几个优化问题的数学建模
几个优化问题的数学建模
一、一个开放式基金投资问题
6、模型的评价
模型的主要优点是采用较为成熟的数学理论建立模型，利用数学软件计算，可信度比较高，便于推广。主要缺点是建立的模型是确定的而不是更符合实际情况的随机型模型。
二、结合人员分配的生产规划问题
1、问题
某公司要对四种产品（P1，P2，P3，P4）在五条生产线（L1到L5）上的生产进行规划。产品P1和P4的单位纯利润为7元，产品P2的单位纯利润为8元，产品P3的单位纯利润为9元。在规划期内这五条生产线各自可以进行生产的时间长度各不相同。L1到L5的最大可用生产时间分别为4500小时，5000小时，4500小时，1500小时和2500小时。表1列出了在每条生产线上生产每种产品一个单位所需要的时间。
（1）、假设生产是流水线作业，产品P1到P4各应生产多少才能使总利润最大？
（2）、如果在生产过程中允许在生产线之间进行人员转移（从而使工时也相应转移），如表2所示，则最大利润是多少？应转移多少个工时，如何转移？
（3）、如果生产不是流水线作业，模型应如何修改？
表1 单位生产时间
表2 可以进行的人员转移
2、假设
（1）每条生产线可生产各种产品；
（2）每个生产人员的工作效率相同，且熟练各条生产线的操作，可在各条生产线之间转移。
3、建模
3.1、问题(1) 设每种产品必须经过5条生产线才能生产出来，产品P i 的产量为x i ,单位纯利润为r i ,在生产线L j 上的单位生产时间为d ij 。生产线L j 的可用总工时数为c j ,则可得模型1：
max 41
i =∑r i x i
s.t.
41
i =∑
d ij x i ≤c j ，j=1，2，3，4，5
x i ≥0，i=1，2，3，4
3.2、问题(2) 设y jk 为从生产线L j 转移到生产线L k 的工时数，生产线L j 的最大可转移总工时数为b j ,j,k=1,2,3,4,5,j ≠k ，则可得模型2：
max 4
1i =∑r i x i
s.t.
3.3、问题(3) 设每种产品只需在任意一条生产线上即可生产出来，产品P i
在生产线L j 上的产量为x ij , i=1，2，3，4；j=1，2，3，4，5，则只需在上述两个模型中，将目标函数修改为max 4
1i =∑
5
1
j =∑
r i x ij ,将41
i =∑d ij x i 修改为4
1
i =∑d ij x ij ,其余不变。
4、求解
利用Lindo 软件包，根据题目所给数据编程求解线性规划模型1，2，得如下结果。
4.1、模型1的结果 最大利润为18882.97元，产品P 1，P 2的产量分别为1542.55，1010.64，其他两种产品不生产，只有生产线L 3和L 5用尽了所有可用工时。这表明可通过转移工时来增加利润。
4.2、模型2的结果 最大利润为23431.10元，产品P 1，P 2，P 3，P 4 的产量分别为 702.35,942.82,554.83,854.84.L 1上总计用了4100个工时，有400个工时转移到L 4上；L 2上用了3840个工时，有800个工时转移到L 5上；L 3上用了4300个工时，有200个工时转移到L 4上；L 4上用完了原有工时，还用了转移来的600个工时；L 5上用完了原有工时，还用了转移来的800个工时。
5、进一步讨论 若假设x i ∈N ，i=1,2,3,4，则模型为整数线性规划，可类似求解。
4
1i =∑
d ij x i ≤c j +51
k =∑y kj -5
1
k =∑y jk ,j=1，2，3，4，5
5
1
k =∑
y jk ≤b j ，j=1，2，3，4,5
y 15，y 21,y 24,y 35,y 41,y 42,y 43,y 54=0
y jj =0,j=1,2,3,4,5
x i ≥0，i=1，2，3，4
y jk ≥0,j,k=1,2,3,4,5
三、网络最大流问题
1、问题 在单源单汇具有容量上限的网络),,(C E V N =中求从源到汇的流量最大的可行流。
2、模型
max )(v f
∑∑
≠=j t s i k ki ij v v v f f ,,
∑∑
==j k
kt sj f v f f )( E ∈≤≤j i ij ij v v c f ,0
3、算法
（1）Ford-Fulkerson 算法，计算复杂性与容量有关，而与点数和边数无关； （2）Edmonds-Karp 算法，计算复杂性为),(2
n m O 其中V =n ，E m =； （3）单纯形法，非多项式算法，可利用Lindo 、Lingo 或Matlab 软件编程计算。 4、应用 （1）最小割集； （2）最小流； （3）多端最大流； （4）增益流；
（5）点具有容量的最小流；
（6）最小费用流，其模型只要在最大流模型中将目标改为∑∈E
v v ij ij
j i f b
min
即可得。
5、进一步讨论 约束条件 E ∈≤≤j i ij ij v v c f ,0中的容量值若为整数，求解上述线
性规划，必得整数最大流，即各条边上的流量为整数。
四、图的独立集、覆盖集与支配集问题
1、匹配（边独立集）
（1）问题 求图中边数最多的不相邻边之集，即最大匹配。
（2）算法
1）求非偶图最大匹配的“开花”算法，计算复杂性为)(3
n O 。或引入0-1变量ij x ，当i
v 与j v 配对时，1;ij x =否则，0,ij x =建立如下模型，利用软件编程计算。
max ij i
j
x ∑∑
()
1,1,2,,..01,1,2,,,j i ij v N v ij x i n s t x i j n i j
∈?≤=?
