大学数学(三)1-6概念及答案
大学数学（三）Day1--6概念及答案
1.二阶行列式：形如 222112
11a a a a 的行列式。 2.对角线法则：主对角线乘积减去副对角线乘积。
3. 三阶行列式：形如 333231232221
131211
a a a a a a a a a 的行列式。
4.上三角行列式：主对角线以下的元素为零。
5.下三角行列式：主对角线以上的元素为零。
6.上下三角行列式的值：主对角线乘积。
7.逆序数：所有逆序的总数。
8.余子式: 划去元素ij a 所在行和列，由剩余元素按原来顺序所
组成的行列式
9.代数余子式： ij A =ij j i M +-)1(
10.转置行列式：行列式中的行和列互换
11.行列式性质一（转置）：D=T D
12.行列式性质二（互换）：任意两行（列）互换，那么行列式的
值改变符号。
13.行列式性质二（相同）：如果行列式中两行或两列对应元素全部相同，那么行列式的值为零。
14.行列式性质三（有公因子）：行列式中某行（列）的各元素有
公因子时，可将公因子提到行列式外面。
15.行列式性质三推论（一行列为0）：如果行列式中有一行（列）
的元素全为0，则行列式的值为0.
16.行列式性质三推论（成比例）:如果行列式中有两行（列）的
元素对应成比例，行列式的值为0.
17.行列式性质四（和）：行列式等于两个相应的行列式的和。
18.行列式性质五（倍乘）：倍行（列）加到另一行（列）上，行列式的值不变。
19.行列式展开定理：n 阶行列式D 等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的乘积之和。
20.范德蒙行列式概念：形如 232221321
111
a a a a a a 的行列式
21.范德蒙行列式的值：π（j i a a -）
22.N 元线性方程组：含有n 个未知量n 个方程的线性方程组为
n 元线性方程组
23.线性方程行列式：未知量的系数所组成的行列式。
24.非齐次线性方程组：常数项不全为零的线性方程组
25.齐次线性方程组：常数项全为零的线性方程组。
26.克莱姆法则：0≠D 时， , , , ,2211D D x D D x D D x n n ===
27.非齐次线性方程组根的判别情况，0≠D ，则方程组有唯一解。
28.齐次线性方程组根的判别情况，
0≠D ，则方程组只有零解。 29.矩阵：m 行n 列的数表，记作m n ?A
30.N 阶方阵：行数和列数都等于N 的矩阵
31.行矩阵：只有一行的矩阵
32.列矩阵：只有一列的矩阵
33.相等矩阵：行列相等，元素相同的矩阵叫做相等矩阵。
34.零矩阵：所有元素为0的矩阵，称为零矩阵，记为O 35.单位矩阵：主对角线为1，其余为0的方阵，称为单位矩阵
36.负矩阵：对于矩阵)(ij n m a A =?，称)(ij a -为矩阵A 的负矩阵，记为
-A 。
37.矩阵的加法：是矩阵对应元素相加。
38.运算律：（1）结合律：（A+B ）+C= A+(B+C)
（2）交换律：A+B= B+A (3)A+O= A
(4)A+(-A)= O
(5)A-B= A+(-B)
39.矩阵的数乘:数k 与矩阵的乘积，简称数乘
40.数乘的性质：（1）k （A+B ）= k A+k B
(2)(k +t )A= k A+ t A
(3) )()(tA k A kt =
(4) A A =1
(5) O A =0
(6) 若O
kA≠
≠,0,则O
k≠
A
41.行乘列的法则：左矩阵的行与右矩阵的列乘积之和。
42.矩阵乘法满足下列运算规则：
（1）. 乘法结合律：（AB）C = A(BC) （2）. 左乘分配律：A（B + C） = AB+AC 右乘分配律：（B + C）A = BA+CA （3）. 数乘结合律：k（AB）= (kA) B=A(kB)
43.矩阵的转置：矩阵行与列互换所组成的矩阵
44.矩阵的转置满足下列运算规则：
（1）. )
(''A= A
（2）.)
