易拉罐的最优设计
易拉罐最优设计模型
周亦挺 鲍亨卫 莫亚萍 （2006年获全国一等奖）
摘要：本文建立了易拉罐形状和尺寸的最优设计模型，使易拉罐制作所用的材料最省，
来增加生产商的经济效益。在饮料罐容积一定的基础上，按照材料最省原则，根据所给的任务2、任务3、任务4，分别建立了模型Ⅰ、模型Ⅱ、模型Ⅲ，最终在讨论和分析后，对模型进行了评价和改进。
对于任务1，利用千分卡尺测量了我们认为验证模型所需要的易拉罐各个部分的数据，并把所测得的数据用图形和表格加以说明。
对于任务2，在易拉罐为正圆柱体的情况下建立模型Ⅰ，通过确定目标函数),(h r A ，给出约束条件0),(=h r B ，利用初等解法得出 4:=r h 为圆柱体易拉罐的最优设计。并用此其结果检验用千分尺所测得029.4:=r h ，其绝对误差仅为0.29，可以说几乎一致。 当易拉罐为正圆台与正圆柱组合的情况下建立了非线性规划模型Ⅱ，利用LINGO 软件算出9.120:37.0:6.30:8.29:::11≈h h r r 为该模型的最优设计。这一结果与我们测量所得数据基本吻合，其中圆台高误差较大，这引起了我们对此模型与实际易拉罐形状、尺寸的进一步观察与思考。
最终我们感悟出要设计一个既省材又耐用且美观的易拉罐必需考虑经济、耐压、美观和实用性四个方面。从这四个方面出发我们建立了关于材料最省的优化模型Ⅲ，并利用LINGO 软件算出其结果为：
9
.9:5.27:5.30:7.10:8.116:5.32:::::3211≈h r r h h r
在模型的结尾部分，我们通过对建立模型的方法、计算工具等方面进行了模型的评价，并提出进一步改进的方法。
最后通过本模型以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文。
关键词：易拉罐 最优设计 非线性规划 LINGO 软件
问题重述
在生活中我们会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：
1．取一个净含量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。
5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。
符号说明
h:易拉罐的总高度；
b：罐壁的厚度；
b：顶盖的厚度；
1
b：底盖的厚度；
2
r:易拉罐中间柱体的内半径；
r：顶盖的半径；
1
r：底盖的半径；
2
h：易拉罐顶盖到圆台底端的垂直距离；
1
h：易拉罐底端到圆柱部分底端的垂直距离；
2
h：易拉罐底盖的拱高；
3
A:制作易拉罐所用材料的总体积；
V:罐装饮料的容积（由于半径和高度都远远大于易拉罐材料的厚度，即可将易拉罐的体积看成是容积）；
图一
模型假设
（1）易拉罐为无损坏的净含量355ml的可口可乐饮料罐；
（2）不考虑温度对易拉罐形状和尺寸设计的影响；
（3）不考虑罐内气体压强对易拉罐形状和尺寸设计的影响；
（4）不考虑接缝折边的长度L；
（5）长度的量纲为毫米。
模型分析、建立与求解
一、测量认为验证模型所需要的数据
取一个无损坏净含量355ml的可口可乐饮料罐，利用千分卡尺测量我们认为验证模型所需要的易拉罐各个部分的数据。并把所测得的数据用表一加以说明。表一如下：
二、易拉罐为正圆柱体时的最优模型
模型Ⅰ的分析、建立与求解。
根据任务2给出的信息，将饮料罐假设为正圆柱体，如图二所示。
图二
事实上由于制造工艺等要求，它不可能正好是数学上的正圆柱体，但这样简化问题确实是近似的、合理的。
要求饮料罐容积一定时，求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比。在这种简化下显然有r =1r =2r ，由假设得到h r V 2π= 。
由于易拉罐上底和下底的强度必须要大一点（经千分卡尺的实际测量结果为：上、下底的厚度是罐壁厚的2倍；材料力学应力状态理论知识告诉我们二向应力中，上、下底所受的应力是罐壁所受应力的2倍]1[），因而在制造中，上、下底的厚度为罐的其它部分厚度的2倍，即1b =2b =2b 。因而制罐用材的总体积为：
b rh r rhb b r b r h r A )24(222),(2
2
2
πππππ+=++=
注意：易拉罐侧面材料的体积应为 2222)(hb rbh r h b r h ππππ+=-+，因为b (测量所得b =0.15)远远小于r (测量所得r 2=63.50)，所以2hb π可以忽略,
于是我们建立了以下A 为目标函数，h r V 2π=是约束条件的数学模型：
),(min 0
,0h r A h r >>
h r V 2π=
其中V 是已知的（由模型假设可知）。从h r V 2π=解出2
r
V
h π=，代入A ，使原问题化
为求h d :使A 最小，即，求r 使]42[
))(,(2
r r
V b r h r A π+=最小。
应用不等关系式：
∑∏==≥
n
i n
n
i i
i
a
a n
1
11
，i a ＞0，n i ,,1 =，当且仅当n
a a a === 21时等号成立。于是有：3
2
2
46]42[2V
b r r
V b ππ≥+，
当且仅当
2
4r
r
V π=时等号成立，即3
4π
V r =
，
再由2
r
V
h π=
，得r
V V
V
V
V
h 444)4()
4(33
2
33
2
3
2
===
=
π
ππππ
即总罐高h 应为半径的4倍，这是易拉罐的最优设计。这与用千分尺所测得029.4:=r h 几乎完全一致。这一结果同时也验证了我们所测量的可口可乐易拉罐高度与半径尺寸设计的合理性。
三、易拉罐为正圆台与正圆柱体组合的最优模型
与模型Ⅰ类似，模型Ⅱ是模型Ⅰ的深入。根据任务2给出的信息，将易拉罐的外形看成两部分（如图三）：一部分是一个正圆台，另一部分是一个正圆柱体。
图三
要求饮料罐容积一定时，求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比。在这种形状下还是1b =2b =2b ，根据圆台的体积公式得到罐装饮料正圆台部分的体积1V =1222
22
1)(31
h r r r r πππ++，从而得到易拉罐的体积为
V
=)()(3
1
1211221h h r h r r r r -+++ππππ。
易拉罐上、下底的厚度为罐的其它部分厚度的2倍。制罐用材的总体积为：
A=b
h h r b h r r r r b r b r )(2)()22(2
12212
1211221-++-++
+πππππ
=
V )
()(3
112
112
2
1h h r h r r r
r -+++ππππ
建立以下的数学模型：
),(min 0
,0h r A h r >>=b
h h r b h r r r r b r b r )(2)()22(2
12212
12112
2
1-++-++
+πππππ
..t s ?
