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初三数学第1章分式教案 (1)

第1章分式

§1.1 分式

●教学目标： (一)知识目标

1、经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式的概念。

2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式（二）能力目标：

1、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。（三）情感与价值观目标：

1.通过师生共同交流、探讨，使学生在掌握知识的基础上，引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力 ●教学重点：

探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 ●教学难点：

能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 ●教学方法

引导、启发、探索讨论教学设计：

一、新课导入：------想一想：（填空）

1、被除数÷ 除数 =

除数

被除数

（）如：3 ÷ 4 = 注意:(0不能作除数) 整数整数分数

2、类比：被除式÷除式 = （商式） 7 ÷P=

a ÷ 3b= (a - b) ÷ 4= t ÷ (a-x) = 整式整式 ( ？)

3 、做一做

（1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米；（2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米；（3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___元；（4）正n 边形的每个内角为__________度.

（5）一箱苹果售价a 元，箱子与苹果的总质量为m kg ，箱子的质量为n kg ，则每千克苹果的售价是元？

（6）有两块棉田，有一块x 公顷，收棉花m 千克，第二块y 公顷，收棉花n 千克，这两块棉田平均每公顷的棉产量是？

请将刚才所写的代数式你认为分母有共同特征进行分类，并将同一类填入一个圈内，并说明理由。

特征：特征;

二、新课教学：

（一）分式的概念：

形如B

(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分

子,B 叫做分式的分母.

整式和分式统称有理式, 即有理式整式，

分式.

注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式a

S 中，a ≠0；在分式n m -9中，m ≠n.

（二）、典型例题学习：

例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？

（1）

x 1；（2）2x ；（3）y

x xy +2；（4）33y x -.(5)0

解：属于整式的有：（2）、（4）.(5)；属于分式的有：（1）、（3）.

例2、当x 取什么值时，下列分式有意义？（1）

11－x ；（2）322+-x x . (3)2

)1(-x x

分析要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解（1）分母1－x ≠0，即x ≠1.

所以，当x ≠1时，分式1

－x 有意义.

（2）分母23+x ≠0，即x ≠-2

所以，当x ≠-23时，分式3

+-x x 有意义.

例3、已知分式 ① 和②

求：当 1.分式①的值为正？2.分式②的值为负？3.两分式的值相等时求x 的取值范围？练习：讨论探索

当x 取什么数时，分式2||24

x x -- （1）有意义（2）值为零？

三、课内达标：

1、把下列各式的题号分别填入表中

(8)

(9)

(10)

)

(p n m +x xy y x x a y z x ab b a x x

），（），（））（，

）），（）（762155421313222122----11-+x x x

x -12321

b a -+

2、当x 时，分式有意义。

3、当x 时，分式没有意义，

4、当x 时，分式的值为零。

7、当x 时，代数式32

--x x 有意义；当x 时，代数式2

3--x x 的值为零。

四、课内小结：

谈一谈这一节课的收获和体会。

分式的概念

分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义当分子为零且分母不为零时，分式值为零。五、板书设计：

课题§17.1.1 分式的概念

1、分式的概念:

2、整式和分式统称有理式, 即有理式整式，

分式

分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义当分子为零且分母不为零时，分式值为零。六、作业：

A 组：（随堂练）

B 组：1、写出一个分式，使得

（1）不管x 取何值分式都不会为零（2）不管x 取何值分式都有意义 2、编写一个实际生活背景，使所列的分式为

七、教学反思：

1+-x x x 5.当x____________时，分式的值为正。

1+x 2-x x 1

+-x x 1

1+-x x 6. 当时，分式的值为负？ b a m

§1.2 分式的基本性质（1）

●教学目标：（一）知识目标

1. 掌握分式的基本性质.

2.利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形.

3.了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法.

4.使学生了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式. （二）能力目标：

1.能类比分数的基本性质，推测出分式的基本性质.

2.培养学生类比数学思想，提高数学思维能力. （三）情感与价值观目标：

通过类比分数的基本性质及分数的约分，推测出分式的基本性质和约分，在学生已有数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣.

●教学重点

1.分式的基本性质.

2.利用分式的基本性质约分.

3.将一个分式化简为最简分式. ●教学难点

分子、分母是多项式的约分.

突破方法：是通过复习分数的约分、通分类比出分式的约分、通分。

●教学方法

讨论——自主探究相结合教学设计：一、新课导入：

1.将下列各分数化成最简分数:

189= 93= 14

70 = 6418 =

与同学交流体会。

（化简一个分数，首先找到分子、分母的最大公约数，然后利用分数的基本性质就可将分数化简.）

2.上题实质是分数的；它的依据是

分数的基本性质是：二、新课教学：

分析;（1）将

6的分子、分母同时除以它们的最大公约数3得到.即6=36÷=2

. 依据是分数的基本性质：分数的分子与分母同乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变.

（2）分式a a 2与21相等，在分式a a 2中，a ≠0，所以a a 2=a a a a ÷÷2=2

;

分式m n n 2与m n 也是相等的.在分式m n n 2中，n ≠0，所以m n n 2=n m n n n ÷÷2=m

［师］由此，你能推想出分式的基本性质吗？

分式是一般化了的分数，类比分数的基本性质，我们可推想出分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示是：

B M

A B A M B M A B A ÷÷=??=, （其中M 是不等于零的整式）。

［师］在运用此性质时，应特别注意什么？

［生］应特别强调分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式中的“都”“同一个”“不为零”.

［师］我们利用分数的基本性质可对一个分数进行等值变形.同样我们利用分式的基本性质也可以对分式进行等值变形.

（二）典型例题学习：

下面我们就来看一个例题（出示投影片）

［例1］下列等式的右边是怎样从左边得到的？

（1）

x b 2=xy by 2（y ≠0）；（2）bx ax =b

a . 分析在（1）中，因为y ≠0，利用分式的基本性质，在x

2的分子、分母中同乘以y ，即可得到右边，即

x b 2=y x y b ??2=xy

by 2；［师］在（1）中，题目告诉你y ≠0，因此我们可用分式的基本性质直接求得.可（2）中右边又是如何从左边得到的呢？

分析在（2）中，bx ax 可以分子、分母同除以x 得到，即bx

ax =x bx x ax ÷÷=b a

“x ”如果等于“0”，就不行. 在bx ax 中，x 不会为“0”，如果是“0”，bx ax 中分母就为“0”，分式bx

ax 将无意义，所以（2）中虽然没有直接告诉我们x ≠0，但要由bx ax 得到b a ，bx

必须有意义，即bx ≠0由此可得b ≠0

且x ≠0.

