酒精含量
酒后血液中酒精含量的数学模型
摘要:本文针对酒后驾车人员血液中酒精含量是否符合驾车标准这一问题，详细分析了人体对酒精的吸收，以及吸收后的分解过程。并建立了血液中酒精含量随时间变化的数学模型，以便了解酒后不同时段，血液中的酒精含量有什么规律。对于酒后不同时段，根据数学模型来计算出血液中的酒精含量，针对《车辆驾驶人员血液、呼吸酒精含量阈值与检验》的国家标准，来给出酒后人员经过多长时间，才符合驾车标准。
本文参考药物在体内的分解模型（房室模型），把胃看成是酒精吸收的一个中间容器（吸收室），考虑胃与体液（血液看成是体液的一部分）之间的酒精的渗透关系，主要考虑胃内酒精向体液的渗透，以及体液中酒精的分解，建立体液中酒精含量的微分方程。再通过体液中酒精含量与浓度之间的关系，转换成关于体液中酒精浓度的微分方程。针对短时间内快速饮酒的情况（在很短的时间内所饮酒全部注入吸收室），如果我们记吸收室（胃）内酒精量为)(0t x ，中心室（体液）内的酒精量为)(1t x ，由吸收室到中心室的酒精转移率系数为01k ，而由吸收室分解排放的酒精转移系数为k 。则我们可以建立微分方程如下：
)(1t x
＝01k )(0t x －k )(1t x 此微分方程说明：在一个很小的时间段内，中心室（体液）中酒精的改变量可由两部分来决定，一部分是由吸收室转移得到，一部分是分解排除。然后根据边界条件，以及浓度与酒精量和酒精体积的关系
1x ＝1c 1v
其中，1c 为中心室的酒精浓度，1v 为中心室的体积，解出微分方程的解析解，形式如：
)(1t c ＝)()
(010101t k kt e e k k k A ----， A 与吸入酒精量及体重有关。用此解去拟和试验数据，得到参数01k ，k 的值。这样就得到了快速饮酒时体液酒精浓度与时间的函数关系。
接下来我们又根据此模型对长时间饮酒的情况做了分析，把饮酒时间适当分割，每个时间段看成是快速饮入一定量的酒，用多个快速饮酒去模拟长时间饮酒的情况，进而得到了长时间饮酒时血液酒精浓度随时间变化的函数关系。
1、 问题的提出：
据报载，2003年全国交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当比例。
针对这种严重的交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克/百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克/百毫升）。
大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
我们将参考下面给出的数据，建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：
1、对大李碰到的情况做出解释；
2、在3瓶啤酒或半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，分别对以下情
况进行分析：
1）酒在很短时间内喝的；
2）酒在较长一段时间（比如2小时）内喝的。
3、怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。
4、根据模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？
参考数据
1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。
2.体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中的
2、问题的分析
考虑饮酒后酒精在人体内的变化情况，酒精被饮入体内首先是进入胃中，然后再随着血液循环进入体液，然后再由体液分解排出体外。所以我们可以对问题进行如下化简：在酒精吸收和分解的过程中，我们考虑酒精在进入胃的过程中没有损失，而胃内的酒精只是在向体液中渗透，并不考虑体液中的酒精反向渗透回胃内。因为酒精在体液中的浓度和酒精在血液中的浓度大体上是一样的，所以我们不把血液和体液分开来考虑，而把它们看成是一个整体。所以我们建立模型时就把胃看成了一个空间，把血液和体液整体看成了一个空间，而这两个空间的关系是酒精从胃渗透向体液，而体液中的酒精只是通过分解排出。
（1）对问题一的分析
首次饮酒后经过了六个小时后再次饮酒，这个时候血液中的酒精浓度计算应该是，首次饮酒在血液中的残留继续分解，而第二次饮酒还要经过一个吸收和分解的过程，所以再过八小时测出的血液中的酒精浓度和首次饮酒也有关系。
（2）对问题二的分析
在短时间喝一定量的酒，经过模型可直接求解出各个时刻的血液酒精浓度，而对于长时间饮酒，我们可以认为酒是匀速饮入，我们对时间进行分割，然后在每个小时间段内看成是快速饮入定量的酒。在每个小时间段内用模型模拟。
（3）对问题三的分析
无论是短时间饮酒，还是长时间饮酒，我们都可以根据模型很容易求出血液中酒精的含量在何时最大。
3、模型的假设
这个问题的本身尚有一些不确定的因素，比如说身体素质就会影响人对酒精的吸收与分解。为了使问题简化，我们给出了如下的假设：
（1） 酒精从胃部向体液的转移速率，及向外排除的速率分别与胃部和体液中的
酒精浓度成正比。
（2） 体液总体积保持不变。
（3） 酒精只是通过胃部进入体液。
（4） 酒精并不会从体液反向渗入到胃部。
（5） 血液和其它体液看成一个整体。
（6） 酒精只会通过体液排出体外。
4、符号的说明：
)(0t x 吸收室（胃）内酒精量 )(1t x 中心室（体液）内的酒精量
01k 由吸收室到中心室的酒精转移率系数 k 由吸收室分解排放的酒精转移系数 )(1t c 体液中酒精的浓度 1v 体液的体积 0D 饮入酒精量0f 酒精由吸收室转移到中心室的速率
5、模型建立
基于上述对问题的讨论，对于短时间内饮入酒的情况我们可以建立下述模型
)(0t x
=-01k )(0t x )(0t x =0D 解此微分方程得，)(0t x =0D t k e 01-（1）， 所以可知，)(0t f =01k 0D t k e 01-。
对中心室创建微分方程，可得，
)(1t x
＝01k )(0t x －k )(1t x
考虑到，1x ＝1c 1v 及（1） )(1t c =t k e v k D 0110101--)(1t kc )0(1c =0
解此微分方程得 )(1t c =)()
(01011010t k kt e e k k v k D ---- （01k ≠k ） 接下来，我们通过题中所给实验数据来拟和求出两个系数，01k ，k
每瓶啤酒的体积为640毫升，啤酒的酒精度约为4%，酒精的密度为800毫克/毫升，所以可以计算得到每瓶啤酒中含有酒精为20480毫克。体液约占体重的65%-70%，体液的密度约为1.05510?毫克/百毫升。可以计算70公斤的人的体液约为467百毫升。所以对于题中实验数据，可以确定0D （代表饮入的酒精量，单位为毫克）等于40960毫克，1v （人体的体液的体积，单位为百毫升）467百毫升。又体液中酒精浓度和血液中酒精浓度相同。
用函数)(1t c =)()
(01011010t k kt e e k k v k D ---- 拟和题中实验数据得图形如下：
01k =2.6853 k =0.1474
所以得到拟和函数：)(1t c =)(92.8029 1474.06853.2t t e e --- 。y 轴表示酒精血液浓度，x 表示时间。
6、模型求解
下面对书中的问题用模型做出解答
（1）首先给出快速饮酒一瓶时血液中酒精浓度的函数)(1t c =)(46.4014 1474.06853.2t t e e --- 做出图象：
大李中午12点饮酒一瓶啤酒经过六小时，血液中酒精浓度19.1620mg/dml ,所以六小时后大李通过了检查。
大李凌晨2点再一次检查时血液中的酒精含量应为两部分组成，第一部分是中午12点喝的酒经过了14个小时后在血液中的残量，应为5.8927 mg/dml ，它属于一直分解后的残量，第二部分是晚上6点又喝了一瓶酒后经过吸收和分解的过程，在过了八小时后在血液中的浓度为：14.2695 mg/dml ，所以血液中的酒精总浓度为20.1622 mg/dml ，大于20 mg/dml ，所以没通过检查。（以上数据均为通过模型精确计算得到）。
（2）（一），给出快速喝进3瓶啤酒后的血液酒精浓度随时间变化的函数：)(1t c =)(139.2042 1474.06853.2t t e e ---，图象为：
经过计算，在饮酒13.1629小时内血液中酒精浓度大于20mg/dml，违反标准。
在饮酒3.7574小时内血液中酒精浓度大于80mg/dml，属于醉酒驾车。
（二），如果酒是在较长一段时间内（2小时）喝的，我们可以认为酒是匀速饮入，我们对时间进行分割，然后在每个小时间段内看成是快速饮入定量的酒。在每个小时间段内用模型模拟，如果我们把时间分为6等份，也就是每20分喝半瓶啤酒，每次饮酒看成是快速饮酒，用快速饮酒模型分别模拟得图象：（下图：3瓶啤酒六次速饮各曲线）
在每个时间点把每个函数值相加就得到在这一时刻，血液中酒精的浓度，经过计算在14.0113小时内血液中酒精浓度大于20mg/dml.属于违规。
在饮酒4.6051小时内血液中酒精浓度大于80mg/dml，属于醉酒驾车。
（3）对于快速饮酒，无论饮酒量为多少（如下图），酒会在很短的时间内进入到胃中，这时胃中的酒精浓度会短时间内达到很高，这时酒精高速渗透向体液，随着时间的增加，体液中排出酒的速度会增加，而当体液排出酒精的速度等于胃向体液渗透的速度时，体液中的酒精浓度达到最大，对于快速饮酒，会很快达到最大。经过计算，快速饮1或2或3瓶酒时，体液中酒精浓度达到最大的时刻均为：1.1015小时。
对于在较长时间内喝完酒，因为酒可看成是匀速饮入，酒精渗入体液的速度相对增加较慢，相对于快速饮酒，血液中酒精浓度达到最大值的时间要靠后，经过计算对于上述2小时喝三瓶酒达到最大的时间为：2.3416小时。