??
????==>>-+++=15.0,355000)()(3111
12
11221b V r r h h h h r h r r r r V ππππ
利用LINGO 数学软件（见附件一）算得：?????
??
??=====9148
.1203674145.057185.3083883.29095
.520611min h h r r A
这就是图三所示易拉罐的最优设计。我们可以很清晰的看到除了易拉罐顶盖到圆台底端的垂直距离(1h )与实际所测得的数据相差较大外,其余几项仍然与我们所测量的数据相吻合。
如果不忽略易拉罐侧面的厚度b ，并将易拉罐整体看成有两个规格形状一样、大小不一（一个稍大的在外面、一个稍小的在里面）紧密的叠套在一起的物体，制作易拉罐所用材料的总体积A 就相当于外面稍大物体的总体积减去里面稍小物体的总体积，即
A
=[)()(31
121122
1h h r h r r r r -+++ππππ]
{
})
()(])())(()([3
112
12
12
1h h b r h b r b r b r b r --+-+--+--ππππ
但是b r >>，所以在计算制作易拉罐所用材料的总体积A 时忽略了b ，采用了表面积乘以厚度等于总体积的方法来计算制作易拉罐所用材料的总体积A ，即
A
=b
h h r b h r r r r b r b r )(2)()22(2
12212
121122
1-++-++
+πππππ。
由于在模型中采用了简单的计算体积方法（sb V =，体积等于面积乘以厚），并且在计算过程中总会出现误差，不是那么精确，所以导致计算结果和所测得的数据有一点点的出入。但为什么计算所得的易拉罐顶盖到圆台底端的垂直距离和所测得到的数据会相差这么大？我们对此问题进行了思考，再借助对可口可乐饮料罐的观察和研究，从而发现了可口可乐饮料罐底盖是向上拱起的，而我们计算时是把易拉罐的下面部分看成正圆柱体的，没有考虑底盖是向上拱起的，由此容积减少了，而减少的那部分体积正好体
现在圆台高度上了，所以才导致了计算所得的易拉罐盖顶到圆台底端的垂直距离(即:1h )与所测得的数据相差过大的这一现象。我们将在任务四中加以认证。
四、最优模型
对于问题4，我们根据模型Ⅱ，从经济、耐压力、美观和实用性这四个方面出发建立了关于材料最省的优化模型Ⅲ。
1.从经济角度考虑，把原料最省作为目标函数。
2.从易拉罐的耐压性考虑，又要求上、下底面比侧面厚，在这种形状下还是
1b =2b =2b ，但是根据第二个模型的推论，把底盖设计成瓦楞的形状。瓦楞，它是一种
拱形结构，这种结构可以使作用在上面的压力向两侧分解：平
拱f f ?=αcos （00300≤≤α），其中α如图四中所示，拱形所受的压力大小也可以从材料的薄厚上体现出来：
平拱22cos b b ?=α （1） 瓦楞优点是：载重负荷大，节省材料，自重小。因此同种材料，它的强度要比没有拱形时大。]2[]3[
3、从美学角度考虑，当高与底面直径之比符合黄金分割法时，视觉效果最佳,这时 618.0:2=h r
4、从实用性方面考虑，便于叠加放置，即顶盖的半径比底盖的半径大。由于接缝折边技术的限制，接缝折边厚度为3毫米左右，即321=-r r 。
通过上述分析，把形状设计为图四（如下）的形状。
、
图四 根据（1）式结合图四，利用初等几何知识得到
2
3
2
2322cos h r h r +=
α
由此建立目标函数：2121121210
,0)()(2)(2),(min h r r r r b b r b h h h r h r A h r +-+++--=>>πππ
)(2)()(2
32222222h r b h r r r r b -++-++ππ
???
???
?
???
?
????=+>>=-≤+≤==+-+++--+++=618.0:23
122335500015.0)3(61)(31)()(31..2
112123
223223223222
2221211221h r h h h r r r r h r h r V b h r h h rr r r h h h r h rr r r V t s ππππ
利用LINGO
数学软件（见附件二）得到计算结果：???
???????
?
?
