利用追赶法解差分方程
MATLAB代码 解线性方程组的迭代法
解线性方程组的迭代法 1.rs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=rs(A,b,x0,eps,M) if(nargin==3) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值elseif(nargin==4) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-A)*x0+b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 2.crs里查森参数迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=crs(A,b,x0,w,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-w*A)*x0+w*b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x;
if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 3.grs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=grs(A,b,x0,W,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1;%前后两次迭代结果误差 %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-W*A)*x0+W*b;%迭代公式 n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 4.jacobi雅可比迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin) if nargin==3 eps=1.0e-6; M=200; elseif nargin<3 error return elseif nargin==5 M=varargin{1}; end D=diag(diag(A));%求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1);%求A的下三角阵
求解线性方程组的直接解法
求解线性方程组的直接解法 5.2LU分解 ① Gauss消去法实现了LU分解 顺序消元结束时的上三角矩阵U和所用的乘数,严格下三角矩阵。 将下三角矩阵的对角元改成1,记为L,则有A=LU, 这事实是一般的,我们不难从消去的第k个元素时的矩阵k行及k列元素的 历史得到这一点.因为从消元的历史有 u kj=a kj-m k1u1j- m k2u2j -…- m k,k-1u k-1,j, j=k,k+1,…,n m ik=(a ik-m i1u1k- m i2u2k -…-m i,k-1u k-1,k>/u kk i=k+1,k+2,…,n 于是a kj=m k1u1j+m k2u2j+…+m k,k-1u k-1,j+u kj, j=k,k+1,…,n a ik=m i1u1k+m i2u2k+…+m i,k-1u k-1,k+m ik u kk i=k+1,k+2,…,n 从前面两个式子我们可以直接计算L和U(见下段>.将矩阵分解为单位下 三角矩阵和上三角矩阵之积称为矩阵的LU分解.顺序消元实现了LU分 解,同时还求出了g, Lg=b的解. ②直接LU分解 上段我们得到(l ij=m ij> u kj=a kj-l k1u1j-l k2u2j -…- l k,k-1u k-1,j, j=k,k+1,…,n l ik=(a ik-l i1u1k-l i2u2k -…-l i,k-1u k-1,k>/u kk i=k+1,k+2,…,n 2 诸元素对应乘积,只不过算L的元素时还要除以同列对角元.这一规律很 容易记住.可写成算法(L和U可存放于A>: for k=1:n-1 for j=k:n u kj=a kj-l k1u1j-l k2u2j -…- l k,k-1u k-1,j end for i=k+1:n l ik=(a ik-l i1u1k-l i2u2k -…-l i,k-1u k-1,k>/u kk end end 这一算法也叫Gauss消去法的紧凑格式,可一次算得L,U的元素,不需逐步 计算存储.
数值分析5-用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组
作业六：分别编写用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组Ax=B的标准程序，并求下列方程组的解。 可取初始向量 X(0) =(0，0，0)’； 迭代终止条件||x(k+1)-x(k)||<=10e-6 （1） = （2） = Jacobi迭代法： 流程图 开 始 判断b中的最大值 有没有比误差大 给x赋初值 进行迭代 求出x，弱到100次还没到，警告不收 结束
程序 clear;clc; A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; b=[1;4;3]; e=1e-6; x0=[0;0;0]'; n=length(A); x=zeros(n,1); k=0; r=max(abs(b)); while r>e for i=1:n d=A(i,i); if abs(d)
程序结果（1）
（2）
Gauss-Seidel迭代法： 程序 clear;clc; %A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; %b=[1;4;3]; A=[5,2,1;-1,4,2;2,-3,10]; b=[-12;20;3]; m=size(A); if m(1)~=m(2) error('矩阵A不是方阵'); end n=length(b); %初始化 N=0;%迭代次数 L=zeros(n);%分解A=D+L+U,D是对角阵，L是下三角阵，U是上三角阵U=zeros(n); D=zeros(n); G=zeros(n);%G=-inv(D+L)*U d=zeros(n,1);%d=inv(D+L)*b x=zeros(n,1); for i=1:n%初始化L和U for j=1:n if i
直接法解线性方程组
直接法解线性方程组 实习题目： 仿照三对角方程组的追赶法解五对角方程组，其中系数矩阵为A,右端向量为：r。将A分解为LU。其中L为下三角，U为单位上三角。A为7*7阶的矩阵，其中对角元为4 5 6 7 8 9 10。上下次三角对角线元素为1 2 3 4 5 6 ；上下第二条对角线元素为1 2 3 4 5;右端项为：1 2 3 4 5 6 7. 要求：输出系数矩阵A，右端向量r,下三角矩阵L，单位上三角矩阵U,下三角矩阵Ly=b 的解向量y,单位上三角方程组Ux=y的解（即最终的解向量。保留七位小数。 实现方法：通过MATLAB编程实现。建立MATLAB脚本文件。 首先通仿照三对角方程组的追赶法得到五对角矩阵的实现算法。 然后又MATLAB编程实现。 实验结果（MATLAB截图）：
