广义延拓法在IGS精密星历插值中的应用
第37卷第11期测绘与空间地理信息
GEOMATICS ＆SPATIAL INFOＲMATION TECHNOLOGY
Vol．37，No．11
收稿日期：2013－09－13，修订日期：2014－10－10
作者简介：史卫平（1984－），女，山东日照人，讲师，硕士，2010年毕业于山东科技大学大地测量学与测量工程专业，主要从事测量数
据处理等方面的研究工作。
广义延拓法在IGS 精密星历插值中的应用
史卫平1
，刘
翔
2
（1．山东农业工程学院国土资源与测绘工程系，山东济南250100；2．山东科技大学测绘学院，山东青岛266590）
摘
要：利用广义延拓插值法对IGS 精密星历进行插值，探讨了广义延拓插值数学模型中单元域节点、延拓域节点、逼近函数项数三个参数与插值精度之间的关系，并与传统经典的Lagrange 多项式插值法进行比较分析。实际算例表明，只要选取适当的参数，广义延拓插值法拥有比Lagrange 多项式插值法更高的精度。关键词：精密星历；Lagrange ；广义延拓；插值中图分类号：P228．4；TP301．6
文献标识码：A
文章编号：1672－5867（2014）11－0143－03
Application of Generalized Extended Method in IGS
Precise Ephemeris Interpolation
SHI Wei －ping 1，LIU Xiang 2
（1．School of Land ＆Ｒesources and Surveying and Mapping Engineering ，Shandong Agriculture and Engineering
University ，Jinan 250100，China ；2．School of Geomatics ，Shandong University of
Science and Technology ，Qingdao 266590，China ）
Abstract ：The generalized extension interpolation is used to interpolate the IGS precise ephemeris．Besides ，discuss the interpolation accuracy and the relationship with the three parameters of unit node ，the continuation field domain node ，approximating function item number in generalized extended interpolation mathematical model ，the results are compared with Lagrange polynomial interpolation．The result shows that as long as select appropriate parameters ，the generalized extension interpolation method has higher precision than though Lagrange polynomial interpolation method．
Key words ：precise ephemeris ；Lagrange ；generalized extension ；interpolation
0引言
在精密单点定位中，必须采用精密星历国际GNSS 服务（IGS ）提供的精密星历轨道产品，一般以15min 或5min 间隔给出，而GPS 观测值的采样间隔一般都小于上述值，有时可达0．1s ，因此，需要内插计算得到每个历元所对应的卫星位置。内插的方法一般用8 11阶La-grange 多项式或切比雪夫多项式就可以满足精度要求
［1］
。
本文运用工程科学中广义延拓插值法对IGS 精密星历进行插值，探讨数学模型中单元域节点、延拓域节点、逼近函数项数三个参数与插值精度之间的关系，用Mat-lab2011b 数值计算软件编制了广义延拓插值算法及经典的Lagrange 多项式插值算法，并通过实际算例，不断改变三个参数数值，误差的变化有一定的规律，并且只要选取的参数合适，可以得到比Lagrange 多项式插值法更高的
精度。
1广义延拓插值的数学模型
在给定数据的基础上，采用一个整域多项式去插值，
使得多项式阶数很高，数值稳定性差，即当逼近函数次数适当提高非已知点的近似精度，但有时也会出现龙格现象，出现较大偏差，影响整域的逼近精度。由于在工程试验中得到的数据存在误差，要严格地通过每一个已知点，就会把已知数据额误差带入到逼近函数。
拟合法能反映函数值的变化趋势，若采用一个整域多项式去拟合，又会滤掉高阶变化量，意思是，可以滤掉已知点的误差，是由于拟合法不要求逼近函数严格通过已知点，只要求已知点的函数值和逼近函数值的偏差，符合在某一规则下的最小化。所以拟合法虽能反映逼近函数趋势，却也会失去部分有用信息
［2］
。
所以，在高精度逼近场合趋向于采用分段光滑逼近的方法，采用分段插值法，能满足给定点上的插值要求，采用分区拟合法，可在小区域内实现最佳逼近，在区域边界上，可能出现台阶性突变［3］。本文采用广义延拓插值法，一方面满足节点插值条件，使得分区之间的变化具有一定的协调性，另一方面利用周围节点的信息实现分区最佳逼近，达到插值和拟合法的综合使用，将二者有机结合起来［4］。
函数u在区域Ω Ｒn上的一组离散数据：
（x
j ，y
j
）u
j
=u（x
j
），x j∈Ω，j=1，2，…，
{}
n，现欲在该区域上构造u的一个近似函数U：Ω→Ｒ，满足U（x j）=
u
j
，j=1，2，…，n。运用剖面思想，采用分段逼近的方法，将该区域划分成m个互不重叠的子区域Ωe。单元域共有r个节点，相应节点坐标为x e i，i=1，2，…，r，节点函数值为u e i，i=1，2，…，r，根据广义延拓逼近思想，为构造高精度单元域逼近函数，可将单元域Ωe延拓，得到单元域延拓域Ω'e，设Ω'e内有s个节点，其中，r＜s。可以利用含有较多节点的延拓域内的信息来构造单元域内逼近函数U e（x），一般可采用二次多项式拟合。
U e（x）=∑t
j=1a e
j
g e
j
（x）
