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平方差公式因式分解导学案

主备人：李美华备课组长：李美华审核:

湘波中学八年级数学组导学案

课题：公式法（1）课型：预习+展示备课日期： 2012.2.14 班级：姓名：

学习目标： 1. 会用平方差公式分解因式，掌握因式分解的一般步骤。

2. 培养逆向思维能力，领会整体、转化思想。

学习难点：理解平方差公式中字母的广泛含义，灵活运用公式分解因式。学习过程：。一 .旧知回顾：

（1）写出平方差公式：（2）把下列单项式因式分解：

①2

5x 1015y xy xy -+ ②()()2

4a 33-a -- ③3

-4a b 1210a b a b -

二：预习课本 12 页到 14 页的内容，三：:课内探究 1 计算：

(1)()()a b a b +-= ； ⑵(2)(2)m m +-= ；⑶(21)(21)x x +-= __.

2．利用上题结果分解因式：

22(1)a b -= ；2(2)4m -= ；2(3)41x -= 。

3.分解因式：(

)()

94a b -=-=（ + ）（－）

归纳总结：得出用平方差公式进行因式分解的公式：

平方差公式：a 2－b 2=（a+b ）（a －b ）

语言叙述：图形描述：

2 –

2 =（ + ）（ - ）

像这样，把平方差公式反过来，把它当做公式，就可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做。

4:试一试：利用平方差公式因式分解

①2425x - ②）-16+9x 2 ③64m 2-25n 2

展示提高

一、：选一选，下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）

（A ）22)(b a -+ （B ）mn m 2052

- （C ）22y x -- （D ）92

+-x

二填一填，看谁能最快得出下列各式分解因式的结果：

(1) x 2-16= （2）a 2-4b 2= （3）(2x+y)2-9= （4）(2x+y)2-9m 2= 三：用一用：利用因式分解计算：2

199201-= = 四：做一做：把下列各式因式分解

（1）36–25x 2 (2) 16a 2–9b 2 （3）（x+2y ）2－（x －3y ）2；

（4）16x 4－y 4； (2)12a 2x 2－27b 2y 2；

课堂小结：（请同学们静下心来认真阅读下列这段文字）

运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要―提‖得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底．

自主检测：

1．填空：81x 2- =(9x+y)(9x-y);

25.04

9y x -= 2. 把下列各式分解因式 ①1—16 a 2 ②—m 2+9 ③4x 2—25y 2

④49(a-b)2 —16(a+b) ⑤4

1a - ⑥a 3b –ab

平方差公式教学设计(1)

平方差公式教学设计一．目标 1.经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力； 2.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算； 3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法. 二、教学问题诊断分析学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会确定错某些项符号及漏项等问题．学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解．因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解．三．本节课的教学难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算．四、教学过程设计（一）创设情境，引出课题问题１：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）（x+1）（x-1）= ；（2）（m+2）（m-2）= ；（3）（2x+1）（2x-1）= ．（二）探索新知，尝试发现问题２：依照以上三道题的计算回答下列问题： ①式子的左边具有什么共同特征？ ②②它们的结果有什么特征？ ③能不能用字母表示你的发现？师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：．（三）数形结合，几何说理问题3：活动探究：将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系．

（四）总结归纳，发现新知问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗？两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．（五）剖析公式，发现本质在平方差公式中，其结构特征为： ①左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即； ②让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b 的广泛含义，归纳得出：a和b可能代表数或式．（六）巩固运用，内化新知问题5：判断下列算式能否运用平方差公式计算：（1）（2x+3a）（2x–3b）；（2）；（3）（－m+n）（m－n）；（4）；（5）．问题6：判断下列计算是否正确：（1）（2a–3b）（2a–3b）=4a2－9b2（）（2）（x+2）（x – 2）=x2－2 （） 3）（－3a－2）（3a－2）=9a2－4 （）

新人教版八年级上册数学导学案：因式分解—公式法(第2课时)

新人教版八年级上册数学导学案：因式分解—公式法（第2课时）学习目标1、经历用完全平方公式法分解因式的探索过程，理解公式中字母的意 2、会用完全平方公式法对多项式进行因式分解。 3．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式. 重点：用完全平方公式分解因式. 难点：能灵活应用提公因式法、公式法分解因式，且把多项式的每一个因式都分解到不能再分解. 时间分配导课3分、探索新知10分、典例示范10分小结2分、巩固15分学习过程学案（学习过程）导案（学法指导）一.提出问题，创设情景问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，?分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？问题2：把下列各式分解因式．（1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b2 二、探索新知 1、下列各式是不是完全平方式？（1）a2-4a+4 （2）x2+4x+4y2 （3）x2-6x-9 （4）a2+a+0.25 方法总结：凡是可以写成a2+2ab+b2或a2-2ab+b2这样形式的多项式，都可以用完全平方公式分解因式，即可以把它们化为(a+b)2或(a-b)2的形式。因此，我们把形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式 . 2、完全平方公式：文字叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 a2+2ab+b2＝（a+b）2 a2-2ab+b2＝（a-b）2 导课：通过问题导入。所设置的问题也是前面学习的乘法公式。让学生分析、讨论、总结，最后总结方法，必要时教师可适度引导。完全平方公式其实就是乘法公式的逆运算。