?========85230
.952390.2752390.3018004.772101.108454.11652390.3281.603513212
1
min h r r h h h r A
这就是我们对所测量的易拉罐的洞察和想象力后做出自己的关于易拉罐形状和尺
寸。
模型评价与改进
一、模型的评价 1．模型的优点
（1） 通过利用测量工具（千分卡尺）和LINGO 编程的方法，对模型求解具有精度高且
具有科学性。
（2） 在模型Ⅰ中我们利用了不等式的解法，计算简单、方便、灵活。 （3） 在模型Ⅲ中我们从经济、耐压、美观和实用性四个方面考虑，使模型更贴近实际。 （4） 建立的三个模型由简单到复杂，由粗略到精细，层层推进，步步优化。 2．模型的不足
（1）模型Ⅲ中还有许多因素没有考虑，例如：加工工艺技术的限制，接缝折边长度，
材料的不同，饮料罐的空间余量等。
（2）在模型Ⅱ与模型Ⅲ的计算过程中，我们限定了易拉罐的容积V （355=V 毫升）和
罐壁厚b （15.0=b ）。
（3）由于时间关系和计算的复杂性，在模型Ⅲ中只考虑了罐底的形状为球冠，没有考
虑其他的形状。例如：椭圆。“球形封头与圆筒不等厚连接问题的探讨”一文中指出 “从制造角度来说,标准椭圆形封头比球形封头易于制造且制造等尺寸等厚度的
椭圆形封头比球形封头耗料少”]4[
二、模型的改进
（1）在模型Ⅲ的计算结果中可以看出起其结果还是比较符合我们所测量的结果，但是仔细的一看易拉罐的高度h （8454.106=h ）与我们测量得到的数据122.90还有一定的差距，所以我们考虑到饮料罐可能没有装满饮料，还留有一定的空间余量，如果把这一因素考虑进去建立新的模型，得到的h 会更接近于实际所测的数据122.90。
（2）在模型Ⅲ的最优设计中涉及到一些物理、材料力学及美学等方面的要求，这必须要有有关方面的专业知识，实际工作经验来确定，单靠数学知识是不够的。所以我们必须和实际工作者紧密结合。
浅谈数学建模
数学建模是利用数学语言(符号、式子与图象)描述实际现象的过程。对于现实中的
原型，为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。把现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型的基本特征。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测到对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。
建立一个数学模型与求解一个数学问题有着很大的差别。求解数学问题往往有唯一的答案，而数学建模往往没有唯一的答案。对与一个实际问题而言，数学建模没有确定的模式，但建模方法和过程却有着共同的规律。建立数学模型的过程，要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分折和解决问题。
建模要经过哪个步骤没有一定的模式,通常与问题的性质、建模的目的有关。数学建模的步骤可分为：
一、模型准备（问题分析）：了解问题的实际背景，明确其实际意义，收集与研究问题和问题有关的信息与资料，用数学语言来描述问题。
二、模型假设（分析与简化）：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
三、模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立所研究问题的数学模型。(尽量用简单的数学工具)。
四、模型求解：选择适当的方法，利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算(估计)。
五、模型评价与改进（模型检验）：评价模型最重要的标准是模型及其求解是否能反映实际问题、满足解决实际问题的需要，将模型求得的结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。
六、模型应用：将经过多次反复改进的模型及其求解应用于实际系统中。
在建立易拉罐最优设计模型时，我们遇到了以下困难（即建模时的难点）：
1、由于测量条件的限制，测出来的结果可能误差比较大。
2、非线性规划模型的计算比较困难，必须借助数学软件进行计算，如LINGO。
3、再考虑多方面时由于某些物理材料力学方面的要求，必须有关方面的实际工作者或专家来确定，只靠数学知识是不够的，必须和实际工作者的经验紧密结合。
易拉罐的设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计 一．问题重述 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等)的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： 1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸 4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 二、问题分析 在易拉罐设计的实际情况中，问题分析 在易拉罐设计的实际情况中，我们必须保证罐内的体积大于饮料的净含量(我们通常饮料的净含量为355ml而它实际的体积大约为365ml），同时考虑饮料对罐体各部分的应力，需确定罐盖、罐底和罐壁的厚度，在此情况下的最优是使得容积一定时，所用的材料最省(我们用所用材料的体积来衡量）。
在问题一中对于各个部分的数据可以直接测量测量如下数据如下表： 罐高123.7 罐柱内径61.29 上圆台高13.5 下圆台高7.7 罐盖内径58.17 罐底厚度0.29 罐盖厚度0.29 罐底拱高10.11 圆柱体高102.5 罐壁厚度0.135 问题二是对正圆柱体的易拉罐在容积一定时，以半径和高之比为衡量最优设计的标准； 问题三中，对比问题一中所测的数据，发现易拉罐罐盖、罐底的厚度是罐壁的2倍，因此我们在解决此问题是可以假设罐盖、罐底的两倍，再利用规划方法所求得的数据与测量数据进行比较，以及观察市场上正规厂家生产的碳酸和非碳酸饮料易拉罐的异同之处，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优模型。 三、模型假设 （1）、根据薄壁圆筒的应力分析，假设易拉罐罐盖﹑罐底的厚度是罐壁的两倍； （2）、易拉罐的各接口处的材料忽略不计； （3）、易拉罐各部分所用的材料相同； （4）、单位体积材料的价格一定；
全国数学建模竞赛易拉罐形状和尺寸的最优设计模型全国一等奖
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型 (2006年获全国一等奖) 摘 要：本文主要考虑当容积一定时，如何设计易拉罐的形状和尺寸，使得所用材料最 省。首先对易拉罐进行测量，对问题二、问题三、问题四建立数学模型，并利用LINGO 软件结合所测的数据进行计算，得出最优易拉罐模型的设计。 模型一，对正圆柱体形状的易拉罐，当容积一定时，以材料体积最小为目标，建立 材料体积的函数关系式，并通过求二元函数条件极值得知，当圆柱高为直径两倍时，最 经济，并用容积为360 ml 进行验算，算得mm H 63.122=，mm R 58.30=与市场上净含量 为355ml 的测得的数据基本接近。 模型二，对上面部分为正圆台、下面部分为正圆柱的易拉罐同样在容积量一定时， 考虑所用材料最省，建立优化模型，并通过LINGO 软件仍用容积为360 ml 进行验算，算 得mm R 58.30=，mm r 33.291=，mm h 94.81=，mm h 8.1112=，高之和约为直径的两倍。 模型三，考虑到罐底承受的压力，根据力学上横梁支点的受力与拱桥设计的原理， 设计底部支架（环形）与一定弧度的拱面，同时利用黄金分割，将直径与高之比设为， 建立容积量一定时材料最省的优化模型，再将有关数据代入计算，得到结论，现行易拉 罐的设计从某种意义上不乏是最优设计。 关键词：优化模型 易拉罐 非线性规划 正圆柱 正圆台 一、问题重述 销量很大的饮料容器(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。这应该是某种意义 下的最优设计，而不是偶然。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的 钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就 很可观了。 现针对以下问题，研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。 问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验 证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说 明；如果数据不是测量得到的，那么必须注明出处。 问题二：设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计其结果是否可以合理地说明所 测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 问题三：设易拉罐的中心纵断面如图1所示，即上面部分是一个正圆 台，下面部分是一个正圆柱。什么是它的最优设计其结果是否可以合理 地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 问题四：利用所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐形状和 尺寸的最优设计。 同时，以做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇 短文(不超过1000字，论文中必须包括这篇短文)，阐述什么图1 是数学建模、它的关键步骤，以及难点。 二、问题分析
最新易拉罐的优化设计知识分享
易拉罐形状和尺寸的最优设计 组员：邢登峰，张娜，刘梦云 摘要 研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以节约的资源是很可观的。 问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。 问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2()2(2)v s r rd r r ππ=+，由微积分方法求最优解， 结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型： 2min (,) (,)0.0 0s r h g r h r h v s t r h π?=-=?>??>? 用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。
问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。 模型 圆台面积 2 ()(s r r R r ππ=++用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=45.07最小。 结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。 问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。 另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。 最后写出了我们对数学建模的体会文章。
关键词：易拉罐最优设计数学建模 问题重述 在生活中我们会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： 1．取一个净含量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.