其中，g e1，g e2，···，g e t是Ωe上的一组基函数，a e j（j=1，2，…，t）为待定系数，t为逼近函数项数，且r＜t＜s。实行最佳平方逼近，要求出待定系数，使得：
min=∑s
i=1
［U e（x e
i
）－u e
i
］2，i=1，2，…，s
同时，使U e（x）满足Ωe上的插值条件
U e（x e
i
）=u e
i
，x e
i
∈Ω
e
，i=1，2，…，r
由上述两式解出U e（x）逼近函数中的待定系数a e j（j
=1，2，…，t），便可得到Ω
e
上的插值函数U e（x），对每个单元子域Ωe按以上过程处理，最后拼接起来，便可得到所求的逼近函数U（x）：
U（x）=∑m
e=1
U e（x）
2算例分析
在IGS官方网站上下载SP3精密星历文件，本文选取2012年8月13日的SP3精密星历文件作为实验数据，历元时刻为00：00：00 23：45：00，时间间隔为15min，计算时取30min间隔的历元作为内插点计算各个内插时间段中间时刻的卫星位置，以便将内插得到的卫星位置同精密星历给出的卫星位置进行比较。运用广义延拓插值法，改变单元域节点数r、延拓域节点数s和逼近函数项数t三个参数的数值，比较插值精度，分析与插值精度之间的关系，并将计算结果与Lagrange多项式插值法得到的结果进行比较。由于三参数可供组合数量多，表1仅列出了部分PＲN01卫星的插值精度。
表1取不同参数插值精度（PＲN01）Tab．1Different parameter interpolation（PＲN01）
r s t
X/mm Y/mm Z/mm
最大值中误差最大值中误差最大值中误差
354185632．42153654．531936524．321565234．191825487．161636541．23 48752．1122．8549．2523．1310．588．21 576455．21232．13452．01254．32175．5865．78 59810．238．219．387．257．245．46 611102．960．802．340．691．570．78 712112．350．622．120．651．520．69 812112．840．672．780．761．950．68 913102．720．722．750．861．850．67 1115122．730．712．670．721．830．67 1317142．830．792．640．711．820．66 1519162．800．802．640．701．830．66 1721182．850．822．690．731．850．67 1925208．682．837．652．548．212．68 21262049．3522．2530．7615．8732．2519．80
由表1可得出，三个参数的取值与内插精度有一定规律，三个参数都较小时，精度不高，参数不断增大后，精度也迅速提高了。当三参数取值达到一定程度后精度趋于稳定，再增加精度会变低。当三参数取7，12，11时，精度最高。表2给出了该天所有卫星在三参数为7，12，11时的插值精度。
441测绘与空间地理信息2014年
表2所有卫星的插值精度（中误差）
Tab．2All satellite interpolation accuracy （error ）
PＲN X /mm Y /mm Z /mm PＲN X /mm Y /mm Z /mm 10．720．750．79170．560．580．6120．590．630．78180．540．570．6630．640．690．64190．630．670．6040．760．600．62200．610．580．5950．590．570．59210．590．600．7260．580．570．75220．590．720．6270．590．600．73230．560．560．7580．570．580．72240．580．580．6590．610．560．66250．610．590．62100．560．610．61260．600．610．66110．580．570．74270．590．580．62120．600．580．62280．590．580．62130．580．570．72290．560．560．77140．590．580．57300．570．620．58150．620．650．60310．550．580．5916
0．58
0．56
0．66
32
0．60
0．57
0．61
由表2可看出，所有卫星的插值精度相当，大约都在0．6mm 上下浮动。
从以往大量研究精密星历内插方法的文献得出，
La-grange 多项式插值法在8 11阶时，插值精度最高［5－10］
，本文选取当阶数为11时，用Lagrange 多项式插值法得到
的精度结果与广义延拓插值法进行对比，如图1至图3，给出了两种方法分别在X ，Y ，Z 三个坐标方向的插值结果
。
图1X 坐标方向精度对比
Fig．1
X coordinate direction accuracy
comparison
图2Y 坐标方向精度对比
Fig．2Y direction accuracy
comparison
图3Z 坐标方向精度对比
Fig．3Z direction accuracy comparison
从图1至图3中可以看出，只要选择合适的三参数，广义延拓插值法可以拥有比Lagrange 多项式插值法更高的精度。
3结束语
本文通过算例，比较了三个参数在不同取值时，广义延拓插值方法在精密星历插值中的精度，得出只要选取合适的单元域节点、延拓域节点、逼近函数项数三个参数就可以得到满意的精度，并且拥有比Lagrange 多项式插值法更高的精度，能够满足精度单点定位的需要。
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5
41第11期
史卫平等：广义延拓法在IGS 精密星历插值中的应用
牛顿插值法原理及应用
牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。 插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。 定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序 程序框图#include GPS精密星历 目前，全球260多个lGS跟踪站中，我国占20多个，分布在武汉、拉萨、乌鲁木齐、昆明、上海等地,全球IGS网的GPS数据，由单台接收机交换(RINEX)格式生成的日观测和导航数据文件组成，其存储方式为ASCII码文本格式，内容包括观测值、导航星历信息、气象数据等。这些数据经UNIX压缩后传送到相应的数据中心。观测值文件包括从O0：O0：O0至23：59：59 GPS时段内所观测的数据。采样率都采用标准的30s。 RINEX格式命名规则为：ssssdddf．yyt。 其中：SSSS表示测站名； ddd表示年积日(从1月1日起算)；f表示一天内的文件序号(时段号0，1等)；YY表示年号，如98表示1998，00表示2000等；t表示文件类型，0表示观测值，N表示星历，M 表示气象数据，G表示GLONASS星历，H 表示同步卫星GPS载荷的导航电文。bjfs1230．040是一观测数据文件名，bjfs为站点代码(4字节)，123为年积日，0为时段号，04代表2004年，O为文件性质码，代表观测文件。bjfs1230．04n为站点广播星历文件，性质码用n表示，其中auto1230．04n 为广播星历文件，是必须下载的文件。bjfs1230．04m 为气象数据文件，性质码用ITI表示。 IGS提供的重要信息不仅包括IGS跟踪站的观测值数据，还包括站点坐标、相应的框架、历元和站移动速度等。IGS站坐标采用ITRF坐标。 IGS精密星历采用sp3格式，其存储方式为ASCII文本文件，内容包括表头信息以及文件体，文件体中每隔15 min给出1个卫星的位置，有时还给出卫星的速度。它的特点就是提供卫星精确的轨道位置。采样率为15分钟，实际解算中可以进行精密钟差的估计或内插，以提高其可使用的历元数。 1．命名规则 常用的sp3格式的命名规则为：tttwwwwd．sp3 其中：ttt表示精密星历的类型，包括IGS(事后精密星历)、IGR(快速精密星历)、IGU(预报精密星历)三种}wwww表示GPS周；d表示星期，0表示星期日，1～6表示星期一至星期六。文 CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告 三次样条插值方法的应用 一、问题背景 分段低次插值函数往往具有很好的收敛性，计算过程简单，稳定性好，并且易于在在电子计算机上实现，但其光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线船体放样等型值线往往要求具有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（即所谓的样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让他自由弯曲，然后沿木条画下曲线，称为样条曲线。样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数及其应用。 二、数学模型 样条函数可以给出光滑的插值曲线（面），因此在数值逼近、常微分方程和偏微分方程的数值解及科学和工程的计算中起着重要的作用。 设区间[]b ,a 上给定有关划分b x x n =<<<= 10x a ，S 为[]b ,a 上满足下面条件的函数。 ● )(b a C S ,2∈； ● S 在每个子区间[]1,+i i x x 上是三次多项式。 则称S 为关于划分的三次样条函数。常用的三次样条函数的边界条件有三种类型： ● Ⅰ型 ()()n n n f x S f x S ''0'',==。 ● Ⅱ型 ()()n n n f x S f x S ''''0'''',==，其特殊情况为()()0''''==n n x S x S 。 ● Ⅲ型 ()() 3,2,1,0,0==j x S x S n j j ，此条件称为周期样条函数。 鉴于Ⅱ型三次样条插值函数在实际应用中的重要地位，在此主要对它进行详细介绍。 三、算法及流程 按照传统的编程方法，可将公式直接转换为MATLAB 可是别的语言即可；另一种是运用矩阵运算，发挥MATLAB 在矩阵运算上的优势。两种方法都可以方便地得到结果。方法二更直观，但计算系数时要特别注意。这里计算的是方法一的程序，采用的是Ⅱ型边界条件，取名为spline2.m 。 Matlab 代码如下： function s=spline2(x0,y0,y21,y2n,x) %s=spline2(x0,y0,y21,y2n,x) %x0,y0 are existed points,x are insert points,y21,y2n are the second 武汉苍穹数码仪器有限公司 文件名称：事后精密星历和钟差下载指南文件编号：KQ/GL-XS-06 制定部门：市场部 版本版次：A1 发行日期：2010年11月01日 核准 审核制订 文件修订记录表 版本修订理由与内容摘要编写/修改日期负责人A1 初版 事后精密星历和钟差下载指南 首先，在Caravel PP中新建工程，导入数据后在“精密星历”栏中点选“自动下载精密星历和钟差”，然后点击“自动获取流动站时间”，即得到数据采集的日期（如下图所示，日期为2006年12月14日）。 使用“工具→时间转换”，输入“GPS系统时间”点击右侧“系统时间设置”，即获得日期对应的GPS周以及该日期是星期几（如下图所示，GPS周为1405，且为星期四） 事后精密星历文件的命名规则为：igs wwww d.sp3，精密卫星钟差则为：igs wwww d.clk，其中：igs表示事后精密星历的类型（精密星历包括IGS（事后精密星历）、IGR（快速精密星历）、IGU（预报精密星历）三种），wwww 表示GPS周；d表示星期几（0表示星期日，1～6表示星期一至星期六）。如上述日期对应的文件名为：igs14054.sp3。 由于IGS服务目前以对中国大陆地区用户关闭，所以Caravel PP软件中“自动下载精密星历和钟差”功能就暂时无法实现，然而我们仍然可以使用其他方法下载事后精密星历： 方法一：ftp://https://www.wendangku.net/doc/8110986242.html,/pub/products/ 按照GPS周（1405）查找对应目录，点击进入： 在页面查找igs14054.sp3.Z，igs14054.clk.Z（均为.Z格式的压缩文件）： 点击下载，解压即得到2006年12月14日对应的事后精密星历、钟差文件igs14054.sp3和igs14054.clk。 多种插值法比较与应用 （一）Lagrange 插值 1． Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式 ∏ ≠=--=n k j j j k j k x x x x x l 0)( n k ,,1,0ΛΛ= 称为Lagrange 插值基函数 2． Lagrange 插值多项式 设给定n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠，满足插值条件 )()(k k n x f x L =，n k ,,1,0ΛΛ= 的n 次多项式 ∏∏ ∏=≠==--==n k n k j j j k j k k n k k n x x x x x f x l x f x L 0 00 ))(()()()( 为Lagrange 插值多项式，称 ∏=+-+=-=n j j x n n x x n f x L x f x E 0 )1()()!1()()()()(ξ 为插值余项，其中),()(b a x x ∈=ξξ （二）Newton 插值 1．差商的定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商 i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商 i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111ΛΛΛΛΛ 2． Newton 插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件 )()(k k n x f x N =，n k ,,1,0ΛΛ= 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N ΛΛΛΛΛ 为Newton 插值多项式，称 ],[,)(],,,[)()()(010b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏=ΛΛ 为插值余项。 （三）Hermite 插值 设],[)(1b a C x f ∈，已知互异点0x ，1x ，…，],[b a x n ∈及所对应的函数值为0f ，1f ，…，n f ，导数值为'0f ，'1f ，…，'n f ，则满足条件 n i f x H f x H i i n i i n ,,1,0,)(,)(''1212Λ===++ 的12+n 次Hermite 插值多项式为 )()()(0 '12x f x f x H j n j j j n j i n βα∏∏=++= 其中 )())((,)]()(21[)(2 2'x l x x x l x l x x x j j j j j j j j ---=βα IGS精密星历 IGS精密星历采用sp3格式，其存储方式为ASCII文本文件，内容包括表头信息以及文件体，文件体中每隔15 min给出1个卫星的位置，有时还给出卫星的速度。它的特点就是提供卫星精确的轨道位置。采样率为15分钟，实际解算中可以进行精密钟差的估计或内插，以提高其可使用的历元数。 1．命名规则 常用的sp3格式的命名规则为：tttwwwwd．sp3 其中：ttt表示精密星历的类型，包括IGS(事后精密星历)、IGR(快速精密星历)、IGU(预报精密星历)三种；wwww表示GPS周；d表示星期，0表示星期日，1～6表示星期一至星期六。文件名如：igs12901．sp3，其中igs为计算单位名，1290为GPS周，1为星期一。以igr开头的星历文件为快速精密星历文件，以igu 开头的星历文件为超快速精密星历文件。三种精密星历文件的时延、精度、历元间隔等各不相同，在实际工作中，根据工程项目对时间及精度的要求，选取不同的sp3文件类型。 三种精密星历的有关指标： 2.电文格式 SP3格式数据文件第1行的格式说明 SP3格式数据文件第2行的格式说明 SP3格式数据文件第3行的格式说明 SP3格式数据文件第4行的格式说明 SP3格式数据文件第5~7行的格式说明 SP3格式数据文件第8行的格式说明 注：卫星的精度：1 表示“极佳”，99表示“不要使用”，0表示“未知”。SP3格式数据文件第9行的格式说明 SP3格式数据文件第10~12行的格式说明 同第8,9行类似一直到第85颗卫星的精度。 SP3格式数据文件第13~14行的格式说明：%c代表字符域； 插值法的应用与比较 信科1302 万贤浩 13271038 1格朗日插值法 在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起. 1.1拉格朗日插值多项式 图1 已知平面上四个点：(?9, 5), (?4, 2), (?1, ?2), (7, 9)，拉格朗日多项式：)(x L （黑色）穿过所有点.而每个基本多项式：)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ??各穿过对应的一点，并在其它的三个点的x 值上取零. 对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个.如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与L 相差 ))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件. 对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点： ),(00y x ,……,),(k k y x , 数学系 信息与计算科学1班 李平 指导老师：唐振先 摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。 关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。 引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。用多项式建立插值函数的方法主要用两种：一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式：单项式,拉格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值,它有Hermite 和spine 插值和分段线性插值。 