练习1、利用分式的性质填空：

(1)()33222+=+x x x x （2）()33

23386a b b a = （3）()cn an C a b +=++1 （4） ()

()y

x y x y x -=+-2

22 2.分式的约分.

［师］利用分数的基本性质可以对分数进行化简.利用分式的基本性质也可以对分式化简.

例2 约分

（1）4

22016xy

y x -；（2）44422+--x x x 分析分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去.为此，首先要找出分子与分母的

公因式.

解（1）4

322016xy y x -＝－y xy x

xy 544433??＝－y x 54. （2）44422+--x x x ＝2)2()2)(2(--+x x x ＝22-+x x .

说明：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式

（即化成乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式.

约分后，分子与分母不再有公因式. 分子与分母没有公因式称为最简分式．．．．. 练习：约分：

2232axy y ax ；)(3)(2b a b b a a ++-；3

()(a x x a --；y xy x 24

2+-； 2239m m m -- ； 299198-。 2改错；解：（1）

y x xy 2

205=)5()4(5xy x xy

?=x

41; 例3：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.

a b 56--， y x 3-， n m --2， n

m 67--， y x 43---。

[分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变.

解

：

a b 56--= a

b 56，

x 3-=y

x 3-

，n

m --

m 2，

n m 67--

=n m 67 ， y x 43---=y

43。注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。

（2）当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号。

练习:不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：

（1）21x x -；（2）322+--x x

例4将分式

x x

+2中的X,Y 都扩大为原来的3倍,分式的值怎么变化? 解:()y

x x

y x x y x x +=+=+?2363332 所以分式中的X Y 都扩大原来的3倍,但分式的值不变

练习:1若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则分式

232y

的值如何变化？若x 、y 的值均变为原来的一半呢？

2若X,Y,Z 都扩大为原来的n 倍,下列各式的值是否变化?为什么 ? (1)

z y x + (2)z

y yz + 三、课内达标： 1.填空：（1）y x x -2=))(()(y x y x +-;（2）)

422=-+y y

2.化简下列分式：（1）ab bc a 2;（2）121

22+--x x x .（3）233

2912y

x y

x ;（4）3)(y x y x --.

四、课内小结：

1分式的基本性质：

B M

A B A M B M A B A ÷÷=??=, （其中M 是不等于零的整式）。 2.应特别注意分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式中的“都”“同一个”“不为零”.

3. 约分的关键是找准公因式.

4. 分子与分母没有公因式称为最简分式．．．．

. 五、板书设计：

B 、应用拓展：1、“因为x

x 2

=x ，而x 取任何实数等号右边都有意义，所以使分式

x x 成立

的条件是x 为任意实数”你认为这种说法对吗？为什么？ 2、使得等式

1(1)

(1)(1)

a b a b a b +=+++成立的条件是什么？说明理由！七、教学反思：

1.2 分式的基本性质（2）

●教学目标：

1．进一步理解分式的基本性质.

2、使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤。重点: 理解分式的基本性质. 掌握通分。难点: 几个分式最简公分母的确定。

突破的方法是通过复习分数的通分类比出分式的通分。 ●教学方法

探索讨论——讲练结合教学设计：一、新课导入：

1．判断下列约分是否正确：（1）

c b c a ++=b a （2）2

x y

x --=y x +1 （3）n m n m ++=0 2.-16x 2y 3；20xy 4的公因式是：x 2-4;x 2-4x+4的的公因式是利用分数的基本性质可以对分数进行通分.利用分式的基本性质也可以对分式通分。二、新课教学：（一）、分式的通分含义：

（1）．把分数6

,43,21通分。

解126261621=??=，129433343=??=，1210

625265=??=

（2．）什么叫分数的通分？

答：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。师：和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个分式的公分母。（二）探索讨论：（1）求分式

322361

,41,21xy

y x z y x 的（最简）公分母。

分析：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分

母的字母，字母x 为底的幂的因式，取其最高次幂x 3

，字母y 为底的幂的因式，取其最高次幂y 4，再取字母z 。所以三个分式的公分母为12x 3y 4z 。

（2）求分式2241x x -与4

2-x 的最简公分母。

分析：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即 4x —2x 2= —2x （x-2），x 2—4=（x+2）（x —2），

把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它们的积，即2x （x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母。

提问：请同学概括求几个分式的最简公分母的步骤？ 1．取各分式的分母中系数最小公倍数；

2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到； 3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；

4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。．练习：1填空：

（1）

()z y x z y x 43231221

；（2）()z y x y x 43321241=；（3）

()z

y x xy 4341261

。 2求下列各组分式的最简公分母：（1）

22265,41,32bc c a ab ；（2）；2

)3(21,)3)(2(1,)2(31++--x x x x x （3）

,1,2222-++x x x x x

（三）典型例题：例1 通分：

（1）

322361,41,21xy

y x z y x （2）b a 21，21ab ；（3）y x -1，y x +1

；（4）

2241x x - ； 412-x （5）221y x -， xy

x +2

[分析] 通分要想确定各分式的公分母，再利用分式的性质通分.

解：（2）

a 21与21a

b 的最简公分母为a 2b 2

，所以 b a 21＝b b a b ??21＝22b a b ， 21ab ＝a ab a ??21＝2

a a

. （3）

y x -1与y

x +1

的最简公分母为（x -y ）(x +y )，即x 2－y 2，所以 y x -1＝))((1y x y x y x +-+?）（＝22y x y x -+， y x +1

＝))(()(1y x y x y x -+-?＝2

2y x y x --. 三、课内达标： 1．通分：

（1）321ab 和c b a 2252 （2）xy a 2和23x b （3）223ab c 和28bc a - （4）

-y 和

1+y

2求下列各组分式通分：

（1）

22265,41,32bc c a ab ；（2）；2

)

3(21,)3)(2(1,)2(31++--x x x x x （3）

,1,2222-++x x x x x 四、课内小结：

1、把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

2、分式通分，依据是分式基本性质，通分前后分式的值没有改变。

3、通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

4、确定公分母的方法，（1）．取各分式的分母中系数最小公倍数； 2)．各分式的分母中所有字母或因式都要取到； 3)．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；

4)．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。五、板书设计：

1题：（1）

231x ，xy 125

；（2）x x +21，x x -21 （3）4

,)2(122—x x x -. 2题见教材p 21复习题A 组7题

七、教学反思：

§2.1 分式的乘除法（一）

●教学目标（一）知识目标：

1.分式乘除法的运算法则，

2.会进行分式的乘除法的运算. （二）能力目标：

1.类比分数乘除法的运算法则.探索分式乘除法的运算法则.

2.用分式的乘除法解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识. （三）情感与价值观目标：

1.通过师生共同交流、探讨，使学生在掌握知识的基础上，引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力

2.培养学生的创新意识和应用数学的意识. ●教学重点

让学生掌握分式乘除法的法则并能运用. ●教学难点

分式的乘除法、混合运算，以及分式乘法，除法、运算中符号的确定。 ●教学方法

引导、启发、探索讨论一、教学设计：

(一)、.创设情境，探索发现：

［师］上节课，我们学习了分式的基本性质，我们可以发现它与分数的基本性质类似，那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢？

探索、交流——观察下列算式： 32×54=5342??, 75×92=9725??, 32÷54=32×45=4352??, 75÷92=75×29=2

795??. 猜一猜a b ×c d =? a b ÷c

=?与同伴交流.

分析：观察上面运算，可知：

两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分数相除，把除数的分子和分母颠倒位置后，再与被除数相乘.

这里字母a ,b ,c ,d 都是整数，但a ,c ,d 不为零.

［师］如果让字母代表整式，那么就得到类似于分数的分式的乘除法. （二）.讲授新课 1.分式的乘除法法则

分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似：

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. 2、尝试探究计算：［例1］计算：（1）

34·32x y ; （2）22-+a a ·a a 212+. 分析：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）强调运算结果如不是最简分式

时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式.

解：（1）

x 34·32x y =3

234x y y x ??=2322

2x xy xy ??=232x ; （2）

22-+a a ·a a 212+=)2()2(2+??-+a a a a =a

a 212-.

［例2］计算 ⑴4

3222--?+-x x x x

分析提问：①本题是几个分式在进行什么运算？ ②每个分式的分子和分母都是什么代数式？

③在分式的分子、分母中的多项式是否可以分解因式，怎样分解？ ④怎样应用分式乘法法则得到积的分式？

解原式＝

)

2)(2()3)(3(32-+-+?

+-x x x x x x ＝23+-x x . ［例3］计算

（1）3xy 2

÷x

y 26;（2）4412+--a a a ÷41

22--a a

分析：（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算；（2）当分子、分母是多项式时，

一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路.

解：（1）3xy 2

÷x y 26=3xy 2

·26y x =2

263y

x xy ?=21x 2; （2）4412+--a a a ÷4122--a a =4414+--a a a ×1422--a a =)

1)(44()

4)(1(222-+---a a a a a

)1)(1()2()2)(2)(1(2+---+-a a a a a a =)

1)(2(2

+-+a a a

概括：①分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.

②分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. ③分式的分子、分母是多项式的要分解因式便于约分。 .

三、课内达标：

1.计算：（1）b a ·2a b ;（2）（a 2

－a ）÷1-a a ;（3）y

x 12-÷21y x +

2.化简：

（1）362--+x x x ÷x x x --+632; ( 3))3(2

962

y y y y -÷++-

（2）（ab －b 2

）÷b a b a +-2

2 (4)4

411242222++-?+--a a a a a a

四、课内小结：

同学们这节课有何收获呢？

五、板书设计：

六、作业： 1、（随堂练）

2、（1）??

? ?

-?y x y x 132 （2）?

? ??-÷a bc ac b 2110352

（3）(

x a

xy 28512-÷ （4）

b a ab ab b a 2342

22-?-

（5）)4(12

x x x

-÷-- （6）3

222)

(35)(42x y x x y x --?-

七、课后反思：

§2.1分式的乘除(二)

●教学目标（一）知识目标：

1.巩固分式乘除法的运算法则，

2. 熟练地进行分式乘除法的混合运算.

（二）能力目标：

1.提高学生的计算能力。

2.用分式的乘除法解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识. （三）情感与价值观目标：

1.通过师生共同交流、探讨，使学生在掌握知识的基础上，引导学生通过分析、归纳，培养学生探索能力

2.培养学生的创新意识和应用数学的意识. ●教学重点

熟练地进行分式乘除法的混合运算.

●教学难点

分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算关键是运算中“-”符号的正确处理. ●教学方法

师讲授、引导、启发学生讨论相结合，讲练结合。教学设计：

一、复习引入：

1、分式乘除法的法则是。

2、尝试计算：（1）)(x

y y

x x

y -?÷ (2) )

21()3(43x

x y

x -

?-÷ 二、新课教学：例1.计算

(1))

4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-?

=x b b a xy y x ab 34)98(23232-?-? (先把除法统一成乘法运算) =x

b a xy y x ab 349823232?? （判断运算的符号） =32916ax

b （约分到最简分式）

随堂练习1：计算

(1))2(216322b a a bc a b -?÷ （2）10

332

6423020)6(25b

a c c a

b b a

c ÷-÷

例2、计算：

x x x x x x x --+?+÷+--3)

2)(3()3(44622

[分析] 是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的.

=x x x x x x x --+?+?+--3)

2)(3(3

144622 (先把除法统一成乘法运算)

=x x x x x x --+?

+?--3)

2)(3(3

1)2()3(22 (分子、分母中的多项式分解因式) =

)3()

2)(3(3

1)2()3(22

---+?+?--x x x x x x （判断运算的符号） =2

--x （约分到最简分式）

随堂练习2计算：

（1）x y y x x y y x -÷-?--9)()()(34

2 （2）22222)(x y x xy y xy x x xy -?+-÷-

（3）)3(4126

446222

+÷--+?+--x x

x x x x x 例3、通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多.因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，

西瓜的皮厚都是d ，已知球的体积公式为V=3

πR 3（其中R 为球的半径），那么

（1）西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？（3）买大西瓜合算还是买小西瓜合算？［生分析：］我们不妨设西瓜的半径为R ,根据题意，可得：

（1）整个西瓜的体积为V 1=3

πR 3;

西瓜瓤的体积为V 2=3

4π（R －d ）3

（2）西瓜瓤与整个西瓜的体积比为：

2V V =33

4)(3

4R d R ππ-=3

3)(R d R -

=（

R d R -）3=（1－R

）3. （3）我认为买大西瓜合算.

由

V V =（1－R d ）3可知，R 越大，即西瓜越大，R d 的值越小，（1－R d ）的值越大，（1－R d ）

也越大，则

V V 的值也越大，即西瓜瓤占整个西瓜的体积比也越大，因此，买大西瓜更合算. 三、课内小结：

通过这节课的学习，你知道怎样进行分式乘除法的混合运算？

1、先把除法统一成乘法运算。

2、分子、分母中的多项式要分解因式。

3、正确判断运算结果的符号。

4、约分到最简分式四、板书设计：

五、作业： 1、计算

(1))6(4382642

z y

x y

x y x -÷?-

(2)93234962

2-?+-÷-+-a a b a b

a a

(3)229612316244y y y y y y --÷+?-+- (4)xy y xy

y x xy x xy x -÷+÷-+2

22)(

（5）???

???-+-?+÷+--63)3(44182222x x x x x x x

六、课后反思：

§2.1分式的乘除(三)

●教学目标（一）知识目标：

1、.巩固分式乘除法的运算法则，

2、理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算.

3、熟练地进行分式乘除法、乘方的混合运算.

（二）能力目标：

1.进一步提高学生的计算能力。（三）情感与价值观目标：

1.通过师生共同交流、探讨，使学生在掌握知识的基础上，引导学生通过分析、归纳，培养学生探索能力

2.培养学生的创新意识和应用数学的意识. ●教学重点

熟练地进行分式乘除法、乘方的混合运算.

●教学难点

1、正确运用分式乘除法、乘方的运算法则。

2、关键是运算中“-”符号的正确处理. ●教学方法

师讲授、引导、启发学生讨论相结合，讲练结合。教学设计：

一、复习引入：

1、计算：-m ÷m ×

= 2、计算下列各题：

（1）2)2(a -= (2) 3)32

(-=

（3）4)2

-= . . . =（）

二、探索发现：

怎样进行分式的乘方呢？试计算：

（1）（m n ）3 （2）（m

n ）k

（k 是正整数）

（1）（m n ）3 =m n m n m n ??＝

)()

(m m m n n n ????＝________；（2）（m n ）4=m n

m n m n ?? ＝

)()

(m m m m n n n n ??????＝________；

（3）（

m n ）k =

个

k m n

m n m n ???＝)()(m m m n n n ?????? ＝___________. 即 n b

)(= （n 为正整数）

三、探索实践：

分

析]

第（1）（2）题

是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.

练习：1．判断下列各式是否成立，并改正.

（1）23)2(a b =25

2a b （2）2)23(a b -=2249a b - （3）3)32(x y -=3398x y （4）2)3(b x x -=2

9b x x - 2．计算

(1) 2

2)35(y

x （2）33

2)23(c b a -

[分析]第（3）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除. 解略

练习：2．计算

(1）3

2223)2()3(x ay xy a -÷ （2） 23322)(

)(z x z y x -÷- （3） )()()(42

2xy x

y y x -÷-?- (4)232)23()23()2(ay x y x x y -

÷-?-

三、课内小结：

1、分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.

2、分式的乘除与乘方的混合运算，应注意运算顺序：先做乘方，再做乘除. 四、板书设计：

五、课后作业：

1计算

(1) 3

32)2(a

b -

(2) 2

12)(+-n b

(3)4234223)()()(c a

a c

b a

c ÷÷ (4) )()()(2232b a a b a ab b a -?--?-

(5)、2

???

?????????

????????????? ??-÷???? ??-a a

b a b a b .

六、教学反思：

1、使学生掌握同分母、异分母分式的加减，能熟练地进行同分母，异分母分式的加减运算。

2、通过同分母、异分母分式的加减运算，复习整式的加减运算、多项式去括号法则以及分

式通分，培养学生分式运算的能力。

3、教学重点让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法。教学难点

§3.1 分式的加减法（-）

●教学目标

（一）教学知识点

1、使学生掌握同分母、异分母分式的加减，

2、能熟练地进行同分母，异分母分式的加减运算；培养学生分式运算的能力。

3、渗透类比、化归数学思想方法，培养学生的能力。（二）能力目标：

1.经历用字母表示数量关系的过程，进一步发展符号感.

2.并能类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则，发展有条理的思考及其语言表达能力. （三）情感与价值观目标;

1.从现实情境中提出问题，提高“用数学”的意识.

2.结合已有的数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气. ●教学重点

1. 让学生掌握同分母、异分母分式的加减法法则。

2. 能熟练地进行简单的异分母的分式加减法. ●教学难点

分式的分子是多项式的分式减法的符号法则，去括号法则应用。 ●教学方法

启发与探究相结合 ●教学过程

一、.创设现实情境，提出问题

［师］上一节我们学习了分式的乘除法运算法则，学会了分式乘除法的运算，这节课我

（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（v 1+v 32

）h .

（2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为v 23

h .

所以她走第一条路花费的时间比走第二条路少用（v 1+v 32）－v

鲁教版初三数学分式方程导学案(自己做的很实用)剖析

1.2分式的乘除法 1.会进行分式的乘除法的运算；类比分数乘除法的运算法则.探索分式乘除法的运算法则培养学生的创新意识和应用数学的意识. 会进行分式的乘除运算灵活运用所学的知识解题小组合作交流，精讲多练一.创设情境，引入新课上节课，我们学习了分式的基本性质，我们可以发现它与分数的基本性质类似，那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢？下面我们观察下列算式：——探索、交流 32×54=5342??,75×92=9 72 5??, 32÷54=32×45=4352??,75÷92=75×29=2 795??. 猜一猜a b ×c d = a b ÷c d = 与同伴交流. 观察上面运算，可知：两个分数相乘，把作为积的分子，把作为积的分母；两个分数相除，。即 a b ×c d =ac bd ; a b ÷c d =a b ×d c =ad bc . 这里字母a ,b ,c ,d 都是整数，但a ,c ,d 不为零. 如果让字母代表整式，那么就得到类似于分数的分式的乘除法. 二．探究新知 1.分式的乘除法法则分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似：两个分式相乘，两个分式相除， 2.例题讲解［例1］计算：（1）y a 86·2232a y ;（2）c ab 42·(-b a c 2 32). 分析：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式. ［例2］计算：（1）3xy 2÷x y 2 6;（2）(b a 2-)÷(2 )b a 分析：（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算；（2）当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路. 巩固练习 (1)2 2 543()512y x y x xy ? ?- (2)322 26()y x x y x x y ÷-?÷ (3) 222522223111212()()()6189a b a y ay cx c x b x -÷-?- 想一想（1）你会计算 22-+a a ·a a 21 2+吗？（2）两个分式相乘时，如果分子或分母是多项式，应当先怎样进行？ 3.做一做

