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线性代数补充习题与参考答案

线性代数补充习题

第一章 行列式

一、填空题

1.若01

0100

=---a

b

b a

,则b a ,满足的条件是________ .

2.排列36715284的逆序数为________ .

3.行列式

=c

b f

e

d a 0

002101030________ . 4.行列式=-0

000100

200

1

00

n

n ________ .

5.设行列式9

63302

21a

中,余子式321=M ,则=a ________ . 二、选择题

1.下列行列式中值为0的是( ).

(A )行列式中有两行对应元素之和为0 (B )行列式中对角线上元素全为0

(C )行列式中有两行含有相同的公因子 (D )行列式中有一行与另一列对应元素成比例

2.在函数x

x

x x x f ----=2

3

111

2)(中,3x 的系数是( ).

(A )1 (B )2 (C )3 (D )4

3.设133

32

31

232221

131211

=a a a a a a a a a ,则=+-+-+-33

3132

31312321222121

13

11121111322

13221

3221a a a a a a a a a a a a a a a ( ). (A )-2 (B )-1 (C )2

3

-

(D )2

4.设033

32

31

232221

13

1211

≠=a a a a a a a a a D ,ij A 是D 元素ij a 的代数余子式(3,2,1,=j i ),若0333223113≠++j j j A a A a A a ,

则( ).

(A )1=j (B )2=j (C )3=j (D )1=j 或3=j

5.若方程组???????=+=++=-=+020020

433214

131x x x x ax x x ax x 仅有零解,则≠a ( ).

(A )21- (B )21 (C )4

1- (D )41

三、判断题

1.交换行列式的两行(列),行列式的值不变.( )

2.n 阶行列式中,若有n n -2

个以上元素为0,则行列式的值为0.( )

3.333

33

3222

22

211111

1d c c b b a d c c b b a d c c b b a +++++++++33

3222111c b a c b a c b a =3

3

3

222

1

11d c b d c b d c b +.( ) 4.元素ij a 的代数余子式ij A 与ij a 所在有行、列有关,而与ij a 的值无关.( )

5.

0101000011110100011001110011111000101

111

000

100

01d c b a d c b a

+++=.

( ) 第二章 矩阵

一、填空题

1.设??????????=??????????=101010101,10010101B x A ,且B A =,则=x ________ . 2.设????

??????=??????????=000220001,100120301B A ,则()()=-+B A B A . 3.设?

?

??

??=101a A ,则=n

A . 4.设()??

?

?

??=--=1231,12A x x x f ,则()=A f .

5.设?

?

????=4321A ,则A 的伴随矩阵=*

A . 6.设)0(≠-?

?

??

??=cb ad d c b a A ,则A -1

= . 7.若????

?

????

?

?

?=n a a a A

2

1(n i a i

,,2,1,0 =≠),则=-1A . 8.设2=A ,且A 为三阶方阵,则=A 3 .

9.已知??????=101121A ,????

?

?????=111121B ,则

=AB . 10.?

?

?

???-=????

??12643252X ,则=X . 二、选择题

1.=?

?

?

?

??++++c b b a z y y x ( ). (A )??????+++????

??++c b b z y y c b a z y x (B )?

?

?

???+++??????++c b z y b a y x (C )??????+??????c b z y b a y x (D )??

????+++??????++c b a z y x b b a y y x

2.下列矩阵中,( )不是初等矩阵.

(A )??????????001010100 (B )?????

?????010100001 (C )????

??????1000210001 (D )????

??????10

02121000

1 3.设C B A ,,均为n 阶方阵,且0||≠A ,则必有( ). (A )C B CA AB =?= (B )C B AC AB =?= (C )O C O BC =?= (D )E B C AB =?=

4.已知矩阵 )(,n m B A m n n m ≠??,则下列运算结果不为n 阶方阵的是( ).

(A )BA (B )AB (C )T

BA )( (D )T

T

B A

5.若A 是( ),则必有A A T

=.

(A )可逆矩阵 (B )三角矩阵 (C )初等矩阵 (D )对称矩阵

6.设????

??????=43503362a A ,且矩阵A 的秩()2=A R ,则=a ( ). (A ) 9 (B )18 (C ) 0 (D )任何数 7.矩阵A 经初等行变换化为行阶梯形矩阵后( ).

(A ) 秩变大 (B )秩变小 (C )秩不变 (D )化为单位方阵 8.设A 是2阶可逆矩阵,λ为实数,如果A A 4=λ,则( ). (A )2±=λ (B )1±=λ (C )2±=λ (D )4=λ 9.设A 是n 阶方阵,k 为非零实数,则=-kA ( ).

(A )()A k n n

1- (A )A k n (C )A k - (D )A k

10.设B A ,均为n 阶矩阵,则必有( ).

(A )B A B A +=+ (B )BA AB = (C )BA AB = (D )()

111

---+=+B A B A

三、判断题

1.设B A ,都是n m ?矩阵,则A B B A +=+.( ) 2.两个n 阶可逆矩阵之和一定是可逆矩阵.( )

3.如果A 与B 可交换,且A 可逆,则1

-A 与B 可交换.( ) 4.n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是0=A .( )

5.设C B A ,,都是n 阶方阵,且0≠A ,若AC AB =,则C B =.( ) 6.设B A ,都是n 阶方阵,若0=AB ,则0=B .( ) 7.若A 与B 为n 阶方阵,则BA AB =.( )

8.设A 与B 为n 阶方阵,且A 为对称矩阵,则AB B T

也是对称矩阵.( ) 9.设A 与B 为n 阶方阵,则B A AB =.( )

10.若A 和B 皆为n 阶方阵,则必有B A B A +=+.( )

第三章 向量组的线性相关性

一、填空题

1.设()()T

T

2,3,1,1,1,221-=-=αα,若()T

5,,13λα=可由21,αα线性表示,则=λ .

2.设2132122113,,2ααβααβααβ+-=+=-=,则321,,βββ的线性相关性为线性 .

3.设4321,,,αααα是n 维向量组,144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=,则4321,,,ββββ的线性相关性为线性 .

4.设()()()T

T

T

3,0,1,0,4,1,0,0,2,0,0,1321===ααα,则该向量组的秩为()=321,,αααR .

5.若向量组()()()

T

T

T

t t 1,0,0,0,2,1,0,1,12

321+==+=ααα的秩为2,则=t .

6.若向量组()()()T

T

T

k k k 0,1,,2,2,,7,1,6321==+=ααα的秩为3,则≠k .

7.若n 维向量组s ααα,,,21 是n

R 的一组基,则=s .

二、选择题

1.向量组n ααα,,,21 线性无关的充要条件是( ). (A) n ααα,,,21 均不为零向量

(B) n ααα,,,21 中任意两个向量的对应分量不成比例 (C) n ααα,,,21 中有一个部分向量线性无关

(D)

n ααα,,,21 中任意一个向量都不能由其余1-n 个向量线性表示

2.设向量组321,,ααα线性无关,则与321,,ααα等价的向量组为( ). (A) 3221,αααα++ (B) 2121214,3,,αααααα-+

(C)

31312121,,,αααααααα-+-+ (D) 3221,αααα-+

3.设向量组γβα,,线性无关,δβα,,线性相关,则( ). (A)

α必可由δγβ,,线性表示 (B) β必不可由δγα,,线性表示

(C) δ必可由γβα,,线性表示 (D) δ必不可由γβα,,线性表示 4.设A 为n m ?矩阵,齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充分条件是( ). (A) A 的列向量组线性无关 (B) A 的列向量组线性相关 (C) A 的行向量组线性无关 (D) A 的行向量组线性相关

三、判断题

1.设向量组r ααα,,,21 与s βββ,,,21 都线性相关,且可以互相线性表示,则必有s r =.( ) 2.n 维向量组)1(,,,21>s s ααα 线性相关的充要条件是其中有一个向量可由其余向量线性表示.( ) 3.设n 维向量组r ααα,,,21 中每一个向量均可由s βββ,,,21 线性表示,且s r >,则r ααα,,,21 必线性相关.( )

4.设n ααα,,,21 为n 个m 维向量,且m n >,则该向量组必定线性相关.( ) 5.设321,,ααα是线性无关向量组,则向量组32121105,3,2ααααα+-也线性无关.( )

6.设向量组r ααα,,,21 与s βββ,,,21 等价,则r ααα,,,21 的任一极大无关组与s βββ,,,21 的任一极大无关组可互相线性表示.( )

第四章 线性方程组

一、填空题

1.若方程组???

??=++=++=++2

3213213211

k kx x x k x kx x x x kx 无解,则=k .

2.设方程组???

??-=-+=+-=-+1

554212321321321x x x x x x x x x λλ有唯一解,则≠λ .

3.齐次线性方程组???

??=++=++=++0

00321

321321x x x x x x x x x λλ有非零解,则=λ .

二、选择题

1.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ,则0=Ax 有非零解的充分必要条件是( ). (A) n r = (B) n r < (C) n r ≥ (D) n r >

2.设n 元齐次线性方程组0=Ax ,若n r A R <=)(,则该方程组的基础解系( ). (A )唯一存在 (B )共有r n -个 (C )含有r n -个解向量 (D )含有无穷多个解向量

3.已知321,,ααα是线性方程组0=Ax 的一个基础解系,则必有( ). (A )321,,ααα线性相关 (B )321,,ααα线性无关

(C )133221,,αααααα+++线性相关 (D )133221,,αααααα+++不是0=Ax 基础解系

4.方程组?

??=-+-=+-04620

23321321x x x x x x 的一组基础解系是由( )个解向量组成的.

(A )2 (B )1 (C )3 (D )0 5.设s ααα,,,21 是n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系,则( ). (A )s ααα,,,21 线性相关 (B )0=Ax 的任意1+s 个解向量线性相关

(C )n A R s =-)( (D )0=Ax 的任意1-s 个解向量线性相关 6.若321,,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系,则( ).

(A )133221,,αααααα+++也是0=Ax 的一个基础解系 (B )基础解系具有唯一性 (C )133221,,αααααα+++不一定是0=Ax 的基础解系 (D )以上说法都不对

三、判断题

1.设21,ξξ为齐次线性方程组0=Ax 的解,1η为非齐次线性方程组b Ax =的解,则22111ξξηk k ++为b Ax =的通解(21,k k 为任意实数).( )

2.设21,ξξ为齐次线性方程组0=Ax 的解,21,ηη为非齐次线性方程组b Ax =的解,则()()2121ηηξξ-+-为

b Ax =的解.( )

3.若方程组()()()()???

??=++++=+-+=+++0

313010

23321321321x k kx x k x x k kx x x x k 有非零解,则k 应满足的条件是0=k 或1=k .( ) 4.若方程组??

?

??=+=++=++03 020

32321321x kx x x x x kx x 只有零解,则k 应满足的条件是53=k .( )

第五章 矩阵的特征值

一、填空题

1.设()()T

T

4,0,1,0,3,221==αα,则内积[]=21,αα .

2.设T

k ??

?

??=0,1,21,31α为单位向量,则=k .

3.设21,ξξ是矩阵A 的属于不同特征根λλ12,的特征向量,则21,ξξ是线性 . 4.设?

?

?

?

??--=1111A 的特征值为0,2,则A 3的特征值为 . 5.设????

??????=543022001A ,则A 的特征值为 . 6.若0λ为A 的一个特征值,则矩阵多项式()A f 有一个特征值为 .

7.已知三阶矩阵A 的三个特征值为1, -1,2,则E A A 322

++的特征值为 .

8.设0≠λ为方阵A 的一个特征值,则1

-A 有一个特征值为 .

9.设A 为n 阶方阵,方程组0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 . 10.n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有 个线性无关的特征向量.

二、选择题

1.下列结论中不正确的是( ).

(A )若n 维向量α与β正交,则对任意实数l k ,,αk 与βl 也正交; (B )若n 维向量β与21,αα都正交,则β与21,αα的任意线性组合也正交; (C )若n 维向量α与β正交,则βα,中至少有一个是零向量; (D )若n 维向量α与任意n 维向量都正交,则α是零向量. 2.设A 是正交矩阵,则下列矩阵中( )不是正交矩阵.

(A )1-A (B )T A (C )m

A (m 是正整数) (D )kA (1≠k ) 3.下列说法正确的是( ).

(A )因为特征向量都是非零向量,所以它对应的特征值非零; (B )属于一个特征值的特征向量只能有一个; (C )一个特征向量只能属于一个特征值; (D )n 阶矩阵有n 个不同的特征值.

4.设n 阶可逆矩阵A 有一特征值为λ,则A *

的特征值之一是( ). (A )n A 1

(B )A 1-λ (C )A λ (D )n

A λ

5.设n 阶可逆矩阵A 有一特征值为λ,则1

--A E 的特征值之一是( ). (A )1

1--λ (B )1

1-+λ (C )λ+1 (D )λ-1 6.设A 是3阶矩阵,且2)(=A R ,则( ). (A )0未必是A 的特征值 (B )0是A 的一重特征值

(C )0是A 的二重特征值 (D )0是A 的特征值,且重数至少是1 7.n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的( ).

(A )充分而非必要条件 (B )充要条件 (C )必要而非充分条件 (D )无关的条件 8.设B A ,为n 阶矩阵,且A 与B 相似,则( ).

(A )B E A E -=-λλ (B )A 与B 有相同的特征值和特征向量 (C )A 与B 都相似于一个对角矩阵 (D )对任意常数t ,A tE -与B tE -相似

9.设n λλλ,,,21 是n 阶对称矩阵A 的特征值,{}n diag λλλ,,,21 =Λ,则( )不成立.

(A )A 与Λ等价 (B )A 与Λ相似 (C )Λ=A (D )Λ≠A

10.下列矩阵中与对角矩阵??

?

?

??=Λ3000相似的是( ). (A )????

??1301 (B )??????2042 (C )??????0013 (D )??

?

???-0112 三、判断题

1.线性无关向量组一定可以化为等价的正交向量组.( ) 2.正交向量组必线性无关.( )

3.线性无关的n 维向量组n ααα,,,21 必是n 维向量空间的一组基.( ) 4.若n 阶方阵A 与B 相似,则A 与B 必有相同的特征值和特征向量.( )

5.设21,ξξ分别是实对称方阵A 对应于两个不同特征值21,λλ的特征向量,则内积[]0,21=ξξ.( ) 6.n 阶矩阵A 可逆的充要条件是A 的任一特征值不等于0.( )

7.设C B A ,,均为n 阶矩阵,且AC C B T

=,则A 与B 必有相同的特征值.( ) 8.n 阶矩阵A 可与对角阵相似的充分必要条件是A 有n 个相异的特征值.( ) 9.n 阶矩阵A 可与对角阵相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.( ) 10.n 阶对称矩阵A 一定可与对角阵相似.( )

参考答案

第一章 行列式

一、填空题

1、0==b a

2、13

3、abc 3-

4、!)

1(2

)

1(n n n -- 5、2

5

二、选择题

1、A

2、B

3、C

4、C

5、D

三、判断题

1、×

2、√

3、×

4、√

5、√

第二章 矩阵

一、填空题

1、1

2、????

?

?????-100100900 3、??????101na 4、??????5235 5、??????--1324 6、??????---a c b d bc ad 1

7、?????

?

???????

?---11

2

11n a a a 8、54 9、2 10、??

????---14423241

二、选择题

1、C

2、D

3、B

4、B

5、D

6、B

7、C

8、A

9、A 10、C

三、判断题

1、√

2、×

3、√

4、×

5、√

6、×

7、×

8、√

9、√ 10、×

第三章 向量组的线性相关性

一、填空题

1、-8

2、相关

3、相关

4、3

5、1

6、2

3

-

和4 7、n 二、选择题

1、D

2、C

3、C

4、A

三、判断题

1、×

2、√

3、√

4、√

5、√

6、√

第四章 线性方程组

一、填空题

1、2-

2、5

4

-

和1 3、1 二、选择题

1、B

2、C

3、B

4、A

5、B

6、A

三、判断题

1、√

2、×

3、√

4、×

第五章 矩阵对角化

一、填空题

1、2

2、7

3、无关

4、0,6

5、1,2,5

6、)(0λf

7、2,6,11

8、1

-λ 9、0 10、n 二、选择题

1、C

2、D

3、C

4、B

5、A

6、D

7、A

8、D

9、D 10、C

三、判断题

1、√

2、√

3、√

4、×

5、√

6、√

7、×

8、×

9、√ 10、√