【精准解析】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高二(6月)第二次月考数学(文)试题

2021届高二年级下学期第二次月考数学（文科）试卷

一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. 已知复数z 满足()13i z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =等于（ ） A. 10 10 C. 5

5【答案】D 【解析】

由题意2

3(3)(1)3321(1)(1)2

i i i i i i z i i i i ++--+-=

===-++-，则25z i =-=D ． 2. 抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A 为“两个点数不同”，事件B 为“两个点数中最大点数为4”，则()P B A =（ ） A.

112

B.

16

C.

15

D.

56

【答案】C 【解析】 【分析】

抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36种，其中记事件A 为“两个点数不同”的基本事件共有30种，再由“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件共有6种，利用条件概率的计算公式，即可求解．

【详解】由题意，抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36种， 其中记事件A 为“两个点数不同”的基本事件共有36630-=种，

又由事件“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件为：(1,4),(2,4),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)，共有6种，

所以

6

()1

36()30()536

P A B P B A P A ?===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3. 设x ∈R ，则“3x >”是“21x ≥”的（ ） A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】

分析：若3x >，则根据不等式的性质有21x ≥成立，但21x >推不出3x >，据此判断充分必要性.

详解：当3x >时，291x >>，取2x =，则241x =>，当23<，故“3x > ”是“21x > ”的充分不必要条件，故选A.

点睛：充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.

4. 执行如图所示的

程序框图，若输入的16n =，则输出的i ，k 的值分别为（ ）

A. 3，5

B. 4，7

C. 5，9

D. 6，11

【答案】C 【解析】

执行第一次循环后，11s =+，2,3i k ==，执行第二次循环后，112316s =+++<，

3,5i k ==，执行第三次循环后，11233516s =+++++<，4,7i k ==，执行第四次循

环后1123354716s =+++++++>，此时5,9i k ==，不再执行循环体，故选C. 点睛：对于比较复杂的流程图，可以模拟计算机把每个语句依次执行一次，找出规律即可. 5. 已知,x y 的取值如下表：（ ）

若依据表中数据所画的散点图中，所有样本点()(,)1,2,3,4,5i i x y i =都在曲线2

12

y x a =+附近波动，则a =（ ） A. 1

B.

1

2

C.

13

D. 12

-

【答案】A 【解析】

设2t x = ，则11

(014916)6,(1 1.3 3.2 5.68.9)455

t y =++++==++++=，所以点（6,4）在直线1

2

y t a =

+上，求出1a =，选A. 点睛：本题主要考查了散点图，属于基础题．样本点的中心(),x y 一定在直线回归直线上，本题关键是将原曲线变形为1

2

y t a =

+，将点（6,4）代入，求出值． 6. 不等式2

313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A .

(,1][4,)-∞-?+∞ B. (,2][5,)-∞-?+∞ C. [1,2]

D. (,1][2,)-∞?+∞

【答案】A 【解析】

因为24314313x x x x a a -≤+--≤+--≤-对对任意

x 恒成立，所以

22343041a a a a a a -≥-≥≥≤-即，解得或．

7. 甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为P 、2

3、35，若三人中有人达标但没有全部达标的概率为

23

，则P 等于（ ） A.

23 B.

34

C. 45

D.

56

【答案】B 【解析】

试题分析：人中有人达标但没有全部达标，其对立事件为“人都达标或全部没有达标”，则

()231221135353

P P ?+?-=-，解得3

4P =.故选B.

考点：古典概型.

8. 图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）

A. n

B. 2n

C. 1n +

D. 1n -

【答案】C 【解析】 【分析】

由图二，可以求出当1n =时，所有正方形的面积，结合选项即可排除A 、B 、D 选项． 【详解】由题意知，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，当2n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为3，以此类推，可得所以正方形面积的和为1n +；也可以通过排除法，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，选项A 、B 、D 都不满足题意，从而选出答案． 故选C.

【点睛】本题考查了归纳推理，考查了勾股定理的应用，属于基础题．

9. 察下列各式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=……，则

3337815++??+=（ ）

A. 14400

B. 13959

C. 14175

D. 13616

【答案】B 【解析】 【分析】

由有限项可得2

3

3

3

(1)12...2n n n +??+++=????

，再代入运算即可得解.

【详解】解：由332123+=，33321236++=，33332123410+++=……，

则2

333(1)12...2n n n +??+++=????

， 则

3337815++??+215(151)2?+??=-????2

6(61)2?+??

????2212021(12021)(12021)13959=-=+-=，

故选：B.

【点睛】本题考查了归纳推理能力，重点考查了运算能力，属中档题. 10. 若2x =-是函数2

1

()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）．

A. 1-

B. 32e --

C. 35e -

D. 1

【答案】A 【解析】

由题可得()()()

()1

2121

2121x x x f x x a e

x ax e x a x a e ---??=+++-=+++-??'， 因为()20f '-=，所以1a =-，()()

2

1

1x f x x x e

-=--，故()()

2

1

2x f x x x e

--'=+，

令()0f x '>，解得2x <-或1x >，

所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减，

所以()f x 的极小值为()()11

11111f e

-=--=-，故选A ．

【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；

（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．

11. 若曲线3

2

22y x x =-+在点A 处的切线方程为46y x =-，且点A 在直线

10mx ny +-=（其中0m >，0n >）上，则

12

m n

+的最小值为（ ）

A. B. 3+ C. 6+

D. 【答案】C 【解析】 【分析】

设A （s ，t ），求得函数y 的导数可得切线的斜率，解方程可得切点A ，代入直线方程，再由基本不等式可得所求最小值．

【详解】解：设A （s ，t ），y ＝x 3﹣2x 2+2的导数为y ′＝3x 2﹣4x ， 可得切线的斜率为3s 2

﹣4s ，

切线方程为y ＝4x ﹣6，可得3s 2﹣4s ＝4，t ＝4s ﹣6， 解得s ＝2，t ＝2或s 23=-

，t 26

3

=-， 由点A 在直线mx +ny ﹣l ＝0（其中m ＞0，n ＞0）， 可得2m +2n ＝1成立，（s 23=-

，t 26

3

=-，舍去），

则

12m n +=（2m +2n ）（12m n +）＝2（32n m m n ++）≥2（

当且仅当n =时，取得最小值

故选C ．

【点睛】本题考查导数的运用：求切线斜率，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．

12. 函数()f x 的定义域为(,2)-∞，()'

f x 为其导函数，若'1(2)()()x

x

x f x f x e --+=

且(0)0f =，则()0f x <的解集为（ ）

A. (,0)-∞

B. (0,1)

C. (1,2)

D. (0,2)

【答案】D 【解析】 【分析】

设()(2)()g x x f x =-，由已知可得()g x (1,2)上单调递减，在(,1)-∞单调递增，且

(0)0g =，(2)0=g ，()0f x g x ，结合图象即可得到答案.

【详解】设()(2)()g x x f x =-，由已知，得'

1()x

x g x e

-=

，显然当12x <<时，'

()0g x <， 当1x <时，'

()0g x >，故()g x 在(1,2)上单调递减，在(,1)-∞单调递增，且

(0)(02)(0)0g f =-=，(2)(22)(2)0g f =-=，作出示意图如图 ()

()002

g x f x x

<-，所以只需()0>g x 即可，解得02x <<. 故选：D

【点睛】本题考查构造法解不等式，涉及到利用导数研究函数的单调性，考查学生的转化与化归的思想，是一道中档题.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 复数()()

22

3456z m m m m i =--+--为纯虚数，则实数m =________

【答案】4 【解析】 【分析】

若复数z a bi =+为纯虚数，则0

0a b =??≠?

，再将题设中的条件代入运算即可.

【详解】解：因为复数()()

22

3456z m m m m i =--+--为纯虚数，

所以22340560

m m m m ?--=?--≠?，解得4161m m m m ==-??≠≠-?或且，即4m =，

故答案为4.

【点睛】本题考查了纯虚数的概念，属基础题.

14. 已知命题:p 方程22

113x y

m m

+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，命题:q 关于x 的方程

22230x mx m +++=无实根，若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题.则实数m 的取值

范围为_______. 【答案】13m ≤< 【解析】 【分析】

分别由命题p 和命题q 为真，求出m 的范围，再根据复合命题的真假得到命题p 与命题q 必是一真一假，再分两种情况列式即可解得结果.

【详解】由方程22

113x y m m

+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，

可得310m m ->+>，解得11m -<<. 由关于x 的方程22230x mx m +++=无实根，

可得2

44(23)0m m =-+<，即2230m m --<，解得13m -<<.

因为“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，所以命题p 与命题q 必是一真一假， 当p 真q 假时，有11

13m m m -<

≤-≥?

或，此时无解，

当p 假q 真时，有11

13

m m m ≤-≥??

-<

所以实数m 的取值范围为13m ≤<.\ 故答案为：13m ≤<.

【点睛】本题考查了由复合命题的真假判断命题的真假，考查了由命题的真假求参数的取值范围，考查了椭圆的标准方程，考查了二次方程的实根的问题，属于中档题.

15. 用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________________．

【答案】a ，b ，c ，d 全是负数 【解析】 【分析】

考虑命题的反面，即可得出结论.

【详解】“至少有一个”的否定是“一个也没有”， 故结论的否定是“a ，b ，c ，d 中没有一个是非负数， 即a ，b ，c ，d 全是负数”． 故答案为：a ，b ，c ，d 全是负数

【点睛】本题考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，属于基础题.

16. 设P 是边长为a 的正ABC ?内的一点，P 点到三边的距离分别为123h h h 、、，则

123h h h ++=

；类比到空间，设P 是棱长为a 的空间正四面体ABCD 内的一点，则P 点到四个面的距离之和1234h h h h +++=___________．

. 【解析】 【分析】

由平面几何类比到空间几何体，注意式子结构上的变化．

【详解】根据等边三角形面积公式2

4

S a =

，因为

P 点到三边的距离分别为123h h h 、、，所以

()212312a h h h ??++=

即123h h h ++=

正四面体的体积为3V =

P 点到四个面的距离为1234h h h h 、、、

，所以(

)23123413412

a h h h h a ?

?+++=

所以12343

h h h h a +++=

【点睛】本题考查了类比推理的简单应用，从平面几何到空间几何体，属于基础题． 三、解答题（共70分）

17. 已知函数()|2||2|f x x ax =+--.

（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集；

（2）若不等式()2f x x >-对任意的(0,2)x ∈恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|5x x ≤-或}1x =；（2）[]1,3-. 【解析】 【

分析】

（1）当a ＝2时，结合函数的解析式零点分段求解不等式的解集即可； （2）原问题等价于26

a x x

-

<<，据此结合恒成立的条件确定实数a 的取值范围即可. 【详解】（1）当a ＝2时，()4,2

2223,214,1x x f x x x x x x x -≤-??

=+--=-<

，

当x ≤－2时，由x －4≥2x ＋1，解得x ≤－5； 当－2＜x ＜1时，由3x ≥2x ＋1，解得x ∈?； 当x ≥1时，由－x ＋4≥2x ＋1，解得x ＝1． 综上可得，原不等式的解集为{x |x ≤－5或x ＝1}．

（2）因为x ∈（0，2），所以f （x ）＞x －2等价于|ax －2|＜4，

即等价于26

a x x

-

<<， 所以由题设得26

a x x

-<<在x ∈（0，2）上恒成立，

又由x ∈（0，2），可知21x -<-，6

3x

>，

所以－1≤a ≤3，即a 的取值范围为[－1，3]． 【点睛】绝对值不等式的解法：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

18. 在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2

sin cos 0ρθθ-=，以极点O 为原点，以极轴

为x 轴正半轴，建立直角坐标系，已知M 点的坐标为(0,1)，直线l

的参数方程为1x y ?=???

?=??

（t 为参数），且与曲线C 交于,A B 两点.

（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求||||MA MB 的值. 【答案】（1）1y x =-+；（2）2. 【解析】

试题分析：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得曲线C 的直角坐标方程，消去参数t 可得直线l 的普通方程；（2）将直线的参数方程代入带抛物线中，根据参数的几何意义可得

MA MB 的值.

试题解析：（1）∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，由2

sin cos 0ρθθ-=，得

22sin cos ρθρθ=.∴2y x =，即为曲线C 的直角坐标方程；

由2

12

x t y ?

=-??

?

?=+??

消去参数t 可得直线l 的普通方程为1y x =-+.

（2）把直线l

的参数方程为2

1x t y ?

=-??

?

?=??

（t 为参数）代入曲线C 的方程，得：

2

2

2122t t ??+=- ? ???

，即23220t t ++=，()

2

3242100?=-?=>，设,A B 对应的

参数分别为12,t t ，则1212322

t t t t ?+=-??=??，又直线l 经过点M ，故由t 的几何意义得：点M 到,A B

两点的距离之积12122MA MB t t t t ===.

19. 目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期低于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期不低于平均数的患者，称为“长潜伏者”.

（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；

（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关；

短潜伏者 长潜伏者 合计 60岁及以上 90 60岁以下 140 合计

300

附表及公式：

2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++

【答案】（1）平均数6；人数250人（2）见解析，有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关 【解析】 【分析】

（1）用各个矩形的面积乘以矩形底边的中点值再相加即可得到平均数，用样本容量乘以频率可得频数；

（2）根据分层抽样完善列联表，根据公式计算出2K 的值，结合临界值表可得结论. 【详解】（1）平均数为

()0.0210.0830.1550.1870.0390.03110.011326?+?+?+?+?+?+??=.

“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为()0.180.030.030.0120.5+++?=， 所以500人中“长潜伏者”的人数为5000.5250?=人

（2）因为500人中“长潜伏者”的人数为250人，“短潜伏者”的人数为250人， 按分层抽样可知，300人中“长潜伏者”的人数为150人，“短潜伏者”的人数为150人， 因为60岁及以上的“短潜伏者”的人数为90人，所以60岁以下的“短潜伏者”的人数为60人，

又60岁以下的人数为140人，所以60岁以下的“长潜伏者”的人数为80人，所以60岁及以上的“长潜伏者”的人数为70人，由此可得补充后的列联表如图：

60岁及以上

90

70

160

60岁以下 60 80 140 合计 150

150

300

所以2K 的观测值为2

2

300(90806070)75

5.357 5.02415015016014014

K ??-?==≈>???，

经查表，得(

)

2

5.0240.025P K ≥≈，所以有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关. 【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求平均数、频数，考查了分层抽样，考查了完善列联表，考查了独立性检验，属于基础题.

20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=，

1,PA AB E ==为PC 的中点

.

（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求三棱锥P BDE -的体积. 【答案】(1)见解析；(2) 3

24

P BDE V -=． 【解析】 【分析】 （1）设AC

BD O =，连接OE ，由中位线定理可得//PA OE ，根据线面平行的判定定理

可得结论；（2）根据等积变换及棱锥的体积公式可得，

13

2P BDE A BDE E ABD P ABD V V V V ----====

. 【详解】（1）证明：设AC

BD O =，连接OE ，则//PA OE ，

又OE ?平面BDE ，且PA ?平面,//BDE PA ∴平面BDE .

（2）111133

112232P BDE A BDE E ABD P ABD V V V V ----===

=????=

21. 已知函数()()x

f x ae x a R =-∈，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ）试判断函数()f x 的单调性； （Ⅱ）当21

a e

=

时，不等式()2ln f x x x t ≥-+恒成立，求实数t 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)见解析； (Ⅱ) (]

,12ln2-∞- 【解析】 【分析】

（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a 分类，当a ≤0时，()f x '＜0，f （x ）为R 上的减函数；当a ＞0时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各段内的符号得到原函数的单调性；

（Ⅱ）分离参数t ，可得22ln x e t x e ≤-恒成立．令()22ln x

e g x x e

=-，则问题等价于求解函数

g （x ）的最小值，然后利用导数分析求解函数g （x ）的最小值得答案．

【详解】（Ⅰ）由题可得函数()f x 的定义域为R ，()1x

f x ae '=-，

当0a ≤时，因为0x e >，所以()0f x '<，所以函数()f x 在R 上单调递减； 当0a >时，令()0f x '<，解得ln x a <-；令()0f x '>，解得ln x a >-，

所以函数()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，在[

)ln ,a -+∞上单调递增． 综上，当0a ≤时，函数()

f x R 上单调递减；当0a >时，函数()f x 在(),ln a -∞-上单

调递减，在[

)ln ,a -+∞上单调递增． （Ⅱ）当21a e =时，()2x

e f x x e

=-，

则不等式()2ln f x x x t ≥-+可化为22ln x

e t x e

≤-，

因为不等式()2ln f x x x t ≥-+恒成立，所以原问题可转化为2min

2ln x e t x e ??

≤- ???．

设()22ln x e g x x e =-，显然函数()g x 的定义域为()0,+∞，()22

x e g x e x ='-，

令()22(0)x e h x x e x =->，则()222

'0x e h x e x

=+>恒成立，

所以函数()h x 在()0,+∞上单调递增，

又()222

202

e h e =-=，所以当02x <<时，()0g x '<；当2x >时，()0g x '>，

所以函数()g x 在()0,2上单调递减，在[

)2,+∞上单调递增， 所以()()min 212ln2g x g ==-，所以12ln2t ≤-， 故实数t 的取值范围为(]

,12ln2-∞-．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数最值的求法，考查了利用分离变量法求解恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想，是中档题．

22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()22

22:10x y C a b a b +=>>过点()2,1P ，且离心率

e =

（1）求椭圆C 的方程； （2）直线l 的斜率为

1

2

，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求PAB ?的面积的最大值.

【答案】（1）22

182

x y +=；

（2）2. 【解析】 【分析】

（1）由椭圆C 的离心率可得出224a b =，将点P 的坐标代入椭圆C 的方程，可得出2a 和2b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程； （2）设直线l 的方程为1

2

y x m =

+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，由>0?求出2m 的范围，列出韦达定理，利用弦长公式计算出AB ，利用点到直线的距离公式求出PAB ?的高，然后利用三角形的面积公式结合基本不等式可求出该三角形面积的最大值.

【详解】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，则22222

22

23

14

c a b b e a a a -===-=，224a b ∴=. 则椭圆C 的方程可化为22

2214x y b b

+=，

将点P 的坐标代入椭圆C 的方程得

2241

14b b

+=，可得22b =，28a =， 因此，椭圆C 的方程为22

182

x y +=；

（2）设直线l 的方程为1

2

y x m =

+，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立22

12

18

2y x m x y ?=+????+=??， 消去y ，整理得222240x mx m ++-=，()

2

2

44240m m ?=-->，得24m <.

由韦达定理得122x x m +=-，2

1224x x m =-.

则

12AB x x =-==

直线l 的一般方程为220x y m -+=，点P 到直线l 的距离为

d =

=

所以，22

1142222PAB

m m S AB d ?-+=?==≤=，

当且仅当224m m -=时，即当m =时，等号成立， 因此，PAB ?面积的最大值为2.

【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算，在求解直线与椭圆的综合问题时，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，考查运算求解能力，属于中等题.