??==≠?∑或，
2）求偶图),,(E Y X G =最大匹配的匈牙利算法，计算复杂性为)(mn O 。或引入0-1变量ij x ，当X x i ∈与Y y j ∈配对时，1=ij x ；否则，0=ij x ，建立如下模型，利用软件编程计算。
∑∑
j
ij
i
x
max
∑
∈≤j i ij X x x ,1 ∑
∈≤i
i ij Y y x ,1 10或=ij x
（3）应用
1）问题 求加权偶图中权和最大或最小的最大匹配，即最优匹配。
2）模型 若求权和最大的最优匹配，则其模型只要在上述模型中将目标改为
∑∑
j
ij
ij i
x
w max 即可得，其中，当E ∈j i y x 时，)(y x w w i ij =,否则，0w =ij ；若求权和最
小的最优匹配，则其模型只要在上述模型中将目标改为∑∑'j
ij
ij i
x
w max
即可得，其中当
E ∈j i y x 时，ij ij
w w w -='，否则，0=ij w ，{}ij w w max =。 3）算法 a)kuhn-Munkras 算法，计算复杂性为)(4
n O ；b ）利用软件编程计算。 （4）推广 一人承担多项工作或一项工作由多人承担的，指派问题，只要将上述模型中的约束条件适当修改即可。
2、边覆盖集
（1）问题 求图中边数最少的覆盖所有点的边之集，即最小边覆盖集。
（2）算法 通过最大匹配求得。或引入0-1变量ij x ，当i j v v 属于边覆盖集时，1;ij x =否则，0,ij x =建立如下模型，利用软件编程计算。 1.
min ij i
j
x ∑∑
1,1,2,,..01,1,2,,,ij j ij x i n s t x i j n i j
?≥=???==≠?∑或，
3、点覆盖集
（1）问题 求图中点数最少的覆盖所有边的点之集，即最小点覆盖集。 （2）算法 求所有极小点覆盖集的逻辑算法：
∏∏=∈+n
i v N v i
j v v i j 1
)
((）
。或引入0-1变量i
x ，当i
v 属于（点）覆盖集时，1;i x =否则0i x =，建立如下模型，利用软件编程计算。
min i i
x ∑
1,,1..011,2,,,
i j i j i x x v v E i j n s t x i n +≥∈≤<≤???==??或，
4、点独立集
（1）问题 求图中点数最多的不相邻点之集，即最大点独之集。
（2）算法 求出最小点覆盖集，其补集即为最大点独立集。或引入0-1变量i x ，当i v 属于（点）独立集时，1i x =；否则；0i x =，建立如下模型，利用软件编程计算。
max i i
x ∑
()1,1,2,,..011,2,,j i i j v N v i x x i n
s t x i n
∈?+≤=???==?∑或，
5、支配集
（1）问题 求点数最少的点之集，使图中每个点或属于该点集，或与该点集中至少一点相邻，即最小支配集。
（2）算法 求所有极小支配集的逻辑算法：∏=∑∈+n
i i
i
v N j v j v v 1)((）
。或引入0-1变量i x ，
当i v 属于支配集时，1i x =；否则；0i x =，建立如下模型，利用软件编程计算。
min i i
x ∑
()1,1,2,,..011,2,,,
j i i j v N v i x x i n
s t x i n ∈?+≥=???==?∑或，
五、中国邮路问题（CPP ）
1、问题 求Euler 图中的Euler 回路。
2、算法 Fleury 算法，计算复杂性为)(m O 。
3、应用
（1）问题 在加权连通图中求经过每条边至少一次的权和最小的回路，即中国邮路。 （2）模型 设ij x 为经过边j i v v 的次数，则得如下模型。
∑E
∈j i v v ij
ij
x
w max
∑∑
E ∈E ∈∈=j i i
k v v i v v ki ij V v x x ,
E ∈∈≤j i ij v v N x ,1
(3)算法 1）奇偶点图上作业法；2）最小权匹配算法，计算复杂性为)(3
n O 4、推广 多邮递员中国邮路问题（CPP k -）
六、旅行推销商问题（TSP ）
1、问题 求Hamilton 图中的Hamilton 回路。
2、算法 DFS 法，计算复杂性为)!(n O
3、应用
（1）问题 在加权连通图中求经过每个点至少一次的权和最小的回路，即推销商回路。 （2）模型 先将一般加权连通图转化成一个等价的加权完全图，设当从i v 到j v 时，
1=ij x ，否则，0=ij x ，则得如下模型。
∑∑==n i n
j ij
ij x
w 11
min
∑
=
=
=
n
j
ij
n
i
x
1
,
,1
,1
∑
=
=
=
n
i
ij
n
j
x
1
,
,1
,1 1
,
,2-
=n
k
n
i
i
k
x
x
x
k
i i
i i
i i k
1
,
,
,1
1
1
3
2
2
1
=
-
≤
+
+
+
=
ij
x或1，j
i
n
j
i≠
=,
,
,1
,
（3）算法1）分枝定界法，非多项式算法；2）最小生成树法；3）代换法；4）插入法；5）最近邻法；6）神经网络法；7）模拟退火法；8）蚂蚁算法，2）—8）均为近似算法。
4、推广多旅行推销商问题)
(TSP
k-
七、图的着色问题
1、点着色
（1）问题求给图的点着色，且使邻点异色的最少颜色数。
（2）算法1）图收缩法，非多项式算法；2）Welch-Powell算法，为近似算法；3）引
入0-1变量
ik
x，当
i
v着第k种颜色时，1
ik
x=；否则；0
ik
x=，设颜色种数为x，建立如下模型，利用软件编程计算。
min x
1
1
1
1
1,1,2,,
1,
..,1,2,,
011,,;1,,1
ik
k
ik jk i j
ik
k
ik
x i n
x x v v E
s t x kx i n
x i n k
x
?+
=
?+
=
?
==
?
?
+≤∈
?
?
?
≥=
?
?
?===?+
?
≥
?
?
?