2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.
易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要 本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。 在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2 R H=（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6 R H=时，表面积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2 =。 R H b 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24 +==(h为 H h R r 圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5 r→时 H h R +≈，0 材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。 在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，====时，可以得到优于现实中易拉罐的设计方案。 r h R H 2.2,0.75, 3.93, 6.86 最后，本文总结了此次数学建模中有益的经验--在数学建模过程必须灵活应用从简到繁、由易到难不断扩展的研究方法，并且要充分发挥数学软件在优化设计中无可比拟的优势；同时，通过此次数学建模比赛深刻体会到了数学工具在生产实践中的重要作用。
产品创新设计作业——易拉罐的设计
经典产品开发案例——易拉罐 引言 易拉罐是我们日常生活中再常见不过的产品，而事实上早在1959年它便诞生了，至今已有了50多年的历史。挑选易拉罐作为案例分析，是因为我相信简单却又经久的设计就是最成功的，这些经典产品历经了时间和用户的考验，在易拉罐简单的设计背后却有许多值得学习的常识和经验。 生活中有很多这样的产品，比如拉链、圆珠笔、白炽灯、缝纫机、复印机、剃须刀等等。这些发明悄然地改变了世界，伴随我们的生活工作。而我们常常忽视了它们的优秀，在科技更新速度日益飞升的今天，大多数人变得麻木，诸如“什么时候发明的”，“有什么独特的设计”，“功能是如何实现的”这些问题也仅仅是和我们打了个照面而已。我们欣然地接受这些伟大的发明家们的创造，对于我们而言，花尽可能少的时间知道它怎么使用就足够了，甚至懒惰到可以包容一些并不合理的设计。 之所以叫易拉罐，是由于它在顶部的设计采用了易拉环的结构，这是一次开启性的革命，也给人们的生活带来了极大的便利和享受。 1 易拉罐的诞生与市场需求 我们知道，新产品的开发首先应该做的就是需求分析。需求分析首先要确认已存在产品或系统的未确认缺点及未来可能发生的潜在问题，然后确认用户目前及未来还没有满足的希望。首先，要了解，大部分灌装饮品如汽水、啤酒等都注满二氧化碳，因此铝罐要承受的压力极大，约每平方厘米需要50公斤的力度，才能把拉盖开启。如何让使用者轻易将拉盖开启正式制造拉盖的一大难题。 最早的铝罐需要分离式的开罐器，这一局限性使得许多场合下应用都不便利。1959年，俄亥俄州的艾玛弗兰兹发现外出郊游时喝冰啤酒很困难，于是他用汽车保险杠杆打开啤酒，弗兰兹想要找到更好的办法，思考如何将开罐头的杠杆粘在杠杆上。他彻夜未眠，终于找到了发明的灵感，当然这也他在达顿可靠工具制造公司的工作经验密不可分，他在金属的制作和刻痕上有着丰富的经验积累，弗兰兹于1963年取得易拉罐的专利权。他也声明，易拉罐不是他个人发明的，自1800年来大家就一直在研究这个问题，他所做的知识找出将拉环粘到罐顶部的方法。 此后，易拉罐在美国成功研发并生产，由罐身、顶盖和底罐三片马口铁材料制成。目前用来制作易拉罐的材料主要有两种：铝材和马口铁，王老吉、红牛、露露等品牌用的是马口铁，可乐、雪碧等碳酸饮料品牌采用的是铝制易拉罐。 2 易拉罐的设计 易拉罐之结构设计
数学建模 易拉罐的设计问题
易拉罐的形状和尺寸的最优设计 一旅五队赵久国（3782011040）摘要 现实生活中，我们会发现销售量很大的易拉罐饮料（例如：体积为355毫升的可乐，啤酒，雪碧，七喜等）的形状和尺寸几乎都一样，联系利润问题，我们可能会猜想同样是355毫升的容量，设计成那样的形状可能会节约易拉罐的制造成本。带着这样的猜想，我通过数学建模的方法去寻找原因。 本文就是通过建立简化的数学模型，找到在易拉罐体积一定（355毫升）的条件下，使得易拉罐材料最省（通过计算易拉罐的表面积来表示用料）的外形及尺寸。我第一步是实际调查研究（发现：实际生活中没有把易拉罐设计成长方体的形状的，都是接近圆柱体的，可以断定长方体没有圆柱体节省材料，于是对于后面的模型只考虑圆柱体的情况）；第二步是通过简化建模所需的条件（假定易拉罐的侧面和底面用的材料都一样且厚度都一样（注：现实生活中肯定不一样，这需要前面模型的优化））；第三步是建立的简单模型，并且进行求解；第四步是对模型所得的数据进行分析，和与实际生活中所测的易拉罐的数据进行对比；第五步是得出基本的结论和对模型进行改进，粗略确定易拉罐外形和尺寸的最佳设计方案。 关键词：355毫升易拉罐简化条件模型设计导数求极值 对比分析优化设计
第一步： 对于体积恒定的355毫升的易拉罐，在保证体积不变的情况下设计他的形状，尺寸，要求是表面积最小。 第二步： 假设： 1.易拉罐设计的形状为圆柱体，侧面和底面用的材料都一样且厚度都一样. 2.易拉罐的体积一定. 3.确定变量和参数：设易拉罐内半径为r,高度为h ，厚度为a ，体积为v ，表面积为s 。其中r 和h 是自变量，易拉罐面积s 是因变量，而体积v 是固定参数，则s 和v 分别为： 2222233 222()()2422,s r a a r a h r h ar a r a hra ha v v r h h r ππππππππππ=+?++?-=++++== 第三步： 根据前两步建立模型： 2g(,)min (,) 0,0,(,)0r h r h v s r h r h g r h π=-=>>=设目标函数其中且 V 是已知的，g(r,h)是约束条件，目标函数s 就是要求在体积V 一定的条件下求S 的最小值，此时r 和s 的比值。
创新设计方案
