2006_全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.
易拉罐形状和尺寸的最优设计
摘要
本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。
在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2
R H=（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6
R H=时，表面积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2
=。
R H b 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24
+==(h为
H h R r
圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5
r→时
H h R
+≈，0
材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。
在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，====时，可以得到优于现实中易拉罐的设计方案。
r h R H
2.2,0.75,
3.93, 6.86
最后，本文总结了此次数学建模中有益的经验--在数学建模过程必须灵活应用从简到繁、由易到难不断扩展的研究方法，并且要充分发挥数学软件在优化设计中无可比拟的优势；同时，通过此次数学建模比赛深刻体会到了数学工具在生产实践中的重要作用。
关键词：易拉罐最优设计材料体积 lingo软件
文中符号注解
R:圆柱半径
r:圆台半径
H:圆柱高
h:圆台高
S:易拉罐表面积
V:易拉罐体积
MIN:最小化
为方便在LINGO软件中计算，定义：
X1:在软件LINGO中的圆柱半径（R）
X2:在软件LINGO中的圆柱高（H）
X3:在软件LINGO中的圆台半径（r）
X4:在软件LINGO中的圆台高(h)
第一问：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们以为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明：如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
表1：数据测量结果
1(mm) 2(mm) 3(mm) 4(mm) 平均（mm）D1(罐盖直径) 57.84 58.30 58.04 58.60 58.20
D2（罐身直径）65.70 65.56 65.51 65.58 65.60
D3（罐底直径）47.56 47.62 47.18 47.74 47.53
X1（罐盖厚度）0.314 0.302 0.315 0.310 0.310
X2（罐身厚度）0.108 0.110 0.114 0.110 0.111
X3（罐底厚度）0.327 0.320 0.339 0.344 0.333
H1（罐盖高度）10.30 10.98 10.42 9.96 10.42
H2（罐身高度）101.98 102.06 102.36 101.92 102.08
H3（罐底高度） 5.62 5.30 5.12 4.86 5.23
L（罐盖斜边长度）0.193 0.204 0.210 0.201 0.202 拉环长度42．53 42．48 42．48 42．51 42．50
注：数据由测量可口可乐355ml易拉罐所得。
本文测量以上数据是为了在以下建模中，提供数据和验证结果。重要的是，拉环长度与易拉罐项部直径相差约1.53厘米左右，正好是指头厚度。显然是使用方便设计的。
第二问设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
一问题重述
一个饮料量为355毫升的易拉罐，找出易拉罐的最优设计。假设它是一个正圆柱体，在不考虑易拉罐受外界影响下，求在正圆柱体的表面积最小时，底半径r与高度h的比值。
二问题分析
假设最优化条件为保证容积的情况下，使制作易拉罐所需材料最省（表面积为最小）。在表面积为最小时，设圆柱形的体积V为常数，求底半径r与高度h的比值，如果能求出一定比例，就能找出模型最优设计。在建立模型之前，必须考虑易拉罐的厚度，一种是在考虑节约材料前提下，另一种是在考虑材料受力的情况。
三模型假设、建立与求解
（一）易拉罐整体厚度相同时的最优设计模型
1、假设：（1）易拉罐是正圆柱体
（2）易拉罐整体厚度均相同
2、 确定变量和参数：设易拉罐内半径为R ，高为H ，,厚度为a ，体积为V ，其中r 和h 是自变量，所用材料的面积S 是因变量，而V 是固定参数，则S 和V 分别为：
()()2
2
22S R a a R a H R H πππ=+?++?-
22332422aR a R a HRa Ha πππππ=++++
2V R H π=， 2
V
H R π=
设()2,g R H R H V π=- 3、 模型建立：
()min ,0,0
S r h R H >> (),0g R H =
其中S 是目标函数，(),0g R H =是约束条件，V 是已知的，即要在体积一定的条件下求S 的最小值时，r 和h 的取值是多少
4、模型求解
因为按照实际测量数据可知a
r ，所以带2a ，3a 的项可以忽略，且2
V
H R
π=
，则有 ()()22,2aV
S R H R aR R
π=+
求()(),S r h r 的最小值，令其导数为零，即()(),0S R H R '=，解得临界点为
3
2V
R π
=，则3
2
32222V V
H R V π
ππ==?=?? ?
??
因为()344aV S R a R π''=+，则31202V S a ππ??''=> ? ???
，所以当R:H=1:2时，是S 最优解
5.模型结论
在假设易拉罐是正圆柱体且厚度均相同的条件下，当体积为固定参数，而表面积最小时，通过对面积求导，得到高是半径的两倍，r:h=1:2，此时，模型最优。
（二） 易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同时的最优设计模型
1、假设：（1）易拉罐是正圆柱体
（2）易拉罐顶盖、底盖厚度为3a,其它部分厚度为a
2、确定变量和参数：设饮料内半径为R ，高为H ，体积为V ，易拉罐顶盖、 底盖厚度为a,其它部分厚度为b 。其中r 和h 是自变量，所用材料的体积S 是因变量，而a,b,c 和V 是固定参数。则S 和V 分别为：
()()2
2
223S R a a R a H R H πππ=+?++?-
223261262a R a R a RaH a H πππππ=++++
2V R H π=，2
V
H R π=
设()()2
12V x x π=()2,g R H R H V π=-
3、模型建立：
()min ,0,0
S R H R H >> (),0g R H =
其中S 是目标函数，(),0g R H =是约束条件，厚度比例与V 是已知的，即要在体积V 一定的条件下求r 和h 的取值是多少时体积S 最小
4、模型求解
因为按照实际测量数据可知a
R ，所以带2a ，3a 的项可以忽略，且2
V
H R
π=
，则 226aV
S a R R
π=+
求()(),S r h r 的最小值，令其导数为零，即()(),0S R H R '=，解得临界点为
3
6V
R π
=，则3
2
3
6626V
V
H R V π
ππ==?=?