《平方差公式》教学设计

平方差公式的教学设计【教学目标】知识与技能（1）理解平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性，形成正向产生式：“﹙□+△﹚﹙□–△﹚”→“□2–△2”；（2）能运用公式进行计算，达到正用公式的水平。过程与方法（1）使学生经历公式的独立建构过程，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，培养学生抽象概括的能力，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想；（2）培养学生的问题解决能力，为学生提供运用平方差公式来研究实际问题的探究空间。情感态度价值观体会数学源于实际，高于实际，运用于实际的科学价值与文化价值。【学情分析】平方差公式是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上,在学生已经掌握了多项式乘法之后,自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法,是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究,不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法,而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础,同时也为完全平方公式的学习提供了方法. 学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛的理解. 【教学重点】平方差公式的本质的理解与运用；【教学难点】1.平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性；2.平方差公式的变式运用。【教学过程设计】（一）速算王的绝招在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题： 1．103×97=?； 2. 2001×1999=? 主持人话音刚落，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于9991，第二题等于3999999。”其速度之快，简直就是脱口而出。同学们，你知道他是如

平方差公式导学案

《平方差公式》导学案课题14.2.1平方差公式课型新授任课教师刘治江周次第周年级八年级班级三班章节14.2.1 课时第 2课时时间学习目标知识与技能1．掌握平方差公式，并能正确运用公式进行简单的运算； 2、经历探索、推导平方差公式的过程，学会观察、抽象、归纳、概括；发展符号感和推理能力； 3、在合作交流中，体会从一般到特殊的认识事物；感悟类比、数形结合的思想方法。过程与方法情感态度与价值观学习重点平方差公式的推导和应用学习难点理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式学法指导自主探究合作交流课前导案自学问题情境王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.6元，结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快?”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式。”你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗? 知识链接多项式与多项式的乘法法则是什么？问题一：（算一算）计算下列多项式的积（1）(1)(1) x x +-=（2）(2)(2) m m +-= （3）(21)(21) x x +-=（4）(5)(5) x y x y +-= 问题二：（猜一猜）不计算，你来猜一下下面的式子的结果。 (6)(6) x x +-=()() x y x y +-= (2)(2) a a +-= 问题三：（说一说）从上面的运算中你发现什么规律？ ①上面的算式中每个因式都是项. ②它们都是两个数的与的. 为了验证大家猜想的结果，我们再计算： (a+b)(a－b)= = . 你能用文字语言表达这一规律吗？（乘法的）平方差公式：班 1、（乘法的）平方差公式在结构上有什么特点？你对公式中的a、b是怎么理解是的 ?平方差公式与多项式的乘法有何关系? 2、你能用右面的几何图形的面积来解释平方差公式吗？从中你有何体会与感悟？

2017因式分解导学案.doc

【学习重点与难点】：因式分解的方法和运用【导学过程】一、知识再现:（阅读教材，理解记忆） 1、因式分解： 2、用提公因式法分解因式（1）基本方法，（2）找公因式的方法， 3、因式分解中运用的公式（1）=-22b a ，（2）=+±222b ab a ， 4、因式分解的应用．二、典例分析 1、提公因式法分解因式例1 因式分解：b a ab 223+= 变式1、因式分解：x x 52- = 变式2、因式分解： 2263ab b a += 2、公式法分解因式例2、因式分解：3212123a a a ++= 变式3、因式分解：296ab ab a +-= 变式4、因式分解：23ab a -=

3、因式分解的应用例3 解方程的值求代数式224320042200452y x x y y x -?? ???=-=+ 变式5、若622=-n m 且2=-n m 则=+n m 三、巩固提高 1. 下列分解因式正确的是（） A 、﹣a +a 3=﹣a （1+a 2） B 、2a ﹣4b +2=2（a ﹣2b ） C 、a 2﹣4=（a ﹣2）2 D 、a 2﹣2a +1=（a ﹣1）2 2．分解因式：321025=a a a -+ 3、因式分解：a 2 ﹣6a+9= 4、分解因式：3222b ab b a +-= 5、分解因式：8（x 2﹣2y 2）﹣x （7x+y ）+xy ．