∑
∑
或，
2、边着色求给图的边着色，且使邻边异色的最少颜色数。边着色可转化为点着色。或
引入0-1变量
ijk
x，当
i j
v v着第k种颜色时，1
ijk
x=；否则；0
ijk
x=，设颜色种数为x，建立如下模型，利用软件编程计算。
min x
1
1
111,1,,..,01,1,2,,1
0ijk i j k ijk imk i j i m ijk i j k ijk i j x v v E x x v v v v E s t x kx v v E
x v E k x ?+=?+=?=∈??+≤∈???≥∈??
?=∈=?+?
≥???
∑∑或，v
3、面着色 求给平面图的面着色，且使邻面异色的最少颜色数。面着色也可转化为点着色。
八、文件保存问题
1、问题
在出发去度假之前，你希望将你的一些最重要的文件备份到软盘上。每个空白软盘的容量
是1.44MB 。你需要备份的16个文件的大小分别为：46KB ，55KB ，62KB ，87KB ，108KB ，114KB ，137KB ，164KB ，253KB ，364KB ，372KB ，388KB ，406KB ，432KB ，461KB ，851KB 。假定你无法使用压缩软件，但软盘数量足够，那么应如何将这些文件分配到每一张软盘上才能使使用的软盘数目最少？
2、建模 这是一个装载问题，它与切割问题统称为放置问题。设保存所有文件的软盘数为
x ，由于任意两个文件的大小均不超过软盘的容量，故8x ≤。设a 为软盘的容量，i a 为第i 个
文件的大小，1,2,
,16;i =单位均为KB 。
令1,0ij i x ?=?
?第个文件保存到第j 张软盘上
，
否则，1,2,
,16;i =1,2,
,8j =，则得如下
混合整数规划模型
min x
8
1
81
16
11
1,2,,16(1)1,2,,16(2)..1,2,,8(3)011,2,16;1,2,80ij j ij
j i ij i ij x i x jx i s t a x a j x i j x ===?==???
≥=???
?≤=??
===??≥?
∑∑∑或，，
式（1）表示一个文件只能保存到一张软盘上；式（2）表示使用的软盘数至少等于所使用的软盘的最大编号，即不比所有软盘的编号小，其中
8
1
ij
j jx
=∑表示包含第i 个文件的软盘编号；式（3）
表示软盘的容量有限。不需要对x 施加整数性约束，在最优解中将自动取整数值。
3、求解 由题目所给数据，根据LINDO 软件包，编程计算得
114171819110,112,122325211,213,214,26315,316,33,1
x x x x x x x x x x x x x x x x x =================，其余变量均为0。即最少
用3张软盘，第1，4，7，8，9，10，12个文件保存在第1张软盘上，第2，3，5，11，13，14个文件保存在第2张软盘上，第6，15，16个文件保存在第3张软盘上。
由于目标函数很弱，问题肯定可行，可通过破除问题的对称性来提高分支定界法的搜索速度。由于文件和软盘的编号是随意的，如果指定将某个文件分配到某张软盘上，例如将最大的文件分配到第1张软盘上，能够避免线性规划松弛搜索一部分整数不可行的方案。这种打破对称性的方法在组合问题中非常有效。
4、进一步讨论
（1）考虑到一般性，需建立模型来解决本问题，且模型要具有普遍适用性；
（2）可通过进一步讨论，减小所使用软盘数量x 的上限，使其比8小，从而减小计算量。
数学建模路线优化问题
选路的优化模型 摘要: 本题是一个有深刻背景的NPC问题，文章分析了分组回路的拓扑结构，并构造了多个模型，从多个侧面对具体问题进行求解。最短树结构模型给出了局部寻优的准则算法模型体现了由简到繁，确保较优的思想而三个层次分明的表述模型证明了这一类问题共有的性质。在此基础上我们的结果也是比较令人满意的。如对第一题给出了总长为599.9，单项长为216的分组，第二题给出了至少分四组的证明。最后，我们还谈到了模型的优缺点及推广思想。 一、问题描述 “水大无情，人命关天”为考察灾情，县领导决定派人及早将各乡（镇），村巡视一遍。巡视路线为从县政府所在地出发，走遍各乡（镇），村又回到县政府所在地的路线。 1.若分三组巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。 2.假定巡视人员在各乡（镇）停留时间为T=2小时，在各村停留时间为t =1 小时， 汽车行驶速度为V=35公里/时，要在24小时内巡视完，至少分成几组；给出这 种分组下你认为最佳的巡视路线。 3.上述关于T，t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多 少？给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。 4.巡视组数已定（如三组）要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变时最佳路线的 影响（图见附录）。 二、问题假设 1、乡（镇）村只考察一次，多次经过时只计算一次停留时间。 2、非本县村不限制通过。 3、汽车的行驶速度始终一致。 三、符号说明 第i 人走的回路Ti=vv i(i) v2(i)v n(i) Ti=00表示第i人在0点没移动 四、模型建立
在这一节里，我们将提出若干个模型及其特点分析，不涉及对题目的求解。 最简树结构模型 在这个模型中我们依靠利用最短树的特殊结构所给出的准则，进行局部寻优，在一个不大的图里，我们较易得到较优解。 (a)分片 准则1利用最短树的长度可大致的估算出路程长，在具体操作中，各片中 的最短路程长度不宜相差太大。 准则 2 尽可能将最短树连成一个回路，这可保证局部上路程是较短的。 (b)片内调整 a2 a3 a4 a5 a6假设a3 a4有路相连 细准1对于右图的最短树结构，最好的走法是a 若a3 a4 进去重复走的话，它与上述的走法路程差w(a3, a2)+w(a2 ,a5)+w(a4, a5)—w(a3, a4)。由两点间最小原则上式是大于0的优劣可见 细准2若有如图所示结构，一般思想是：将中间树枝上的点串到两旁树枝，以便连成回路。 