沪科版七年级数学下册分式及其基本性质教案

9.1 分式及其基本性质教学目标：知识与能力通过类比的方法，是学生熟练的掌握分式的定义以及基本性质，并能够运用它来进行分式的约分和通分．过程与方法 1．通过简单的应用题，引导学生列式，由分数的式子自然转到分式的式子，从而引出分式的概念，导入新课． 2．通过相应的习题使学生准确的理解分式的概念．教学重、难点重点：分式的意义及基本性质难点：分式基本性质的灵活运用．教学环节新课导入：一个长方形的面积为s 2m ，如果它的长为a m ，那么它的宽为_____m ．上面的问题中出现了s a ，与整式有什么不同？一般的，如果a ，b 表示两个整式，并且b 中含有字母，那么式子 b a 叫做分式，其中a 叫做分式的分子，b 叫做分式的分母．整式和分式统称为有理数．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是： M B M A B A M B M A B A ÷÷=??=, （其中M 是不等于零的整式）．与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分．先思考约分的方法，再解题，并总结如何约分：若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分．约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式．引导学生用多种方法解题．（1)赋值法（2)增值代入作商法 1．取各分式的分母中系数最小公倍数；

2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到； 3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的； 4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母．例：约分 4 4422+--x x x 解： 4 4422+--x x x ＝2)2()2)(2(--+x x x ＝22-+x x ．说明：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分．约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式．分式的的变号法则 1．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号：（1）a b 65--；（2）y x 3-；（3）n m -2． 2．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：（1）21x x -；（2）3 22+--x x ．注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用．（2）当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号．

初三数学-分式方程

初三数学分式方程（1）一、学习目标： 1、了解分式方程的概念，了解增根的概念。 2、会解可化为一元一次方程的分式方程。 3、会检验一个数是不是分式方程的增根。二、教学重点难点分式方程的概念；解可化为一元一次方程的分式方程；会检验一个数是不是分式方程的增根。三、教学过程（一）复习导入 1、什么是分式方程? (2)邑 —4— x x 1 上述方程中，方程 ______ 分式方程。理由是：分母中含有 ____________ < 方程中含有分式，并且分母中含有 __________ ，像这样的方程叫做分式方程（二）讲授新课 1、如何解分式方程？去分母分式方程 ------------- 讨论：①方程（1）、方程⑵ 都有分母，解方程的共同方法是 _________________ 。 ②去分母的方法是（） 2、试一试，解方程：（注意验根），（1）右—（2）1 5 4 ；解：去分母（各项乘以公分母 ________ ） i x x 1 : 5 4 5 4 1 ' x x 1 约分得： x x 1 ；约分得：5 1 4 去括号： ;去括号：移项： ;移项： 1 合并同类项： !合并同类项： (1) 整式方程 5 4 x x 1 解：去分母（各项乘以最简公分母系数化为1 :

4 1 A 、有分母的项，乘以公分母，无分母的项可以不乘以最简公分母 B 、所有的项（有分母的项、无分母的项）都要乘以最简公分母小结：解分式方程时，可能产生 ___________ 方程的根，这种根叫做原方程的 ____________ 二解分式方程必须要验根 4、验根方法：把求得的未知数的值代入最简公分母「使最简公分母H o 的根是方程［使最简公分母二0的根是方程 _____ 5、例：解分式方程: 解：每项乘以最简公分母得 ______________ -1 x 1 检验：把x= _______ 代入最简公分母 _____________________ ??? x= __ （是或不是）原方程的根。（三）课堂练习 1、解分式方程（要注意验根） 4 （1）丄 1 x 1 解：每项都乘以最简公分母 ____________ 得: 3、分式方程的解试一试，解下列分式方程（注意验根） ⑴—丄 ⑵ x 2 x 2 解：每项都乘以最简公分母 ____________ x 1 2 x 2 x 2 x 1 1 x 2 x 2 解：每项都乘以最简公分母 _______________ x 1 1 x 2 x 2 (2) 2x

分式的基本性质

分式的基本性质学习目标： 1.理解分式的基本性质。 2.了解运用分式的基本性质进行分式的变形。 3.通过类比分数的基本性质，探索分式的基本性质，初步掌握类比的思想方法。 4.通过研究解决问题的过程，培养学生合作交流意识与探究精神重点：理解分式的基本性质。难点：运用分式的基本性质进行分式化简一．课前预习：活动1 复习分数的基本性质 1. 观察下列等式的右边是怎样从左边得到的？你能用分数的基本性质解释吗? （1）等式63=2 1的右边是怎样从左边得到的？（）（2）等式52=15 6--的右边是怎样从左边得到的？（） 2.分数的基本性质是什么？需要注意的是什么？类比分数的基本性质，你能猜想出分式有什么性质？分数的基本性质是______________________________________

______________________________________________ 活动2 类比得到分式的基本性质 1.若a 、x 、y 都是不为0的数，将 x 1的分子与分母都乘以y ，得到xy y 2.分式x 1与xy y 相等吗？ 3.将分式 ax x 2的分子与分母都除以x ，得到a 2，分式ax x 2与a 2相等吗？ 4.如何用语言和式子表示分式的基本性质？分式的基本性质是______________________________________ ___________________________________________（请用“不同颜色”画出你认为的关键词.）用式子表示是B A =())(??B A ； B A =)()(÷÷B A （其中M 是____________的整式）。（2）应用分式的基本性质时需要注意什么？活动3：合作探究 1.下列各式相等吗？为什么？（1）xy x 2 = )(2xy ；（2）ab b a + =)()(b a ab +

分式及其基本性质教案.doc

名师精编优秀教案同合九义校研究课教案课题：华师大版七年级下册 21.2.2 分式的基本性质教师：蒋正团班级：八、三班时间：2010年 3月10日教学目标： ·知识与能力通过类比的方法，是学生熟练的掌握分式的基本性质，并能够运用它来进行分式的约分和通分。 ·过程与方法 1 通过简单的应用题，引导学生列式，由分数的式子自然转到分式的式子，从而引出分式的概念，导入新课。 2 通过相应的习题使学生准确的理解分式的概念。 ·情感态度与价值观 1 通过学生比较熟悉的分数入手进行教学，降低教学难度，提高学生的学习兴趣，培养学生类比与比较的思想能力。 2 通过分数与分式的联系与区别的教学，使学生体会普遍联系的观点。教学重、难点 ·重点：分式的意义及基本性质·难点：分式基本性质的灵活运用。教学环节一、新课导入教师活动学生活动分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 . 可类比分数的基本性用式子表示是：质来识记。 AAMA A M , （其中M B BMBBM 是不等于零的整式）。与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分 . 二、时间与探索教师活动学生活动例 2：约分（ 1） 16x 2 y 3 ；（ 2） x 2 4 20xy 4 2 4x 4 x 解（2） x 2 x 2 4 4 ＝ ( x 2)( x 2 2) ＝ x 2 . 4 x ( x 2) x 2 说明：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式先思考约分的方法，再解题，并总结如何约分：若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分。

分式的基本性质同步练习1

分式的基本性质练习题一、填空题：(每空2分,共26分) 1. 写出等式中未知的分子或分母： ①x y 3= ()2 3x y ②) ()).(().(2 x xy y x x y x x +=+=+ ③ y x xy 257=( ) 7 ④ ) () ).( ()(1b a b a b a += -= - 2. 不改变分式的值，使分式的分子与分母都不含负号： ①=-- y x 25 ； ②=---b a 3 . 3. 等式 1) 1(12 --=+a a a a a 成立的条件是________. 4. 将分式b a b a -+2.05.03.0的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，那么变形后的分式为________________. 5. 若2x=－y ，则分式 2 2y x xy -的值为________. 三、认真选一选(每小题4分,共16分) 1. 把分式 y x x 322-中的x 和y 都扩大为原来的5倍，那么这个分式的值（） A ．扩大为原来的5倍 B ．不变 C ．缩小到原来的51 D ．扩大为原来的2 5倍 2. 使等式 27 +x =x x x 272+自左到右变形成立的条件是（） A ．x <0 B.x >0 C.x ≠0 D.x ≠0且x ≠－2 3. 不改变分式2 7132 -+-+-x x x 的值，使分式的分子、分母中x 的最高次数式的系数都是正数，应该是（） A. 27132+-+x x x B.27132 +++x x x C.27132---x x x D.2 71 32+--x x x 四、解答题:（共42分）

15.1.2 分式的基本性质2教案

15.1.2 分式的基本性质一、教学目标 1．使学生理解并掌握分式的基本性质及变号法则，并能运用这些性质进行分式的恒等变形． 2．通过分式的恒等变形提高学生的运算能力． 3．渗透类比转化的数学思想方法．二、教学重点和难点 1．重点：使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键． 2．难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形．三、教学方法分组讨论．四、教学手段幻灯片．五、教学过程 (一)复习提问 1．分式的定义？ 2．分数的基本性质？有什么用途？ (二)新课 1．类比分数的基本性质，由学生小结出分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，即： 2．加深对分式基本性质的理解：例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？由学生口述分析，并反问：为什么c≠0？解：∵c≠0，学生口答，教师设疑：为什么题目未给x≠0的条件？(引导学生学会分析题目中的隐含条件．)

解：∵x ≠0，学生口答．解：∵z ≠0，例2 填空：把学生分为四人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，并能小结出填空的依据．练习1：化简下列分式(约分) （1）2a bc ab （2）（3）教师给出定义：把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫分式的约分. 问：分式约分的依据是什么？分式的基本性质在化简分式时，小颖和小明的做法出现了分歧：小颖：小明：你对他们俩的解法有何看法？说说看！教师指出：一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式. d b a 24c b a 323223-()()b a 25b a 152 +-+-y x 20xy 5222x 20x 5y x 20xy 5= x 41xy 5x 4xy 5y x 20xy 52=?=

《9.1分式及其基本性质》教案4

9.1分式及其基本性质学习目标： 1、经历实际问题的解决过程，认识分式，并能概括分式. 2、掌握分式的基本性质，掌握分式约分方法，熟练进行约分. 学习重点： 1.探索分式的意义及让学生知道通分的依据和作用，学会分式约分的方法. 2.分式的值为某一特定情况的条件. 学习难点： 1、几个分式最简公分母的确定. 2、分子、分母是多项式的分式约分学习过程：填空: （1）面积为2平方米的长方形一边长为3米，则它的另一边长为______米. （2）面积为S 平方米的长方形一边长为a 米，则它的另一边长为______米. （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的住售价是______元. 观察你列出的式子，与以前学过的有什么不同？给出分式的定义：形如B A (A 、 B 是整式，且B 中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式，其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式. 注意：在分式中，分母的值不能是零. 例1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）x 1；（2）2x ；（3）y x xy +2；（4）33y x -. 例2、探究： 1、当x 取什么值时，下列分式有意义？（1）2-x x ；（2）141 +-x x .

2、当x 是什么数时，分式522 -+x x 的值是零？根据分式的意义判断. 3、x 取何值时，分式11 -+x x 的值为正？可能为负吗？ 4、x 取何整数值时， 16 -x 的值为整数？例3、已知分式b ax a x +-2，当x =3时，分式值为0，当x =-3时，分式无意义，求a ,b 的值. 可类比分数来解. 分式的基本性质: 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示是： M B M A B A M B M A B A ÷÷= ??=, （其中M 是不等于零的整式）. 与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分. 可类比分数的基本性质来识记. 分式的约分例4、约分（1）4322016xy y x -；（2）444 22+--x x x 说明：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分.约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式. 讨论：（1）求分式4322361,41,21xy y x z y x 的（最简）公分母. 分析：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，字母x 为底的幂的因式，取其最高次幂x 3 ，字母y 为底的幂的因式，取其最高次幂y 4，再取字母z .所以三个分式的公分母为12x 3y 4z .

2019届中考数学专题复习分式方程专题训练(含答案)

分式方程 A 级基础题 1．解分式方程3x －1x －2 ＝0去分母，两边同乘的最简公分母是( ) A ．x (x －2) B ．x －2 C ．x D ．x 2 (x －2) 2．(2018年海南)分式方程x 2－1x ＋1 ＝0的解是( ) A ．－1 B ．1 C ．±1 D．无解 3．分式5x 与3x －2 的值相等，则x 的值为( ) 4．(2018年湖南衡阳)衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为( ) A.30x －361.5x ＝10 B.30x －301.5x ＝10 C.361.5x －30x ＝10 D.30x ＋361.5x ＝10 5．(2017年四川南充)如果 1m －1＝1，那么m ＝__________. 6．(2018年广东广州)方程1x ＝4x ＋6 的解是________． 7．(2018年山东潍坊)当m ＝________时，解分式方程 x －5x －3＝m 3－x 会出现增根． 8．若分式方程x －a x ＋1 ＝a 无解，则a 的值为________． 9．某次列车平均提速20 km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶400 km ，提速后比提速前多行驶100 km ，设提速前列车的平均速度为x km/h ，则可列出方程________________． 10．解方程． (1)解分式方程：x x －1＋21－x ＝4； (2)(2018年四川绵阳)解分式方程： x －1x －2＋2＝32－x . 11.(2018年江苏泰州)为了改善生态环境，某乡村计划植树4000棵．由于志愿者的支援，实际工作效率提高了20%，结果比原计划提前3天完成，并且多植树80棵，原计划植树多少天？

《分式的基本性质》教案

《分式的基本性质》教案一、内容和内容解析 1．内容分式的基本性质． 2．内容解析本节课是在学生学习了分数的基本性质和分式的概念的基础上进行的．分式的基本性质是分式变形的依据，也是进一步学习分式的通分、约分及四则运算的基础，使学生掌握本节内容是学好本章及以后学习方程、函数等问题的关键，对后续学习有重要影响．分式的基本性质与分数的基本性质非常接近，只是将分数的基本性质中“乘（或除以）一个不等于0的数”替换成“乘（或除以）一个不等于0的整式”．这里的由“数”到“式”是数学中抽象化的表现．所以，本节课的重点是理解并掌握分式的基本性质，及其初步运用．二、目标和目标解析 1．目标（1）理解和掌握分式的基本性质．（2）灵活运用分式的基本性质进行分式的变形． 2．目标解析达成目标（1）的标志是：通过类比分数的基本性质，使学生理解和掌握分式的基本性质，使学生学习类比的思想方法，培养类比转化的思维能力．达成目标（2）的标志是：会用分式的进本性质探求分式变形的符号法则，使学生更好地掌握分式的基本性质，培养正确进行分式变形的运算能力．三、教学问题诊断分析在应用分式的基本性质时，分子和分母都要变形，而且都要乘（或除以）同一个不等于零的整式，避免学生出现只乘分子或只乘分母的错误，也要避免只乘分子和分母中部分项的错误，另外还要避免出现所乘（或除以）的整式不是同一个整式的错误．所以，本节课的难点是灵活运用分式的基本性质进行分式的变形．四、教学过程设计（一）情景导入 1．下列分数是否相等？可以进行变形的依据是什么？（1）3 4 和 15 20 ；（2） 9 24 和 3 8 ．解：（1）33515 44520 ? == ? ；（2） 9933 242438 ÷ == ÷ ．可以进行变形的依据是分数的基本性质．

《分式的基本性质》教案

§15.1.2 分式的基本性质一、教学目标 1．使学生理解并掌握分式的基本性质及变号法则，并能运用这些性质进行分式的恒等变形． 2．通过分式的恒等变形提高学生的运算能力． 3．渗透类比转化的数学思想方法．二、教学重点和难点 1．重点：使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键． 2．难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形．三、教学方法分组讨论．四、教学手段幻灯片．五、教学过程 (一)复习提问 1．分式的定义？ 2．分数的基本性质？有什么用途？ (二)新课

1．类比分数的基本性质，由学生小结出分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，即： 2．加深对分式基本性质的理解：例2 填空：（1） () 3 x xy y =， () 2 2 33 6 x xy x y x ++ = 解：∵x≠0，同理可化简第二个. （2） ()() 222 12 , a b ab a b a a b - == 学生自己解答. 把学生分为四人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，并能小结出填空的依据．练习1：

化简下列分式(约分) 例3（1）23 225;15a bc ab c - （2）（3）教师给出定义：把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫分式的约分. 问：分式约分的依据是什么？分式的基本性质在化简分式时，小颖和小明的做法出现了分歧：小颖：小明：你对他们俩的解法有何看法？说说看！教师指出：一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式. 彻底约分后的分式叫最简分式. 练习2（通分）：把各分式化成相同分母的分式叫做分式的通分. 229;69x x x -++22 6126. 33x xy y x y -+-y x 20xy 5222x 20x 5y x 20xy 5=x 41xy 5x 4xy 5y x 20xy 52=?=

初中数学分式方程典型例题讲解

第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义（一）分式的概念：形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义

初中数学 17.1.2 分式的基本性质(2)教案

17.1.2 分式的基本性质（2）教学目标 1．进一步理解分式的基本性质以及分式的变号法则。 2．使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤；教学重点让学生知道通分的依据和作用，学会分式通分的方法。教学难点几个分式最简公分母的确定。教学过程（一）复习与情境导入 1．分式324 x x +-中，当x 时分式有意义，当x 时分式没有意义，当x 时分式的值为0。 2．分式的基本性质。 (二)实践与探索 1、分式的的变号法则例1 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号：（1）a b 65--；（2）y x 3-；（3）n m -2. 例2 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：（1）21x x -；（2）3 22+--x x . 注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。（2）当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号。例3若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则分式 232y x 的值如何变化？若x 、y 的值均变为原来的一半呢？ 2、分式的通分（1）把分数6 5,43,21通分。解：126261621=??=，129433343=??=，12 10625265=??= （2）什么叫分数的通分？

答：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。 3．和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的公分母。 4．讨论：（1）求分式4 322361,41,21xy y x z y x 的（最简）公分母。分析：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，字母x 为底的幂的因式，取其最高次幂x 3，字母y 为底的幂的因式，取其最高次幂y 4，再取字母z 。所以三个分式的公分母为12x 3y 4z 。（2）求分式2241x x -与4 12-x 的最简公分母。分析：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即 4x—2x 2= —2x （x -2），x 2—4=（x+2）（x—2），把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它们的积，即2x （x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母。请同学概括求几个分式的最简公分母的步骤。 5．练习：填空：（1）()z y x z y x 43231221=；（2）()z y x y x 43321241=；（3） ()z y x xy 4341261=。求下列各组分式的最简公分母：（1）22265,41,32bc c a ab ；（2）；2)3(21,)3)(2(1,)2(31++--x x x x x （3）1 1,1,2222-++x x x x x 6、例3 通分（1） b a 21，21ab ；（2）y x -1，y x +1；答：1．取各分式的分母中系数最小公倍数；

17.1-分式及其基本性质教案

17.1分式及其基本性质第1课时学习目标： 1、经历实际问题的解决过程，认识分式，并能概括分式。 2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式。 3、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。学习重点：探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。学习难点：能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。学习过程：（一）复习导入填空：（1）面积为2平方米的长方形一边长为3米，则它的另一边长为_________ 米（2）面积为S平方米的长方形一边长为a米，则它的另一边长为_________ 米（3）一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的住售价是 _____ 元。 111 （4）根据一组数据的规律填空：1，-,—.............. （用n表示） 4 9 16 观察你列出的式子，与以前学过的有什么不同？给出分式的定义:

A 形如B （A、B是整式，且B中含有字母，B M0）的式子，叫做分式，其中A 叫做分式的分子,B叫做分式的分母。整式和分式统称有理式。注意：在分式中，分母的值不能是零。先根据题意列代数式，并观察出它们的共性：分母中含字母的式子。（二）实践与探索例1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）丄；⑵-；（3） 3 ；（4）3x y. x 2 x y 3 例2、探究： 1、当x取什么值时，下列分式有意义？ x x 1 （1）x 2 ；（2）4X 1。 x 2 2、当x是什么数时，分式2x 5的值是零？根据分式的意义判断。 3、x取何值时，分式」的值为正？可能为负吗？ x 1 4、x取何整数值时，—的值为整数？ x 1 例3、已知分式―_—，当x=3时，分式值为0，当x=-3时，分式无意义，求2ax b a,b的值。可类比分数来解。（四）小结与作业小结：分式的概念和分式有意义的条件。作业：

初中数学分式方程典型例题讲解

a c=ac,b a c= a p a0=1形如 A 【例1】下列代数式中：x1 x-y ，是分式的有：.π2 x-y,a+b , x+y , （1）x-4 x+4 （2） x2+2 （3） x2-1 （4）|x|-3 （5） a=“ ± . a±ac=bc±da(a≠0,c≠0); 第十六章分式知识点和典型例习题 3.分式的乘法与除法:b ? d bd a÷ c d= b d bd ? ac 【知识网络】 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m●a n=a m+n;a m÷a n=a m－n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=a m b n,(a m) n= 7.负指数幂:a-p=1 a mn 【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:b c b±c(a≠0) a a 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2 （一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： B(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 1 a-b x2-y2x+y , 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零如果分母的值是零，则分式没有意义. 【例2】当x有何值时，下列分式有意义 3x26-x1 x-1 x 2.异分母加减法则:b d bc c=ac± da ac题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义

八年级数学下册17.1.2分式的基本性质(1)教案华东师大版.docx

17.1.2 分式的基本性质（1）教学目标 :掌握分式的基本性质，掌握分式约分方法，熟练进行约分，并了解最简分式的意义。教学重点: 分式约分方法教学难点: 分子、分母是多项式的分式约分（一）复习与情境导入分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示是： M B M A B A M B M A B A ÷÷=??=, （其中M 是不等于零的整式）。与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分. 可类比分数的基本性质来识记。 (二)实践与探索例4、下列等式的右边是怎样从左边得到的？（1）22x xy x y x x ++= （2）1 121122-++=-+y y y y y （y ≠—1）. 特别提醒：对22x xy x y x x ++=，由已知分式可以知道x 0≠，因此可以用x 去除以分式的分子、分母，因而并不特别需要强调0x ≠这个条件，再如1 121122-++=-+y y y y y 是在已知分式的分子、分母都乘以y+1得到的，是在条件y+1≠0下才能进行的，所以，这个条件必须附加强调。例5：不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。（1）y x y x 32213 221-+；（2）b a b a -+2.05.03.0. 仔细观察分母（分子）的变化利用分式的基本性质来解题。深入理解。尝试解题。例6：约分

（1）4322016xy y x -；（2）4 4422+--x x x 解（2）44422+--x x x ＝2)2()2)(2(--+x x x ＝2 2-+x x . 说明：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式. 练习：约分： 222(1)3ax y axy 2()3()a a b b a b -++（2）23()()a x x a --（3）242x xy y -+（4） 2239m m m --（5） 299198-（6）先思考约分的方法，再解题，并总结如何约分：若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式. （四）小结与作业：请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质分式的约分运算，用到了哪些知识？让学生发表，互相补充，归结为：（1）因式分解；（2）分式基本性质；（3）分式中符号变换规律；约分的结果是，一般要求分、分母不含“－”。作业：（五）板书设计分子分母是单项式例约分分子分母是多项式 (六)教学后记

分式的概念及其基本性质优秀教案

9.1分式（1）教学设计一、教材分析 1.内容：分式的概念，分式有意义的条件。 2.内容解析：分式是描述实际问题中两个量之比的一类代数式。从运算角度看，分式表示两个整式相除的商，这与分数表示两个整数相除的商类似。正因为都是表示两个量相除的商，因此，分式与分数具有相似的基本性质和运算法则、相似的研究思路和方法。分式是分数的分子分母分别进行符号抽象的结果，分式是分数的一般化，分数是分式中字母取一些特殊值时具体的结果。本课是分式一章的起始课，核心是分式的概念。作为起始课教学，需要引导学生类比分数的学习构建分式研究的整体思路和方法，在这一过程中能发展学生系统结构抽象的素养；类比分数表示整数运算结果的方法，研究整式的运算，产生分式，抽象分式概念,类比有理数的概念抽象有理式的概念，发展学生数学概念抽象的素养。因此，本课的重点是：类比分数抽象分式的概念，整体构建分式的研究思路和方法。二、目标与目标解析 1.目标（1）了解分式的概念和分式有意义的条件。（2）能根据实际情境列出分式。（3）能类比分数抽象分式的概念，提出分式研究的整体思路和方法。 2.目标解析 (1)目标（1）要求学生能判断一个代数式是否是分式，知道分式与分数、分式与整式的关系，能确定分式有意义的字母取值范围；（2）目标（2）要求学生能根据实际问题中的数量关系列出分式；（3）目标（3）要求类比分数得到分式的概念，提出分式研究的整体思路“定义——性质—运算”。三、教学问题诊断分析学生已经学习过整式及其运算，分数及其运算，这为分式的学习奠定了知识基础，提供了学习经验。学生从字面上理解分式的概念并不困难，难的是理解分式所反映的数量关系的本质，理解分数与分式、整式与分式之间的联系与区别。因此，设计合理的活动，让学生类比分数，经历分式概念的形成过程是帮助学生突破难点的关键，也是发展学生数学抽象素养的抓手。四、教学整体思路从整数四则运算的封闭性出发，引导学生回顾引入分数表示整数的商的做法；在此基础上，引导学生类比这一思路，考察整式四则运算的封闭性，用类似分数的方法表示两个整式相除的商，发现一类新的代数式，在这个过程中，插入字母表示数的抽象活动；接着类比分数提出研究这类新代数式的整体思路：用定义明确研究对象——探索性质——研究运算；然后，让学生列出实际问题中的分式，类比分数概括分式的本质属性——两个整式的商，分母含有字母；再给出分式的定义，用数系扩充的思想指导学生类比从整数到有理数的扩充过程得到有理式的概念;最后引导学生辨别分式与整式、分式与分数的联系与区别，确定分式有意义的条件。五、教学过程设计 1.类比思考，发现分式问题1任意给出两个整数，计算其和、差、积、商，计算的结果一定是整数吗？师生活动：教师引导学生总结：任意两个整数的和、差、积一定是整数，商则不一定是

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