【课堂反馈】 1、下列式子变形是因式分解的是【】 A ．x 2－5x ＋6＝x (x －5)＋6 B ．x 2 －5x ＋6＝(x －2)(x －3) C ． (x －2)(x －3)＝x 2－5x ＋6 D ．x 2－5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3) 2、若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=．则下列式子一定成立的是（） (A)0x y z ++= (B) 20x y z +-= (C) 20y z x +-= (D) 2=0x z y +- 3、分解因式：3269x x x -+= 4、分解因式：=+-+)(3)(2y x y x 5、已知1=-b a ，则b b a 222--的值

平方差公式导学案(20200107201431)

《平方差公式》导学案执教：灵台二中姚雅丽课前：【导入新课】问题：多项式与多项式是如何相乘的？ (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn （100+2）×（100-2）=？(x+2)(x-2)=？课中：【展示目标】 1、会推导平方差公式，理解掌握平方差公式的结构特征. 2、并能运用平方差公式进行简单的化简及计算。教学重点：平方差公式的推导和应用；教学难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．【自主学习】要求：用5分钟自学课本P107、P108内容。 1、完成P107探究内容，用字母表示你发现的规律是，文字叙述规律是。 2、这一规律式子左右两边各有什么特征？ 3、完成：课本P107思考 4、学习p108的例1和例2，体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便。5分钟后比谁能灵活运用平方差公式进行计算。【自学检测】计算：①（x ＋4)( x－4）②（1 ＋a)( 1－a） ③（m＋n)( m－n）④（y ＋z)（y —z)

2 1 【合作探究】 1.下列各式中,能用平方差公式运算的是( ) A.(-a+b)(-a-b) B.(a-b)(b-a) C.（100+8)(100-7) 2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( ) A.(x-2y)(2y+x) B.(-x+2y)(-x-2y) C.(-2y-x)(x+2y) D.(-2b-5)(2b-5) 【展示交流】课本P108 1、2题（2题四名学生板演）【拓展提升】 1.化简：))()((22y x y x y x （x 4+y 4） 2.简便计算：2018×2016－20172 【总结归标】(a+b)(a-b)=a 2-b 2 1、公式中的a 和b ，既可以是具体的数，也可以是单项式或者多项式； 2、左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另一项互为相反数； 3、右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方。【达标检测】运用平方差公式计算： 1.（3a+b ）（3a-b ） 2.（x+2㎡）（x-2㎡） 3.（x-2y ）（x+2y ） 4. 9.8 × 10.2 课后：作业设置：（基础题）课本P112 14.2第1题（提高题）1. 求方程（x+6）（x-6）-x （x-9）=0的解。2.计算： 59.7×60.3 3.化简求值：（3a+1）（3a-1）-（2a-3）（3a+2）其中a=-预习任务：P109完全平方公式（理解概念及公式完成练习）D.(y-1)(y-1)

平方差公式教案(教学设计)

《平方差公式》【教学目标】（一）知识与技能： 1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单计算。（二）过程与方法：　1．认识平方差公式及其几何背景，使学生明白数形结合的思想。　2．在合作、交流和讨论中发掘知识，并体验学习的乐趣。（三）情感态度与价值观：培养学生灵活运用知识、勇于探求科学规律的意识。【教学重点】平方差公式的推导和应用【教学难点】理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式。【教学过程】新课讲授：一、创设情境，引出新课教师活动：播放《周老财与李老汉的故事》视频。周老财是个贪心狡猾的地主，李老汉是个老实巴交的农民。有一天，李老汉找到周老财租土地。周老财对李老汉说“那我把这块边长为a米的正方形土地租给你吧，每年给我200斤粮食就可以了。”李老汉答应了。和周老财签了三年的合约。租到了土地李老汉非常勤劳，三年的收成都挺好。这时周老财打起了李老汉的主意。于是周老财对李老汉说，土地租期到了，要不这样，我把这块土地的一边减少5米，相邻的另一边增加5米，租金不变，继续租给你怎么样？李老汉一听，觉得没什么问题就爽快答应了。事后李老汉跟村里人说起了这事，大伙都说他被周老财骗了，吃大亏了。李老汉想不明白，土地看上去没什么变化，租金也没变，为什么会吃亏呢？李老汉实在想不明白。提问：李老汉究竟有没有吃亏呢？（让学生做片刻思考）我相信通过这节课的学习，同学们肯定都能轻松地找到答案。设计意图：引用小故事，设置课堂悬念，激发学生的求知欲望，让学生有兴趣和信心学习新的知识。同时也为说明平方差公式的几何意义做好铺垫。二、温故知新，探究发现