一．任意阶多项式插值： 1.用单项式基本插值公式进行多项式插值： 多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A 1+A 2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X 0,X 1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n 个点（X,Y ）构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n 个未知系数Ai 写出n 个方程,这n 个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。 虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde 方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。 2.拉格朗日基本插值公式进行插值： 先构造一组插值函数L i （x ） =011011()()()() ()()()() i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--------，其中i=0，… n.容易看出n 次多项式L i （x ）满足L i （x ）=1，（i=j ）；L i （x ）=0，（i ≠j ），其中i=0，1…n ，令L i （x ）=0()n i i i y l x =∑这就是拉格朗日插值多项式。与单项式基本 函数插值多项式相比,拉格朗日插值有2个重要优点:首先,建立插值多项式不需要求解方程组；其次,它的估计值受舍入误差要小得多。拉格朗日插值公式结构 插值法的方法与应用 武汉科技大学城市建设学院 琚婷婷 结构工程 201108710014 【摘要】文章讨论插值法在数值分析中的中心地位和重要作用，比较插值法间的优缺点，应用以及各种方法之间的相互联系。 【关键词】插值法；应用。 1．插值问题的提出 在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，但是这些关系的显示表达式不一定都知道，通常只是由观察或测试得到一些离散数值，所以只能从这些数据构造函数的近似表达式，有时虽然给出了解析表达式，但由于解析表达式过于复杂，使用或计算起来十分麻烦。这就需要建立函数的某种近似表达，而插值法就是构造函数的近似表达式的方法。 2．插值法的数学表达 由于代数多项式是最简单而又便于计算的函数，所以经常采用多项式作为插值函数，称为多项式插值。多项式插值法有拉格朗日插值法，牛顿插值法、埃尔米特插值法，分段插值法和样条插值法等。其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作为被插值函数f (x)的近似解析表达式。 3．常用多项式插值公式构造 (I)拉格朗日插值 n 次拉格朗日插值多项式p n (x)对可表示为 p n (x)= y i l i (x)n i=0= y i ( x ?x j x i ?x j n j ≠0i ≠j n i=0) 其中l i x ,i =0,1,2???,n 称为插值基函数，插值余项为： R n (x)= f (x)- p n (x)=f n +1 (ξ) n+1 ！ (x ?x i )n i=0 拉格朗日插值多项式在理论分析中非常方便，因为它的结构紧凑，利用基函 数很容易推导和形象的描述算法，但是也有一些缺点，当插值节点增加、减少或其位置变化时，整个插值多项式的结构都会改变，这就不利于实际计算，增加了算法复杂度，此时我们通常采用牛顿插值多项式算法。 (2)牛顿插值多项式 牛顿插值多项式为 N(x)=f(x0)+f x0,x1(x?x0)++???+f［x0,x1,???,x n］(x?x0)(x?x1)???(x?x n?1)用它插值时，首先要计算各阶差商，而各高阶差商可归结为一阶差商的逐次计算。一般情况讨论的插值多项式的节点都是任意分布的，但是在实际应用中，出现了很多等距节点的情形，这时的插值公式可以进一步简化，在牛顿均差插值多项式中各阶均差用相应的差分代替，就得到了各种形式的等距节点插值公式，常用的是牛顿前插与后插公式。 (3)分段插值 在整个插值区间上，随着插值节点的增多，插值多项式的次数必然增高，而高次插值会产生Runge现象，不能有效的逼近被插函数，人们提出用分段的低次多项式分段近似被插函数，这就是分段插值法。构造分段插值多项式的方法仍然是基函数法，即先在每个插值节点上构造分段线性插值基函数，再对基函数作线性组合。它的优点在于只要节点间距充分小，总能获得所要求的精度，即收敛性总能得到保证，另一优点是它的局部性质，即如果修改某个数据，那么插值曲线仅仅在某个局部范围内受到影响。 (4)Hermite插值 分段线性插值的算法简单，计算量小，然而从整体上看，逼近函数不够光滑，在节点处，逼近函数的左右导数不相等，若要求逼近函数与被逼近函数不仅在插值节点上取相同的函数值，而且还要求逼近函数与被逼近函数在插值节点上取相同的若干阶导数值，这类问题称为Hermite插值。 (5)样条插值 通常我们用到的分段三次埃尔米特插值构造的是一个整体上具有一阶光滑性的插值多项式，但在实际中，对光滑性的要求更高。如飞机外形的理论模型，舶体放样等型值线等常要求有二阶的光滑度。工程上常用的是3次样条函数s(x)。其基本思想是将插值区间n等分后，在每一个小区间上，采用分段3次Hermite 基于GPS精密星历的数据解算 DATA PROCESS BASED ON PRECISE EPHEMERIS OF GPS 摘要：一般的工程应用中GPS控制网通常采用的是广播星历进行数据解算，这对一些低等级的控制网，精度基本符合要求，但是若控制网的等级较高，工程的精度要求更为严格，利用广播星历就不容易使基线解算合格，精度也很难达到要求。利用IGS提供的精密星历对数据进行解算，不但可以使基线解算合格，还可以很大程度的提高数据解算的精度。通过对某实际工程GPS接收机采集到的静态数据进行误差来源分析、数据预处理，利用HGO软件进行基线解算并和加入精密星历后的基线解算结果进行对比分析，得出IGS精密星历在实际工程应用当中的作用和意义，为更好地完成国家建设提供保障。 