五、模型求解 问题一该问题完全可以用均衡模型表述 用算法模型 1 经过局部优化手工多次比较我们能够给出的最佳结果为第一组路径为 0—P—28—27—26—N—24—23—22-17—16—1—15—1—18—K—21—20—25— M--0 长191.1 经5 镇6 村 第二组路径为 0—2—5—6—L—19—J—11--G—13—14—H—12—F—10—F—9—E—8—E—7—6—5—2—0 长216.5 经6 镇11 村第三组路径为O—2—3—D—4—D—3—C—B—1—A—34—35—33—31—32—30—Q—29 —R 长192.3 经6 镇11 村总长S=599.9 公里 由算法2 给出的为 1组0—P—29—R—31—33—A—34—35—32—30—Q—28—27—26—N—24—33—22—23—N—2 6—P—0 5 乡13 村长215.2 公里 2组0—M—25—21—K—17—16—I—15—I—18—K—21—25—20—L—19—J—11—G—13—14 —O 5 乡11 村长256.2 公里 3组 O—2—5—6—7—E—9--F—12--H--—12—F—10—F—9—E-8—4—0—7—6—M—5-2—3—L —13—1—0 8 乡11 村长256.3 公里 总长727.7 公里
数学建模中常见的十大模型
数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的
数学建模优化问题经典练习
1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳 万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000
数学建模：投资问题
投资的收益与风险问题 摘要 对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。 本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，并通过“最大化策略”，即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入收益——风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三。然后分别使用Matlab的内部函数linprog，fminmax，fmincon对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。 关键词：组合投资，两目标优化模型，风险偏好
2.问题重述与分析 3.市场上有种资产（如股票、债券、…）()供投资者选择，某公司有数额为的 一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。 购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。（） 1、已知时的相关数据如下： 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。 本题需要我们设计一种投资组合方案，使收益尽可能大，而风险尽可能小。并给出对应的盈亏数据，以及一般情况的讨论。 这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求:净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这
数学建模面试最优化问题
C题面试时间问题 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队(即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的)。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示(单位：分钟)： 这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司．假定现在时间是早晨8:00问他们最早何时能离开公司? 面试时间最优化问题 摘要： 面试者各自的学历、专业背景等因素的差异，每个面试者在每个阶段的面试时间有所不同，这样就造成了按某种顺序进入各面试阶段时不能紧邻顺序完成，即当面试正式开始后，在某个面试阶段，某个面试者会因为前面的面试者所需时间长而等待，也可能会因为自己所需时间短而提前完成。因此本问题实质上是求面试时间总和的最小值问题，其中一个面试时间总和就是指在一个确定面试顺序下所有面试者按序完成面试所花费的时间之和，这样的面试时间总和的所有可能情况则取决于n 位面试者的面试顺序的所有排列数 根据列出来的时间矩阵，然后列出单个学生面试时间先后次序的约束和学生间的面试先后次序保持不变的约束，并将非线性的优化问题转换成线性优化目标，最后利用优化软件lingo变成求解。 关键词：排列排序0-1非线性规划模型线性优化 (1)
（一）问题的提出 根据题意，本文应解决的问题有： 1、这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在的时间是早晨8：00，求他们最早离开公司的时间； 2、试着给出此类问题的一般描述，并试着分析问题的一般解法。 （二）问题的分析 问题的约束条件主要有两个：一是每个面试者必须完成前一阶段的面试才能进入下一阶段的面试(同一个面试者的阶段次序或时间先后次序约束)，二是每个阶段同一时间只能有一位面试者(不同面试者在同一个面试阶段只能逐一进行)。 对于任意两名求职者P、Q，不妨设按P在前，Q在后的顺序进行面试，可能存在以下两情况： （一）、当P进行完一个阶段j的面试后，Q还未完成前一阶段j-1的面试，所以j阶段的考官必须等待Q完成j-1阶段的面试后，才可对Q进行j阶段的面试，这样就出现了考官等待求职者的情况。这一段等待时间必将延长最终的总时间。 （二）、当Q完成j-1的面试后，P还未完成j阶段的面试，所以，Q必须等待P完成j阶段的面试后，才能进入j阶段的面试，这样就出现了求职者等待求职者的情况。同样的，这个也会延长面试的总时间。 以上两种情况，必然都会延长整个面试过程。所以要想使四个求职者能一起最早离开公司，即他们所用的面试时间最短，只要使考官等候求职者的时间和求职者等候求职者的时间之和最短，这样就使求职者和考官的时间利用率达到了最高。他们就能以最短的时间完成面试一起离开公司。这也是我们想要的结果。 （三）模型的假设 1.我们假设参加面试的求职者都是平等且独立的，即他们面试的顺序与考官无关； 2.面试者由一个阶段到下一个阶段参加面试，其间必有时间间隔，但我们在这里假定该时间间隔为0； 3.参加面试的求职者事先没有约定他们面试的先后顺序； 4.假定中途任何一位参加面试者均能通过面试，进入下一阶段的面试。即：没有中途退出面试者； 5.面试者及各考官都能在8：00准时到达面试地点。 （四）名词及符号约束 1. aij （i=1,2，3，4；j=1,2,3)为求职者i在j阶段参加面试所需的时间 甲乙丙丁分别对应序号i=1，2,3，4 2.xij （i=1,2，3，4；j=1,2,3) 表示第i名同学参加j阶段面试的开始时间（不妨把早上8:00记为面试的0时刻） (2)
数学建模课程设计——优化问题
在手机普遍流行的今天，建设基站的问题分析对于运营商来说很有必要。本文针对现有的条件和题目的要求进行讨论。在建设此模型中，核心运用到了0-1整数规划模型，且运用lingo 软件求解。 对于问题一： 我们引入0-1变量，建立目标函数：覆盖人口最大数=所有被覆盖的社区人口之和，即max=15 1j j j p y =∑，根据题目要求建立约束条件，并用数学软件LINGO 对其模型求解，得到最优解。 对于问题二： 同样运用0-1整数规划模型，建立目标函数时，此处假设每个用户的正常资费相同，所以68%可以用减少人口来求最优值，故问题二的目标函数为：max=∑=15 1j j j k p 上述模型得到最优解结果如下： 关键字：基站; 0-1整数规划；lingo 软件
1 问题的重述．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 2 问题的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 3 模型的假设与符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 3.1模型的假设．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 3.2符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 4 模型的建立及求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 5 4.1模型的建立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 4.2 模型的求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 5 模型结果的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 6 优化方向．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 7 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 8、附录．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9
数学建模中的优化问题与规划模型
与最大、最小、最长、最短等等有关的问题都是优化问题。 解决优化问题形成管理科学的数学方法：运筹学。运筹学主要分支：（非）线性规划、动态规划、图与网络分析、存贮学、排队伦、对策论、决策论。 6.1 线性规划 1939年苏联数学家康托洛维奇发表《生产组织与计划中的数学问题》 1947年美国数学家乔治.丹契克、冯.诺伊曼提出线性规划的一般模型及理论. 1. 问题 例1 作物种植安排 一个农场有50亩土地, 20个劳动力, 计划种蔬菜,棉花和水稻. 种植这三种农作物每亩地分别需要劳动力1/2 1/3 1/4, 预计每亩产值分别为110元, 75元, 60元. 如何规划经营使经济效益最大. 分析：以取得最高的产值的方式达到收益最大的目标. 1. 求什么？分别安排多少亩地种蔬菜、棉花、水稻？ x 1亩、 x 2 亩、 x 3 亩 2. 优化什么？产值最大 max f=10x 1+75x 2 +60x 3 3. 限制条件？田地总量 x 1+x 2 +x 3 ≤ 50 劳力总数 1/2x 1 +1/3x 2 +1/4x 3 ≤ 20 模型I : 设决策变量：种植蔬菜x1亩, 棉花x2亩, 水稻x3亩， 求目标函数f=110x1+75x2+60x3 在约束条件x1+x2+x3≤ 50 1/2x1+1/3x2+1/4x3 ≤20 下的最大值 规划问题：求目标函数在约束条件下的最值, 规划问题包含3个组成要素: 决策变量、目标函数、约束条件。 当目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数时，称为线性规划问题, 否则称为非线性规划问题。 2. 线性规划问题求解方法 称满足约束条件的向量为可行解,称可行解的集合为可行域, 称使目标函数达最值的可行解为最优解. 命题 1 线性规划问题的可行解集是凸集. 因为可行解集由线性不等式组的解构成。两个变量的线性规划问题的可行解集是平面上的凸多边形。 命题2 线性规划问题的最优解一定在可行解集的某个极点上达到. 图解法：解两个变量的线性规划问题，在平面上画出可行域，计算目标函数在各极点处的值，经比较后，取最值点为最优解。 命题 3 当两个变量的线性规划问题的目标函数取不同的目标值时，构成一族平行直线,目标值的大小描述了直线离原点的远近。 于是穿过可行域的目标直线组中最远离(或接近)原点的直线所穿过的凸多边形的顶点即为取的极值的极点—最优解。 单纯形法: 通过确定约束方程组的基本解, 并计算相应目标函数值, 在可行解集的极点中搜寻最优解. 正则模型: 决策变量: x 1,x 2 ,…,x n . 目标函数: Z=c 1 x 1 +c 2 x 2 +…+c n x n . 约束条件: a 11 x1+…+a1n x n≤b1, ……a m1x1+…+a mn x n≤b m, 模型的标准化 10. 引入松弛变量将不等式约束变为等式约束. 若有 a i1x 1 +…+a in x n ≤b i , 则引入 x n+i ≥ 0, 使得 a i1 x 1 +…+a in x n + x n+i =b i 若有 a j1x 1 +…+a jn x n ≥b j , 则引入 x n+j ≥ 0, 使得 a j1 x 1 +…+a jn x n - x n+j =b j .
数学建模中常见的十大模型
数学建模中常见的十大 模型 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。
数学建模-利润最大优化
盈利最大化的产品生产方案 摘 要：本问题是一个优化问题，它解决了大多数企业所面临的在生产设备有限的情况下要实现利润最大化的问题。根据盈利产品生产利润i b *生产数量i x ，我们建立目 标函数3 1i i i Z x b ==∑，又因为i 产品的生产数量i x 又受有限生产设备的限制，所以得到约束 条件：3 1(1,2,3)i ij j i x Y W j =≤=∑。用软件，建立模型求解，我们得到：当生产产品Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ的件数分别为22.5、23.2、7.3时，利润可实现最大化为135.2667千元。 在此基础上，我们做灵敏性分析得到借用设备B 每月60台时是不合算的这一结论；对于问题（3）、（4）可以建立相类似模型，得到对于新产品Ⅳ，Ⅴ的投产在经济上是合算的；当对产品工艺重新进行设计，改进结构，相应的生产产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的件数分别为22.8、25.3、0时，利润可实现最大化为153.1618千元；我们对此问题做了引申，当该厂生产的产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ为汽车、手机等必须以整件计数的产品时，即1x 、2x 、3x 只能取整数，我们在问题一建立的函数模型基础上，加上限制条件，用求解得到了新的生产方案。 问题二回答：对问题一做灵敏性分析：租用设备B 一台时花费是300元，由上面灵敏性分析表可得一个台时的B 设备的影子价格约为267元，也就是说租用B 设备一个台时其能制造的利润为267元。很显然成本高于利润，商家无利可图而且还会造成亏损。 问题五回答：当该厂生产的产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ为汽车、手机等必须以整件计数的产品时，即1x 、2x 、3x 只能取整数，我们在问题一建立的函数模型基础上，加上限制条件， 关键词：利润最大化；优化问题；生产方案；灵敏性分析 一、问题的提出 知某工厂计划生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，各产品需要在A 、B 、C 设备上加工，有
几个优化问题的数学建模
几个优化问题的数学建模 一、一个开放式基金投资问题
6、模型的评价 模型的主要优点是采用较为成熟的数学理论建立模型，利用数学软件计算，可信度比较高，便于推广。主要缺点是建立的模型是确定的而不是更符合实际情况的随机型模型。 二、结合人员分配的生产规划问题 1、问题 某公司要对四种产品（P1，P2，P3，P4）在五条生产线（L1到L5）上的生产进行规划。产品P1和P4的单位纯利润为7元，产品P2的单位纯利润为8元，产品P3的单位纯利润为9元。在规划期内这五条生产线各自可以进行生产的时间长度各不相同。L1到L5的最大可用生产时间分别为4500小时，5000小时，4500小时，1500小时和2500小时。表1列出了在每条生产线上生产每种产品一个单位所需要的时间。 （1）、假设生产是流水线作业，产品P1到P4各应生产多少才能使总利润最大？ （2）、如果在生产过程中允许在生产线之间进行人员转移（从而使工时也相应转移），如表2所示，则最大利润是多少？应转移多少个工时，如何转移？
（3）、如果生产不是流水线作业，模型应如何修改？ 表1 单位生产时间 表2 可以进行的人员转移 2、假设 （1）每条生产线可生产各种产品； （2）每个生产人员的工作效率相同，且熟练各条生产线的操作，可在各条生产线之间转移。 3、建模 3.1、问题(1) 设每种产品必须经过5条生产线才能生产出来，产品P i 的产量为x i ,单位纯利润为r i ,在生产线L j 上的单位生产时间为d ij 。生产线L j 的可用总工时数为c j ,则可得模型1： max 41 i =∑r i x i s.t. 41 i =∑ d ij x i ≤c j ，j=1，2，3，4，5 x i ≥0，i=1，2，3，4
数学建模优化问题
木材储运经营计划 摘要 本文针对某一木材储运公司在冬、春、夏、秋四季内进货价、出货价、储存费用、库存空间及最大销售量等预计数据进行分析，制定一个各季节的进货量和出货量计划使该公司的经营利润达到最大，可以把该问题归于将其归为求解利润最大化问题进行建模。 由于利润只直接与中间差价和销售量有关，并根据题目已知的预测量，建立一个木材储运最大利润模型，并通过运行LINGO软件编程来求解冬、春、夏、秋四季总最大利润为：5160万元。 上述木材储运最大利润模型: 是指冬、春、夏、秋前面的季节储存木材量可以在后面的季节卖，由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完，反过来，后面季节的储存木材量元素不能放在前面的季节卖，因此可以把一个季节卖哪几个季节进的木材当成几个，建立一个横轴的元素和代表当前季节的木材销售量，竖轴的元素和该季节应该购进的木材量含十六个元素的二维数组，通过运用LINGO软件编程可以得到这个数组元素为： 储存量 冬/万m3春/万m3夏/万m3秋/万m3 销售量 冬100 ——— 春0 140 —— 夏20 0 180 — 秋0 0 0 160 通过简单的基本运算可以知道每个季节进货量和出货量既为该木材储运公司这年的大体经营计划。 关键词：LINGO 木材储运最大利润数组元素
一．问题重述 一个木材储运公司有很大的仓库用以储运出售木材。由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分储存起来以后。已知该公司仓库的最大储存量为20万m3，储存费用为() a+元/m3，式中7 bu a=，10 b=，u为储存时间（季度数）。已知每季度的买进卖出价及预计的销售量如下表所示： 表1. 季度买进价/元/m3卖出价/元/m3预计销售量/万m3 冬410 425 100 春430 440 140 夏460 465 200 秋450 455 160 由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完。 根据上述条件建立一个模型制定一个该公司每个季节进木材量和销售木材量的大体经营计划，使这个公司获得最大的利润。 二．问题的简要分析 对于本文涉及到的问题，建立一个横方向的元素和代表当前季节的木材销售量，竖方向的元素和该季节应该购进的木材量含十六个元素的二维数组，由于冬、春、夏、秋前面的季节储存木材量可以在后面的季节卖，因此真正未知元素只有十个，而且这十个未知数的类型相同，更容易理解，如下： 表2. 冬/万m3春/万m3 夏/万m3秋/万m3储存量 销售量 冬Q11——— 春Q12Q22—— 夏Q13Q23Q33— 秋Q14Q24Q34Q44 由于假设的未知数都是销售量，因此在秋季末公司的仓库不存在储存的木材量，每个季度的进货量除了在本季度销售木材的量外，剩下的都是储存量，只要小于公司仓库的最大储存量，因此在约束条件考虑到即可。 然而市场上对该公司的需求是有限的，因此每个季度的销售量是有限，因此再在约束条件增加对每个季度的销售量的限制，然后通过数学软件编程求解即可。 三．模型的假设 1）假设公司预计销售量在各个季度几乎符合现实且预计销售量是是最大销售量； 2）假设各个季度木材的单位量的实际进价和销售价与预测价几乎符合； 3）假设每个月的库存量在该时期内的产品的单位量库存费用不变； 4）假设在该时期内储存费用大约不变； 5）假设人力财力等消耗的费用不在该问题中考虑；
数学建模_投资最优问题
数学建模一周论文课程设计题目：最优投资方案 1：吴深深学号：201420181013 2：许家幸学号：201420180422 3：王鑫学号：201420181220 专业软件工程 班级1421801Z
指导教师朱琳 2016 年 6 月9 日
摘要 本文主要研究银行投资受益最优问题，根据投资证券的种类、信用等级、到期年限、到期税前收益等的具体情况，根据线性规划的方法分析出数学模型，并且运用Lingo软件进行编码求解。 根据问题一、根据此模型能够得到具体的解决方案，问题二、三都是根据问题一的模型做具体约束条件的变化，从而求出最优解。 此模型适用于一般简单的银行投资问题。这个优化问题的目标是有价证券回收的利息为最高,要做的决策是投资计划。即应购买的各种证券的数量的分配。综合考虑：特定证券购买、资金限制、平均信用等级、平均年限这些条件，按照题目所求，将决策变量、决策目标和约束条件构成的优化模型求解问题便得以解决。 但是本模型不适合解决情况过于复杂的银行投资问题。 关键字：最优投资线性规划Lingo求解 一、问题重述 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制： 政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，所购证券的平均信用等
级不超过1.4（数字越小，信用程度越高），所购证券的平均到期年限不超过5年。 二、模型假设 假设: 1.假设银行有能力实现5种证券仸意投资； 2.假设在投资过程中，不会出现意外情况，以至不能正常投资； 3.假设各种投资的方案是确定的； 4.假设证券种类是固定不变的，并且银行只能在这几种证券中投资； 5.假设各种证券的信用等级、到期年限、到期税前收益是固定不变的； 6.假设各种证券是一直存在的。 三、符号约定 符号含义 X i取1-5，表示从A..E中证券的投资额（百万）i
数学建模关于优化问题的论文
承诺书 我们仔细阅读了暑期数学建模竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： A 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：教练组 日期： 11 年 8 月 12 日评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：
编号专用页评阅编号（由组委会评阅前进行编号）： 统一编号： 评阅编号：
多因素条件下作物施肥效果分析 摘要 本文是关于作物施肥数量与结构的优化问题，根据不同目标对施肥量与肥料搭配比例进行调整，达到各目标的最优。 首先，基于一元线性回归模型，以一种肥料作为自变量，另外两种肥料固定在第七水平，建立了六个一元回归方程，分别研究某一种肥料变化时，该肥料施肥量与产量的关系。根据散点图趋势，初步选取适当的一元函数，为了使散点图更直观准确，将原数据进行无量纲化处理，得到0到1间的值。利用eviews软件进一步对一元函数进行拟合，选取显著性最高的拟合结果，求解时，对非线性的回归方程，通过取对数将其线性化，得到结果后再将其转换成原函数形式，最终得到六个反映施肥量与产量关系的一元回归模型。为了提高六个回归方程整体的显著性，本文以三种肥料的施肥量同时作为自变量，建立三元二次回归模型，检验均通过，并具有高度的显著性，拟合效果较好。 其次，基于问题一中的一元线性回归模型与三元二次回归模型分别求解回归方程的最大值，即产量最大值。比较两个模型的结果，看出，由三元二次回归模型得到的产量更大，其中土豆与生菜产量的最大值分别为44.95t/ha，23.04t/ha。土豆对应的N、P、K肥料的施肥量分别为293.13kg/ha，250.0kg/ha，540.0kg/ha。生菜对应的N、P、K 肥料的施肥量分别为212.06kg/ha，426.91kg/ha，665.69kg/ha。 再次，考虑到施肥的经济性，以产值和施肥费用作为自变量，以总收益作为因变量，建立收益最大化模型。分别基于反映产量与施肥量关系的一元回归模型与三元二次回归模型，进行求解。由一元回归模型得到结果，当生菜K肥施肥量无穷大时，收益也趋近于无穷大，显然不合理，本文以一元二次函数对六个回归方程重新进行拟合，检验看出，显著性不高，但基于新的回归方程得到的结果更加合理，更符合实际情况，具有较高的实用性。基于三元二次回归模型进行求解时，通过（0,0,0,0）点的引入，增加了三种肥料交互影响产生的交叉项，避免了肥料搭配不合理造成的大量浪费。比较两种模型的结果看出，基于三元二次回归方程得到的收益更大，土豆与生菜的最大值分别为102500元/公顷，52023元/公顷。 再次，引入环保因素时，通过两种方法实现，一是基于收益最大化模型，将污染指数作为限制条件，以收益最大为目标，建立线性规划收益最大化模型。二是引入目标偏差变量，以偏差变量之和最小为目标，以污染指数，肥料搭配比例作为约束条件，建立多目标规划模型，以环境指数小于25为前提，追求收益尽量大。比较两种模型的结果看出，多目标规划的的结果更符合本问的要求，土豆与生菜的最大收益值分别为，环境指数为25，属于轻度污染， K肥施肥量超过满意值，但K肥适当增加能够增大收益，对土地没有造成污染，收益实际值与满意值相差不大，结果比较合理，符合本问的要求。 最后对模型应用效果作量化估计，难点在于如何对优化模型进行改进，得到评价模型。本文利用多目标规划结果中满意值与偏差值的差值占满意值的比例作为单目标的满意度，利用层次分析法得到单目标权重值，根据单目标的权重值与满意度求和可以得到多目标满意度，根据多目标总体的满意度对模型应用效果作量化估计。从而建立基于层次分析法与多目标规划的评价模型。最后对模型的推广作初步讨论，验证了模型较高的应用价值。
数学建模进行投资最优化
资产最优组合 摘要 本文在充分分析数据的基础上，运用了模糊评价评估产品近期表现的优劣性，利用线性规划模型对多种金融产品进行组合，得到最优解，最后对模型进行评价。 问题一：基于模糊评价模型。本文使用累计收益率、本月平均涨幅、β系数（风险指标）3个指标，建立评估模型，来评估金融产品近期的优劣性表现。首先用层次分析法给出各项评估指标的权重并进行对指标一致性检验，再用熵权法对权重值进行修正；然后建立评估模型，利用模糊评价法得出景顺长城需增长、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币、工银货币、华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、*ST中华A（ST型）、国债⑺、万业债的模糊评估指标分别为 [] 0.00971 0.00484 0.00072 0.00090 0.34040 0.45785 0.17205 0.00332 0.01022 通过以上数据比较可知，股票的表现明显优于债券和基金。 问题二：首先构建线性规划模型，通过收益最大目标函数和约束条件，求解出最优产品组合。其次求解收益对应的β系数，绘出收益和风险的折线图。根据图示，找到风险变化一单位得到最大收益处的值，得到最优解：选择华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、国债⑺、万业债、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币的投资量为：3716.556、3752.874、3819.063、52.10025、109.8907、541.8917、41.32636 问题三：本文在对选取的指标运用层次分析法赋予权重后，用熵权法对权值进行修正，使权值更为准确。同时，利用综合评价得出产品的近期优劣性表现。但是，本文β系数求解考虑较为单一，β系数的计算公式可以根据产品公司进行修改。 本文运用EXCEL统计了大量数据，利用SPSS软件进行数据分析，使用MATLAB 进行模型求解，使得模型更具合理性，可行性和科学性。 关键词：层次分析，一致性检验，熵值取权，模糊评价，线性规划
数学建模关于优化问题的论文
数学建模关于优化问题 的论文 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
暑期数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了暑期数学建模竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和 参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： A 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：教练组 日期： 11 年 8 月 12 日评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：
暑期数学建模竞赛 编号专用页评阅编号（由组委会评阅前进行编号）： 统一编号： 评阅编号：
多因素条件下作物施肥效果分析 摘要 本文是关于作物施肥数量与结构的优化问题，根据不同目标对施肥量与肥料搭配比例进行调整，达到各目标的最优。 首先，基于一元线性回归模型，以一种肥料作为自变量，另外两种肥料固定在第七水平，建立了六个一元回归方程，分别研究某一种肥料变化时，该肥料施肥量与产量的关系。根据散点图趋势，初步选取适当的一元函数，为了使散点图更直观准确，将原数据进行无量纲化处理，得到0到1间的值。利用eviews软件进一步对一元函数进行拟合，选取显着性最高的拟合结果，求解时，对非线性的回归方程，通过取对数将其线性化，得到结果后再将其转换成原函数形式，最终得到六个反映施肥量与产量关系的一元回归模型。为了提高六个回归方程整体的显着性，本文以三种肥料的施肥量同时作为自变量，建立三元二次回归模型，检验均通过，并具有高度的显着性，拟合效果较好。 其次，基于问题一中的一元线性回归模型与三元二次回归模型分别求解回归方程的最大值，即产量最大值。比较两个模型的结果，看出，由三元二次回归模型得到的产量更大，其中土豆与生菜产量的最大值分别为ha，ha。土豆对应的N、P、K肥料的施肥量分别为293.13kg/ha，250.0kg/ha，540.0kg/ha。生菜对应的N、P、K肥料的施肥量分别为212.06kg/ha，426.91kg/ha，665.69kg/ha。 再次，考虑到施肥的经济性，以产值和施肥费用作为自变量，以总收益作为因变量，建立收益最大化模型。分别基于反映产量与施肥量关系的一元回归模型与三元二次回归模型，进行求解。由一元回归模型得到结果，当生菜K肥施肥量无穷大时，收益也趋近于无穷大，显然不合理，本文以一元二次函数对六个回归方程重新进行拟
最新数学建模车间任务调度问题
数学建模车间任务调度问题 2008-08-11 15:10:53| 分类：|字号 数学建模培训讲座 数学建模历年赛题的分析与思考 主要内容： 1、CUMCM的历年赛题分析； 2、数学建模竞赛的发展趋势； 3、对数学建模的几点想法和思考； 4、参加数学建模竞赛的技巧; 5、近年竞赛题的简要分析与评述。 一、CUMCM历年赛题的分析 数学建模竞赛的规模越来越大, 水平越来越高；竞赛的水平主要体现在赛题水平的提高； 赛题的水平主要体现： （１）综合性、实用性、创新性、即时性等；
（２）多种解题方法的创造性、灵活性、开放性等； （３）给参赛者留有很大的发挥创造的想象空间。 纵览15年的本科组30个题目(专科组还有11个题目)，可以从问题的实际意义、解决问题的方法和题型三个方面作一些简单的分析。 一、CUMCM历年赛题的分析 1. CUMCM 的历年赛题浏览： 1992年:(Ａ)作物生长的施肥效果问题(北理工：叶其孝） (B)化学试验室的实验数据分解问题（复旦：谭永基） 1993年:(Ａ)通讯中非线性交调的频率设计问题（北大:谢衷洁） (Ｂ)足球甲级联赛排名问题（清华：蔡大用） 1994年:(Ａ)山区修建公路的设计造价问题（西电大：何大可） (Ｂ)锁具的制造、销售和装箱问题（复旦:谭永基等） 1995年:(Ａ)飞机的安全飞行管理调度问题（复旦:谭永基等） (Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙大:刘祥官等） 1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北师大：刘来福）
(B)节水洗衣机的程序设计问题（重大：付鹂）1997年:(A)零件参数优化设计问题（清华：姜启源） (B)金刚石截断切割问题（复旦：谭永基等） 1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙大：陈淑平） (B)灾情的巡视路线问题（上海海运学院:丁颂康）1999年:(A)自动化机床控制管理问题（北大：孙山泽） (B)地质堪探钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） (C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰） 2000年:(A)DNA序列的分类问题（北工大：孟大志） (B)钢管的订购和运输问题（武大：费甫生） (C)飞越北极问题（复旦：谭永基） (D)空洞探测问题（东北电力学院：关信） 2001年:(A)三维血管的重建问题（浙大：汪国昭） (B)公交车的优化调度问题（清华：谭泽光）