人教版初二数学上册平方差公式学案

《平方差公式》学案班级： ______________ 姓名：________________ 【导入新课】问题：多项式与多项式是如何相乘的？ (a+b)(m+n)二am+a n+bm+b n (100+2)x( 100-2) = ? (x+2)(x-2)= ?【展示目标】 1、会推导平方差公式，理解掌握平方差公式的结构特征. 2、并能运用平方差公式进行简单的化简及计算。教学重点：平方差公式的推导和应用；教学难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式. 【自主学习】要求：用5分钟自学课本P107、P108内容。 1、________________________________________ 完成P107探究内容，用字母表示你发现的规律是________________________ 文字叙述规律是____________________________________________________ 。 2、这一规律式子左右两边各有什么特征？ 3、完成：课本P107思考 4、学习p108的例1和例2,体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便。5分钟后比谁能灵活运用平方差公式进行计算。【自学检测】计算：?( x + 4)( x —4) ②(1 + a)( 1 - a) ③(m+ n)( m—n) ④(y + z) (y —z)

【合作探究】 1?下列各式中，能用平方差公式运算的是() A.(-a+b)(-a-b) B.(a-b)(b-a) C. (100+8)(100-7) D.(y-1)(y-1) 2?下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是() A.(x-2y)(2y+x) B.(-x+2y)(-x-2y) C.(-2y-x)(x+2y) D.(-2b-5)(2b-5) 【展示交流】课本P108 1、2题(2题四名学生板演) 【拓展提升】 1.化简：(X- y)(x y)(x2y2)(x4+y4) 2?简便计算：2018X 2016-20172 【总结归标】(a+b)(a-b)=a 2-b2 1、公式中的a和b,既可以是具体的数，也可以是单项式或者多项式； 2、左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另一项互为相反数； 3、右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方。【达标检测】运用平方差公式计算：(细心作答，全对有奖励) 1. (3a+b)(3a-b) 2. (x+2 m2) (x-2 m2) 3. (x-2y)(x+2y) 4. 9.8 X10.2 课后：作业设置：(基础题)课本P112 14.2第1题 (提高题)1.求方程(x+6) (x-6) -x (x-9) =0 的解。2.计算：59.700.3

平方差公式教案(优质课一等奖)

八年级数学《15.2.1平方差公式》教学设计桂平市西山一中覃娟娟教学目标： 1.经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式,并运用公式进行简单的运算. 2.在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。 3.在计算的过程中发现规律,并能用符号表达,从而体会数学语言的简洁美. 教学重点、难点：重点：平方差公式的推导及应用. 难点：平方差公式的应用. 教具准备：多媒体课件教学过程：一、创设情景，复习导入回顾思考： 1、多项式乘法法则： ( m + a )( n + b ) = m n + m b + a n + a b x+(a+b)x+ab 2、如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为:(x+a)(x+b)=2 二、新课引入 1、计算下列各题,看谁做的又快又准确: (1)(x＋y)(x－y) (2)(2a＋b)(2a－b) 2、教师提问：1）上述式中都有什么样的规律？

2）能不能用字母来表现它呢？学生活动：讨论，并回答出教师提问. 3、师生共同归纳出平方差公式 2 2 ) )( (b a b a b a- = - + 4、师生共同探讨用面积说明平方差公式（课件演示图形）. 5、师生共同分析平方差公式的结构特征. 6、练习：判断下列式子可用平方差公式计算吗? ①(a?b)(b?a) ；② (a+2b)(2b+a)； ③-(a?b)(a+b) ；④ (-2x+y)(y?2x). 三、例题讲解例1 运用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5?6x)； (2) (b+2a)(2a?b)； (3) (-x+2y)(-x?2y). 评析:1）认清结构，找准a、b 2）运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相同的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式；例2：计算：（1）102 × 98 ；（2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5). 评析：1）巧妙的化为公式形式 ; 2）只有符合公式才能应用公式，否则，只能应用多项式与多项式乘法法则进行运算。四、随堂练习，巩固新知 1、指出下列计算中的错误： (1) 2 2 1 ) 2 1 )( 2 1(x x x- = - +

完全平方公式和平方差公式教学文案

完全平方公式和平方差公式

乘法公式 1. 平方差公式 (1)平方差公式的推导：因为(a+ b)(a- b)= a2—ab+ ab—b2= a2—b2, 所以(a+ b)(a —b)= a2—b2. 【例1】利用平方差公式计算. (1)(2a + 3b)( —2a+ 3b); (2)503 x 497. 2. 完全平方公式 (1)两数和的完全平方公式：(a + b)2= a2+ 2ab+ b2; 两数差的完全平方公式：(a—b)2= a2—2ab+ b2. 析规律完全平方公式的特征完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央. 【例2】计算： 1 1 (1)(4m + n)2; (2)( y—刁2；(3)( —a—b)2; (4)( —2a+ 尹)2 3. 添括号法则法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 警误区添括号法则的易错点添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不可只改变部分项的符号，如： a —b+ c = a —(b + c)，这样添括号时只是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的. 【例3】填空：(1)(x —y+ z)(x+ y—z) =[x —( )][x+ ()];