A= A' +B'
+B
('
（3）. )
kA = k A'
('
（4）.)
('
AB= B'A'.
45.方阵的行列式：n阶方阵A的元素所构成的行列式。
大学数学分析答案
《数学分析》练习题1 一、单项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、广义积分dx x ? -2 2 211的奇点的是 【 】 A ．0 B ．2 C ．2 D ．2± 2、下列关于定积分的说法正确的是 【 】 A ．函数)(x f 在[]b a ,有界，则)(x f 在[]b a ,一定可积； B ．函数)(x f 在[]b a ,可积，则)(x f 在[]b a ,一定有界； C ．函数)(x f 在[]b a ,不可积，则)(x f 在[]b a ,一定无界； D ．函数)(x f 在[]b a ,无界，则)(x f 在[]b a ,可能可积。 3、函数()x f 在闭区间[]b a ,可积是函数()x f 在闭区间[]b a ,连续的__ __条件。 【 】 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要 D ．即不充分，又非必要 4、若级数∑∞ =1 n n u 收敛，则下列级数中，为收敛级数的是 【 】 A ．()∑∞=-1 1n n n u B ．()∑∞=-1 1n n n u C ．∑∞=+1 1n n n u u D ．∑ ∞ =++1 1 2 n n n u u 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）请在每小题的横线上给出正确的答案. 1、(){}x f n 在X 一致收敛的定义是： . 2、函数2 x e -在0=x 处的幂级数展开式为, . 3、积分()1012 <x 的收敛性。 解: 5、求级数∑ ∞ =1 3n n n n x 的收敛半径与收敛域。 解: 6、求dx e x ?+∞ 1。 解： 四、综合题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）请在每小题后的空白处写出必要的 证明过程。 1、证明：积分?+∞ 02cos dx x 收敛。 证： 2、设()x f 在R 上连续，()()()dt t x t f x F x 20 -= ?。 证明：(1)若()x f 为偶函数，则()x F 也是偶函数；（2）若()x f 为单调函数，则()x F 也是单调函数。 证： 3、若{}n na 收敛， ()∑∞ =--1 1n n n a a n 收敛，证明级数∑∞ =1 n n a 收敛。 证：
数学分析课后习题答案(华东师范大学版)
习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0 ☆【万门大学数学系】给所有想学数学的朋友一份礼物☆2012年11月18日18:41:43 数学是最复杂的研究性学科之一，其研究的先修基础要求很高，所以学习过程也非常需要技术性。中国的数学教材多偏向于苏联风格，不易读，无形中提高了门槛。所以一个合适的教学体系和教材推荐对于数学的学习至关重要。 这份【万门大学数学系】的书单，是根据法国巴黎高等师范学校（数学最牛校，没有之一）的指定教材及教授推荐给出，在保持了学术难度的情况下降低学习门槛。这套书目是这套教材构成一个完整的数学教材体系，都是教得特别深入浅出的专著，特别适合自学提高。 以下是按照学习推荐进度排序的，分本科生和研究生的课程。自学起点是高中毕业。 数学本科： 如果大家对微积分已经可以定量算了（例如可以计算面积分），就请跳过第一本，否则需要补充一下普通微积分的基础。 《Calculus》这是绝对的入门书籍，基础向。如果大家之前学过高数，就可以忽略这一本了。 下面就开始严格的数学训练了： 数学分析（一）（英文版）by Apostol 数学分析（二）（英文版）by Apostol 本书为美国大学标准数分教材。数分是一切的基础，没有数分的底子，实变学十遍也没用。可是很多人在初入数学殿堂就立志不做数学了，就是因为采用了苏联风格的中文教材，实在悲剧。学数学本来就是一件快乐而清晰的事情，所以第一本至关重要。请看这本吧，看完之后你会发现中文数分教材很坑爹。 《Linear.Algebra.done.right 》by Axler 好书能让人顺理成章地领悟新概念，烂书能让人放弃理想。这是一本中规中矩但清晰易读的好书。薄薄两百多页，很快就能读完。 