关键词：GPS，IGS，精密星历，数据预处理，HGO Abstract:Broadcast ephemeris is usually used in data processing of GPS control network in general engineering application.For some low level control network, its accuracy met the basic requirements. But if the control network of the high accuracy, using the broadcast ephemeris is not easy to make the baseline qualified, and it can reach the precision is very difficult to meet the requirements.The precise ephemeris provided by IGS for data calculation, it can not only make the baseline qualified, but also can greatly improve the accuracy of data calculation.Through the static data collected for GPS receiver in a practical project. Do error analysis, data pre processing to the static date,and do the baseline solution using HGO software.Then compare with results that calculated using the precise ephemeris.The role and significance of precise ephemeris are obtained in practical engineering application, it provides guarantee for the national construction completed successfully. Keyword:GPS,IGS,precise ephemeris,HGO 1. 引言 GPS对工程测量带来的巨大贡献是目前其他工具和方法无法代替的，工程测量中常用的有：建立精密GPS工程控制网，利用GPS进行大型工程项目的实时动态监测，采用网络RTK技术进行地形图测量等。 在野外，视线良好、周围环境允许的情况下，可以选择GPS联测高等级控制点来做工程控制网的首级控制，因此最需要关注的问题是GPS在工程控制网中能达到什么程度的定位精度。而提高定位精度的方法有多种，可以使用优秀的数据解算软件，如美国麻省理工学 数学与统计学院课程设计报告 课程：数值分析 题目：拉格朗日插值的算法设计及应用年级：三年级 专业：数学与应用数学 学号：08063008 姓名：肖天天 指导教师：宁娣 2010年 12 月 8 日 数学与统计学院本科课程设计 拉格朗日插值的算法设计及应用 【摘要】 本文简介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在实际生活中的运 用。运用了拉格朗日插值的公式，以及它在MA TLAB 中的算法程序，并用具体例子说明。拉格朗日插值在很多方面都可以运用，具有很高的应用价值。 【关键词】 拉格朗日；插值；公式；算法程序；应用；科学。 一、绪论 约瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。数据建模有两大方法：一类是插值方法，另一类是拟合函数一般的说，插值法比较适合数据准确或数据量小的情形。然而Lagrange 插值有很多种，1阶，2阶,…n 阶。我们可以利用拉格朗日插值求方程，根据它的程序求原方程的图像。下面我具体介绍分析一下拉格朗日插值的算法设计及应用。 二、正文 1、基本概念 已知函数y=f(x)在若干点i x 的函数值i y =()i x f （i=0,1,???,n ）一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p(i x )=i y ,i=0,1,???,n, (1) 则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，0x ，1x ，2x ，...,n x 为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点- x 求f(- x )数值解，我们称- x 为一个插值节点，f(- x )≈p(- x )称为- x 点的插值，当- x ∈[min(0x ，1x ，2x ，...,n x )，max(0x ，1x ，2x ，...,n x )]时，称为内插，否则称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n 次多项式时称为n 阶Lagrange 插值。 2、Lagrange 插值公式 （1）线性插值)1(1L 设已知0x ，1x 及0y =f(0x ) ,1y =f(1x ),)(1x L 为不超过一次多项式且满足 )(01x L =0y ,)(11x L =1y ,几何上，) (1x L 为过（0x ，0y ），（1x ，1y ）的直线，从而得到 )(1x L =0y + 101x x y y --（x-0x ）. （2） The National Geodetic Survey Standard GPS Format SP3 Paul R. Spofford National Geodetic Survey National Ocean Service, NOAA Silver Spring, MD 20910-3282, USA and Benjamin W. Remondi, PhD P.O. Box 37 Dickerson, Maryland 20842, USA INTRODUCTION Why do we need standardized orbit formats? Standard orbit formats provide many advantages, the