(2)(x+ y+ z)(x—y—z)

=[X + ( )][X- ( )] ? 【例4】如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a>b）,把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式________________ . 【例6】观察下列各式的规律： 12+ (1 X 2)2+ 22= (1 X 2+ 1)2； 2 + (2 X 3)2+ 32= (2 X 3+ 1)2; 32+ (3 X 4)2+ 42= (3 X 4+ 1)2; 写出第n行的式子，并证明你的结论. 类型一：巧用乘法公式式混用计算：4x2—丄4x2 2 2类型二：平方差与完全平方公计算：a b c a b c

整式乘法平方差公式导学案

15.2.1 平方差公式导学案学习目标：1、理解平方差公式的意义，掌握其结构特征，能准确使用平方差公式实行计算； 2、能灵活使用平方差公式简化实际问题中的计算。学习过程：一、自主学习 1、多项式与多项式的乘法法则是什么？请写出来。 2、自学教科书151页的内容，尝试完成以下问题。 (1) 计算下列各式的积 ①（x+1）（x—1）②(m+2)(m—2) ③（2x+1）（2x—1）④（x+5y）（x—5y） (2)观察算式结构，你发现了什么规律？ ① ② （3）计算结果后，你又发现了什么规律？根据你发现的规律，猜想（a+b）（a－b）= 。猜想是否准确，你能验证吗？得出：（a+b）（a－b）。其中a、b表示任意数，也能够表示任意的单项式、多项式，这个公式叫做整式乘法的公式，用语言叙述为。 3、简单使用 1）判断下列式子是否可用平方差公式 (1)(-a+b)(a+b)（）(2) (-2a+b)(-2a-b) （）(3) (-a+b)(a-b)（）(4) (a+b)(a-c)（）2）参照平方差公式“（a+b）（a－b）= a2－b2”填空（1）(t+s)(t-s)= (2) (3m+2n)(3m-2n)= 小结：1、满足什么条件的计算能够用平方差公式？ 2、利用平方差公式计算时要注意什么问题？二、自主、合作探究：自学教科书152－153页的例1和例2，例1：使用平方差公式计算（1）（3x+2）（3x—2）（2）（b+2a）（2a—b）（3）（—x+2y）（—x—2y）例2：计算（1）102×98 （2）（y+2）（y—2）—（y—1）（y+1）小结：图形验证：你能借助下面图形验证平方差公式吗？三、自我检测 1、下列各式计算的对不对？如果不对，应怎样改正？ (1) (x+2)(x-2)=x2-2 (2) (-3a-2)(3a-2)=9a2-4 (3) (x+5)(3x-5)=3x2-25 (4) (2ab-c)(c+2ab)=4a2b2-c2 2、用平方差公式计算： 1）(3x+2)(3x-2) 2）（b+2a）（2a-b）3）（-x+2y）（-x-2y） 4) 102×98 5）(- 2 1 a-b)( 2 1 a-b) 6) 20012 -19992 四、水平拓展。计算： (1) (x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x-y) (2) (a+2b+c)(a+2b-c) (3) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1

平方差公式教学设计知识讲解

《14.2.1平方差公式》教学设计明水二中刘培国一、内容和内容解析内容人教版数学八年级上册“14.2乘法公式”（第一课时）内容解析《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式. 本节课的教学重点是：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算. 二、目标和目标解析目标 1、经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力； 2、掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算； 3、会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法. 目标解析： 1、让学生经历“特例──归纳──猜想──验证──用数学符号表示”这一数学活动过程，积累数学活动的经验，进一步发展学生的符号感、推理能力、归纳能力，同时体会数学的简洁美、培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的重要性. 2、让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题.在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解.

231.因式分解公式法(一)学案(试题+参考答案)

