= 2．一般性假设 (1) 所研究的物体是各向同性的连续介质； (2) 热导率、比热容和密度均为已知； (3) 物体内具有内热源，强度V q （单位3 m W ），表示单位体积、单位时间内放出的热量

二．直角坐标系下导热微分方程的推导 考察dt 时间内微元体中： [导入与导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加] 1. 导入与导出微元体的净热量 （1）dt 时间内、沿x 轴方向、经垂直于x 轴 的热量导入表面导入的热量： dydzdt q dQ x x ?= (单位J ) 同理，dt 时间内、沿x 轴方向、经垂直于x 轴 的热量导出表面导出的热量： dydzdt q dQ dx x dx x ++= (单位J ) x q ，dx x q +分别为热量导入面和导出面上的热流密度，单位 2 m W 。 请注意，事实上这里有： dx x q q q x dx x x ??- =-+，所以导入与导出的热量差为： dydzdt dx x q dQ dQ x dx x x ???- =-+ (单位J ) 同理： （2）dt 时间内、沿y 轴方向、经垂直于y 轴 的两表面导入导出的热量差： dxdzdt dy y q dQ dQ y dy y y ???- =-+ (单位J )

微分方程的积分因子求解法

常微分方程的积分因子求解法 内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。 关键词： 全微分方程，积分因子。 一、 基本知识 定义1.1 对于形如 0),(),(=+dy y x N dx y x M （1.1） 的微分方程，如果方程的左端恰是x ，y 的一个可微函数),(y x U 的全微分，即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+，则称（1.1）为全微分方程. 易知，上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , （C 为任意常数）. 定理1.1 （全微分方程的判别法）设),(y x M ，),(y x N 在x ，y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为 x y x N y y x M ??=??),(),( （1.2） 证明见参考文献[1]. 定义1.2 对于微分方程（1.1），如果存在可微函数),(y x μ，使得方程 ),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3） 是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子. 定理1.2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x y x y x N ??),(ln ),(μ-y y x y x M ??),(ln ),(μ=x y x N y y x M ??-??),(),( （1.4） 证明：由定理1.1得，),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x y x N y x y y x M y x ??=??)),(),(()),(),((μμ， 展开即得：

全微分方程及积分因子

全微分方程及积分因子

全微分方程及积分因子 内容：凑微分法，全微分方程的判别式，全微分方程的公式解，积分因子的微分方程，只含一个变量的积分因子和其他特殊形式的积分因子。由于有数学分析多元微积分的基础，本节的定理1可以简化处理。对课本中第三块知识即全微分方程的物理背景可以留到后面处理，对第四块知识增解和失解的情况要分散在本章各小节，每次都要重视这个问题。关于初等积分法的局限性可归到学习近似解法时一起讲解。 重点：全微分方程的公式解和积分因子的计算，难点为凑微分法和积分因子的计算。 习题1(1,3,5)，2，3 思考题：讨论其他特殊形式的积分因子。 方程：0),(),(=+dy y x N dx y x M 判定：全微分?x N y M ??≡?? 解法：C dy y x N dx y x M y y x x =+??00),(),(0 初值问题0=C 积分因子：x N y M y M x N ??-??=? ???????-??μμμ1

)(x μ： N x N y M dx d ?? -??=μμ1 )(y μ： M x N y M dy d ??- ??-=μμ1 1．解下列方程： 1）0)(222=-+dy y x xydx 解：x N y M ?? ≡??=x 2 ??=-+x y C dy y xydx 002 )0(2既 C y y x =-3/32 2）0)2(=+---dy xe y dx e y y 解：x N y M ??≡??=y e -- ??=-+-y x y C dy y dx e 00)2(既C y xe y =--2 3）0)1(222=---+dy y x dx y x x 解：x N y M ??≡??=y x --221 ??=---+x y C dy y dx y x x 002)1(2 C y y y x x =-+---+23 232322)(32 )(32 )(32 既C y x x =-+23 2 2)(32 4）0)ln (3 =++dy x y dx x y

常微分方程边值问题的数值解法

第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)；

(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<

微分积分公式(全集)

高中大学数学微分与积分公式（全集） （高中大学数学） 一、001 01101lim 0 n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? L L （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）limarctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot 0x x →∞ = （8）lim arccot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x : 2 11cos 2 x x -: ()ln 1x x +: 1x e x -: 1ln x a x a -: ()11x x ? +-?: 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式

⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃() 2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '= 六、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () ()()n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()() ()()n n cu x cu x =???? （3）()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() () ()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）() () !n n x n = （2）() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ? (5) ()() cos cos 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ?

简单微分方程的求解

一、一阶微分方程 1. 线性齐次方程 'y ()0p x y += ①分离变量法求解 ②两边同时乘以()p x dx e ? ，积分因子法 通解：()p x dx y Ce -?= 2. 线性非齐次方程 'y ()()p x y g x += ①常数变易法 ②两边同时乘以()p x dx e ? ，积分因子法 通解：()()(())p x dx p x dx y e C g x e dx -??=+? 线性微分方程的解有一些很好的性质，例如（1）齐次方程的解或者恒等于零，或者恒不等于零（2）齐次方程任何解的线性组合仍是它的解（3）齐次方程的任一解与非齐次方程任一解之和仍是非齐次方程的解（4）非齐次方程任意两解之差必是对应齐次方程的解（5）非齐次方程的任一解与对应齐次方程的通解之和是非齐次方程的通解。 3. Bernoulli 方程 '()()y p x y g x y α+= （1）0α=时，该方程为线性非齐次方程 （2）1α=时，该方程为线性齐次方程 （3）0,1α≠时，作变量替换1z y α-=，该方程转化为 (1)()(1)()dz p x z g x dx αα+-=-，这是关于未知函数z 的一阶线性方程 4. Riccati 方程 2()()()dy p x y q x y f x dx =++

Riccati 方程在一般情况下无法用初等积分求出解，只是对一些特殊情况或者事先知道了它的一个特解，才能求出其通解。 （1）当()p x 、()q x 、()f x 都是常数时，是可分离变量方程，用分离变量法求解。 （2）当()0p x ≡时，是线性方程。 （3）当()0f x ≡时，是Bernoulli 方程。 当()f x r ≡，设已有一特解1()y x 命1()()()z x y x y x =-，代得211(2)dz dy dy pz py q z dx dx dx =-=++ 这是一个关于z 的Bernoulli 方程。 （4）当Riccati 方程的形式为 22dy l b ay y dx x x +=+，可利用变量替换z xy =，将方程化为可分离变量方程 2(1)dz x az l z b dx =-+++ 当Riccati 方程的一个特解()y x ?=已知时，我们利用变换()y z x ?=+，代入方程后可得： 22()()(2()())()(())()dz d x p x z z x x q x z x f x dx dx ????+=+++++ 由于()y x ?=是方程的解，从上式消去相关的项后得： 2(2()()())()dz p x x q x z p x z dx ?=++，这是一个Bernoulli 方程。 （5）当Riccati 方程的形式为 2m dy ay bx dx +=，其中a 、b 、m 都是常数，且设0a ≠，又设0x ≠和0y ≠，则当 440,2,,,(1,2,)2121 k k m k k k --=-=+-L 时，方程可通过适当的变换化为变量可分离方程。

第二节 几类简单微分方程及其解法

第二节 几类简单微分方程及其解法 本节将介绍可分离变量的微分方程、齐次方程以及一阶线性微分方程等一阶微分方程的解法. 一阶微分方程是微分方程中最基本的、最常见的一类方程.它的一般形式可表示为： 0)',,(=y y x F 或),('y x F y =， 其中)',,(y y x F 为,,'x y y 的已知函数，),(y x F 为,x y 的已知函数. 一、可分离变量的微分方程 如果一阶微分方程),('y x F y =的等式右端能分解为： )()(),(y g x f y x F =， 即)()('y g x f y = (7.2.1) 则称方程(7.2.1)为可分离变量的微分方程. 设)(y g ≠0，则方程(6.2.1)改写为： dx x f dy y g )() (1=， 上式两边积分，可得 ??=dx x f dy y g )()(1. 上述将微分方程化成分离变量形式求解的方法，称为分离变量法. 注：在分离变量时，未知函数y 的函数和微分要写在等式的左边. 例1 求微分方程)3(2'+=y x y 的通解. 解1： 原方程可改写为)3(2+=y x dx dy . 分离变量，两边积分,得,23 1??=+xdx dy y ,3ln 12c x y +=+即.312-±=+c x e y 记1c e c ±=，则微分方程的通解为 32 -=x ce y （c 为任意常数）. 解2：

原方程可改写为)3(2+=y x dx dy . 分离变量，两边积分,得,23 1??=+xdx dy y ,ln )3ln(2c x y +=+即,3ln 2x c y =+23x ce y =+ 则微分方程的通解为 32 -=x ce y （c 为任意常数）. 注：为了简化运算，规定： （1） 微分方程中出现形为 ?u du 的积分时，可不按不定积分基本积分公式表写成 ln du u c u =+?，而是写成ln du u u =?； （2） 不定积分等式中至少有一个形为?u du 的积分时，任意常数不写成c ，而写成c ln 并放在等式右侧. 例2 求微分方程y xy ='的通解. 解: 分离变量，两边积分, 得 ,dy dx y x =?? c x y ln ln ln += cx ln = 则微分方程的通解为cx y = （c 为任意常数）. 例3 求微分方程dx e x dy x e y y )1(2)1(2+=+的通解. 解: 分离变量，两边积分, 得 dx x x dy e e y y ??+=+2121， c x e y ln )1ln()1ln(2++=+ )1(ln 2x c +=， ).1(12x c e y +=+ 则微分方程的通解为 ]1)1(ln[2-+=x c y （c 为任意常数）. 例4 求微分方程)'('2 y y a xy y +=-的通解.

偏微分方程边值问题的数值解法

求解偏微分方程的边值问题 本实验学习使用MATLAB的图形用户命令pdetool来求解偏微分方程的边值问题。这个工具是用有限元方法来求解的，而且采用三角元。我们用内个例题来说明它的用法。 一、MATLAB支持的偏微分方程类型 考虑平面有界区域D上的二阶椭圆型PDE边值问题： 其中 未知函数为 。它的边界条件分为三类： （1）Direchlet条件： （2）Neumann条件： （3）混合边界条件：在边界 上部分为Direchlet条件，另外部分为Neumann条件。 其中 是定义在边界

的已知函数，另外 也可以是一个2*2的函数矩阵， 是沿边界的外法线的单位向量。 在使用pdetool时要向它提供这些已知参数。 二、例题 例题1 用pdetool求解 解：首先在MATLAB 的工作命令行中键入pdetool ，按回牟键确定，于是出现PDE Toolbox 窗口，选Genenic Scalar模式． ( l ）画区域圆

单击椭圆工具按钮，大致在（0，0）位置单击鼠标右键，拖拉鼠标到适当位置松开。为了保证所绘制的圆是标准的单位园，在所绘园上双击，打开 Object Dialog 对话框，精确地输入圆心坐标X-center 为0 、Y-center 为0 及半径Radius 为l ，然后单击OK 按钮，这样单位画已画好． ( 2 ）设置边界条件 单击工具边界模式按钮，图形边界变红，逐段双击边界，打开Boundary condition 对话框．输入边界条件．对于同一类型的边界，可以按Shift键，将多个边界同时选择，统一设边界条件．本题选择Dirichlet 条件，输入h 为1 , r 为0。，然后单击OK 按钮．也可以单击Boundary菜单中Spocify Boundary Condition …选项，打开Boundary Condition 对话框输入边界条件．

积分微分方程word版

西南交通大学数值分析题库 用复化梯形公式计算积分 1 ()f x dx ?,要把区间[0,1]一般要等分 41 份才能保 证满足误差小于0.00005的要求（这里(2) () 1f x ∞ ≤） ；如果知道(2) ()0f x >，则 用复化梯形公式计算积分1 ()f x dx ? 此实际值 大 (大，小)。 在以1 0((),())()(),(),()[0,1]g x f x xf x g x dx f x g x C = ∈?为内积的空间C[0,1] 中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 2 3 x 3. (15分)导出用Euler 法求解 (0)1y y y λ'=??=? 的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确 解 解 Euler 公式 1 1,1, ,,k k k x y y h y k n h n λ -----------(5分) 1 011k k k y h y h y λλ ------------------- (10分) () 11(0)n n x n x y h e h n λλλ??=+=+→→ ?? ? 若用复化梯形求积公式计算积分1 x I e dx = ? 区间[0,1]应分 2129 等分，即要 计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过 71 102 -?；若改用复化Simpson 公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值 1．用Romberg 法计算积分 2 3 2 x e dx -? 解 []02()()2b a T f a f b -= += 9.219524346410430E-003 10221()222 b a a b T T f -+=+= 5.574989241319070E-003 10 022243 T T S -= = 4.360144206288616E-003 22T = 4.499817148069681E-003 21 122243 T T S -= = 4.141426*********E-003

第十一章 常微分方程边值问题的数值解法汇总

第十一章 常微分方程边值问题的数值解法 工程技术与科学实验中提出的大量问题是常微分方程边值问题．本章将研究常微分方程边值问题的数值求解方法.主要介绍三种边界条件下的定解问题和两大类求解边值问题的数值方法,打靶法算法和有限差分方法. 11.1 引言 在很多实际问题中都会遇到求解常微分方程边值问题. 考虑如下形式的二阶常微分方程 ),,(y y x f y '='', b x a <<, (11.1.1) 在如下三种边界条件下的定解问题: 第一种边界条件: α=)(a y , β=)(b y (11.1.2) 第二种边界条件: α=')(a y , β=')(b y (11.1.2) 第三种边界条件: ? ? ?=-'=-'101 0)()()()(b b y b y a a y a y βα, (11.1.13) 其中0 0, ,00000>+≥≥b a b a . 常微分方程边值问题有很多不同解法, 本书仅介绍打靶方法和有限差分方法. 11.2 打靶法 对于二阶非线性边值问题 ()()().,,βα==≤≤'=''b y a y b x a y y x f y ，，， (11.2.1) 打靶法近似于使用初值求解的情况． 我们需要利用一个如下形式问题初值解的序列： ()()v a w a w b x a w w x f w ='=≤≤'='')(,,，，，α， （11.2.2） 引进参数v 以近似原边界值问题的解．选择参数k v v =，以使： ()()β==∞ →b y v b w k k ,lim ， （11.2.3）

其中),(k v x w 定义为初值问题（11.2.2）在k v v =时的解，同时()x y 定义为边值问题（11.2.1）的解． 首先定义参数0v ，沿着如下初值问题解的曲线，可以求出点),(αa 对应的初始正视图 ()()v a w a w b x a w w x f w ='=≤≤'='')(,,，，，α． （11.2.4） 如果),(0v b w 不严格收敛于β，那么我们选择1v 等值以修正近似值，直到),(0v b w 严格逼近β． 为了取得合适的参数k v ，现在假定边值问题（11.2.1）有唯一解，如果),(v x w 定义为初始问题（11.2.2）的解，那么v 可由下式确定： 0),(=-βv b w ． （11.2.5） 由于这是一个非线性方程，我们可以利用Newton 法求解．首先选择初始值0v ，然后由下式生成序列 ),)(()),((111----- =k k k k v b dv dw v b w v v β，此处),(),)(( 11--=k k v b dv dw v b dv dw ， （11.2.6） 同时要求求得),)(( 1-k v b dv dw ，因为),(v b w 的表达式未知，所以求解这个有一点难度；我们只能得到这么一系列的值。 ，，，),(),(),(),(1210-??k v b w v b w v b w v b w 假如我们如下改写初值问题（11.2.2），使其强调解对x 和v 的依赖性 ()()v v a w v a w b x a v x w v x w x f w ='=≤≤'=''),(,),(),,(,，，，α，（11.2.7） 保留初始记号以显式与x 的微分相关．既然要求当k v v =时),)((v b dv dw 的值，那么我们需要求出表达式（11.2.7）关于v 的偏导数．过程如下： )),(),,(,(),(v x w v x w x v f v x v w '??=?''? ),()),(),,(,()),(),,(,(v x v w v x w v x w x w f v x v x w v x w x x f ??'??+??'??= ) ,()),(),,(,(v x v w v x w v x w x w f ?'?''??+ 又因为x 跟v 相互独立，所以当b x a ≤≤上式如下；

热传导方程

前言 本文只是针对小白而写，可以使新手对热传导理论由很浅到不浅的认识，如想更深学习热传导知识，请转其它文档。 一、概念与常量 1、温度场： 指某一时刻下，物体内各点的温度分布状态。 在直角坐标系中：； 在柱坐标系中：； 在球坐标系中：。 补充：根据温度场表达式，可分析出导热过程是几维、稳态或非稳态的现象，温度场是几维的、稳态的或非稳态的。 2、等温面与等温线： 三维物体内同一时刻所有温度相同的点的集合称为等温面； 一个平面与三维物体等温面相交所得的的曲线线条即为平面温度场中的等温线。 3、温度梯度： 在具有连续温度场的物体内，过任意一点P温度变化率最大的方向位于等温线的法线方向上。称过点P的最大温度变化率为温度梯度(temperature gradient)。用grad t表示。 定义为： 补充：温度梯度表明了温度在空间上的最大变化率及其方向，是向量，其正向与热流方向恰好相反。对于连续可导的温度场同样存在连续的温度梯度场。

在直角坐标系中： 3、导热系数 定义式：单位 导热系数在数值上等于单位温度降度(即1)下，在垂直于热流密度的单位面积上所传导的热流量。导热系数是表征物质导热能力强弱的一个物性参数。 补充：由物质的种类、性质、温度、压力、密度以及湿度影响。 二、热量传递的三种基本方式 热量传递共有三种基本方式：热传导；热对流；热辐射 三、导热微分方程式（统一形式：） 直角坐标系： 圆柱坐标系： 球坐标系： 其中，称为热扩散系数，单位，为物质密度，为物体比热容，为物体导热系数，为热源的发热率密度，为物体与外界的对流交换系数。 补充： 1处研究的对象为各向同性的、连续的、有内热源、物性参数已知的导热物体。 2稳态温度场，即则有：，此式称为泊松方程。 3无内热源的稳态温度场，则有：，此式称为拉普拉斯方程。 四、单值条件 导热问题的单值条件通常包括以下四项： 1几何条件：表示导热物体的几何形状与大小（一维、二维或三维）

matlab常微分方程和常微分方程组的求解

下载的，感觉不错，共享一下 常微分方程和常微分方程组的求解 一、实验目的： 熟悉Matlab 软件中关于求解常微分方程和常微分方程组的各种命令，掌握利用Matlab 软件进行常微分方程和常微分方程组的求解。 二、相关知识 在MATLAB 中，由函数dsolve()解决常微分方程（组）的求解问题，其具体格式如下： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。 例1：求解常微分方程1dy dx x y = +的MATLAB 程序为：dsolve('Dy=1/(x+y)','x')， 注意，系统缺省的自变量为t ，因此这里要把自变量写明。 结果为：-lambertw(-C1*exp(-x-1))-x-1 其中：Y=lambertw(X)表示函数关系Y*exp(Y)=X 。 例2：求解常微分方程2 '''0yy y -=的MATLAB 程序为： Y2=dsolve('y*D2y-Dy^2=0’,’x’) 结果为： Y2 =[ exp((x+C2)/C1)] [ C2] 我们看到有两个解，其中一个是常数。 例3：求常微分方程组253t t dx x y e dt dy x y e dt ?++=??? ?--=??通解的MATLAB 程序为： [X,Y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t)','t') 例4：求常微分方程组020 210cos ,224,0 t t t dx dy x t x dt dt dx dy y e y dt dt =-=?+-==??? ?++==??通解的MATLAB 程序为： [X,Y]=dsolve('Dx+2*x-Dy=10*cos(t),Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t)','x(0)=2','y(0)=0')

第一章 热理论和导热微分方程

第一章 导热理论和导热微分方程 相互接触的物体各部分之间依靠分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动而传递热量的过程称为导热。在纯导热过程中物体各部分之间没有宏观运动。 与固体物理的理论研究方法不同，传热学研究导热问题时不是对导热过程的微观机理作深入的分析，而是从宏观的、现象的角度出发，以实验中总结出来的基本定律为基础进行数学的推导，以得到如温度分布、温度-时间响应和热流密度等有用的结果。这种处理方法的物理概念简单明了，但所要求的数学知识和技能仍是复杂和困难的。本书在材料的选取上，注意在介绍有重要应用价值的结果的同时，也给予求解导热问题的典型数学方法以足够的重视，以培养和发展读者独立解决问题的能力。 1-1 导热基本定律 1-1-1 温度场 由于传热学以宏观的、现象的方式来研究导热问题，团此必须引入连续介质假定，以便用连续函数来描述温度分布。温度场就是在一定的时间和空间域上的温度分布。它可以表示为空间坐标和时间的函数。由于温度是标量，温度场是标量场。常用的空间坐标系有三种：直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。在直角坐标系中，温度场可以表示为 (,,,)t f x y z τ= （1-1-1） 式中：t 表示温度；x 、y 、z 为三个空间坐标；τ表示时间。 若温度场各点的温度均不随时间变化，即0t τ??=，则称该温度场为稳态温度场，否则为非稳态温度场。若温度场只是一个空间坐标的函数，则称为一维温度场；若温度场是两个或三个空间坐标的函数，则称为二维或三维温度场。 1-1-2 等温面与温度梯度 物体内温度相同的点的集合所构成的面叫做等温面。对应不同温度值的等温面构成等温面族。等温面与任一截面的交线形成等温线。由于等温线具有形象直观的优点，二维温度场常用等温线来表示温度分布。 由于在同一时刻物体的一个点上只能有一个温度值，所以不同的等温面不可能相交。它们或者在域内形成封闭曲线，或者终止于物体的边界。 如图1-l 所示，在物体内某一点P 处，沿空间某一方向l 的温度的变化率 图1-l 等温线和温度梯度

常微分方程组的MATLAB求解范例

微分方程求解是系统仿真、数学模型实现以及很多工程问题求解的核心部分，应用MATLAB可以方便地对一阶常微分方程组进行求解，这里将对其基本方法进行介绍。值得注意的是，高阶微分方程组可以通过引进参变量化为一阶常微分方程组，也可以同样方便解决。 若有一个微分方程（组）的参变量为列向量,即,且它参变量随时间变化的微分方程可以有以下方程描述： 这里的f函数是一个列向量，即, i=1,2,3…,n，它可以是任意非线性函数。 则一般微分方程可以如此求解： [t,x]=ode45(f,timespan,x0) 对于刚性方程，即一些解变化缓慢，一些解变化剧烈，且两者相差较为悬殊的这种方程，通常调用ode15s而非o de45进行求解。 例1： 解：编写function或者用匿名函数 表达f=y-2*x/y即可； function dy=f(t,y) dy=y-2*t/y; end 命令： t=[0,1];%y0=1; [x,y]=ode45('f',t,1);%注意 这里的x相当于自变量t plot(x,y,x,sqrt(1+2*x)),legend('数值解','解析解');

可见求解效果不错。 例2、 解：编写function function dx=f(t,x)%返回值是列向量 dx=[-x(2)-x(3); x(1)+0.2*x(2); 0.2+(x(1)-5.7)*x(3)]; end 命令： t=[0,100]; y0=[0 0 0]';%注意是列向量 [x,y]=ode45('f',t,y0); plot(x,y)； 例3、 这是一个二阶微分方程组，可以引进变量,由此ODE可以化成如下形式 可以采用和例2相同的方法求解： function dx=f(t,x) dx=[x(2); -(x(1)^2-1)*x(2)-x(1)]; End

matlab常微分方程和常微分方程组的求解

常微分方程和常微分方程组的求解 一、实验目的： 熟悉Matlab 软件中关于求解常微分方程和常微分方程组的各种命令，掌握利用Matlab 软件进行常微分方程和常微分方程组的求解。 二、相关知识 在MATLAB 中，由函数dsolve()解决常微分方程（组）的求解问题，其具体格式如下： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。 例1：求解常微分方程1dy dx x y = +的MATLAB 程序为：dsolve('Dy=1/(x+y)','x')， 注意，系统缺省的自变量为t ，因此这里要把自变量写明。 结果为：-lambertw(-C1*exp(-x-1))-x-1 其中：Y=lambertw(X)表示函数关系Y*exp(Y)=X 。 例2：求解常微分方程 2 '''0yy y -=的MATLAB 程序为：Y2=dsolve('y*D2y-Dy^2=0’,’x’) 结果为： Y2 =[ exp((x+C2)/C1)] [ C2] 我们看到有两个解，其中一个是常数。 例3：求常微分方程组253t t dx x y e dt dy x y e dt ?++=??? ?--=??通解的MATLAB 程序为： [X,Y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t)','t') 例4：求常微分方程组020 210cos ,224,0 t t t dx dy x t x dt dt dx dy y e y dt dt =-=?+-==??? ?++==??通解的MATLAB 程序 为：

微分积分公式(全集)

高中大学数学微分与积分公式（全集） （高中大学数学） 一、0 101101 lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??++ +? =?? ? （系数不为 的情况） 二、重要公式（ ）0sin lim 1x x x →= （ ）()1 0lim 1x x x e →+= （ ）)1n a o >= （ ）1n = （ ）limarctan 2 x x π →∞ = （ ）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （ ）limarccot 0x x →∞ = （ ）lim arccot x x π→-∞ = （ ）lim 0x x e →-∞ = （ ）lim x x e →+∞ =∞ （ ）0lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x tan x x arcsin x x arctan x x 2 11cos 2 x x - () ln 1x x + 1x e x - 1ln x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '=

⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃() 2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ ' = 六、高阶导数的运算法则 （ ）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±???? （ ）()() () ()n n cu x cu x =???? （ ）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （ ）()()() ()()()() n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 七、基本初等函数的 阶导数公式 （ ）()()!n n x n = （ ）()()n ax b n ax b e a e ++=? ()() ln n x x n a a a = ()()sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ? ? ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ? ? () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ? +?? + ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-????+