most obvious being orbit exchange. ASCII and binary formats both satisfy this function, but ASCII does it with greater generality because binary formats are computer operating system dependent. The NGS standard GPS orbit format SP1 was introduced in Remondi (1985). After a few years of use, it was realized that enhancements would eventually be required. The "orbit type," the coordinate system, and the GPS week associated with the first epoch of the ephemeris file were added in a manner that did not impact the formats and existing software. A more serious omission of the initial NGS orbit format was the satellite clock corrections. This omission reflected an earlier belief that all geodetic applications could be accomplished in differential mode. Today we realize that standard formats serve a wider community and include those who find it inconvenient to operate in a differential mode. A user can operate in single-receiver or navigation mode based on the broadcast message. However, the user can get more accurate (post-processed) results if the precise orbital data and the associated satellite clock corrections, which were determined 几种常用的插值方法 数学系信息与计算科学1班平 指导老师：唐振先 摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。 关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。 引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。用多项式建立插值函数的方法主要用两种：一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式：单项式,拉格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值,它有Hermite和spine插值和分段线性插值。 一．任意阶多项式插值： 1.用单项式基本插值公式进行多项式插值： 多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A1+A2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X0,X1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n个点（X,Y）构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n个未知系数Ai写出n个方程,这n个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。 虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。 2.拉格朗日基本插值公式进行插值： 先构造一组插值函数L i （x ） =011011()()()() ()()()() i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--------，其中i=0，… n.容易看出n 次多项式L i （x ）满足L i （x ）=1，（i=j ）；L i （x ）=0，（i ≠j ），其中i=0，1…n ，令L i （x ）=0()n i i i y l x =∑这就是拉格朗日插值多项式。与单项式基本函 数插值多项式相比,拉格朗日插值有2个重要优点:首先,建立插值多项式不需要求解方程组；其次,它的估计值受舍入误差要小得多。拉格朗日插值公式结构紧凑,在理论分析中很方便,但是,当插值节点增加、减少或其位置变化时全部插值函数均要随之变化,从而整个插值公式的结构也将发生变化,这在实际计算是非常不利的。 3.使用牛顿均差插值公式进行多项式进行插值： 首先,定义均差,f 在xi,xj 上的一阶均差()()[,]j i i j j i f x f x f x x x x -=-，其中(i ≠j)。f 在 x i ，x j ，x k 的二阶均差f[x i ，x j ，x k ]= [,][,] i j j k j k f x x f x x x x --，k 阶均 f[x i …x k ]= 10[][] k i k k f x x f x x x x ---。 由此得出牛顿均值插值多项式的公式为Pn(x)=f[x 0]+f[x 0-x 1](x-x 0)+…+f[x 0，x n ](x-x 0)…(x-x n-1)。实际计算中经常利用下表给出的均差表直接构造牛顿插值公式 , ， … … 几种插值法的应用与比较 作者：*** 指导老师：*** 摘要本文主要介绍了几种常用插值法的应用和比较，针对每个插值法，经过详细的论证和讨论，给出了每个插值法的优点和缺点.