公式法（一）【目标导航】能说出平方差公式的特征，并熟练地利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解．【复习导入】把下列各式分解因式： 1．－4m3＋16m2－26m； 2．(x－3)2＋(3x－9)； 3．－m2n(x－y)n＋mn2(x－y)n＋1； 4（2011福建福州）分解因式：225 x-=. 5．y2－25 【合作探究】 1．由练习中4、5说出分解依据及多项式的特点： 2．由乘法中的平方差公式反过来，得到因式分解中的平方差公式：【合作探究】练习：下列各多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？ (1) x2＋y2；(2) x2－y2；(3)－x2＋y2； (4)－x2－y2；(5) 1 4 a2b2－1；(6) x4－y4. 例1 把下列多项式分解因式 (1) 4x2－9； (2) (x＋p)2－(x＋q)2； (3) 16－ 1 25 m2； (4)－(x＋2)2＋16(x－1)2．例2 把下列多项式分解因式 (1) x4－y4； (2) （2011贵州安顺）因式分解：x3－ 9x= ． (3)－ 1 4 xy3＋0.09xy； (4)a2－b2＋a－b； (5)(p－4)(p＋1)＋3p. 练习：把下列多项式分解因式 (1) a2－ 1 25 b2； (2) 9a2－4b2； (3) （2011广西南宁）把多项式x3-4x分解因式所得的结果是（） (A) x (x2－4) (B) x（x+4）（x－4） (C) x（x+2）（x－2）(D)（x+2）（x－2） (4)－a4＋16； (5) m4(m－2)＋4(2－m) 例3 在实数范围内分解因式 (1) x2－2； (2) 5x2－3. 例4(1) 计算：9972－9 (2)设n是整数，用因式分解的方法说明： (2n＋1)2－25能被4整除． (3) 已知x、y为正整数，且4x2－9y2=31，你能求出x、y的值吗？【课堂操练】 1．9a2－ =(3a＋b)(3a－b). 2．分解因式:4x2－9y2= ； 3x2－27y2= ； a2b－b3= ； 2x4－2y4= . 3．下列各式中，能用平方差公式分解的是（） A. x2＋y2 B. x2＋y4 C. x2－y4 D. x2－2x 4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解因式的结果，这个多项式是（） A. 4a2－b2 B.4a2＋b2 C. －4a2－b2 D. －4a2＋b2 5．分解因式： (1)9a2－ 1 4 b2； (2)2x3－8x； (3)(m＋a)2－(n－b)2. 【课后巩固】 1.把下列各式分解因式： (1) 9(m＋n)2－(m－n)2 (2) p4－16 (3) －(x＋2y)2＋(2x＋3y)2

45.3.2因式分解公式法(第1课时)

14．3．2公式法导学案（第1课时）备课时间：主备：张洪波高永爱审核：高永爱使用时间：【学习目标】 1.运用平方差公式分解因式，能说出平方差公式的特点. 2.会用提公因式法与平方差公式法分解因式． 3.会两次运用平方差公式分解因式，知道因式分解必须进行到不能分解为止. 【学习重难点】学习重点:用平方差公式法进行因式分解. 学习难点:把多项式进行必要变形，灵活运用平方差公式分解因式【自主学习】 1、对于等式x 2+x = x (x+1)： 1) 如果从左到右看，是一种什么变形？ 2) 什么叫因式分解？这种因式分解的方法叫什么？ 3) 如果从右到左看，是一种什么变形？ 4) 因式分解和整式乘法是两种互为_______的变形. 【合作探究】探究一： 1.计算：（1）（x-1）(x+1)=_________;(2)(y+4)(y-4)=_______ 2.根据1题的结果分解因式：（1）21_____x -=;(2)216________y -= 3.你能将22a b -进行因式分解吗？你是如何思考的？分析：要将22a b -进行因式分解，可以发现它_________公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的 ____________ 形式，所以用平方差公式可以写成如下形式：

结论：多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法。拓展延伸： 1．把一个单项式写成平方的形式：（1）24a =（）2；（2）40.16a =（）2；（3）221.21a b =（）2；例1：分解因式：（１）；249x -；（２）22()()x p x q +-+ （３）．22221.1b b a - 结论：（1）中的_______（2）中的________和（３）中的________相当于平方差公式中的a ；（1）中的______（2）中的_________和（３）中的__________相当于平方差公式中的b ，这说明公式中的a 和b 可以表示一个数，也可以表示一个单项式，或是多项式，只要符合公式的特点( )()22-，就可以运用公式分解因式．总结平方差公式的特点： ①左边是二项式，每项都是的形式，两项的符号 . ②右边是两个多项式的，一个因式是两数的，另一个因式是这两数的 . 例2：因式分解：（1）44x y - ；（2）3a b ab -；【尝试应用】 1．口答：①24x -=_________ ②29t -= ③21649____m -= ④2254______x -+= 2．因式分解：（1）22125 a b -；（2）2294a b -；（3）24x y y -；

平方差公式教学案例

数学教学案例（人教版八年级数学上册14.2.1）案例名称：《平方差公式》所属课程：数学所属专业：初中数学授课课时：一课时

《平方差公式》教学案例一、教学内容与分析 1．内容平方差公式——两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2.内容分析本节内容主要研究的是平方差公式的推导和应用。平方差公式是学生学习了整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在已经掌握了单项式乘法、多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例。对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为完全平方公式的学习提供了方法，同时也为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础。因此，平方差公式在初中阶段的教学中具有承上启下的作用。 3．教学重点与难点本节课的重点：理解平方差公式，掌握其结构特点，并能运用公式进行运算。本节课的难点：①理解公式中字母的含义，即公式：22))((b a b a b a -=-+中的字母a ，b 可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。正确找准哪个数或式相当于公式中的a ，b.②平方差公式的变式应用。二、教学目标与解析 1.目标（1）知识目标：掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行计算。（2）能力目标：在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象研究问题的方法；在验证平方差公式的过程中，感知数形结合的思想，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；在运用公式的过程中，渗透转化、建模等数学思想，培养学生的思维能力和数