2003年浙江大学数学分析试题答案 2003年浙江大学数学分析试题答案 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列}{k n a ， a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以 ,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连 续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取 },m in{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)(' 大学高等数学教材 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 2008年华中科技大学招收硕士研究生. 入学考试自命题试题数学分析 一、 求极限1 111lim(1...)23n n I n →∞=++++ 解: 一方面显然1I ≥ 另一方面111 1...23n n ++++≤，且1lim 1n n n →∞= 由迫敛性可知1I =。 注：1 lim 1n n n →∞ =可用如下两种方式证明 1） 1n h =+，则22 (1)2(1)1(2)2n n n n n n n h h h n n -=+≥+ ?≤≥ 即lim 0n n h →∞ =，从而1lim 1n n n →∞ = 2） =有lim 11n n n n →∞==-。 二、证明2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++为某个函数的全微分，并求它的原函数。 证明：记22(,)38P x y x y xy =+，32(,)812y Q x y x x y ye =++，则 2316P x xy y ?=+?，2316Q x xy x ?=+?? P Q y x ??=?? Pdx Qdy ∴+是某个函数的全微分 设原函数为(,)x y Φ，则x y d dx dy Pdx Qdy Φ=Φ+Φ=+ 2232238(,)4()x x y xy x y x y x y y ?∴Φ=+?Φ=++ 32328()812y y x x y y x x y ye ?'?Φ=++=++ ()12()12(1)y y y ye y y e C ??'?=?=-+ 322(,)412(1)y x y x y x y y e C C ∴Φ=++-+所求原函数为（为常数） 三、设Ω是空间区域且不包含原点，其边界∑为封闭光滑曲面：用n 表示∑的单位外法向量，(,,)r x y z =和2r r x y ==+，证明： 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： 第一章n阶行列式 在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组. 为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到n 阶，即讨论n阶行列式的问题. 为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出n阶行列式的概念. §1 全排列及其逆序数 先看一个例子. 引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？ 显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法. 因此，共有? ?种放法. 3= 1 6 2 这六个不同的三位数是： 123，132，213，231，312，321. 在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素. 上述问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？ 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列. n个不同元素的所有排列的种数，通常用P n表示. 有引例的结果可知P3 = 3 . 2 . 1 = 6 . 1 2 为了得出计算P n 的公式，可以仿照引例进行讨论： 从n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有n 种取法；又从剩下的n －1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n －1种取法； 这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第n 个位置上，只有1种取法. 于是 P n =n .（n －1）. … . 3 . 2 . 1 = n ! . 对于n 个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列. 下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法. 不失一般性，不妨设n 个元素为1至n 这n 个自然数，并规定由小到大为标准次序. 