张永德教授量子力学专题讲座

《近代量子力学及疑难问题》

专题讲座

张永德

中国科学技术大学近代物理系

前言

近廿余年来，量子理论不仅深入应用于物理学许多分支、而且迅速广泛地应用到了化学、生物学、材料科学、信息科学等重要领域。这些应用极大地促进了这些学科的发展，改变了它们的面貌，形成众多的科学研究热点；与此相同步，量子理论本身也得到了极大的丰富和发展。

为了活跃学生物理思想、提高学习近代量子理论的兴趣，本着总结、深入、提高、面向未来的精神，结合个人科研教学心得，以系列专题的形式介绍量子力学中个人科研教学心得，以系列专题的形式介绍量子力学的一些疑难争议问题和著名的新问题。阐述方式是，起

点

较低，只需要普通的量子力学；终点则联系近代有关文献和个人体会，分析基础中疑难争议问题，讲述近代文献中部分热点问题，或是open问题。讲解重点在于阐述和分析物理概念，明确近代量子理论当前的认知边界。

[第三讲]

无限深方阱中粒子动量波函数的争论

前言

为了活跃学生的物理思想、提高学习近代量子

理论的兴趣，本着总结、深入、提高、面向未来的精神，结合个人科研教学的心得体会，以提纲形式阐述量子力学基础中的疑点、难点和未解决的问题。阐述重点在于分析物理概念，以及明确近代量子理论当前认知的边界。

应当指出，在量子理论发展史中还有许多名著

一时的量子佯谬，曾经引起过热烈的争论，也可算是一些疑难热点问题。这些著名的佯谬是：单光子干涉实验、延迟选择实验、德布罗意胶片问题、负能问题、克来因佯谬、傀态、算符厄密性问题、薛定格猫态、EPR悖论等等。但是，除了后面两个问题依然保持着旺盛生命力之外，多数由于已经了解清楚，加上时过境迁，失去了往昔的神秘感和吸引力。所以这里也就相应地作了省略。

目录

一，Pauli和Landau 的矛盾——“量子力学的数学是错的”？！

二，无限深方阱模型及基态动量波函数1）无限深方阱模型

2）两种基态动量波函数表达式

三，矛盾分析与结论

四，设想实验的佐证

五，问题的根源

[附录]

一，Pauli和Landau 的矛盾——“量子力学的数学是错的”？！

最简单的势阱束缚态模型，一种近似数学模写：

势能不可能真为无限大，也不会严格的阶跃。

此模型的动量波函数先由Pauli，后由Landau等人给出了不同的结果。此后，这个模型动量波函数及其衍生问题先在国外少数学者中有过讨论，接着被引进国内。近数年有过不大不小的争论，并还导致严重误解：

“中国数学家挑战物理学

量子力学逻辑自相矛盾”

——“文汇报”1997年12月10日，头版重要通讯报导。

以及不少文章、著作对量子力学的否定或曲解。

*Л.Д.朗道，E.M.栗弗席茨，《非相对论量子力学》（俄文第一版是1947年）；

也见 E.费米于1954年所写的《量子力学手稿》。?部分文章：国内自1983.6开始。《一维无限深势阱内粒子的动量分布》有两篇文章，<大学物理> 1994，7；《关于同一问题的不同解法》；《编者的话》；《谈谈量子力学中的动量算符》；《也谈正则动量算符之争》；《编者的话》；《也谈一维无限深势阱内粒子（基态）的动量概率分布》，1998，7；《关于量子力学基础的一个质疑》，光子学报，1997，9；《也谈量子力学的基础》，光子学报，1998，4；……。

三，矛盾分析与结论

按QM基本原理，波函数、动量算符及Schr?dinger方程都应当定义在整个（空间）实轴上，而不是只定义在（有限空间的）势阱内。事实上，

正确的边界条件应当是ψ(x)＝0(|x|≥a)；

而不是ψ(x)＝0(|x|=a)。

如果相反，认为边界条件可以用后者，并认为物理量算符可以“只”定义在势阱|x|

边界条件的两种不同提法，对求解阱内坐标波函数没甚么影响，因为阱内坐标波函数是定域解；但对求解阱内粒子的动量波函数却有影响。

问题的关键是：

不象坐标波函数是定域的，

动量波函数是非定域的！

即

阱内动量波函数分布不仅仅依赖于阱内坐标波函数的形状，而且依赖于阱外坐标波函数的形状。换句话说，它还取决于对阱外坐标波函数的处理——坐标波函数边界条件的正确拟定。

五，问题的根源

无限深阱问题只是个模型而已。此模型中用到势的突变和无穷高势垒等假设。其实，物理学中许多常用的数学和物理概念，如：质点、无头无尾巴的平面波、其小无内的点、其大无外的∞，等等，都只是一些人为抽象出来的、理想化的、绝对化的概念。虽然用起来时常是简便的，但其实它们在自然界中并不真实存在，有时甚至还会惹出麻烦。

Henri Poincare说：几何点其实是人的幻想。甚至说：“几何学不是真实的，但是有用的。”

（“科学与假设”科学出版社，1989年，第63、65页）。