学应用意识。（3）情感目标：让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦，培养学生勇于探索、善于观察、大胆猜想的创新思维品质。 2.目标解析（1）理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题。在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，加深学生对公式的理解。（2）让学生经历具体——抽象的过程。从中发现、体会、理解公式，积累数学活动的经验，进一步发展学生的符号感、观察、归纳、猜想、推理能力，利用几何图形的面积验证公式的过程中，感知数形结合的思想。在运用公式的过程中，渗透转化、建模等数学思想，培养学生的思维能力和数学应用意识。（3）通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程，发挥学生的主体作用，在解决问题过程中与他人合作交流的重要性，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦。三、学生情况分析学生已经较熟练地掌握了多项式乘法，为学习本节知识做了知识准备；学生已经具备了小组合作能力、探究能力、归纳分析能力，能通过合作交流完成学习任务；通过创造问题情境，让学生探索相应问题，建立并运用公式，从而拓展学生知识技能成为可能。四、教学问题诊断分析学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义的解。因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解。

《平方差公式》导学案

咀头初级中学有效教学导学案审核人签字授课班级八（5）学科数学课题平方差公式任课教师李建国课型新授课课时第一课时授课时间2011、12、13 教材分析本节课是在学习了整式的乘法之后，让学生利用逆向思维而得到因式分解法，它具有承前启后的作用。学生分析学生虽然学习了整式乘法的平方差公式，但部分学生没有掌握平方差公式的结构特点，也不能够灵活运用，因此，要逆向运用平方差公式（乘法公式）来分解因式，可能还有许多困难。设计理念抓好结构化预习，运用“优化课堂结构，提高课堂效率”这一新课改模式，发挥学习小组的合作探究、交流展示等能力，提高教学效果。教学目标知识与技能 1、使学生进一步理解因式分解的意义。 2、使学生理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征，会运用平方差公式分解因式。 3、通过对比整式乘法和分解因式的关系，进一步发展学生的逆向思维能力。过程与方法经历探究平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性。情感态度与价值观让学生会用平方差公式进行因式分解，发展学生的推理能力；培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值。重难点重点利用平方差公式分解因式难点领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。关键问题平方差公式的结构特点及因式分解的方法步骤教学准备老师提前一天发放本节课《问题导读、生成评价单》和《问题训练评价单》学生通过自学完成发放的《问题导读、生成评价单》和《问题训练评价单》，学术助理和学科长检查自学情况并统计生成的相关问题并上报。

教学过程设计教学环节时间教学内容教师行为期望的学生行为一、复习提问，引入新课二、学习新知三、重点讲解四、巩固练习五、课堂小结六、作业设计5分 15 分 5分 12 分 2分 1分（一）复习、1、整式乘法的平方差公式的内容是什么？ 2、计算：① （a+5)(a-5) ② (4m+3n)(4m-3n) （二）、提出问题，引入新课问题：如何将225 a-改写成两个整死的乘积的形式出示新课，板书课题 1、学生自学教材 151153 p - 内容（3分） 2、小组合作补充完成《导读单》及《训练单》 3、结合自学生成的问题分解任务到各小组 4、各小组派代表上黑板展示交流 5、师生点评针对学生展示比较集中出现的问题进行讲解完成《练习册》相关内容 1、学生自我小结 2、老师总结并强调相关问题口述问题板书题目板书题目板书课题巡视并督促指导分配任务教室巡视指导讲解巡视、指导、督促鼓励学生发言补充学生举手回答先在练习本上做，然后板算学生上黑板展示读教材内容讨论交流完成两“单” 形成结论各小组成员积极发表意见和建议听、记、练独立完成并交流口述板书设计 15.2.1因式分解——平方差公式字母公式：22()() a b a b a b -=+- 文字表述：两个数的平方的差就等于这两个数的和与这两个数的差的积。教学反思学生学习的积极性较高，大部分学生都能认真自学与合作学习并积极展示交流，但人有个别学生不积极参与，教师要多以鼓励性的语言督促激励学生；同时要多关注学困生，以提高全班学习水平。