设 n p p p Λ21 为这n 个自然数的一个排列，考虑元素 ),,2,1(n i p i Λ=，如果比i p 大的且排在i p 前面的元素有i t 个，就说i p 这个元素的逆序数是i t . 全体元素的逆序数之总和 ∑==+++=n i i n t t t t t 1 21Λ， 即是这个排列的逆序数. 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中， 2003年浙江大学数学分析试题答案 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列 }{k n a ，a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε 2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)(' 数学基础学习阶段 ◆分析学 微积分学教程（1、2、3册）菲赫金哥尔茨 数学分析教程（上、下册）史济怀 Principles of Mathematical Analysis (Third Edition) Walter Rudin 实变函数江泽坚 实变函数论周民强 复分析导论（上、下册）沙巴特 泛函分析讲义（上、下）张恭庆 Real and Complex Analysis(Third Edition) Walter Rudin Fuctional Analysis(Second Edition) Walter Rudin ◆代数学 高等代数（北京大学数学与力学系）前代数小组 代数学引论（聂灵沼、丁石孙） Algebra Hungerford Algebra Lang 美国大学数学参考书 目录: 第一学年 几何与拓扑： 1、James R. Munkres, Topology：较新的拓扑学的教材适用于本科高年级或研究生一年级； 2、Basic Topology by Armstrong：本科生拓扑学教材； 3、Kelley, General Topology：一般拓扑学的经典教材，不过观点较老； 4、Willard, General Topology：一般拓扑学新的经典教材； 5、Glen Bredon, Topology and geometry：研究生一年级的拓扑、几何教材； 6、Introduction to Topological Manifolds by John M. Lee：研究生一年级的拓扑、几何教材，是一本新书； 7、From calculus to cohomology by Madsen：很好的本科生代数拓扑、微分流 这才是在大学数学系应有的岁月 数学专业参考书整理推荐V3.0版(正在撰写中) 本文是这个文章的第三个版本，也是最后一个版本，由于时间精力，我不会再重新写这篇文章，最多是在原文上修改部分内容。文章会注明修改日期，如有转载请注明这个时间。并且请尽量不要腰斩我的文章，防止读者断章取义。 向指导我大学数学学习的王云峰（数学分析，复变函数），袁进（高等代数），邢志栋（数值代数），温作基（实变函数），曹建荣（微分方程数值解），贾健（数据结构，图形学），方莉（泛函分析，毕业论文），赵宪钟（具体数学），张文鹏（数论），邵勇（泛代数）以及其他没有列出名字的诸位老师致谢。 第0部分：前言 关于数学系专业课参考书的帖子很多。最出名的是复旦大学yjyao（姚一隽？）去巴黎前发表在日月光华BBS站上的 《大学数学学习参考书点评》 （https://www.wendangku.net/doc/8810833774.html,/bbs/anc?path=/bmt/9/mat/M.984927021.A）（https://www.wendangku.net/doc/8810833774.html,/bbs/viewtopic.php?f=16&t=23） 此外还有中国科学技术大学数学系几位学长的建议： 《科大学长对数学系学弟学妹的忠告》 （https://www.wendangku.net/doc/8810833774.html,/bbs/viewtopic.php?f=16&t=25） 《中国科学技术大学数学系教材及参考书目录》 （https://www.wendangku.net/doc/8810833774.html,/bbs/viewtopic.php?f=16&t=26） 《数学与物理的参考书目》 （https://www.wendangku.net/doc/8810833774.html,/bbs/viewtopic.php?f=16&t=24） 这几篇文章尤其是前面三篇深深影响了我大学数学的学习，在这里向原作者深深致谢。 另外大家还可以参考 《美国数学本科生，研究生基础课程参考书目》 （https://www.wendangku.net/doc/8810833774.html,/bbs/viewtopic.php?f=16&t=34） 此外，还有我这篇文章的1.0版：几篇零散的分别介绍数学系参考书的帖子。