创新设计方案 一、设计名称：可以关闭的易拉罐 二、设计目的（设计背景）： 大多数人们在外面玩的时候口渴了都会想到要买水喝，但很多又不愿意一瓶喝完，就出现了易拉罐比较少量的瓶子，但易拉罐有一个最不方便的地方就是喝不完也关不上，很多人不喜欢手上拿着就喜欢放在包里方便，渴的时候再拿出来，然后我们就想到为了大家方便，想要设计出可以打开后还可以关闭的易拉罐瓶子。 三、设计原理： 现在的大多数人追求的生活品质越来越高，人们对这些消费品的要求也越来越多样化。易拉罐在人们的生活中随处可见，最初的易拉罐设计是将一个拉环固定在事先划好的开盖带上，利用杠杆作用和刻划痕迹，罐头先在开口上方打开，进一步拉开的动作将金属片拉离罐头顶部，铝片沿着刻划的痕迹撕开，留下来的开口从罐子边缘延伸到（或超过）罐子中心，这样在打开罐子饮用或倾倒饮料时，空气能由开口进入罐内，让饮料轻松地流出。易拉罐拉环独特的设计一方面结束了钥匙型开罐器的时代，另一方面也将在罐顶上打两个不同三角形切口的开罐动作减少为一个拉的轻松动作。半开半闭式的易拉罐更容易引进市场，通过在罐顶下安装旋转装置，让喝不完的水放在任何一个地方不易溢出，会给更多的人带来方便。四、作用与功能： 方便人们的生活，受各大消费群众的需求，方便携带和饮用。拉环式易盖有两种形式：一种是小口式，拉环拉起时罐盖开启一小口，由此小口可以吸出或倒也流体内装物，比如汽水类易拉罐就属于小口式；另一种是大口式，拉环拉起时几乎整个罐盖都被揭开，以便取出固体 五、设计结构与简图：
设计结构：采用普通的易拉罐瓶子，在开口处设计可以旋转开关的开口。 六、设计说明： 这次我们设计的是一个可开关的易拉罐，这个易拉罐跟平时我们看到的普通易拉罐没有什么区别，只是在拉罐开口处做了一些轻微的调整，普通的拉罐拉开过后就不可以再关闭，使消费者买了打开了以后就必须要喝完，然而一些消费者一次喝不完这么多放在那里就只有浪费。我们这次设计的这个易拉罐开口就设计成为了可开关的，当消费者打开后喝不完还可以将瓶口关上，这样方便了二次饮用，不会造成了浪费，也方便携带。做成这个易拉罐的技术条件也非常简单，只需要在现有的易拉罐制作工艺上，将易拉罐瓶口配上一个可旋转的开关，开关可以由简单的铝片制成，在消费者第一次将易拉罐打开后，旋转铝片就可将开口处密封。 七、制造用料： 普通的易拉罐一个，少许铝片 八、可行性分析： 在该易拉鑵项目可行性研究中，从节约资源和保护环境的角度出发，遵循“创新、先进、可靠、实用、效益”的指导方针，严格按照技术先进、低能耗、 低污染、控制投资的要求，确保该易拉鑵项目技术先进、质量优良、保证进度、
易拉罐设计问题
易拉罐的设计问题 一、模型的假设 1、除易拉罐的顶盖外，罐的其他部分厚度相同 2、忽略材料的接缝折边以及切削的损耗 3、易拉罐所装的饮品的体积一定 4、忽略制造中的工艺上的必须要求的折边长度 二、符号说明 V 表示易拉罐的用料体积 0V 表示易拉罐的罐内的容积 r 表示圆柱形的圆半径 S 易拉罐的表面积 λ表示易拉罐的上、下底面的单位面积的造价 θ表示易拉罐的侧面的价格 α表示易拉罐的上顶面与侧面厚度的比例系数 d 表示除顶盖外的其他部分材料的厚度 三、模型的建立及求解 要比较易拉罐的优劣，可以由其制作过程中所消耗的原材料的多少来判别，即最优易拉罐应具有最小的表面积。 如果，先不考虑材料的厚度及价格等因素，由圆柱的体积公式可得，2V r h π=，从而2V h r π=，又易拉罐的表面积为2222S r r h ππ=+，将2V h r π=代入其中得222V S r r π=+ 又由题知，体积V 为常数，即求当 r 为何值时，函数Ｓ取值最
小，由此目标函数为 min 222V S r r π=+ 22V V S r r r π=++≥= 当且仅当22V r r π=，即r =时h=2r 。但是，在实际生活中，易拉罐却不是这样的。 我们以355ml 的可口可乐易拉罐为对象来测量，得到如下数据。 由数据可知，4h r ≈即易拉罐的高与直径的比约为2:1。这是由于喝饮料时要使劲拉使得顶盖要比其他部分厚。 考虑到用于上下底面与侧面所用材料的造价不同，故制造一个易拉罐的价格为222y r rh λπθπ=+，于是目标函数可化为 min 222y r rh λπθπ=+ () 223y r rh rh πλθθ=++≥当且仅当22r λ=rh θ，即2r h λθ= 时，易拉罐的价格最低，此时易拉 罐不再是等边圆柱了。 考虑易拉罐的顶盖厚度是其他部分的材料厚度的α倍，进而易拉罐的侧面用料体积为 22(())((1))V r d r h d ππα=+-++ 圆柱形易拉罐顶盖用料的体积为2d r απ，底部用料体积为2d r π，所以易拉罐用料体积为
易拉罐设计数学模型
2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛山西赛区吕梁高等专科学校 第五队 参赛队员：1. 张晶晶 2. 刘美琴 3. 王超鹏 指导教师：王亮亮 2006 年 9 月 18 日
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：吕梁高等专科学校 参赛队员(打印并签名) ：1. 张晶晶 2. 刘美琴 3. 王超鹏 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：王亮亮 日期： 2006 年 9 月 18 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
易拉罐形状和尺寸的设计 摘要 本文研究易拉罐的形状和尺寸的设计问题。 体积给定的圆柱体，其表面积最小的尺寸（半径和高）为多少？从纯数学的观念出发，这个尺寸（半径和高）为1：2。也就是说，对于易拉罐而言，当高是半径的2倍时，其表面积最小。即易拉罐设计成等边圆柱时，消耗的材料较少，生产成本较低。但在实际生活中，我们所看到的易拉罐不是等边圆柱的，有的长些，有的短些，生活中（市场上）的易拉罐为什么会是这样呢？ 经过我们调查测量，也发现销量很大的饮料的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎是一样的。经过测量生活中（市场上）饮料罐胖的部分的直径和高的比为6.4/10.3=0.621，非常接近黄金分割比0.618。这是巧合，还是这样的比例看起来最舒服，最美？看来，这样并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。 