第二十六章 二次函数
【知识梳理】
1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数.
2.二次函数c bx ax y ++=2
用配方法可化成:()k h x a y +-=2
的形式,其中
a
b a
c k a b h 4422
-=-=,.
3.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.
①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0 a 相等,抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地,y 轴记作直线0=x . 4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 5.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法:a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ? +=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--, 对称轴是直线a b x 2- =. (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线h x =. (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 6.抛物线c bx ax y ++=2 中,c b a ,,的作用 (1)a 决定开口方向及开口大小,这与2 ax y =中的a 完全一样. (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;②0>a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧;③0 (即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧. (3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2 与y 轴交点的位置. 当0=x 时,c y =,∴抛物线c bx ax y ++=2 与y 轴有且只有一个交点(0,c ): ①0=c ,抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴;③0 半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧,则 0 b . 7.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式:c bx ax y ++=2 .已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式. (2)顶点式:()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (3)交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式:()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点 (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2 得交点为(0, c ). (2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2 有且只有一个交点 (h ,c bh ah ++2 ). (3)抛物线与x 轴的交点 二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程02 =++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交; ②有一个交点(顶点在x 轴上)?0=??抛物线与x 轴相切; ③没有交点?0?抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2 的两个实数根. (5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由方程组 c bx ax y n kx y ++=+=2 的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点;③方程组无解时?l 与 G 没有交点. (6)抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021,,,x B x A ,由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故 a c x x a b x x = ?-=+2121,() () a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?=-=-?? ? ??-=--= -=-=44422 212 212 2121 【能力训练】 1.二次函数y=-x 2+6x -5,当x 时, 0 2.抛物线)2(22 ++-=m mx x y 的顶点坐标在第三象限,则m 的值为( ) A .21>- 4. 二次函数y=x 2+2x -7的函数值是8,那么对应的x 的值是( ) A .3 B .5 C .-3和5 D .3和-5 5.抛物线y=x 2-x 的顶点坐标是( ) 11111 A.(1,1) .(,1) .(,) .( , ) 22424 B C D - 6.二次函数c bx ax y ++=2 的图象,如图1-2-40所示,根据图象可得a 、b 、c 与0的大 小关系是( ) A .a >0,b <0,c <0 B .a >0,b >0,c >0 C .a <0,b <0,c <0 D .a <0,b >0,c <0 7.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一 跳,函数h=3.5 t -4.9 t 2(t 的单位s ;h 中的单位:m )可以描述他跳跃时 重心高度的变化.如图,则他起跳后到重心最高时所用的时间是( ) A .0.71s B .0.70s C .0.63s D .0.36s 8.已知抛物线的解析式为y=-(x —2)2+l ,则抛物线的顶点坐标是( ) A .(-2,1)B .(2,l )C .(2,-1)D .(1,2) 9.若二次函数y=x 2-x 与y=-x 2+k 的图象的顶点重合,则下列结论不正确的是( ) A .这两个函数图象有相同的对称轴 B .这两个函数图象的开口方向相反 C .方程-x 2+k=0没有实数根 D .二次函数y=-x 2+k 的最大值为12 10.抛物线y=x 2 +2x -3与x 轴的交点的个数有( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 11.抛物线y=(x —l )2 +2的对称轴是( ) A .直线x =-1 B .直线x =1 C .直线x =2 D .直线x=2 12.已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图所示,则在“① a <0,②b >0,③c < 0,④b 2-4ac >0”中,正确的判断是( ) A 、①②③④ B 、④ C 、①②③ D 、①④ 13.已知二次函数c bx ax y ++=2 (a ≠0)的图象如图所示,则下列结论: ①a 、b 同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x 的值只能取0.其中正确的个数是( ) A .l 个 B .2个 C .3个 D .4个 14.如图,抛物线的顶点P 的坐标是(1,-3),则此抛物线对应的二 次函数有() A .最大值1 B .最小值-3 C .最大值-3 D .最小值1 15.用列表法画二次函数c bx ax y ++=2 的图象时先列一个表,当表中对 自变量x 的值以相等间隔的值增加时,函数y 所对应的值依次为:20,56,110,182,274,380,506,650.其中有一个值不正确,这个不正确的值是( ) A .506 B .380 C .274 D .182 16.将二次函数y=x 2-4x+ 6化为 y=(x —h)2+k 的形式:y=___________ 17.把二次函数y=x 2-4x+5化成y=(x —h)2+k 的形式:y=___________ 18.若二次函数y=x 2-4x+c 的图象与x 轴没有交点,其中c 为整数,则c=__ _________________(只要求写一个). 19.抛物线y=(x -1)2+3的顶点坐标是____________. 20.二次函数y=x 2-2x -3与x 轴两交点之间的距离为_________. 21. 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A (-1,0)、B (3,0)、C (0,3)三点, (1)求抛物线的解析式和顶点M 的坐标,并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。 (2)若点(x 0,y 0)在抛物线上,且0≤x 0≤4,试写出y 0的取值范围。 22.华联商场以每件30元购进一种商品,试销中发现每天的销售量y (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数y=162-3x ; (1)写出商场每天的销售利润w (元)与每件的销售价x (元)的函数关系式; (2)如果商场要想获得最大利润,每件商品的销售价定为多少为最合适?最大销售利润 为多少? 23.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图像(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系). 根据图像提供的信息,解答下列问题: (1)求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的Array 函数关系式; (2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元; (3)求第8个月公司所获利润是多少万元? ) 24.如图,有一座抛物线型拱桥,在正常水位时水面AB的宽是20米,如果水位上升3米时,水面CD的宽为10米, (1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式; (2)现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发,要经过此桥开往乙地,已知甲地到此桥280千米,(桥长忽略不计)货车以每小时40千米的速度开往乙地,当行驶到1小时时, .0米的速度持续上涨,(货车接忽然接到紧急通知,前方连降大雨,造成水位以每小时25 到通知时水位在CD处),当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行;试问:汽车按原来 速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过多少千米? 25.已知直线y=-2x+b(b≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y =x2-(b+10)x+c. ⑴若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y=-2x+b上,试确定这条抛物线的解析式; ⑵过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线y =-2x+b的解析式. 26.已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下,与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点,其中x l (1)求m的取值范围; (2)若x12+ x22=10,求抛物线的解析式,并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线; 27.如图,等腰梯形ABCD的边BC在x轴上,点A在y轴的正方向上,A( 0, 6 ),D ( 4,6),且AB=210 . (1)求点B的坐标; (2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式; (3)在(2)中所求的抛物线上是否存在一点P,使得S△PBD=1 2 S梯形ABCD。若存在,请求出 该点坐标,若不存在,请说明理由. 28.数学活动小组接受学校的一项任务:在紧靠围墙的空地上,利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一块生物园地,请设计一个方案使生物园的面积尽可能大。 (1)活动小组提交如图的方案。设靠墙的一边长为x 米,则不靠墙的一边长为(60-2x)米,面积y= (60-2x) x米2.当x=15时,y最大值=450米2。 (2)机灵的小明想:如果改变生物园的形状,围成的面积会更大吗?请你帮小明设计两个方案,要求画出图形,算出面积大小;并找出面积最大的方案. 答案: 1.>5 2. D 21. (1) (1,4) (2) –5≤y0≤4 22. (1) W= –3x2+252x–4860 (2) W最大=432(元) 23. (1) S= 1 2t 2–2t (t >0) (2) 当S=30时,t=10 (3) 当T=8时,S=16 24. (1) y= –1 25x 2 (2) 水位约4小时上涨到0,按原速不能安全通过此桥.若要通过需超过60千米/小时25. (1) y=x2–4x–6 或y=x2–10 (2) y= –2x–2 (提示,Rt△ABC中,OB2=OA·OC 26. (1) 1 3(2) y= –x 2+4x–3 27 (1) B(–2, 0) (2) y= –1 2x 2+2x+6 (3) 由抛物线的对称性可知抛物线必过点C,因此,P点必定在直线BD下方,P1 (1+21 ,21 –3) P2(1–21 ,–21 –3) 28.以围墙的一部分为一边,往外围成一个正多边形(五、六、……)R的一半, 如图S=1 2×10 3 ×(20+10×2+20)=300 3 ≈520米 2 围成半圆面积最大,最大的面积为:573米2 第二十六章二次函数【课标要求】 考点课标要求 知识与技能目标 了解理 解 掌 握 灵活应 用 二次函数理解二次函数的意义∨ 会用描点法画出二次函数的图像∨ 会确定抛物线开口方向、顶点坐标和对称轴∨ 通过对实际问题的分析确定二次函数表达式∨∨ 理解二次函数与一元二次方程的关系∨ 会根据抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的图像来确定a、 b、c的符号 ∨∨ 【知识梳理】 1.定义:一般地,如果是常数, ,那么 叫做 的二次函数. 2.二次函数 用配方法可化成: 的形式,其中 . 3.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ① 的符号决定抛物线的开口方向:当 时,开口向上;当 时,开口向下; 相等,抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于 轴(或重合)的直线记作 .特别地, 轴记作直线 . 4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 5.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法: ,∴顶点是 ,对称轴是直线 . (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为 的形式,得到顶点为( , ),对称轴是直线 . (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 6.抛物线 中, 的作用 (1) 决定开口方向及开口大小,这与 中的 完全一样. (2) 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ,故:① 时,对称轴为 轴;② (即 、 同号)时,对称轴在 轴左侧;③ (即 、 异号)时,对称轴在 轴右侧. (3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置. 2018中考数专题二次函数 (共40题) 1.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A(﹣4,﹣4),B(0,4)两点,直线AC:y=﹣x﹣6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G. (1)求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式; (2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标; (3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E,H的坐标; ②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为⊙E上一动点,求AM+CM它的最小值. 2.如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)与x轴交于A,B两点,与y轴的正半轴交于点C,其顶点为D. (1)写出C,D两点的坐标(用含a的式子表示); (2)设S△BCD:S△ABD=k,求k的值; (3)当△BCD是直角三角形时,求对应抛物线的解析式. 3.如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(﹣4,0)、B(0,3),抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C. (1)求直线y=kx+b的函数解析式; (2)若点P(x,y)是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标; (3)若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值. 4.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A(0,3),与x正半轴相交于点B,对称轴是直线x=1 (1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标. (2)动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动,同时动点N从点O出发,以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动,当N点到达A点时,M、N同时停止运动.过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒. ①当t为何值时,四边形OMPN为矩形. ②当t>0时,△BOQ能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由. 5.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A(﹣1,0),B(5,0)两点. (1)求抛物线的解析式; (2)在第二象限取一点C,作CD垂直X轴于点D,AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值; (3)在(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存 1.如图,抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点,其中点A 在y 轴上,点B 坐标为(﹣4,﹣5),点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点,过点P 作PC ⊥x 轴于点C ,交AB 于点D .(1)求抛物线的解析式;(2)以O ,A ,P ,D 为顶点的平行四边形是否存在?如存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由.(3)当点P 运动到直线AB 下方某一处时,过点P 作PM ⊥AB ,垂足为M ,连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形,请直接写出此时点P 的坐标. 2. 在直角坐标系xoy 中,(0,2)A 、(1,0)B -,将ABO ?经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ?. (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式;(2)连结AC ,点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点, 若直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分,求此时点P 的坐标;(3)现将ABO ?、BCD ?分别向下、向左以1:2的速度同时平移,求出在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值. 3. 如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为直线x =-1,且经过A (1,0),C (0,3)两点,与x 轴的另一个交点为B .⑴若直线y =mx +n 经过B ,C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴x =-1上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求点M 的坐标;⑶设点P 为抛物线的 图15.1 C D O B A x y 对称轴x =-1上的一个动点,求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标. 4. 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,直线l 经过坐标原点O ,与抛物线的一个交点为D ,与抛物线的对称轴交于点E ,连接CE ,已知点A ,D 的坐标分别为 (-2,0),(6,-8).(1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点B 和点E 的坐标;(2 )试探究抛物线上是 第25题图 初中数学二次函数复习专题 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗 1. 理解二次函数的概念; 2. 会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向,会用描点法 画二次函数的图象; 3. 会平移二次函数y =ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y =a(ax +m)2 +k 的图象,了解特殊与一 般相互联系和转化的思想; 4. 会用待定系数法求二次函数的解析式; 5. 利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函 数的最大值、最小值,了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 内容 (1)二次函数及其图象 如果y=ax 2 +bx+c(a,b,c 是常数,a ≠0),那么,y 叫做x 的二次函数。 二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象。 (2)抛物线的顶点、对称轴和开口方向 抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2a b ac a b --,对称轴是a b x 2-=,当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下。 抛物线y=a (x+h )2+k(a ≠0)的顶点是(-h ,k ),对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗 1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如: 已知以x 为自变量的二次函数y =(m -2)x 2+m 2 -m -2额图像经过原点, 则m 的值是 2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内 考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如: 如图,如果函数y =kx +b 的图像在第一、二、三象限内,那么函数 y =kx 2 +bx -1的图像大致是( ) 和选拔性的综合题,如: 已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为x =5 3 ,求这条抛物线的解析式。 4. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如: 已知抛物线y =ax 2 +bx +c (a ≠0)与x 轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y 轴交点的纵坐标是-32 (1) 确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。 习题1: 一、填空题:(每小题3分,共30分) 1、已知A(3,6)在第一象限,则点B(3,-6)在第象限 2、对于y=-1 x ,当x>0时,y随x的增大而 3、二次函数y=x2 +x-5取最小值是,自变量x的值是 4、抛物线y=(x-1)2 -7的对称轴是直线x= 5、直线y=-5x-8在y轴上的截距是 6、函数y= 1 2-4x 中,自变量x的取值范围是 7、若函数y=(m+1)xm2+3m+1 是反比例函数,则m 的值为 8、在公式1-a 2+a =b中,如果b是已知数,则a= 9、已知关于x的一次函数y=(m-1)x+7,如果y随x的增大而减小,则m的 取值范围是 10、 某乡粮食总产值为m吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨),与该乡人口 数x的函数关系式是 二、选择题:(每题3分,共30分) 11、函数y=x-5中,自变量x的取值范围 ( ) (A)x>5 (B)x<5 (C)x≤5 (D)x≥5 12、抛物线y=(x+3)2 -2的顶点在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 13、抛物线y=(x-1)(x-2)与坐标轴交点的个数为 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 14、下列各图中能表示函数和在同一坐标系中的图象大致是( ) (A) (B) (C) (D) 15.平面三角坐标系内与点(3,-5)关于y轴对称点的坐标为( ) (A )(-3,5) (B )(3,5) (C )(-3,-5) (D )(3,-5) 16.下列抛物线,对称轴是直线x=1 2 的是( ) (A ) y=12 x2(B )y=x2+2x(C )y=x2+x+2(D )y=x2 -x-2 17.函数y=3x 1-2x 中,x的取值范围是( ) (A )x≠0 (B )x>12 (C )x≠12 (D )x<1 2 中考二次函数专题复习 知识点归纳: 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. y a x h =-的性质: 左加右减。 4. y a x h k =-+的性质: 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k , ; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取 的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值2 44ac b a -. 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当 中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一:面积问题 【例1】(2009湖南益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式; (2)求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ; (3)设点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P ,使S △PAB =89S △CAB ,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 【变式练习】 1.(2009广东省深圳市)如图,在直角坐标系中,点A 的坐标为(-2,0),连结OA ,将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB . (1)求点B 的坐标; (2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式; (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ,使△BOC 的周长最小?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由. (4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点,且在x 轴的下方,那么△PAB 是否有最大面积?若有,求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积;若没有,请说明理由. 图2 2.(2010绵阳)如图,抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A (-4,0)、B (2,0),与y 轴交于点C ,顶点为D .E (1,2)为线段BC 的中点,BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G . (1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D 的坐标; (2)在直线EF 上求一点H ,使△CDH 的周长最小,并求出最小周长; (3)若点K 在x 轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时, △EFK 的面积最大?并求出最大面积. 3.(2012铜仁)如图,已知:直线3+-=x y 交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C (1,0)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点D 的坐标为(-1,0),在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似,求出点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,在x 轴下方的抛物线上,是否存在点E ,使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积?如果存在,请求出点E 的坐标;如果不存在,请说明理由. 题型二:构造直角三角形 【例2】(2010山东聊城)如图,已知抛物线y =ax 2 +bx +c (a ≠0)的对称轴为x =1,且抛物线经过A (-1,0)、C (0,-3)两点,与x 轴交于另一点B . (1)求这条抛物线所对应的函数关系式; (2)在抛物线的对称轴x =1上求一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,C E D G A x y O B F 第二十六章 二次函数 【知识梳理】 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成:()k h x a y +-=2 的形式,其中 a b a c k a b h 4422 -=-=,. 3.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0初三中考二次函数专题复习
2018中考数学专题二次函数
2017中考二次函数专题(含答案)
中考数学二次函数复习专题
中考二次函数专题复习
2019中考二次函数压轴题专题分类训练
(完整)初三中考二次函数专题复习