? ???
因为()3412aV S R a R π''=+，则34806V S a ππ??''=> ? ???
，因此当H=6R 时，S 为最优解
观察模型（一）与模型（二），可见当厚度比例不同时，半径与高的比不同，似
乎有一定的联系，因此我们假设顶与底盖厚度为ab ，壁的厚度为a ，其中b 为比例系数，则
()()2
2
22S R a ba R a H R H πππ=+?++?-
22322422abR a bR a b HRa Ha πππππ=++++
因为按照实际测量数据可知a R ，所以带2a ，3a 的项可以忽略，且2
V
H R π=
，则有 222aV
S ab R R
π=+
求()(),S r h r 的最小值，令其导数为零，即()(),0S R H R '=，解得临界点为
3
2V
R b
π=
，则3
2
32222V V
H b bR V b π
ππ==?=?? ?
??
因为()344aV S R ab R π''=+，则31202V S ab b ππ??''=> ? ???
，因此当R:H=1:2b 时，S 为最优解
5.模型结论
在假设易拉罐是正圆柱体，且顶盖、底部的厚度是罐身的三倍的条件下，当体积为固定参数，而表面积最小时，通过对表面积求导，得到半径与高的比是一比六，R:H=1:6，此时，，观察模型（一）与模型（二），可见当厚度比例不同时，半径与高的比不同，似乎有一定的联系，因此本题假设顶与底盖厚度为ab ，壁的厚度为a ，其中b 为比例系数，则R:H=1:2b
四、模型评价
在不考虑厚度的情况下，考虑节约材料前提下得到，底半径r是高度h的一半时，圆柱的表面积最小。考虑易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同的情况下，考虑了材料的厚度，因此，建立顶端是侧壁的三倍厚度（因为此比例有利于罐身受力，便于开盖），高度h是底半径r的6倍时，圆柱的表面积最小。第一二种模型相较之下，第二种模型更费材料，第一种模型设计更优。所以，在不受力的情况下，假设易拉罐是一个正圆柱体，当底半径r是高度h的一半时，模型最优。不过，本文通过实际数据发现，厂商制作易拉罐时，不单单是考虑材料最省，可能还考虑到开盖时所受到的压力，外形美观等因素，由于能力有限暂时无法解释。
第三问：设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
一、问题描述
通常，在现实生活中，本文所见地易拉罐都不是单纯的正圆柱体，一般都是混合的三维图形。由于实际生活中，易拉罐是受到外力的影响（如开盖时的拉力，堆放时的压力等等），因此，本文依照生活中的易拉罐，设易拉罐的中心纵断面如图1所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。通过计算和测量，在理论的基础上，建立易拉罐最优设计的模型。
图1
二、问题分析
本文假设最优化条件为保证容积的情况下，使制作易拉罐所需材料最省（表面积为最小）。由于易拉罐形状不是单纯的正圆柱体，所以本文建立模型时，先假设易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体。然后，考虑易拉罐的厚度，在厚度一致时，利用lingo 软件，计算出模型的最优解；通过本文观察发现易拉罐顶盖的厚度是罐身的三倍，所以，假设另一种模型当易拉罐顶盖、底盖厚度为a ，其余部分为b ，且a:b=3：1，体积V=355ml 时，同样利用lingo 软件，计算出模型的最优解。
三 模型假设、建立与求解
（一）第三种易拉罐形状和尺寸的最优设计模型
1、假设：（1）易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体 （2）易拉罐整体厚度均相同
2、确定变量和参数：设易拉罐顶盖、底部半径为R ，正圆柱体高为H ，正圆台高为h,体积为V ，其中R,r,H,h 是自变量，所用材料的体积S 是因变量，而V 是固定参数，则S 和V 分别为：
()()()2
2222S R r RH R r h R r πππ=+++++-
()2221
3
V R H R Rr r h ππ=+++
设()()2221
,,,3
g R r H h R H R Rr r h V ππ=+++-
3、模型建立：
()min ,,,0,0,0,0
S R r H h R r H h >>>> (),,,0g R r H h =
其中S 是目标函数，(),,,0g R r H h =是约束条件，V 是已知的，即要在体积一定的条件下求表面积最小值时，R ，r ，H ，h 的取值各是多少
4、模型求解
利用LINGO 求解，设R=x1,r=x3,H=x2,h=x4,则
()()
()
()()()()()()()()()
2
2
2
2
1321213413S x x x x x x x x x π
ππ=+++++-
()()()
()()()
()()2
2
2
112113343
V x x x x x x x ππ
=+++
利用LINGO 计算结果（见附表一），得 H+h=2R=4r 时，S 为最优解
5.模型结论
在易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体，且厚度均相同的前提下，当体积为固体参数，表面积最小时，利用软件（LINGO ）计算，得到圆台的高与圆拄的高等于两倍圆拄的半径，同时也等于四倍的圆台的半径，H+h=2R=4r ，模型最优。
（二） 第四种易拉罐形状和尺寸的最优设计模型
1、（1）易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体 （2）易拉罐整体厚度 （3）V=355ml
2、确定变量和参数：设易拉罐顶盖半径为，底盖半径为R ，正圆柱体高为H ，正圆台高为h,体积为V ，其中R,r,H,h 是自变量，所用材料的体积S 是因变量，而V 是固定参数，则S 和V 分别为：
()()()2
2222S a R r RHb b R r h R r πππ=+++++-
()2221
3
V R H R Rr r h ππ=+++
设()()2221
,,,3
g R r H h R H R Rr r h V ππ=+++-
3、模型建立：
()min ,,,0,0,0,0
S R r H h R r H h >>>> (),,,0g R r H h =
其中S 是目标函数，(),,,0g R r H h =是约束条件，V 是已知的，即要在体积一定的条件下求表面积最小值时，R ，r ，H ，h 的取值各是多少
4、模型求解
利用LINGO 求解，设R=x1,r=x3,H=x2,h=x4,且a=0.333,b=0.111 则
()()(
)
()()()()()
()()()()
2
2
2
2
0.333132120.1110.11113413S x x x x x x x x x π
ππ=++?+?++-()()()
()()()
()()2
2
2
112113343
V x x x x x x x ππ
=+++
利用LINGO 计算结果（见附表二），得 4.5H h R +≈，0r →时，S 为最优解
5.模型结论：
在假设易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆拄体，且厚度不同，顶盖、底部半径是罐身3倍的条件下，当体积为固定参数，而表面积最小时，通过软件（LINGO ）得到H+h 约等于4.5R ，0r →，模型最优。
四、模型评价
以材料节约、实用为基础，建立易拉罐的形状和尺寸最有设计的模型。第三个模型优点在于实用，第四个模型更为优化。因为，本文在建立模型时发现，模型四在制作过程中，所用材料更为节约，造价更低，所以，第四种模型更为优化。
第四问：利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的
关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。
一、对现有易拉罐的解释
如果增加两个标准，考虑易拉罐的稳定性和使用的方便性。考虑稳定性时，只能采用模型二与模型四的设计。将厚度比例本题视为已知条件时，代入测量所得的数据，并利用LINGO 求解模型二
目标：求()22min 61262S a r ar a rh ah π=++++
条件：2V r h π=
设r=x1,h=x2,V=355,a=0.111,在LINGO 求解（见附录三）。比较模型二与第三问中模型四的结果，易见模型四比较优化。但模型四脱离了实际，因为实际中需要在顶盖设计一个拉环，所以r 必需大于零。
下面考虑r 取不同值时，模型的优化程度。模型仍为：
()()(
)
()()()()()
()()()()
2
2
2
2
min 0.333132120.1110.11113413S x x x x x x x x x π
ππ=++?+?++- ()()()
()()()
()()2
2
2
112113343
V x x x x x x x ππ
=+++
r 分别取0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，3.0，3.5，4.0，5.0，6.0时，利用LINGO 计算模型中R ，H ，h ，S 的最优值（见表2）：
表2
r 0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
2.6
2.7
R 3.113 3.115 3.121 3.133 3.161 3.170 3.180 H 10.70 10.61 10.49 10.35 10.21 10.19 10.16 h 2.43 2.19 1.96 1.70 1.36 1.28 1.18 S 38.13 38.61 39.46 40.73 42.49 42.91 43.36
表2（续）
由表2可见当r 大于3时，图形已非最优，省去后面的结果。即当r 小于3时，S 的值都小于模型二的结果，因此可以得出结论：模型四比模型二的设计更优。 既然模型四比模型二省材料，那么是否可以把模型四的正圆柱底部也改成一个正圆台？
考虑上、下都为圆台的设计方案（模型五），材料体积S 的方程如下：
r 2.8
2.9
3.0
3.5
4.0
5.0
6.0 R 3.192 3.206 2．394 1.942 1.401 0 0
H 10.14 10.12 0
5.93 4.48
h 1.08 0.96 15.47 14.86 14.38 13.56 9.42 S 43.83 44.33 44.53 45.11 46.32 51.35 61.02
()()2
22min 222S a r RHb b R r h R r πππ=++++-
()2221
3
V R H R Rr r h ππ=+++=355
利用软件（LINGO ）计算（见附录四），得S=30.20864
将上述S 与模型四的结果比较， 易见上下都为圆台的设计方案更优。但考虑到存放方便时，，这样易拉罐“站”不稳，同时“易拉罐”一定需要有一个拉环，如果设计在项部（考虑使用方便），r 必需大于零。
进一步考虑上下都为圆台时，r 的合理取值。 因为 ()()2
22222S a r RHb b R r h R r πππ=++++-
()2221
3
V R H R Rr r h ππ=+++=355
利用LINGO 分析r 分别取0.5，1.0，1.5，2.0，2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，3.0得出最优解时R ，H ，h ，S 的值（结果见表3）：
表3
r 0.5
1.0
1.5
2.0
2.1
R 3.913441 3.914476 3.917370 3.923457 3.925208 H 6.910628 6.894053 6.874774 6.859196 6.857093 h 1.226539 1.091285 0.9587582 0.8163935 0.7859263 S 30.54926 31.58040 33.31585 35.77072 36.34952
表3（续）
r 2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
R 3.927176 3.929377 3.931830 3.934555 3.937572 H 6.855451 6.854324 6.853768 6.853836 6.854586 h 0.7546560 0.7225317 0.6895060 0.6555352 0.6205793 S 36.95794 37.59614 38.26429 38.96255 39.69110
表3（续）
r 2.7
2.8
2.9
3.0
3.5
R 3.940901 3.944566 3.948587 3.952987 3.981513 H 6.856072 6.858353 6.861485 6.865526 6.901350 h 0.5846014 0.5475681 0.5094494 0.4702186 0.2566850
S 40.45011 41.23977 42.06027 42.91179 47.64180
在现实中，拉环的测量值为4.25,手指的大小约为1.11，则最优设计就是拉环穿过直径，所以r=(4.25+1.11)/2=2.68,近似为r=2.7，此时H=6.85。
二、比现实更优的设计方案
因为上项半径越小，材料越省，我们尽量减小上底半径。一种可行方案是将设计旋转型的拉环（现实中的拉环不可旋转，是直的，导致上底半径大），拉环长度可减小半，即r=4.25/2=2.125,近似为2.2
r=时，设计最优。设计方案为
2.2,0.75,
3.93, 6.86
====时，此时S=36.96,材料更省，优于现实中的设计。r h R H
第五问：用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文（不超出1000字，你们的中心必须包括这篇短文），阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。
开始接触数学建模就让笔者感觉到困惑——不知道它是什么；有什么用。经过一段时间的学习才对它有初步的了解，简单来说数学建模就是生活“数学化”。
在这3天时间里本文体会到原来生活的一切都离不开数学，一个看似和自然形成的东西，却要经过许多步骤才实现的，如本文研究的易拉罐，要经过力学，美学和工程学等等。自己将所学的数学知识活用到经济，管理，工程等各个领域，感受到体会不到的成就感。这个过程中，本文的软件应用水平，文章写作水平，特别是数学思维能力大幅度得到提高。
此次，我们在数学建模中得到有益得经验，在数学建模过程必须灵活应用，从简到繁、由易到难，不断扩展的研究方法，并且要充分发挥到数学软件在优化设计
中无可比拟地优势；同时，通过此次数学建模比赛深刻体会到了数学工具在生产实践中的重要作用。
就拿着次数学建模为例，本文建立模型首先假设易拉罐是一个正圆柱体，然后考虑罐身厚度，其次假设易拉罐是上面部分是正圆台，下面部分是正圆柱体，之后再考虑厚度，最后建立我们认为最优化设计。在建立模型的过程中，利用数学软件，使我们能顺利完成。
数学建模的全过程大体上可归纳为以下步骤：1、对某个实际问题进行观察、分析(是否抓住主要方面); 2、对实际问题进行必要的抽象、简化，作出合理的假设;3、确定要建立的模型中的变量和参数;4、根据某种“规律”(已知的各学科中的定律, 甚至是经验的规律) 建立变量和参数间确定的数学关系 (明确的数学问题或在这个层次上的一个数学模型), 这可能是一个非常具有挑战性的数学问题;5、解析或近似地求解该数学问题. 这往往涉及复杂的数学理论和方法, 近似方法和算法;6、数学结果能否展示、解释甚至预测实际问题中出现的现象, 或用某种方法 (例如，历史数据或现场测试数据等) 来验证结果是否正确, 这也是很不容易的;7、如果第 6 步的结果是肯定的，那么就可以付之试用; 如果是否定的，那就要回到第 1 – 6 步进行仔细分析，重复上述建模过程。
数学建模过程中难点是:1、怎样从实际情况出发做出合理的假设, 从而得到可以执行的合理的数学模型;2、怎样求解模型中出现的数学问题, 它可能是非常困难的问题;3、怎样验证模型是正确、可行的
参考文献
[1]叶其孝，对一些问题的思考。网址：
https://www.wendangku.net/doc/8a10790505.html,:85/~kjqk/bjlydxxb/bjly2003/0303pdf/030312.pdf
[2] 王绵森、马知恩,《工科数学分析基础》(上册)，高等教育出版社，1998
[3] 吴英桦、俞加梁，《容器设计》，中国轻工业出版社，1995
[4] 解可新、韩立兴、林友联，《最优化方法》，天津大学出版社，1997
[5] 陈国桓，《机械基础》，化学工业出版社，2001
[6] 卢险峰，《最优化方法应用基础》，同济大学出版社，2003
附录一
LINGO最优化软件：
在LINGO输入
min=(x1^2+x3^2+2*x1*x2+(x1+x3)*(x4^2+(x1-x3)^2)^(1/2))*3.1415926;
3.14159*x1^2*x2+(1/3)*3.14159*(x1^2+x1*x3+x3^2)*x4=355;
init:
x1=2;
x2=4;
x3=2;
x4=1;
endinit
得
图2
附录二
LINGO最优化软件：
在LINGO输入
min=(0.333*x1^2+0.333*x3^2+2*x1*x2*0.111+0.111*(x1+x3)*(x4^2+(x1-x3)^2)^ (1/2))*3.1415926;
3.14159*x1^2*x2+(1/3)*3.14159*(x1^2+x1*x3+x3^2)*x4=355;
init:
x1=3.3;
x2=10.2;
x3=2.9;
x4=1;
endinit
图3
附录三
LINGO最优化软件：
在LINGO输入
min=0.111*3.14159*(6*x1^2+12*0.111*x1+6*0.111^2+2*x1*x2+0.111*x2);
3.14159*x1^2*x2=355;
得
图4
附录四
利用LINGO求最优值
在LINGO输入：
min=(2*0.333*x3^2+2*x1*x2*0.111+2*0.111*(x1+x3)*(x4^2+(x1-x3)^2)^(1/2))* 3.1415926;
3.14159*x1^2*x2+(1/3)*3.14159*(x1^2+x1*x3+x3^2)*x4=355;
图5
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点 [说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。 (1) 如图1，设P的坐标为(x, y) (x≥ 0，y≥ 0)，共用管道的费用为非共用管道的k倍，模型可归结为 2 2 2 2) ( ) ( ) ( ) , ( min y b x c y a x ky y x f- + - + - + + = 图1 只需考虑2 1< ≤k的情形。对上述二元费用函数求最小值可得（不妨假设b a≤） (a) 当) ( 42 a b k k c- - ≤时，) ,0( *a P=，ka c a b f+ + - =2 2 m in ) (； (b) 当) ( 4 ) ( 42 2 a b k k c a b k k + - < < - - 时， ? ? ? ? ? ? - - + + - - =) 4 ( 2 1 , 2 ) ( 2 4 2 2 *c k k b a c b a k k P， ()c k k b a f2 m in 4 ) ( 2 1 - + + =； (c) 当) ( 42 a b k k c+ - ≥时，)0, ( * b a ac P + =，2 2 m in ) (c b a f+ + =。 对共用管道费用与非共用管道费用相同的情形只需在上式中令k = 1。 本小题的评阅应注意模型的正确性，结果推导的合理性及结果的完整性。 (2) 对于出现城乡差别的复杂情况，模型将做以下变更： (a) 首先考虑城区拆迁和工程补偿等附加费用。根据三家评估公司的资质，用加权平均的方法得出费用的估计值。注意：公司一的权值应大于公司二和公司三的权值，公司二和公司三的权值应相等。 (b) 假设管线布置在城乡结合处的点为Q，Q到铁路线的距离为z（参见图2）。
2004年中国大学生数学建模竞赛C题 饮酒驾车问题
2004年全国大学生数学建模竞赛C题及建模论文 C题饮酒驾车 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？ 请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题： 1.对大李碰到的情况做出解释； 2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答： 1）酒是在很短时间内喝的； 2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4.根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。 参考数据 1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。 2.体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下： 0.250.50.751 1.52 2.53 3.54 4.55 时间(小 时) 酒精含量306875828277686858515041时间(小 678910111213141516 时) 酒精含量3835282518151210774
全国数学建模竞赛易拉罐形状和尺寸的最优设计模型全国一等奖
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型 (2006年获全国一等奖) 摘 要：本文主要考虑当容积一定时，如何设计易拉罐的形状和尺寸，使得所用材料最 省。首先对易拉罐进行测量，对问题二、问题三、问题四建立数学模型，并利用LINGO 软件结合所测的数据进行计算，得出最优易拉罐模型的设计。 模型一，对正圆柱体形状的易拉罐，当容积一定时，以材料体积最小为目标，建立 材料体积的函数关系式，并通过求二元函数条件极值得知，当圆柱高为直径两倍时，最 经济，并用容积为360 ml 进行验算，算得mm H 63.122=，mm R 58.30=与市场上净含量 为355ml 的测得的数据基本接近。 模型二，对上面部分为正圆台、下面部分为正圆柱的易拉罐同样在容积量一定时， 考虑所用材料最省，建立优化模型，并通过LINGO 软件仍用容积为360 ml 进行验算，算 得mm R 58.30=，mm r 33.291=，mm h 94.81=，mm h 8.1112=，高之和约为直径的两倍。 模型三，考虑到罐底承受的压力，根据力学上横梁支点的受力与拱桥设计的原理， 设计底部支架（环形）与一定弧度的拱面，同时利用黄金分割，将直径与高之比设为， 建立容积量一定时材料最省的优化模型，再将有关数据代入计算，得到结论，现行易拉 罐的设计从某种意义上不乏是最优设计。 关键词：优化模型 易拉罐 非线性规划 正圆柱 正圆台 一、问题重述 销量很大的饮料容器(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。这应该是某种意义 下的最优设计，而不是偶然。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的 钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就 很可观了。 现针对以下问题，研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。 问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验 证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说 明；如果数据不是测量得到的，那么必须注明出处。 问题二：设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计其结果是否可以合理地说明所 测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 问题三：设易拉罐的中心纵断面如图1所示，即上面部分是一个正圆 台，下面部分是一个正圆柱。什么是它的最优设计其结果是否可以合理 地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 问题四：利用所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐形状和 尺寸的最优设计。 同时，以做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇 短文(不超过1000字，论文中必须包括这篇短文)，阐述什么图1 是数学建模、它的关键步骤，以及难点。 二、问题分析
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题获奖论文
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
基于背包算法的太阳能小屋的研究与设计 摘要 本文针对太阳能小屋上光伏电池铺设问题,运用贪婪算法,通过局部最优来逼近整体最优.针对三个问题,分别得出了光伏电池的铺设方案和对应的逆变器选择,架空后光伏电池与水平面夹角的最优解以及小屋对太阳辐射的最大化利用的设计方案. 对于问题一,首先对光伏电池的性价比K 进行了纵向比较,选出了性价比最高的三种光伏电池312,,A B B .为了使剩余面积达到最少,采用整数背包算法,从而确定各平面每种光伏电池的理论个数,并通过计算各平面总盈利情况,发现东面盈利为负,因此舍弃东面,在铺设过程中,优先选择产生盈利最大的光伏电池,并考虑实际情况,经过计算选择光伏电池10C 填补剩余面积,得到10312,,,C A B B 实际铺设个数,分别为：顶面（12,12,7,0）,南面（4,2,0,21）,北面（6,5,2,0）,再选配相应的逆变器,最终计算出太阳能小屋的35年内的发电量为17047.54h kw ?;经济效益为76854.11元;回报年限为20.58年. 对于问题二,首先通过建立三个坐标系结合正交分解求出顶面真实吸收太阳辐射强的表达式为（θαθαcos sin sin cos cos +-A ）w .其次一一针对固定时刻将ααsin ,cos ,cos A 固定即可得关于θ的函数=)(θf θαθαcos sin sin cos cos +-A .最后对)(θf 进行求导即可求出)(θf 取得max )(θf 时的角度=θ?7.51,即为架空后光伏电池与水平面的夹角.这样可得太阳能小屋的35年内的发电量22161.81h kw ?;经济效益92224.93元;回报年限为18.2年. 对于问题三,结合问题一、二分析的数据,将屋顶采用单坡面设计,房屋朝向南偏西15度,达到了屋顶接收阳光面积最大和全年太阳辐射强度的最优目的. 关键词： 背包算法 贪婪算法 多重最优化 1问题重述 在设计太阳能小屋时,需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池,光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V 交流电才能供家庭使用,并将剩余电量输入电网.不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大,且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响,如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等.因此,在太阳能小屋的设计中,研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题.
数学建模C题
2015年第十二届五一数学建模联赛 承诺书 我们仔细阅读了五一数学建模联赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、 网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公 开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引 用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞 赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。 我们授权五一数学建模联赛赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号为（从A/B/C中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为： 参赛组别（研究生或本科或专科）：本科 所属学校（请填写完整的全名） 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 日期： 2015 年 5 月 3 日获奖证书邮寄地址邮政编码：
收件人姓名：联系电话： 2015年第十二届五一数学建模联赛 编号专用页 竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）： 裁剪线裁剪线裁剪线竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）： 参赛队伍的参赛号码：（请各参赛队提前填写好）： 2015年第十二届五一数学建模联赛 题目“二孩政策”问题 摘要 本文针对于生态文明建设的评价问题，选取了评价生态建设文明的具有代表性的几个指标，并且通过建立城市生态文明建设指标预测模型，来判断地区生态文明建设程度。 对于第一问，针对我国现有的生态文明建设的评价指标问题，我们首先查阅了全国在省级生态文明建设评价方面较为权威的北京林业大学生态文明研究中心公布的中国省级生态文明建设评价报告，以及其他具体于各地区省市的生态文明建设的论文，在此基础上，列举出来了6大类，18个较为重要的评价指标。 对于第二问，我们首先根据罗列出的指标中的重要程度以及数据获取的可行性和权威性和反映大类指标程度选择了单位GDP能耗、单位GDP水耗和单位GDP 废水、废气排放量、绿化覆盖率、人均公共图书藏书量。然后通过熵值法确定了
2017年中国研究生数学建模竞赛题
2017年中国研究生数学建模竞赛D题 基于监控视频的前景目标提取 视频监控是中国安防产业中最为重要的信息获取手段。随着“平安城市”建设的顺利开展，各地普遍安装监控摄像头，利用大范围监控视频的信息，应对安防等领域存在的问题。近年来，中国各省市县乡的摄像头数目呈现井喷式增长，大量企业、部门甚至实现了监控视频的全方位覆盖。如北京、上海、杭州监控摄像头分布密度约分别为71、158、130个/平方公里，摄像头数量分别达到115万、100万、40万，为我们提供了丰富、海量的监控视频信息。 目前，监控视频信息的自动处理与预测在信息科学、计算机视觉、机器学习、模式识别等多个领域中受到极大的关注。而如何有效、快速抽取出监控视频中的前景目标信息，是其中非常重要而基础的问题[1-6]。这一问题的难度在于，需要有效分离出移动前景目标的视频往往具有复杂、多变、动态的背景[7，8]。这一技术往往能够对一般的视频处理任务提供有效的辅助。以筛选与跟踪夜晚时罪犯这一应用为例：若能够预先提取视频前景目标，判断出哪些视频并未包含移动前景目标，并事先从公安人员的辨识范围中排除；而对于剩下包含了移动目标的视频，只需辨识排除了背景干扰的纯粹前景，对比度显著，肉眼更易辨识。因此，这一技术已被广泛应用于视频目标追踪，城市交通检测，长时场景监测，视频动作捕捉，视频压缩等应用中。 下面简单介绍一下视频的存储格式与基本操作方法。一个视频由很多帧的图片构成，当逐帧播放这些图片时，类似放电影形成连续动态的视频效果。从数学表达上来看，存储于计算机中的视频，可理解为一个3维数据，其中代表视频帧的长，宽，代表视频帧的帧数。视频也可等价理解为逐帧图片的集合，即，其中为一张长宽分别为 的图片。3维矩阵的每个元素（代表各帧灰度图上每个像素的明暗程度）为0到255之间的某一个值，越接近0，像素越黑暗；越接近255，像素越明亮。通常对灰度值预先进行归一化处理（即将矩阵所有元素除以255），可将其近似认为[0,1]区间的某一实数取值，从而方便数据处理。一张彩色图片由R（红），G（绿），B（蓝）三个通道信息构成，每个通道均为同样长宽的一张灰度图。由彩色图片
数学建模2010c题答案
输油管布置的优化模型 摘要 本文建立了关于布置输油管管线费用最省的优化模型，针对问题，我结合实际情况做出了合理的简化假设，利用lingo 软件，最终对问题进行了求解。 对于第一问我利用费马点的相关知识，结合图形的相关性质把本题分成三个部分， 分别为 )l b a ≤ - 、)l a b ≥+ 和 ))b a l a b -<<+这三种情况时最短管线的 铺设方案。设()a b <且非共用管线的费用为每千米t 万元，共用管线的费用是是非共用管线的k 倍即为kt 万元(1k 2≤<)。用费马点的论述得出三种最短的铺设路线，画出图像1—3列式子得出其费用结果。 对于问题二，首先把所给的条件即三个公司的鉴定的赔偿费用赋予权值，按甲级的占40%，乙级的每个占30%得出大概要陪的费用为得出要陪的费用 () 0.40210.30240.302021.4w =?+?+?=万元/千米 接着把a = 5，b = 8，c = 15，l = 20 把数据带入判定式中得到 ) )853 5820-=+=<< 适用第一题中的第三种情况得到图5用Lingo 计算得坐标E(1.701345,1.852664),车站设在F(1.701345,0)，得到最少的费用为282.1934万元。 最后对于问题三，建立在问题二的模型上，赋予各段管线相印的费用送A 厂成品油的每千米5.6万元，输送B 厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，得到 min 5.6 6.027.47.2P y =? 用Lingo 计算得 6.7354770.13767691 7.276818x y y =?? =??=? 得到最后结果为 min 251.4633P =万元 关键词 Lingo 费马点 费用 权值
2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.
2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.
易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要 本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。 在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2 R H=（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6 R H=时，表面积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2 =。 R H b 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24 +==(h为 H h R r 圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5 r→时 H h R +≈，0 材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。 在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，====时，可以得到优于现实中易拉罐的设计方案。 r h R H 2.2,0.75, 3.93, 6.86 最后，本文总结了此次数学建模中有益的经验--在数学建模过程必须灵活应用从简到繁、由易到难不断扩展的研究方法，并且要充分发挥数学软件在优化设计中无可比拟的优势；同时，通过此次数学建模比赛深刻体会到了数学工具在生产实践中的重要作用。
2010年全国大学生数学建模C题优秀论文
论文来源:无忧数模网 输油管的布置 摘要 “输油管的布置”数学建模的目的是设计最优化的路线，建立一条费用最省的输油管线路，但是不同于普遍的最短路径问题，该题需要考虑多种情况，例如，城区和郊区费用的不同，采用共用管线和非公用管线价格的不同等等。我们基于最短路径模型，对于题目实际情况进行研究和分析，对三个问题都设计了合适的数学模型做出了相应的解答和处理。 问题一：此问只需考虑两个加油站和铁路之间位置的关系，根据位置的不同设计相应的模型，我们基于光的传播原理，设计了一种改进的最短路径模型，在不考虑共用管线价格差异的情况下，只考虑如何设计最短的路线，因此只需一个未知变量便可以列出最短路径函数；在考虑到共用管线价格差异的情况下，则需要建立2个未知变量，如果带入已知常量，可以解出变量的值。 问题二：此问给出了两个加油站的具体位置，并且增加了城区和郊区的特殊情况，我们进一步改进数学模型，将输油管路线横跨两个不同的区域考虑为光在两种不同介质中传播的情况，输油管在城区和郊区的铺设将不会是直线方式，我们将其考虑为光在不同介质中传播发生了折射。在郊区的路线依然可以采用问题一的改进最短路径模型，基于该模型，我们只需设计2个变量就可以列出最低费用函数，利用Matlab和VC++ 都可以解出最小值，并且我们经过多次验证和求解，将路径精度控制到米，费用精度控制到元。 问题三：该问的解答方法和问题二类似，但是由于A管线、B管线、共用管线三者的价格均不一样，我们利用问题二中设计的数学模型，以铁路为横坐标，城郊交汇为纵坐标建立坐标轴，增加了一个变量，建立了最低费用函数，并且利用VC++解出了最低费用和路径坐标。 关键字：改进的最短路径光的传播 Matlab 数学模型
易拉罐形状和尺寸的最优设计
2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“对论文格式的统一要求”） C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： 1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。 什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。
易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要 本题在建立数学模型的基础上，用LINGO 实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。 在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比（为圆柱的高，为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高时，表面积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的倍 b 时，最优设计方案为61:： =H R 。 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO 软件对模型进行分析，得出当(为圆台的高，为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO 对其进行分析，得出，时材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。 在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，86.693.3075.h 2.2r ====H R ，，，时，可以得到优于现实中易拉的设计方案。 关键词：最优设计 体积结构 材料最省 lingo
2012年数学建模A题范文
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
数学建模期末考试2018A试的题目与答案.doc
. . 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、(满分12分) 一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分 别记为i = 1.2.3.4.当i 在此岸时记x i = 1.否则为0；此岸的状态下用s =（x 1.x 2.x 3.x 4）表示。该问题中决策为乘船方案.记为d = (u 1, u 2 , u 3, u 4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。 （12分）
参考论文1-易拉罐的最优设计
易拉罐最优设计模型 （2006年全国一等奖） 摘要：本文建立了易拉罐形状和尺寸的最优设计模型，使易拉罐制作所用的材料最省，来增加生产商的经济效益。在饮料罐容积一定的基础上，按照材料最省原则，根据所给的任务2、任务3、任务4，分别建立了模型Ⅰ、模型Ⅱ、模型Ⅲ，最终在讨论和分析后，对模型进行了评价和改进。 对于任务1，利用千分卡尺测量了我们认为验证模型所需要的易拉罐各个部分的数据，并把所测得的数据用图形和表格加以说明。 对于任务2，在易拉罐为正圆柱体的情况下建立模型Ⅰ，通过确定目标函数),(h r A ，给出约束条件0),(=h r B ，利用初等解法得出 4:=r h 为圆柱体易拉罐的最优设计。并用此其结果检验用千分尺所测得029.4:=r h ，其绝对误差仅为0.29，可以说几乎一致。 当易拉罐为正圆台与正圆柱组合的情况下建立了非线性规划模型Ⅱ，利用LINGO 软件算出9.120:37.0:6.30:8.29:::11≈h h r r 为该模型的最优设计。这一结果与我们测量所得数据基本吻合，其中圆台高误差较大，这引起了我们对此模型与实际易拉罐形状、尺寸的进一步观察与思考。 最终我们感悟出要设计一个既省材又耐用且美观的易拉罐必需考虑经济、耐压、美观和实用性四个方面。从这四个方面出发我们建立了关于材料最省的优化模型Ⅲ，并利用LINGO 软件算出其结果为： 9.9:5.27:5.30:7.10:8.116:5.32:::::3211≈h r r h h r 在模型的结尾部分，我们通过对建立模型的方法、计算工具等方面进行了模型的评价，并提出进一步改进的方法。 最后通过本模型以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文。 关键词：易拉罐 最优设计 非线性规划 LINGO 软件
2012-2015数学建模国赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题葡萄酒的评价 确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题： 1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？ 2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。 3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。 4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？ 附件1：葡萄酒品尝评分表（含4个表格） 附件2：葡萄和葡萄酒的理化指标（含2个表格） 附件3：葡萄和葡萄酒的芳香物质（含4个表格）
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） B题太阳能小屋的设计 在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。 附件1-7提供了相关信息。请参考附件提供的数据，对下列三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限。 在求解每个问题时，都要求配有图示，给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表。 在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接。应注意分组连接方式及逆变器的选配。 问题1：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋（见附件2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。 问题2：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。 问题3：根据附件7给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。 附件1：光伏电池组件的分组及逆变器选择的要求 附件2：给定小屋的外观尺寸图
易拉罐形状和尺寸的最优设计(2)
参赛论文 易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题 摘要 饮料灌装是饮料生产中十分重要的一环，饮料灌装容器的设计不仅直接关系到生产企业的制造成本，同是也决定着饮料产品的品质和价值。理想的饮料灌装容器应能起到以下作用：保护内在质量、免受物理损坏、使用方便、便于运输、和促进销售。在日常生活中,我们总会买些易拉罐装的饮料和食品,殊不知,易拉罐的设计便包含了一定的物理、数学知识。对易拉罐的设计，生产者总会考虑让它成本最低，并且功能最强。如：设计一个体积固定为V 的圆柱形易拉罐，什么样的设计方案最优？ 首先我们根据测的一组数据得直径和高的比值接近黄金分割点。本文基于用铝材料做成一个容积一定的圆柱形的容器用料最省问题，我们分析说明表面积最小是正圆柱体的最优设计。再从实际情况出发，注意到罐的顶盖比其他部分都要厚，我们引入了厚度因子a,并结合模型<一>的结论r:h=1:4，考虑用材料的体积SV ，建立模型<二>，得出a=3.再以此为基础， 建立模型<三>: Min S=[2H R ??π+2R ?π+32r ?π+22)3.0()(h h r R +?+?π]b ? S.t. V=H R ??2π+)(3 1 33r R -??π R=r+0.3h 设定从顶盖到胖体部分的斜率为 a. 并代入工程生产中普遍认定的斜率0.3,运用Mathematica 软件求解，得出h=4r 的结论，这与我们在第一问中用游标卡尺所测得的数据吻合.对此时的SV 进行求偏导数,得出极值点为h=5.36221, r=1.49597, R=3.1046, H=10.8017.问题四我们用曲面积分思想建立了模型〈四〉： Min )(2322 02120 02122R R r R R r R H R SV ---??++?+??=ππππb ? S.t V=H R ??2π+])()[(3 320322020R R h R R h R --+-?- ??π π 得出我们设计的易拉罐H=6.54 h=2.54 R=3.82 直径：高度=2R ：（H+h ） 最后,我们根据自己本次参加数学建模课余培训直到参加竞赛的亲身体验,写了《体验数学建模》一文。
数学建模C题优秀论文 (2)
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2010 年 9 月 10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
输油管的布置 摘要 “输油管的布置”数学建模的目的是设计最优化的路线，建立一条费用最省的输油管线路，但是不同于普遍的最短路径问题，该题需要考虑多种情况，例如，城区和郊区费用的不同，采用共用管线和非公用管线价格的不同等等。我们基于最短路径模型，对于题目实际情况进行研究和分析，对三个问题都设计了合适的数学模型做出了相应的解答和处理。 问题一：此问只需考虑两个加油站和铁路之间位置的关系，根据位置的不同设计相应的模型，我们基于光的传播原理，设计了一种改进的最短路径模型，在不考虑共用管线价格差异的情况下，只考虑如何设计最短的路线，因此只需一个未知变量便可以列出最短路径函数；在考虑到共用管线价格差异的情况下，则需要建立2个未知变量，如果带入已知常量，可以解出变量的值。 问题二：此问给出了两个加油站的具体位置，并且增加了城区和郊区的特殊情况，我们进一步改进数学模型，将输油管路线横跨两个不同的区域考虑为光在两种不同介质中传播的情况，输油管在城区和郊区的铺设将不会是直线方式，我们将其考虑为光在不同介质中传播发生了折射。在郊区的路线依然可以采用问题一的改进最短路径模型，基于该模型，我们只需设计2个变量就可以列出最低费用函数，利用Matlab和VC++ 都可以解出最小值，并且我们经过多次验证和求解，将路径精度控制到米，费用精度控制到元。 问题三：该问的解答方法和问题二类似，但是由于A管线、B管线、共用管线三者的价格均不一样，我们利用问题二中设计的数学模型，以铁路为横坐标，城郊交汇为纵坐标建立坐标轴，增加了一个变量，建立了最低费用函数，并且利用VC++解出了最低费用和路径坐标。 关键字：改进的最短路径光的传播 Matlab 数学模型
易拉罐的优化设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计 组员：邢登峰，张娜，刘梦云 摘要 研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以节约的资源是很可观的。 问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。 问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建 立易拉罐用料模型2()2(2)v s r rd r r ππ=+，由微积分方法求最优解，结论：易拉 罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型： 2min (,) (,)0 .00s r h g r h r h v s t r h π?=-=? >??>? 用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。 问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。 模型 圆台面积 2 ()(s r r R r ππ=++用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=45.07最小。 结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。 问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。 另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。 最后写出了我们对数学建模的体会文章。 关键词：易拉罐 最优设计 数学建模 问题重述 在生活中我们会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非
数学建模题目及答案
09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 （15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角 坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和， ()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ 的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故 ()f θ()g θ=0必成立（?θ ）。 不妨设 (0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为 0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归 结为： 已知 ()f θ,()g θ均为θ 的连续函数， (0)0f =,(0)0g >且对任意θ 有 00()()0f g θθ=，求证存 在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθ θ=-，显然，() h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定 理，存在0θ，0 0θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有 00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则
2006_全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.解析
易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要 本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。 在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2 R H=（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6 R H=时，表面积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2 =。 R H b 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24 +==(h为 H h R r 圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5 r→时 H h R +≈，0 材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。 在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，====时，可以得到优于现实中易拉罐的设计方案。 r h R H 2.2,0.75, 3.93, 6.86 最后，本文总结了此次数学建模中有益的经验--在数学建模过程必须灵活应用从简到繁、由易到难不断扩展的研究方法，并且要充分发挥数学软件在优化设计中无可比拟的优势；同时，通过此次数学建模比赛深刻体会到了数学工具在生产实践中的重要作用。