事实上，体积一定的易拉罐的形状和尺寸的设计问题，不仅与表面积的大小有关，而且还与易拉罐的上、下底面和侧面所用材料的价格有关，也与制造过程中焊接口的工作量的多少和焊缝长短有关。此时，易拉罐就不再是等边圆柱了。 在本文讨论中，我们假设1、不考虑制造过程中焊接口的工作量的多少和焊缝长短问题，只考虑了表面积和所用材料的问题；2、不考虑易拉罐底部上拱问题，模型中模型的底部以平底处理；3、不考虑易拉罐的拉环。在以上假设的基础之上我们以355ml 的可口可乐饮料罐的形状和尺寸为例进行讨论，应用层次分析法逐步建立了四个模型。应用初等数学的知识算出了各个模型中的高和半径的比值、表面积和成本，最终讨论计算结果认为当高与半径之比4.68827时，模型基本上与市场上的易拉罐形状和尺寸相同。然后我们对生活中355ml的可口可乐饮料罐给出了我们自己的关于易拉罐的形状和尺寸的设计。 关键词：等边圆柱易拉罐 注：本文中提到的等边圆柱是指：圆柱的高与圆柱的底面直径之比为1：1的圆柱体。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“对论文格式的统一要求”） C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： 1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。 什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。
易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要 本题在建立数学模型的基础上，用LINGO 实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。 在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比（为圆柱的高，为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高时，表面积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的倍 b 时，最优设计方案为61:： =H R 。 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO 软件对模型进行分析，得出当(为圆台的高，为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO 对其进行分析，得出，时材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。 在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，86.693.3075.h 2.2r ====H R ，，，时，可以得到优于现实中易拉的设计方案。 关键词：最优设计 体积结构 材料最省 lingo
自制无线网卡天线(一)易拉罐和漏斗篇
一、易拉罐天线： 需要准备得工具和原料如下： 1、剪子一把 2、靓工刀一把 3、普通电工胶带适量 4、空易拉罐一只（铁壳铝壳均可，可乐雪碧都可以） 这几样工具都是通常家庭得常备工具 啥？你找不到易拉罐？ FT，马上给我到楼下去买一罐雪碧上来，一口气喝完它。 工具和原料备齐以后，咱们就要吧。 首先把易拉罐清洗干净，把里头得水倒掉。接着用靓工刀沿着易拉罐接缝得地儿慢慢切开，参考图片 接下来找到和这条接缝180度相对得还有一点一边，也用靓工刀慢慢切开 接着用剪子慢慢地沿着底边剪半个圆过去，另一头则剪还有一点半个圆，参考图片： 做好以后自己处理一下，主要是清理一下边缘（易拉罐非常锋利）预防日后得使用中弄伤了手。 在罐子底部和顶部开两个孔，和你原来得AP天线非常一下，直径大小可能大于天线一点就行了，套到AP天线上去试一下，必须可以自如地套进去，自然此时候没办法固定，罐子这原因是孔比天线大，只能松松地靠在天线上。：） 将贴不错得半个罐子套到原来得AP天线上试一下松紧程度，可能以能够套进天线而且保持必须得固定能力为准。如果太松得话就再贴部分胶带上去。再试一下旋转这半个罐子，要做到能够旋转自如。象下面相片中是可以得松紧程度： OK 成功 成效大伙尝试一下就了解了，信号有特明显得提升 二、奶粉罐天线： DIY精神是利用手头得资源，发挥第一得做用，咱们身边非常多得金属罐子，奶粉罐是最常见得了。 下面介绍下DIY 奶粉罐天线得过程： 根据测试，首先确定自己DIY得数据： 各数据如下： 中心频点＝2.445G 圆筒直径＝127mm 圆筒长度＝111mm 振子长度＝31mm 振子距圆筒底部边距＝37mm 你必须能问这数值是哪里来得？微波天线得制做精度很高，起码要达到毫米级，要不非常容易以至天线不可用，由于每个人获得得圆筒不一样，这有一个圆筒天线得通用计算器，可以精确得计算各参数，以此使这款天正在制做上达到实用化！ 通用计算器：/antenna2calc.php 从图片可以看出，馈线得屏蔽网连接金属圆筒，信号通过圆筒反射到振子上，自然振子是馈线得芯线了，芯线与金属筒是绝缘得，这点必须得要小心！ 非常多爱好者都Like在圆筒加装N座或BNC座，接着在馈线得连接处做对应得N头或BNC 头，用在连接。可mr7感到虽说该办法对使用十分便利，可同时也对信号造成了损耗（估计1－2DBI），特别在2.4G得频段愈加明显！正是这个原因，mr7决定把屏蔽网直接焊在
参考论文1-易拉罐的最优设计
易拉罐最优设计模型 （2006年全国一等奖） 摘要：本文建立了易拉罐形状和尺寸的最优设计模型，使易拉罐制作所用的材料最省，来增加生产商的经济效益。在饮料罐容积一定的基础上，按照材料最省原则，根据所给的任务2、任务3、任务4，分别建立了模型Ⅰ、模型Ⅱ、模型Ⅲ，最终在讨论和分析后，对模型进行了评价和改进。 对于任务1，利用千分卡尺测量了我们认为验证模型所需要的易拉罐各个部分的数据，并把所测得的数据用图形和表格加以说明。 对于任务2，在易拉罐为正圆柱体的情况下建立模型Ⅰ，通过确定目标函数),(h r A ，给出约束条件0),(=h r B ，利用初等解法得出 4:=r h 为圆柱体易拉罐的最优设计。并用此其结果检验用千分尺所测得029.4:=r h ，其绝对误差仅为0.29，可以说几乎一致。 当易拉罐为正圆台与正圆柱组合的情况下建立了非线性规划模型Ⅱ，利用LINGO 软件算出9.120:37.0:6.30:8.29:::11≈h h r r 为该模型的最优设计。这一结果与我们测量所得数据基本吻合，其中圆台高误差较大，这引起了我们对此模型与实际易拉罐形状、尺寸的进一步观察与思考。 最终我们感悟出要设计一个既省材又耐用且美观的易拉罐必需考虑经济、耐压、美观和实用性四个方面。从这四个方面出发我们建立了关于材料最省的优化模型Ⅲ，并利用LINGO 软件算出其结果为： 9.9:5.27:5.30:7.10:8.116:5.32:::::3211≈h r r h h r 在模型的结尾部分，我们通过对建立模型的方法、计算工具等方面进行了模型的评价，并提出进一步改进的方法。 最后通过本模型以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文。 关键词：易拉罐 最优设计 非线性规划 LINGO 软件
易拉罐形状和尺寸的最优设计(2)
参赛论文 易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题 摘要 饮料灌装是饮料生产中十分重要的一环，饮料灌装容器的设计不仅直接关系到生产企业的制造成本，同是也决定着饮料产品的品质和价值。理想的饮料灌装容器应能起到以下作用：保护内在质量、免受物理损坏、使用方便、便于运输、和促进销售。在日常生活中,我们总会买些易拉罐装的饮料和食品,殊不知,易拉罐的设计便包含了一定的物理、数学知识。对易拉罐的设计，生产者总会考虑让它成本最低，并且功能最强。如：设计一个体积固定为V 的圆柱形易拉罐，什么样的设计方案最优？ 首先我们根据测的一组数据得直径和高的比值接近黄金分割点。本文基于用铝材料做成一个容积一定的圆柱形的容器用料最省问题，我们分析说明表面积最小是正圆柱体的最优设计。再从实际情况出发，注意到罐的顶盖比其他部分都要厚，我们引入了厚度因子a,并结合模型<一>的结论r:h=1:4，考虑用材料的体积SV ，建立模型<二>，得出a=3.再以此为基础， 建立模型<三>: Min S=[2H R ??π+2R ?π+32r ?π+22)3.0()(h h r R +?+?π]b ? S.t. V=H R ??2π+)(3 1 33r R -??π R=r+0.3h 设定从顶盖到胖体部分的斜率为 a. 并代入工程生产中普遍认定的斜率0.3,运用Mathematica 软件求解，得出h=4r 的结论，这与我们在第一问中用游标卡尺所测得的数据吻合.对此时的SV 进行求偏导数,得出极值点为h=5.36221, r=1.49597, R=3.1046, H=10.8017.问题四我们用曲面积分思想建立了模型〈四〉： Min )(2322 02120 02122R R r R R r R H R SV ---??++?+??=ππππb ? S.t V=H R ??2π+])()[(3 320322020R R h R R h R --+-?- ??π π 得出我们设计的易拉罐H=6.54 h=2.54 R=3.82 直径：高度=2R ：（H+h ） 最后,我们根据自己本次参加数学建模课余培训直到参加竞赛的亲身体验,写了《体验数学建模》一文。
易拉罐设计
易拉罐最优设计模型 （2006年获全国一等奖） 摘要：本文建立了易拉罐形状和尺寸的最优设计模型，使易拉罐制作所用的材料最省，来增加生产商的经济效益。在饮料罐容积一定的基础上，按照材料最省原则，根据所给的任务2、任务3、任务4，分别建立了模型Ⅰ、模型Ⅱ、模型Ⅲ，最终在讨论和分析后，对模型进行了评价和改进。 对于任务1，利用千分卡尺测量了我们认为验证模型所需要的易拉罐各个部分的数据，并把所测得的数据用图形和表格加以说明。 对于任务2，在易拉罐为正圆柱体的情况下建立模型Ⅰ，通过确定目标函数),(h r A ，给出约束条件0),(=h r B ，利用初等解法得出 4:=r h 为圆柱体易拉罐的最优设计。并用此其结果检验用千分尺所测得029.4:=r h ，其绝对误差仅为0.29，可以说几乎一致。 当易拉罐为正圆台与正圆柱组合的情况下建立了非线性规划模型Ⅱ，利用LINGO 软件算出9.120:37.0:6.30:8.29:::11≈h h r r 为该模型的最优设计。这一结果与我们测量所得数据基本吻合，其中圆台高误差较大，这引起了我们对此模型与实际易拉罐形状、尺寸的进一步观察与思考。 最终我们感悟出要设计一个既省材又耐用且美观的易拉罐必需考虑经济、耐压、美观和实用性四个方面。从这四个方面出发我们建立了关于材料最省的优化模型Ⅲ，并利用LINGO 软件算出其结果为： 9.9:5.27:5.30:7.10:8.116:5.32:::::3211≈h r r h h r 在模型的结尾部分，我们通过对建立模型的方法、计算工具等方面进行了模型的评价，并提出进一步改进的方法。 最后通过本模型以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文。 关键词：易拉罐 最优设计 非线性规划 LINGO 软件 问题重述 在生活中我们会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： 1．取一个净含量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认
自制玩具：易拉罐
易拉罐 玩法一：垒高楼 幼儿把易拉罐一个一个往上垒，看谁垒得高。 玩法二：走梅花桩 把相同的易拉罐三个或五个捆绑固定在一起。把捆好的易拉罐站立相隔20—30厘米摆成直线或圆形，幼儿在上面平稳地走。 玩法三：推拉车 将三四个易拉罐用铁丝穿在一起固定住，再捆上适合幼儿推拉的小木棍即成推拉车。
玩法四：做打击乐器 在易拉罐里装上适量的小石子或玉米粒，将口封住。看谁的节奏打得好。 玩法五：做运动器械 幼儿每人两个可用其做易拉罐操。 玩法六：踩高跷 在两个易拉罐的沿口上对称钻洞，拴上合适长短的绳子，幼儿站在上面手脚配合交替提着走。 玩法七：大保龄球 把四五个易拉罐并排放在终点线上，幼儿站在2米以外的起点线上，拿球或者沙包投掷，看谁投倒得多。
饮料瓶 玩法一：做陀螺 将两个饮料瓶剪去底部后，把剩余的部分按比例剪成同等宽窄的长条，将两个剪好的部分按对称的方法用胶带粘在一起，再用好看的即时贴装饰即成陀螺。 玩法二：拉力器 将两个婴幼儿常喝的娃哈哈或者爽歪歪小瓶底部扎洞，穿上橡皮筋。看谁拉得长。 玩法三：做沙丘 在饮料瓶里装上沙子或玉米粒，盖好盖子晃一晃，看谁晃得好听。 玩法四：拖拉玩具 用饮料瓶装上石子，盖好盖，拴上长绳，放在地上当拖拉玩具。老师在站在前面，幼儿随后，老师说：我走你也走，
幼儿就在后面拖着走；如果说：我跑你也跑，幼儿就在后面拖着玩具跑。 玩法五：小猫钓鱼 教师画好一个大圆圈做池塘，幼儿围在圆圈外面，每人拿一个带有绳子的饮料瓶，在池塘里往外面钓鱼（绳子是鱼钩，瓶子是鱼），看谁钓的鱼又快又多。 玩法六：排序 多个大小不同的瓶子，让幼儿看一看有什么不同。（师）：这些瓶子太乱了，你能想个办法把它排好吗？按从大到小或从小到大的顺序排。看谁排得有对又快。 玩法七：做喷壶 在饮料瓶盖上钻上些许洞。瓶子里装上水，挤压瓶身，一个好看又好玩的喷壶就成了。
易拉罐的设计
易拉罐的设计 生活中我们常看到圆柱形的包装容器，如易拉罐、水杯、油漆桶等。那么，为什么这些容器都设计成了这样的形状？这样的形状有什么优势呢？显然，当一个容器需要大量使用的时候，考虑用料成本，设计一个容积足够、美观大方又节省材料的容器是极为必要的。 标签：易拉罐设计最小值 易拉罐是生活中常见的饮料容器，每天都有不计其数的易拉罐饮料从生产线上生产出来打包装箱输送到全国各地，同时被无数人购买，畅饮之后又要丢入垃圾桶。每个易拉罐的用料不多，但是有了庞大的基数支撑，用料成本便不可忽视，节约用料是一个极为重要的问题。 根据已经掌握的知识，平面中等面积的情况下圆的周长最短，那么，可以联想到空间中等体积的情况下球体的表面积最小。按照节省用料的考虑，为什么没有大规模使用球型的容器呢？最简单直观的缺点是不方便持握，不方便放置。而且还有一个问题就是球型容器运输的时候放入箱子中也会浪费更多的空间。 思考一：假设包装都是标准的圆柱体，忽略包装材料的拼接，近似认为容积就等于体积，这样把问题近似转换为一个纯粹的数学问题，即：“体积一定的圆柱体，底面半径与高的比值为多少时，表面积最小？” 设易拉罐的高为h，底面半径为r，有圆柱体的体积公式V=πr2h，得到h= 。又易拉罐表面积为S=2πr2+2πrh。将h= 代入表面积公式得S=2πr2+ 。[1]现在，问题转化成为了在r取何值的时候，函数S能够取到最小值。S= ，当且仅当2πr2= ，即时，易拉罐有最小表面积，此时h=2r。 但是在实际生活中，我们绝对看不到有这样形状的容器装满饮料放在货架上，为什么呢？这种形状的圆柱体又叫等边圆柱，这种形状拿起来的手感很差，因为太粗了，不适合作为饮料的容器，作为罐头、油桶倒是不错。那么，还有什么因素影响了易拉罐的形状呢？易拉罐的上底和下底经过观察和侧面是不一样的，一般来说，下底的材料会更加厚一些，或是更加硬一些，这可能是影响易拉罐形状的又一因素。 思考二：体积一定的圆柱形容器，上下底面的价格是侧面造价的k倍，那么底面半径和高的比为多少时表面总造价最小[2]？ 经过调查，有相当一部分饮料包装的底面的单位造价是侧面单位造价的2倍左右，为了便于计算，假设k=2。设圆柱底面半径r，高为h，侧面单位造价为a，底面单位造价为ka，圆柱体总造价为y。V=πr2h，y=2aπrh+4aπr2。= 。 当且仅当4r=h时，表面总造价最低。如果材料特殊，底面单位面积造价不
易拉罐优化设计
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：黄海学院 参赛队员(打印并签名) ：1. 于才华 2. 刘扬 3. 王晓龙 4. 郭彩霞 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：戴琳琳薛靖峰 日期： 2011 年 8月 30 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要 饮料罐（即易拉罐）在我们生活中随处可见，饮料的生产过程中需要大量的易拉罐。本文研究的是易拉罐的形状和尺寸最优设计问题，在生产大量易拉罐时，可以节省易拉罐的制作材料和生产费用。 问题一，我们利用千分尺测量了一个355毫升可口可乐饮料的易拉罐各部位，列出了有关的数据表格。 问题二，我们在已知假定易拉罐是一个正圆柱体时，针对材料最省的标准，在不考虑易拉罐的盖部圆台和底部圆台的高度画出了简单的平面图。利用问题一的数据：上、下底的厚度是罐壁厚的2倍,建立体积的目标函数，得出高是半径的4倍是易拉罐的最优设计。我们的结果在半径与高的比值能合理说明我们所测量的易拉罐形状和尺寸。 问题三，结合问题一、二，已经给出易拉罐的中心纵断面：上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体，假定圆台和圆柱的厚度不同，列出了材料最节约目标函数，利用了非线性规划方法和LINGO软件求得最优解。 问题四，我们考虑到易拉罐的材料、安全、成本问题等方面，设计了我们自己的易拉罐的形状。 关键词：易拉罐最优设计不等式最小值数学模型
2006_全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.解析
易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要 本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。 在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2 R H=（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6 R H=时，表面积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2 =。 R H b 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24 +==(h为 H h R r 圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5 r→时 H h R +≈，0 材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。 在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，====时，可以得到优于现实中易拉罐的设计方案。 r h R H 2.2,0.75, 3.93, 6.86 最后，本文总结了此次数学建模中有益的经验--在数学建模过程必须灵活应用从简到繁、由易到难不断扩展的研究方法，并且要充分发挥数学软件在优化设计中无可比拟的优势；同时，通过此次数学建模比赛深刻体会到了数学工具在生产实践中的重要作用。