新北师大版八年级数学下册因式分解导学案】

第四章因式分解第一节因式分解 (1)计算下列各式： ①(m+4)(m-4)=__________;②(y-3)2=__________; ③3x(x-1)=__________;④m(a+b+c)=__________; ⑤a(a+1)(a-1)=__________. (2)根据上面的算式填空： ①3x2-3x=( )( );②m2-16=( )( ); ③ma+mb+mc=( )( );④y2-6y+9=( )2 ⑤a3-a=( )( ) 在(1)中我们知道从左边推右边是整式乘法;那么在(2)中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解。因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系。一、因式分解的定义：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式。也可以叫做分解因式。定义解析：（1）等式左边必须是（2）分解因式的结果必须是以的形式表示；（3）分解因式必须分解到每个因式都有不能分解为止。二、合作探究探究一：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不

是分解因式？为什么？（1）22 111x x x x x x ????- =+- ???? ??? （2）()22 2424ab ac a b c +=+ （3）24814(2)1x x x x --=-- （4）222()ax ay a x y -=- （5）2224(2)a ab b a b -+=- （6）2(3)(3)9x x x +-=- 解: （7）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是 A 、29)3)(3(x x x -=+- B 、))((2233n mn m n m n m ++-=- C 、)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y D 、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242 探究二：连一连： 9x 2 －4y 2 a （a ＋1）2 4a 2－8ab ＋4 b 2 －3a （a ＋2）－3a 2 －6a 4（a －b ）2 a 3 ＋2a 2＋a （3x ＋2y ）（3x －2y ）三、提升训练 1．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）. A ．a （a －b ）＝a 2 －ab ； B ．a 2 －2a ＋1＝a （a －2）＋1 C ．x 2 －x ＝x （x －1）； D ．x 2 －y y ?1 ＝（x ＋y 1）（x －y 1） 2.连一连： a 2－1 (a +1)(a －1) a 2+6a +9 (3a +1)(3a －1) a 2－4a +4 a (a － b )

平方差公式(2)导学案

樊城区中学八年级数学学科课堂设计活页第周第课时上课时间：年月日星期：备课组长签字：蹲点领导签字：班级：小组：姓名：一、导学创设情境，引导学生探究新知二、独学：认真阅读课本，独立完成“独学”中的题目。在探索练习的指引下,自主的完成有关的练习,并在练习中发现幂的乘方的法则,从猜测到探索到理解法则的实际意义从而从本质上认识、学习幂的乘方的来历。进一步体会幂的意义。三、互学找出自己不明白的问题，先对学，再群学。充分在小组内展示自己，课题：平方差公式（2）课型：自学+展示+评学（新授课）设计人：复备人：学习目标：1、能经历探索平方差公式的过程． 2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算． 3、体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发探索创新精神．对照答案，提出疑惑，小组内讨论解决。小组解决不了的问题，写在各小组展示的黑板上，在大展示的时候解决。四、评学积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听。做每一步运算时都要自觉地注意有理有据，也就是避免知识上的混淆及符号等错误.一、明确目标，创设情境你能快速准确求（y+2）（y－2）－（－y－1）（－y+1）结果是多少吗？二、独学（独立思考，挖掘潜能。） 1.你能用简便方法计算下列各题吗？（1）2001×1999 （2）998×1002 2.计算下列多项式的积．（1）（x+1）（x－1）（2）（m+2）（m－2）（3）（2x+1）（2x－1）（4）（x+5y）（x－5y）结论：两个数的和与这两个数的__________的积，等于这两个数的___________．即：（a+b）（a－b）=a2－b2 运算形式：运算方法：三、互学（交流展示，释疑解惑）例1：运用平方差公式计算：（1）（3x+2）（3x－2）（2）（b+2a）（2a－b）（3）（－x+2y）（－x－2y）例2：计算：（1）102×98 （2）（y+2）（y－2）－（y－1）（y+5）计算：（1）（a+b）（－b+a）（2）（－a－b）（a－b）（3）（3a+2b）（3a－2b）四、评学（学以致用，能力提升。）： 1计算（1）（a5－b2）（a5+b2）（2）（a+2b+2c）（a+2b－2c）（3）（a－b）（a+b）（a2+b2）课堂检测运用平方差公式计算：（1）（a+3b）（－3b+a）（2）（－a－4b）（a－4b）（3）（3+4b）（3－4b）（4）51×49 )2 3 )( 3 2( )4 3 )( 4 3 )( 5(- + - - +x x x x 1 )1 )( 1 ( )3 )( 3 ( )1 2 )( 1 2 )( 6(+ + - - - + - - +x x x x x x 拓展提高 )3 )( 2 ( )1 2 )( 1 2( )1 )( 1 (3 )2 )( 2 (+ - + - + - - + + + -x x x x x x x x 五、收获整理 1、本节课我的收获是： 2、本节课我遗留的问题存在的困惑有: