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2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)【含详答】

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)

一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)

1. 已知集合A ={1,2,3,5,7,11},B ={x|3

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5 2. 若z(1+i)=1?i ,则z =( )

A. 1?i

B. 1+i

C. ?i

D. i

3. 设一组样本数据x 1,x 2,...,x n 的方差为0.01,则数据10x 1,10x 2,...,10x n 的方差为

( ) A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10

4. Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域,有学者根据公布数据

建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位:天)的Logistic 模型:I (t )=

K 1+e ?0.23(t?53)

,其中K 为最大确诊病例数.当I (t ?)=0.95K 时,标志着已初步遏制疫

情,则t ?约为( )(In19≈3) A. 60 B. 63

C. 66

D. 69

5. 已知sin?θ+sin?(θ+π

3)=1,则sin?(θ+π

6)=( )

A. 1

2

B. √3

3

C. 2

3

D. √22

6. 在平面内,A,B 是两个定点,C 是动点,若AC ????? ?BC ????? =1,则点C 的轨迹为( )

A. 圆

B. 椭圆

C. 抛物线

D. 直线

7. 设O 为坐标原点,直线x =2与抛物线C:y 2=2px(p >0)交于D,E 两点,若OD ⊥

OE ,则C 的焦点坐标为( )

A. (1

4,0)

B. (1

2,0)

C. (1,0)

D. (2,0) 8. 点(0,?1)到直线y =k(x +1)距离的最大值为( )

A. 1

B. √2

C. √3

D. 2

9. 右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是( )

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)【含详答】

A. 6+4√2

B. 4+4√2

C. 6+2√3

D. 4+2√3

10. 设a =log 32,b =log 53,c =2

3,则( )

A. a

B. a

C. b

D. c

11. 在ΔABC 中,cosC =2

3,AC =4,BC =3,则tanB =( )

A. √5

B. 2√5

C. 4√5

D. 8√5

12.已知函数f(x)=sinx+1

sinx

,则()

A. f(x)的最小值为2

B. f(x)的图像关于y轴对称

C. f(x)的图像关于直线x=π对称

D. f(x)的图像关于直线x=π

2

对称二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)

13.若x,y满足约束条件{x+y≥0

2x?y≥0

x≤1

,则z=3x+2y的最大值为_____.

14.设双曲线C:x2

a2?y2

b2

=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=√2x,则C的离心率为

______.

15.设函数f(x)=e x

x+a ,若f′(1)=e

4

,则a=____.

16.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的切球表面积为

_________

三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)

17.(12分)

设等比数列{a n}满足a1+a2=4,a3?a1=8

(1)求{a n}的通项公式;

(2)记s n为数列{log3a n}的前n项和.若s m+s m+1=s m+3,求m.

18.(12分)

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)【含详答】

(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;

(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中

点值为代表);

(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气

质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”。根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)【含详答】

附:,,

19.(12分)

如图,在长方体ABCD?A1B1C1D1中,在E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE= ED1,BF=2FB1,证明:

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)【含详答】

(1)当AB=BC时,EF⊥AC;

(2)点C1在平面AEF内.

20.(12分)

已知函数f(x)=x3?kx+k2.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围.21.(12分)

已知椭圆C:x2

25+y2

m2

=1(0

4

,A,B分别为C的左、右顶点.

(1)求C的方程:

(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求ΔAPQ的

面积.

22.[选修4?4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为{x=2?t?t2

y=2?3t+t2

(t为参数且t≠

1),C与坐标轴交于A,B两点.

(1)求|AB|:

(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方

程.

23.[选修4?5:不等式选讲](10分)

设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.

(1)证明:ab+bc+ca<0;

3.

(2)用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值,证明:max{a,b,c}≥√4

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)

一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)

1.已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了交集的运算,属于基础题.

【解答】

解:∵A={1,2,3,5,7,11},B={x|3

∴A∩B={5,7,11},

∴A∩B中元素个数为3.

故选B.

2.若z(1+i)=1?i,则z=()

A. 1?i

B. 1+i

C. ?i

D. i

【答案】D

【解析】【分析】

本题考查复数的四则运算,共轭复数的概念,属于基础题.

先由复数的四则运算法则求出z,再利用共轭复数的概念得到答案.

【解答】

解:由z(1+i)=1?i,得z=1?i

1+i =(1?i)2

2

=?i,

所以z=i,

故选D.

3.设一组样本数据x1,x2,...,x n的方差为0.01,则数据10x1,10x2,...,10x n的方差为

()

A. 0.01

B. 0.1

C. 1

D. 10

【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查方差的运算,是基础题.

【解答】

解:设x 1,x 2,?,x n 的平均数为x ,方差S 12=0.01,

所以10x 1,10x 2,?,10x n 的平均数为10x ,方差S 2=100S 12=1 , 故选C .

4. Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域,有学者根据公布数据

建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位:天)的Logistic 模型:I (t )=

K 1+e ?0.23(t?53)

,其中K 为最大确诊病例数.当I (t ?)=0.95K 时,标志着已初步遏制疫

情,则t ?约为( )(In19≈3) A. 60 B. 63 C. 66 D. 69

【答案】C 【解析】【分析】

本题主要考查指数式与对数式的互化,属于基础题. 根据题意可得K

1+e ?0.23(t?53)=0.95K ,解出t 的值. 【解答】

解:由题可知K 1+e ?0.23(t?53)=0.95K , 所以1+e ?0.23(t?53)=20

19,e ?0.23(t?53)=1

19 0.23(t ?53)=ln19≈3,解得t ≈66 故选C .

5. 已知sin?θ+sin?(θ+π

3)=1,则sin?(θ+π

6)=( )

A. 1

2

B. √33

C. 2

3

D. √2

2

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查两角和的正弦公式和辅助角公式,属于基础题.

根据两角和的正弦公式展开sin?(θ+π

3) ,再整理利用辅助角公式即可得答案. 【解答】

解:∵sin?(θ+π3)=12sin?θ+√3

2cos?θ ,

∴sin?θ+sin?(θ+π

3

)=3

2

sin?θ+

√3

2

cos?θ=√3sin?(θ+π

6

)=1

得sin?(θ+π6)=√3

3

故选:B .

6. 在平面内,A,B 是两个定点,C 是动点,若AC ????? ?BC ????? =1,则点C 的轨迹为( )

A. 圆

B. 椭圆

C. 抛物线

D. 直线 【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了动点的轨迹问题及向量数量积的坐标运算,属一般题.

根据题意建立平面直角坐标系,设出点A 、B 、C 的坐标,得到AC ????? 和BC ????? 的坐标,由向

量数量积的坐标运算公式即得动点坐标所满足的方程,从而得到动点C 的轨迹. 【解答】

解:以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中垂线为y 轴,建立平面直角坐标系,设

A(?a,0),B(a,0),C(x,y),则AC ????? =(x +a,y),BC ????? =(x ?a,y),由题意AC ????? ?BC ????? =1,

得x 2?a 2+y 2=1即x 2+y 2=1+a 2,因此,动点C 的轨迹是圆, 故选A .

7. 设O 为坐标原点,直线x =2与抛物线C:y 2=2px(p >0)交于D,E 两点,若OD ⊥

OE ,则C 的焦点坐标为( )

A. (1

4,0)

B. (1

2,0)

C. (1,0)

D. (2,0)

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查直线与抛物线的位置关系及抛物线的性质,基础题.

根据直线x =2与抛物线交于D 、E 两点,确定D 、E 两点坐标,由OD ⊥OE 可得OD

?????? ·OE ????? =0,可确定p 的值,从而得到抛物线的焦点坐标. 【解答】

解:根据题意得D(2,2p),E(2,?2p),

因为OD ⊥OE ,可得OD

?????? ·OE ????? =0,所以4?4p =0,故p =1, 所以抛物线C :y 2=2x ,所以抛物线的焦点坐标为(1

2,0). 故选B .

8.点(0,?1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()

A. 1

B. √2

C. √3

D. 2

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查定点到过定点的直线的最大距离问题,属于基础题.

【解答】

解:因为直线y=k(x+1)恒过点(?1,0),

要使得点(0,1)到直线的距离最大,

此时点到直线的距离即为(0,1)与(?1,0)两点的距离,

此时最大距离为√(0+1)2+(1?0)2=√2.

故答案选B

9.右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是()

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)【含详答】

A. 6+4√2

B. 4+4√2

C. 6+2√3

D. 4+2√3

【答案】C

【解析】【分析】

本题考查由三视图求几何体的表面积,考查空间想象能力,难度一般.

先由三视图还原几何体,即可求出表面积.

【解答】

解:由三视图可知该几何体是底面为腰长2的等腰直角三角形,一侧棱长为2且垂直底面的三棱锥,如下图

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)【含详答】

故其表面积为3×1

2×2×2+1

2

×2√2×2√2×sin60°=6+2√3.

故选C.

10.设a=log32,b=log53,c=2

3

,则()

A. a

B. a

C. b

D. c

【解析】【分析】

本题考查了对数比较大小,属于中档题.

分别将c转化为以3,5为底数,与a,c比较大小,即可得到结果.

【解答】

解:∵c=2

3log33=log3√9

3,a=log

3

2=log3√8

3,∴a

∵c=2

3log55=log5√25

3,b=log

5

3=log5√27

3,∴c

故选A.

11.在ΔABC中,cosC=2

3

,AC=4,BC=3,则tanB=()

A. √5

B. 2√5

C. 4√5

D. 8√5【答案】C

【解析】【分析】

本题考查解三角形,余弦定理的应用,注意三角形的形状即可.

【解答】

解:根据题意:cosC =AC 2+BC 2?AB 2

2AC?BC

=

16+9?AB 22×4×3

=2

3

,解得:AB =3

则cosB =

9+9?162×3×3

=1

9;sinB =4√59

(负值舍去) 故tanB =4√5

919

=4√5.

故选C

12. 已知函数f(x)=sinx +1

sinx ,则( )

A. f(x)的最小值为2

B. f(x)的图像关于y 轴对称

C. f(x)的图像关于直线x =π对称

D. f(x)的图像关于直线x =π

2对称

【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查三角函数的性质,属于中档题. 【解答】

解:A. 由于f(?π

2)=?2,故A 错误;

B . f(?x)=?sinx ?

1sinx ≠f(x),故B 错误;

C . f(π?x)=sinx +

1sinx

,f(π+x)=?sinx ?1

sinx , f(π+x)≠f(π?x),故C 错误; D .f(π

2?x)=cosx +

1cosx

,f(π2+x)=cosx +1cosx ,f(π2+x)=f(π

2?x), 则f(x)的图象关于直线x =π

2对称,故D 正确, 故选D .

二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)

13. 若x ,y 满足约束条件{

x +y ≥0

2x ?y ≥0x ≤1

,则z =3x +2y 的最大值为_____. 【答案】7

【解析】【分析】

本题考查了根据线性规划求最值,属较易题.

本题先根据线性约束条件画出平面区域,再利用图解法即可求出目标函数的最大值. 【解答】

解:画出不等式组{x +y ≥0

2x ?y ≥0x ≤1

所表示的平面区域,如图所示

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)【含详答】

由{x =12x ?y =0得点A 坐标为(1,2),由{x =1x +y =0得点B 坐标为(1,2), 即不等式所表示的平面区域为ΔOAB(包括边界),

再将z =3x +2y 化为y =?3

2x +z ,可看作斜率为?3

2,截距为z 的一族平行直线, 由图可知,当直线y =?3

2x +z 经过点A 时,截距z 最大, 因此,当{x =1y =2时,z max =3×1+2×2=7,

故选答案为7.

14. 设双曲线C:x 2

a 2?y

2

b 2

=1(a >0,b >0)的一条渐近线为y =√2x ,则C 的离心率为______. 【答案】√3

【解析】【分析】

本题主要考查双曲线的简单几何性质,属于基础题。

根据渐近线方程,可得b

a =√2,再利用离心率公式即可求得结果。 【解答】

解:∵双曲线的渐近线为y =√2x ,∴b

a =√2 ∴离心率e =c a =√1+

b 2

a

2=√1+(√2)2=√3

故答案为:√3

15.设函数f(x)=e x

x+a ,若f′(1)=e

4

,则a=____.

【答案】1

【解析】【分析】

本题考查导数的运算,考查运算求解能力,属于较易题.【解答】

解:f′(x)=e x(x+a?1)

(x+a)2

,f′(1)=ae

(1+a)2

=e

4

,解得a=1.

故答案为1.

16.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的切球表面积为

_________

【答案】√2

3

π

【解析】【分析】

本题考查圆锥的内切球问题以及球的体积公式,通过列方程进行求解即可.

【解答】

解:

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)【含详答】

如图,由题意可知,AO=√32?12=2√2,

圆锥内半径最大的球O′满足与底面相切于O,与侧面相切于点B,

设球O′的半径为r,则AO′=2√2?r,且2√2?r

3=r

1

解得r=√2

2

故V=4πr3

3=√2

3

π.

故答案为√2

3

π.

三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)

17.(12分)

设等比数列{a n}满足a1+a2=4,a3?a1=8

(1)求{a n}的通项公式;

(2)记s n为数列{log3a n}的前n项和.若s m+s m+1=s m+3,求m.【答案】解:(1)设等比数列的公比为q,因为a1+a2=4,a3?a1=8,

∴{a1+a1q=4

a1q2?a1=8?{

a1=1

q=3,

∴a n=3n?1;

(2)由(1)可知log3a n=n?1,可判断出数列{log3a n}是以0为首项,1为公差的等差数列,

∴S n=(n?1)?n

2

∵S m+S m+1=S m+3,

∴m(m?1)

2+(m+1)m

2

=(m+3)(m+2)

2

解得:m=6或m=?1(舍去)

所以m=6.

【解析】本题主要考查等比数列的通项公式,等差数列的判断及其前n项和公式,属基础题.

(1)根据等比数列的通项公式列出关于首项与公比的方程组,解得首项与公比,得到通项公式;

(2)由(1)可得数列{log3a n}的通项公式,从而判断出该数列为等差数列,利用等差数列的求和公式列出关于m的方程,求得m的值即可.

18.(12分)

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)【含详答】

(1) 分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;

(2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);

(3) 若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”。根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)【含详答】

附:,

【答案】解:(1)空气质量等级为1的概率为P =2+16+25100

=43

100;

空气质量等级为2的概率为P =5+10+12100=27

100;

空气质量等级为3的概率为P =6+7+8100=

21100

;

空气质量等级为4的概率为P =

7+2100

=9

100;

(2)一天中该公园锻炼的平均人次的估计值为 100×

2+5+6+7100

+300×

16+10+7+2

100

+500×

25+12+8100

=350;

人次

K 2

=(33+22)(33+37)(22+8)(37+8)

≈5.82>3.841

有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.

【解析】本题考查了独立性检验和古典概率,属于中档题.

19.(12分)

如图,在长方体ABCD?A1B1C1D1中,在E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE= ED1,BF=2FB1,证明:

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)【含详答】

(1)当AB=BC时,EF⊥AC;

(2)点C1在平面AEF内.

【答案】证明:(1)因为ABCD?A1B1C1D1是长方体,所以BB1⊥平面ABCD,

而AC?平面ABCD,所以AC⊥BB1.

又AB=BC,所以四边形ABCD为正方形,有AC⊥BD,

又BD?BB1=B,BD,BB1?平面BB1D1D,所以AC⊥平面BB1D1D,

又EF?平面BB1D1D,所以EF⊥AC.

(2)取AA1靠近A1的三等分点M,连结D1M,C1F,MF,EC1,C1F,

因为E在DD1上,且2DE=ED1,所以ED1//AM,且ED1=AM,

所以四边形AED1M为平行四边形,所以D1M//AE.

又F在BB1上,且BF=2FB1,所以MF//A1B1,且MF=A1B1,

从而MF//C1D1,MF=C1D1,所以四边形FMD1C1为平行四边形,

所以D1M//FC1,所以FC1//AE,故A,E,F,C1四点共面,点C1在平面AEF内.

2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)【含详答】

【解析】本题考查了线面垂直的判定及性质,四点共面判定等知识,属中档题.(1)通过BB1⊥平面ABCD可得AC⊥BB1,四边形ABCD为正方形,有AC⊥BD,

所以AC⊥平面BB1D1D,进而可得EF⊥AC.

(2)通过画辅助线,可证明四边形AED1M和四边形FMD1C1均为平行四边形,由平行传递性可得FC1//AE,故A,E,F,C1四点共面,点C1在平面AEF内.

20.(12分)

已知函数f(x)=x3?kx+k2.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围.

【答案】解:(1)求导得f′(x)=3x2?k,定义域为(?∞,+∞),

当k≤0时,f′(x)=3x2?k≥0,f(x)在(?∞,+∞)上单调递增;

当k>0时,令f′(x)>0得x

3或x>√3k

3

,令f′(x)<0得?√3k

3

3

故函数f(x)在(?∞,?√3k

3),(√3k

3

,+∞)上单调递增,在(?√3k

3

,√3k

3

)上单调递减.

(2)由(1)当k≤0时,f(x)在(?∞,+∞)上单调递增,不符题意,故k>0,

f(x)的极大值为f(?√3k

3),极小值为f(√3k

3

),

要使f(x)有三个零点,则{f(?√3k

3

)=?3k√3k

27

+k?√3k

3

+k2>0

f(√3k

3

)=3k√3k

27

?k?√3k

3

+k2<0

∵k>0,即{2

9

√3k+k>0

?2

9

√3k+k<0

,解得0

27

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性,根据零点个数求参数问题,属较难题.

21.(12分)

已知椭圆C:x2

25+y2

m2

=1(0

4

,A,B分别为C的左、右顶点.

(1)求C的方程:

(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求ΔAPQ的面积.

【答案】解:(1)∵e=c

a =√15

4

,c2

a2

=15

16

∴b2=a2?c2=1

16a2=25

16

∴C的方程为x 2

25+y225

16

=1.

(2)由题:A(?5,0),B(5,0),设Q(6,t),显然t≠0,

则k BQ=t,∵BP⊥BQ,则k BP=?1

t

则直线BP方程为:y=?1

t (x?5),联立x

2

25

+y225

16

=1,

化简得(t2+16)y2?10ty=0,解得y P=10t

t2+16

,x P=5?ty P,∵|BP|=|BQ|,

∴t2y P2+y P2=1+t2,即y P2=1,

代入y P=10t

t2+16

,解得t=±2,±8,

当t=2时,Q(6,2),P(3,1),|PQ|=√10,

PQ方程为:x?3y=0,点A到直线PQ的距离为

10=√10

2

则S?APQ=1

2×√10×√10

2

=5

2

当t=8时,Q(6,8),P(?3,1),|PQ|=√130,

PQ方程为:7x?9y+30=0,点A到直线PQ的距离为

130=

130

则S?APQ=1

2×√130×

√130

=5

2

根据对称性,t=?2,t=?8时面积均为5

2

综上:?APQ的面积为5

2

【解析】本题考查椭圆方程的求解,两点间距离公式,直线方程,点到直线距离公式的综合运用,属于较难题.

22.[选修4?4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为{x=2?t?t2

y=2?3t+t2

(t为参数且t≠

1),C与坐标轴交于A,B两点.

(1)求|AB|:

(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方

程.

【答案】解:(1)令x=0,即2?t?t2=0,解得t=?2(t≠1),

将t=?2代入参数方程得x=0,y=12

令y=0,即2?3t+t2=0,解得t=2(t≠1),

将t=2代入参数方程得,x=?4,y=0

不妨设A(?4,0),B(0,12),

则|AB|=√(?4)2+122=4√10.

(2)直线AB的直角坐标方程为x

?4+y

12

=1,化简得3x?y+12=0,

由{x=ρcosθy=ρsinθ

,

化为极坐标方程为3ρcosθ?ρsinθ+12=0.

【解析】本题考查参数方程的概念,直角坐标方程与极坐标方程的互化,属于基础题分别令x=0,y=0,即可求出A、B两点的坐标,即可求解.

23.[选修4?5:不等式选讲](10分)

设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.