通过对数学插值法的研究、比较及应用的讨论及总结，从而得出所讨论插值方法的各自优势，以方便用户选择合适的插值法. 关键词拉格朗日插值重心拉格朗日插值分段线性插值 1 引言 在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，但是这些关系的显示表达式不一定都知道，通常只是由观察或测试得到一些离散数值，所以只能从这些数据构造函数的近似表达式，有时虽然给出了解析表达式，但由于解析表达式过于复杂，计算起来十分麻烦.这就需要建立函数的某种近似表达，而插值法就是构造函数的近似表达式的方法. 由于代数多项式是最简单而又便于计算的函数，所以经常采用多项式作为插值函数，称为多项式插值.多项式插值法有拉格朗日插值法，牛顿插值法、埃尔米特插值法，分段插值法和样条插值法等.其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作为被插值函数的近似解析表达式. 2拉格朗日插值法 在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起. 2.1 拉格朗日插值多项式 几种插值法的应用和 比较 插值法的应用与比较 信科1302 万贤浩 13271038 1格朗日插值法 在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起. 1.1拉格朗日插值多项式 图1 已知平面上四个点：(?9, 5), (?4, 2), (?1, ?2), (7, 9)，拉格朗日多项式：)(x L （黑色）穿过所有点.而每个基本多项式：)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ??各穿过对应的一点，并在其它的三个点的x 值上取零. 对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个.如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与L 相差))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件. 对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点： ),(00y x ,……,),(k k y x , 其中i x 对应着自变量的位置，而i y 对应着函数在这个位置的取值. 假设任意两个不同的i x 都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为： )()(0x l y x L j k j j ∑==， 其中每个)(x l j 为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为： )()()()()()()()()(111100,0k j k j j j j j j j k j i i i j i j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=--=++--≠=∏ΛΛ， 拉格朗日基本多项式()x l i 的特点是在j x 上取值为1，在其它的点i x ，j i ≠ 上取值为0. 例：设有某个多项式函数f ，已知它在三个点上的取值为： ? 10)4(=f ， ? 25.5)5(=f ， ? 1)6(=f ， 要求)18(f 的值. 首先写出每个拉格朗日基本多项式： 《会计之友(下旬刊)》2008年04期 《财务管理》教学中插值法的快速理解和掌握 [09-03-2614：10：00]作者：田笑丰 摘要在时间价值及内部报酬率计算时常用到插入法，但初学者对该方法并不是很容易理解和掌握。本文根据不同情况分门别类。利用相似三角形原理推导出插入法计算用公式。并将其归纳为两类：加法公式和减法公式，简单易懂、理解准确、便于记忆、推导快捷。 关键词插入法；近似直边三角形；相似三角形 时间价值原理正确地揭示了不同时点上资金之间的换算。是财务决策的基本依据。为此，财务人员必须了解时间价值的概念和计算方法。但在教学过程中。笔者发现大多数教材插值法(也叫插入法)是用下述方法来进行的。如高等教育出版社2000年出版的《财务管理学》P62对贴现期的。 事实上，这样计算的结果是错误的。最直观的判断是：系数与期数成正向关系。而4.000更接近于3.791。那么最后的期数n应该更接近于5，而不是6。正确结果是：n=6-0.6=5.4(年)。由此可见，这种插入法比较麻烦，不小心时还容易出现上述错误。 笔者在教学实践中用公式法来进行插值法演算，效果很好，现分以下几种情况介绍其原理。 一、已知系数F和计息期n。求利息率i 这里的系数F不外乎是现值系数(如：复利现值系数PVIF年金现值系数PVIFA)和终值系数(如：复利终值系数FVIF、年金终值系数FVIFA)。 （一）已知的是现值系数那么系数与利息率(也即贴现率)之间是反向关系：贴现率越大系数反而越小，可用图1表示。 图1中。F表示根据题意计算出来的年金现值系数(复利现值系数的图示略有不同，在于i可以等于0，此时纵轴上的系数F等于1)，F为在相应系数表中查到的略大于F的那个系数，F对应的利息率即为i。查表所得的另一个比F略小的系数记作F，其对应的利息率为i。 (二)已知的是终值系数 那么系数与利息率之间是正向关系：利息率越大系数也越大。其关系可用图2表示。 图2中，F表示根据题意计算出来的某种终值系数。F为在相应系数表中查到的略小于F的那个系数。F对应的利息率仍记作i，查表所得的另一个比F略大的系数记作F，其对应的利息率即为i。 上面两图中，二者往往相差1％，最多也不超过5％，故曲边三角形ABC和ADE可近 牛顿插值法原理及应用 牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x 0)...(x-xn-1)+Rn(x)。 插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。 定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。 牛顿插值法C程序 程序框图#include精密星历介绍
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