（4）根据对上述求解的分析，得出以下结论：（一）每天不论短时间内还是长时间内饮过量的酒，就不能在很长一个时间中恢复标准，题（2）中的两个数据：在饮酒13.1629小时内血液中酒精浓度大于20mg/dml，14.0113小时内血液中酒精浓度大于20mg/dml，这样就不能驾驶。（二）即使长时间内均匀时间段中喝少量的酒，人体血液中的酒精的含量也会积少成多，超过标准。题（2）中的第二模型很直观的反映出。因此，我们要做到适量，适时的喝酒。
(5)给想喝酒的司机一点建议
酒后驾车是导致交通事故的重要危险因素之一。目前我国在饮酒与交通安全方面的形式十分严峻,据我国公安部统计，近10年来因饮酒所导致的道路交通事故，人员伤亡及经济损失仍逐年增加，2002年因饮酒所导致的道路事故数、死亡人数、受伤人数和经济损失分别达到1996年的262.3%，184.4%，325.3%和144.3%。
但是酒作为人类社会交往活动的一种载体与介质，在人类文化和精神生活中的多样性发展过程中扮演了重要角色，丰富了人类的物质和精神生活。但它同时也带来了一些不良的后果，而车与酒的“完美结合”，似乎更使事故的发生率成倍的增加。
或许让驾车的人滴酒不沾那是不可能的，那么想喝点酒的司机朋友们千万要注意几个问题。
首先，不要天天，餐餐不离酒。因为酒精在人体体液中的吸收和分解是受时间影响的。你若6小时喝一次，你每天喝的酒中的酒精依然有一部分残留在体液中，那么到一定时间，你体液中的酒精的浓度自然超过20毫克/百毫升，那样的话就违反的国家标准。
其次不饮急酒，不饮空腹酒，饮酒要有下酒菜，最好先吃一些主食，边吃边饮。这样可以延续酒精的吸收，减少对胃粘膜的过度刺激。
再则，若在中午的时候喝了一定量的酒，大概一瓶以上，那样的话，下午出车最好应在喝完酒两小时后，因为酒精在体液中的浓度达到最高是在喝完一个半小时左右。否则
极易出事。
除此之外，在各种应酬中还应掌握几个原则：饮酒要适量，以舒服为原则，不能逞英雄；身体不适，情绪不良尽量避免饮酒，以免加重症状。
“醉里从为客，诗成觉有神”，“俯仰各有志，得酒诗自成”，酒不仅是一种物质的存在，也是一种文化的象征。酒是一个变化多端精灵，它既缠绵如梦萦，柔软如棉缎，但它也让人觉得狠毒如恶魔，让人沉到最深渊最底处。
司机一滴泪，亲人两行泪！司机朋友们，为了你的安全，他人的安全，更为了让你的亲人放心，请你们健康的饮酒！安全的驾车！
7、模型的评价：
①.利用MATLAB数学软件进行编程求解，所得结果误差小，数据准确合理。
②.模型通过严密的理论推导，能够比较准确地反映实际情况。
③.对各种模拟给出了直观的图形，便于更好的分析和解决问题。
④.在建立模型的时候，有些假设有点理想化。
参考文献：
[1].姜启源，数学模型（第133页到137页），北京，高等教育出版社，1993年；
[2].满晓宇，战胜MATLAB必做练习50题（第86页到89页），北京，北京大学出版
社，2001年；
[3].精锐创作组科学运算完整解决方案（第79页到90页），北京，人民邮电出版
社，2001年；
[4].李淳廉，酒精如何被人体吸收，https://www.wendangku.net/doc/8210685967.html, 2004-9-18
附件：
以下是本文用到的MATLAB编程的一些程序
程序一(拟和题中所给试验数据的程序, 该程序用来拟和短时间内喝2瓶啤酒的图象) nihe.m
xdata=[0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16]; ydata=[30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4 ]; x = lsqcurvefit(@myfun7,[1 2],xdata, ydata)
xi=(0.25:0.05:16);
zi= (40960*x(2)./(467*(x(2)-x(1)))).*(exp(-x(1).*xi)-exp(-x(2).*xi)); hold on
plot(xi,zi,'r')
grid on
plot(xdata,ydata,’*’)
myfan7.m
function F = myfun7(x,xdata)
F = (40960*x(2)./(467.*(x(2)-x(1)))).*(exp(-x(1).*xdata)-exp(-x(2).*xdata));
0246810121416
010
20
30
40
50
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80
90
0246810121416
020
40
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100
120
140
0246810121416
010
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