那样的烂文章居然有人转载，我看了自己都不好意思，故催生出本文章V2.0版 数学专业参考书整理推荐( https://www.wendangku.net/doc/8810833774.html,/article.php/706 )当然，当时不是这么叫的。 这两篇文章是因为和低年级的学生聊天，他们想让我写成文字，于是就记了下来。因为一些个人原因，文章没有写完，或者说草草结束。没有想到居然被几个论坛转载，被人叫做大牛。为了防止误人子弟，所以修改这篇文章的同时简单介绍一下自己，请看这篇文章的人仔细思考要不要听我所言，防止误入歧途。本人ID如文章前所见，高考以数学不及格成绩进入西北大学数学系（2005-2009），大学时代除复变函数因重修所以在90分左右，其余所有重要的专业课没有一门低 五邑大学 试 卷（样题） 学期： 至 学年度 第 三 学期 课程： 数学分析 课程代号： 500063 使用班级： 姓名： 学号： 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 求下列极限（每小题5分共10分） 1. 22(,)lim x y → 2. 1 1 lim t →?∫ 证明：含参量反常积分2 x y e dy +∞ ?∫在[,](0)a b a >上一致收敛（10分）。 证明函数2222 0(,)0,............,0 x y f x y x y +≠=+=?在点(0,0)处不可微（10分）。 计算下列曲线积分（每小题8分共16分） 1. 2 2L x y ds +∫v ，其中:cos ,sin (02)L x a t y a t t π==≤≤。 2. ∫?+?L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (, 其中L 为上半圆周(x ?a )2 +y 2 =a 2 , y ≥0, 沿逆时针方向。 . 计算下列曲面积分（每小题10分共20分）。 1.22 () S x y dS + ∫∫,其中S是:锥面z2=3(x2+y2)被平面z=0及z=3所截得的部分； 2.333 S x dydz y dzdx z dxdy ++ ∫∫w,其中S为球面x2+y2+z2=a2的外侧。 求由平面y=0,y=x,z=0以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体体积（10分） 七、 计算三重积分V zdxdydz ∫∫∫, 其中V 是由锥面z = 与平面1z = 所围成 的闭区域.（10分） 八． 证明积分 ∫?++) 3 ,2()1 ,1()()(dy y x dx y x 与路线无关，并求其值（14分） 习题1 1. （1）不能（2）不能（3）能（4）不能 2. （1）不正确；因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合． （2）不正确；对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由3个元素组成的． （3）正确；集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合． 3. φ，}1{，}2{，}3{，}2,1{，}3,1{，}3,2{，}3,2,1{． 4. （1）}4,3,2,1,0{ （2）}4,3{ （3）)}1,1(),0,0(),1,1{(-- 5. （1）},32|{Z x x x ∈<- （2）}012|{2=+-x x x （3）},|),{(3x y x y y x == 6. （1）}3,1{ （2）}5,3,2,1{ （3）φ （4）}6,5,4,3,2,1{ （5）}2{ （6）φ （7）}6,5,4{ （8）}6,5,4,3,1{ （9）}6,5,4,3,2,1{ （10）}6,4{ 7. B A U B A B B B A B B A B B A B B A A A B B A A B B A A Y I Y Y I Y Y I Y I Y Y I Y I Y Y I Y I I =======)() ()()())(())()(()(φ 8. （1）)5,5(- （2）)0,2(- （3）),1[]3,(+∞--∞Y （4）]2,1( （5）),4[+∞ （6）)4,(-∞ 9. （1）}1{=B A I ；]3,0[=B A Y ；)1,0[=-B A ． （2）]4,2[=B A I ；]4,1[-=B A Y ；)2,1[-=-B A ． 10. （1）)25,23( （2）)2 5,2()2,23(Y ． 11. （1）不是．定义域不同 （2）不是．定义域不同 （3）不是．定义域不同 （4）是．在公共的定义域]1,1[-上，2111x y x x y -=?-?+= 12. （1）),2()2,2()2,(+∞---∞Y Y （2）),1[]1,(+∞--∞Y （3）]1,1(- 大学数学分析答案 【篇一：2014中山大学数学分析考研真题与答案】 学分析考研复习精编》 《复习精编》是博学中大精品考研专业课系列辅导材料中的核心产品。本书严格依据学校官方最新指定参考书目，并结合考研的精华 笔记、题库和内部考研资讯进行编写，是博学中大老师的倾力之作。通过本书，考生可以更好地把握复习的深度广度，核心考点的联系 区分，知 识体系的重点难点，解题技巧的要点运用，从而高效复习、夺取高分。 考试分析——解析考题难度、考试题型、章节考点分布以及最新试题，做出考试展望等；复习之初即可对专业课有深度把握和宏观了解。 复习提示——揭示各章节复习要点、总结各章节常见考查题型、提 示各章节复习重难点与方法。 知识框架图——构建章节主要考点框架、梳理全章主体内容与结构，可达到高屋建瓴和提纲挈领的作用。 核心考点解析——去繁取精、高度浓缩初试参考书目各章节核心考 点要点并进行详细展开解析、以星级多寡标注知识点重次要程度便 于高效复习。 历年真题与答案解析——反复研究近年真题，洞悉考试出题难度和 题型；了解常考章节与重次要章节，有效指明复习方向。 《复习精编》具有以下特点： （1）立足教材，夯实基础。以指定教材为依据，全面梳理知识，注意知识结构的重组与概括。让考生对基本概念、基本定理等学科基 础知识有全面、扎实、系统的理解、把握。 （2）注重联系，强化记忆。复习指南分析各章节在考试中的地位和作用，并将各章节的知识体系框架化、网络化，帮助考生构建学科 知识网络，串联零散的知识点，更好地实现对知识的存储,提取和应用。 （3）深入研究，洞悉规律。深入考研专业课考试命题思路，破解考研密码，为考生点拨答题技巧。 1、全面了解，宏观把握。 高等数学（同济大学教材第五版）复习提纲 第一章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限 第二章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算 第三章微分中值定理与导数的应用：熟练掌握本章的实际应用，研究函数的性态，证明相关不等式 第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分方法，尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型 第五章定积分：正确理解概念，会多种积分方法，有变限函数参与的各种运算 第六章定积分的应用：掌握定积分的实际应用 第七章空间解析几何和向量代数：熟练掌握本章的实际应用 高等数学（1）期末复习要求 第一章函数、极限与连续函数概念 理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2．函数的性质 知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。 3．初等函数 了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。 4．建立函数关系 会列简单应用问题的函数关系式。 5．极限：数列极限、函数极限 知道数列极限、函数极限的概念。 6．极限四则运算 掌握用极限的四则运算法则求极限. 7．无穷小量与无穷大量 了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。 8．两个重要极限 了解两个重要极限，会用两个重要极限求函数极限。 9．函数的连续性 了解函数连续性的定义、函数间断点 的概念； 会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型； 知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质 （最大值、最小值定理和介值定理）。 第二章导数与微分 1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。 理解导数概念； 了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。 2．导数运算 熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。 掌握隐函数的求一阶导及二阶导。 会求参数表示的函数的一阶导及二阶导 会用对数求导法：解决幂指函数的求 2005年浙江大学数学分析试题及解答 浙江大学2005年数学分析解答 一 （10分）计算定积分20 sin x e xdx π ? 解：2 sin x e xdx π ? =()011cos 22x e x dx π??-????? ()01x e dx e ππ=-? 由分部积分法0cos 2x e xdx π =?()1e π -+20sin 2x e xdx π =?()1e π -0 4cos 2x e xdx π -? 所以0 cos 2x e xdx π = ?()115e π-，所以20sin x e xdx π?=()215 e π- 解毕 二 （10分）设() f x 在[0,1]上Riemann 可积，且1 ()2f x dx =? ，计算 1 1lim 4ln[1()]n n i i f n n →∞=+∑ 解：因为()f x 在[0,1]上Riemann 可积，所以0,()M f x M ?>≤，所以 1()0i f n n → 因为0ln(1) lim 1x x x →+=，所以114ln[1()]n i i f n n =+∑与1 14()n i i f n n =∑等价且极限值相等 由Riemann 积分的定义： 1 1lim 4ln[1()]n n i i f n n →∞=+∑ =410()f x dx =?解毕 三 （15分）设,,a b c 为实数，且1,0b c >-≠试确定,,a b c 的值，使得30sin lim ln(1)x x b ax x c t dt t →-=+? 解：若0b ≠，显然30sin lim 0ln(1)x x b ax x t dt t →-=+?，这与0c ≠矛盾，所以0b = 计算300sin lim ln(1)x x ax x t dt t →-+?，利用洛必达法则： 33000sin cos lim lim ln(1)ln(1)x x x ax x a x t x dt t x →→--=++?，易有30ln(1)lim 0x x x →+=，若1a ≠， 33000sin cos lim lim ln(1)ln(1)x x x ax x a x t x dt t x →→--==∞++?，矛盾，所以1 a =.计算301cos lim ln(1)x x x x →-+，继续利用洛必达法则： 关于数学参考书（大学数学系本科所有课程） 来源：复旦BBS数学 一、数学分析 从数学分析的课本讲起吧。复旦自己的课本应该可以从六十年代上海科技出的算起(指正式出版)，那本书在香港等地翻印后反应据说非常好，似乎丘成桐先生做学生的时候也曾收益与此。到90年代市面上还能看到的课本里面，有一套陈传璋先生等编的，可能就是上面的书的新版，交大的试点班有几年就拿该书做教材。 另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生的连襟)，秦曾复，朱学炎三位编的课本，好象后来数学系不用了，计算机系倒还在用。那本书里面据说积分的第二中值定理的陈述有点小错。总的说来，这些书里面都可以看到一本书的影子，就是菲赫今哥尔茨的"数学分析原理"，其原因，按照秦老师的说法，是最初在搞教材建设的时候，北大选的"模本"是辛钦的"数学分析简明教程"，而复旦则选了"数学分析原理"。后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的那本数学分析。我不否认那是一种尝试，但是感觉上总有点别扭。以比较新的观点来看数学分析这样经典的内容在国际上的确是一种潮流，但是从这个意义上说该书做得并不是非常好。而且从整体的课程体系上说，在后面有实变函数这样一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue积分值得商榷。 下面开始讲一些课本，或者说参考书: 1。菲赫今哥尔茨"微积分学教程"，"数学分析原理"。 前一本书，俄文版共三卷，中译本共8本; 后一本书，俄文版共二卷，中译本共4本。 此书堪称经典。"微积分学教程"其实连作者(莫斯科或者列宁格勒大学的教授，门下弟子无数，包括后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantoro vitch)都承认不太合适作为教材，为此他才给出了能够做教材的后一套书，可以说是一个精简的版本(有所补充的是在最后给出了一个后续课程的简介)。相信直到今天，很多老师在开课的时候还是会去找"微积分学教程"，因为里面的各种各样的例题实在太多了。如果想比较扎实的打基础的话，可以考虑把里面的例题当做有答案的习题来做，当然不是每道题都可以这么办的。如果你全部做完了那里的题目然后考试的时候碰到你做过的可别怪我。毫无疑问，这套书代表了以古典的方式处理数学分析内容(指不引入实变，泛函的观念)的最高水平，考虑到在中国的印数就以十万计，可能在世界范围内也只有Goursat的书可以与之相比了。这两套书在理图里面都有。 2。Apostol "MathematicalAnalysis" 在西方(西欧和美国)，这应该算得上是一本相当完整的课本了，在总书库里面有。 这是网上的一篇帖子，据说是一个大三学经济的学生看过的数学书，感觉很有价值，供大家参考： 讲几本数学书。这几本一定要读 1，蒋中一，这本也太经典了，无需我多说。总之很简单。不过没有概率论，模型也有点陈旧。新版修订本在这点上毫无建树。让人很可惜。这本书我以为写的最超乎同类著作之处是斯勒茨基方程，花了很大篇幅，解释得很清楚。但是这本书的篇幅限制了对很多问题的详细说明，微分方程仓促得简直像是公式大全。这本书初学者会喜欢，但是回头看看，也许只是手册一类或者拿本大著的数学附录。 数学分析： 1，同济的高等数学，我相信几乎所有学经济学的学生都念过。当然那本书是不够的。 2，菲赫金哥尔茨微积分学教程三大本。这套书真是经典得没话说，可惜我认识到这点已经迟了。 3，科朗微积分和数学分析导论我大一下学期因为贪读这本书多次旷课，可见它有多伟大。这本书的好处在于它不是很死板，可以和作者的另一本书《数学是什么》对照阅读。（本来科朗在前者的脚注里就特别喜欢说请参考敝人的另一本书数学是什么……害我对后者一直心驰神往^_^不过后者写得确实很有趣，可以当消遣） 4，Apostol 数学分析。此公的《微积分》煌煌2大卷，实在叫人头晕……呵呵。不过这本分析实在是一本只能用“绝妙”二字形容的书。其中的证明如风行水上，让人看了大呼过瘾，习题也很不错，强烈热情推荐！！！！ 继续上面的 5 数学分析新讲张筑生老师的牛书，大概是中国人自己写的最好的数学分析教科书了。 线性代数 嗯，这个部分其实要看高等代数，光看线性是绝对不够的，哄小孩子。 1，蓝以中简明高等代数好书，看了之后很长段数。 2，https://www.wendangku.net/doc/8810833774.html,ng ,Linear Algibra,这本书写给本科生看的，似乎是深了点，但是很有趣。 3，丘维声高等代数内容不深，自己看一周就看完了，偏代数，不过讲得很清楚。 4 Artin 代数。这本书机械工业好像有影印本。Atin是大家，这本书写得还是值得去看。 5 Jacobson 好像是抽象代数，时间太长记不得了。总之是经典，绝对是经典。 概率论与数理统计 1，浙大的盛骤谢式千老师编的那本，学经济学的也基本没有学生没读过吧…… 2，Hogg那本数理统计导论，高教有影印本，从最初薄薄的小册子到如今的巨著，哈哈，可见得它确实是一本严肃的而受欢迎的教科书。我很喜欢这本书。 3，陈希孺科大的老师，我很敬重他。因为国内的概率论教科书，只有陈老师写了很多概率论思想，澄清了我很久以来的困惑。他还有一本数理统计引论，现在绝版了，大概只有图书馆能找到，是座金矿。 4，费勒华章出了中译本新版，以前那种纸张很烂的老版看了要相形见绌吧。费勒的书特点是例子很多，很全面，讲法也很生动，初学者会喜欢这种风格。但是严格性方面也很好。是一本非常好的书。 最优化 一、数学是什么？――与大学一年级学生谈数学（王元明，东南大学出版社） 本书是根据作者为数学一年级学生讲授“学科概论”一课的讲稿整理而成。书中除了包含对分析学、代数学和几何学三个核心领域的基本内容和发展历程做概要介绍外，还包含广大青年数学爱好者十分关心的数学问题。本书力求将知识性，趣味性和历史性融为一体，是大学数学系的学生、中学高年级学生和广大数学爱好者了解数学、走进数学的参考书。 二、做数学之美妙――三次公开讲演（Serge Lang，李德琅译，四川大学出版社） “在一群非数学专业的普通听众面前做数学，对我来说完全是一种全新的体验，我从没想到它会如此成功，”“塞吉·兰——当代数学大师谈及他在巴黎科学博物馆的三次演讲时如是说”。 本书忠实地再现了这三次数学演讲，塞吉·兰通过演讲旨在就数学思想之美同普通观众进行沟通，就像大家看到的那样，听众始终如一的热情证实了他的成功。亲切、随和的气氛带出了三次演讲的主题——素数、丢番图方程以及几何与空间的几个重大问题。 三、数学的思维方式与创新（丘维声，北京大学出版社） 本书是作者在北京大学多次给本科生讲授“数学的思维方式与创新”素质教育通选课的教材．什么是数学的思维方式?如何培养学生的数学思维能力?数学的思维方式包括哪几个环节?作者用通俗易懂的语言论述了数学思维方式的五个重要环节：观察一抽象一探索一猜测一论证.讲述了数学上的创新是如何推动数学的发展，而数学的思维方式在创新中是怎样起着重要作用的，使学生领略数学创新的风采，受到数学思维方式与创新的熏陶和训练，提高数学素质. 本书以现代数学和信息时代有重要应用的数学知识和数学发展史上若干重要创新为载体，从同学们熟悉的整数、多项式出发，讲述整数环、一元多项式环的结构；从“星期”这一司空见惯的现象引出集合的划分、等价关系和模m剩余类的概念，进而研究模m剩余类环的结构；从信息时代为了确保信息安全引出序列密码和公开密钥密码，以及数字签名；从数学发展史上选出三个重大创新进行阐述，它们是：从对运动的研究到微积分的创立和严密化，从平行公设到非欧几里得几何的诞生与实现；从方程的根式可解问题到伽罗瓦理论的创立和代数学的变革．全书共分四章，第一、二、三章每节配置了习题，书末给出了习题解答，供教师和学生参考.万门大学数学系 数学经典教材(推荐)
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