结果分析： 通过提供的计算数据得到最终的解向量x及中间过程产生的下三角矩阵L，单位上三角矩阵U,下三角矩阵Ly=b 的解向量y。 同时为了确保算法的正确性，我还通过MATLAB的左除运算检验得使用此算法的计算结果正确。 这里由于是用MATLAB，最终结果为分数形式，考虑到精确解一般比近似解更好，因此未化成七位小数形式。 算法实现分析： 首先计算L和U的元素。由于已知L和U的特定形式（及除了对角线和上下次对角线和上下第二条对角线外，其余为0。故通过矩阵的乘法即可得到LU中元素的计算公式。（具体算法见MATLAB程序） 算法优劣点：
1.解此题时看上去要用较多的存储单元，但实际上只需存储系数矩阵A的不为0的元素。 2.A分解为LU计算完成后，后续计算x和y的“追赶过程”运算量一般来说计算量比较小。 3.此题也可用之前的LU算法求解。但此处算法与一般的LU分解的解线性方程组的算法，相比计算量小了不少。 4.对于此处特定的对称的系数矩阵A，算法还可以进一步优化。 5.由于我在此算法中A.L U的各对角值均用一个列向量表示，一个缺点在于输出A，L,U时要重新组成矩阵形式。不过优点在于减少了存储单元。 6.另一缺点是，未能将结果封装成一个文件。 后附MATLAB代码： c=[4,5,6,7,8,9,10];d=[1,2,3,4,5,6,0];b=[0,1,2,3,4,5,6];e=[1,2,3,4,5,0,0];a=[0,0,1,2,3,4,5]; r=[1 2 3 4 5 6 7]; w=zeros(7,1);x=zeros(7,1);y=zeros(7,1);m=zeros(7,1);n=zeros(7,1);h=zeros(7,1); w(1)=c(1);m(1)=d(1)/c(1);n(1)=e(1)/c(1); h(2)=b(2);w(2)=c(2)-h(2)*m(1);m(2)=(d(2)-b(2)*n(1))/w(2);n(2)=e(2)/w(2); for k=3:5 h(k)=b(k)-a(k)*m(k-2); w(k)=c(k)-a(k)*n(k-2)-h(k)*m(k-1); m(k)=(d(k)-h(k)*n(k-1))/w(k); n(k)=e(k)/w(k); end h(6)=b(6)-a(6)*m(4); w(6)=c(6)-a(6)*n(4)-h(6)*m(5); m(6)=(d(6)-h(6)*n(5))/w(6); h(7)=b(7)-a(7)*m(5); w(7)=c(7)-a(7)*n(5)-h(7)*m(6); y(1)=r(1)/w(1);y(2)=(r(2)-h(2)*y(1))/w(2); for k=3:7 y(k)=(r(k)-a(k)*y(k-2)-h(k)*y(k-1))/w(k); end x(7)=y(7); x(6)=y(6)-x(7)*m(6);
求解线性方程组——超松弛迭代法(c)
求解线性方程组——超松弛迭代法 #include
cout<<"输入松弛因子w (1 追赶法求解三对角线性方程组 一 实验目的 利用编程方法实现追赶法求解三对角线性方程组。 二 实验内容 1、 学习和理解追赶法求解三对角线性方程组的原理及方法； 2、 利用MATLAB 编程实现追赶法； 3、 举例进行求解，并对结果进行分。 三 实验原理 设n 元线性方程组Ax=d 的系数矩阵A 为非奇异的三对角矩阵 11222=(1)(n 1)()()a c b a c A a n c b n a n ??????????--?????? ………… 这种方程组称为三对角线性方程组。显然，A 是上下半宽带都是1的带状矩阵。设A 的前n-1个顺序主子式都不为零，根据定理2.5的推论，A 有唯一的Crout 分解，并且是保留带宽的。 其中L 是下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵。利用矩阵相乘法，可以1112212(1)1u(n 1)()()1l u m l u A LU l n m n l n ????????????????==?????--????????????…………… 得到： 由上列各式可以得到L 和U 。 引入中间量y ，令 y Ux =，则有： 已知 L 和d ，可求得y 。 则可得到y 的求解表达式： 11/1 2,3,,()(1)*y()=()[()(1)]/y d l i n m i y i li i di y i di m i y i li ==-+=--… 1111111/1(2)(1)(1)u (1)(11)/(1)(1)(1)l a l u c u c l mi bi i n a i m i i l i i n ci li ui ui ci li l i a i b i ui =*===≤≤+=+++≤≤-=?=+=+-+Ax LUx Ly d Ly d ====1112222(1)(n 1)(n 1)()()(n)(n)l y d m l y d l n y d m n l n y d ?????????????????????????=??????---?????????????????? …………… Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 一． 问题描述 用Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值。使用了两倍的存储空间，浪费了存储空间。若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量 ) 1(+k i x 时，用最新分量 ) 1(1 +k x ， ???+) 1(2 k x ) 1(1 -+k i x 代替旧分量 ) (1 k x ， ???) (2 k x ) (1 -k i x ，可以起 到节省存储空间的作用。这样就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel 迭代法。 二． 算法设计 将A 分解成U D L A --=，则b x =A 等价于b x =--U)D (L 则Gauss-Seidel 迭代过程 ) ()1()1(k k k Ux Lx b Dx ++=++ 故 ) ()1()(k k Ux b x L D +=-+ 若设1 )(--L D 存在，则 b L D Ux L D x k k 1)(1)1()()(--+-+-= 令 b L D f U L D G 11)()(---=-=， 则Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式为 f Gx x k k +=+) () 1( 其迭代格式为 T n x x x x ) ()0()0(2)0(1)0(，，，???= (初始向量)， ) (1 1 1 1 1 )()1()1(∑∑-=-+=++--=i j i i j k j ij k j ij i ii i i x a x a b a x )210i 210(n k ???=???=，，，；，，， 或者 ?? ???--=???=???==?+=∑∑-=-+=+++) (1)210i 210(111 1)()1()1()()1(i j i i j k j ij k j ij i ii i i i k i k i x a x a b a x n k k x x x ，，，；，，， 三． 程序框图 《数值分析》课程设计追赶法解三对角方程组 院（系）名称信息工程学院 专业班级10普本信计 学号100111014 学生姓名刘银朋 指导教师张荣艳 2013 年05 月31日 数值分析课程设计评阅书 题目追赶法解三对角方程组 学生姓名刘银朋学号100111014 指导教师评语及成绩 指导教师签名： 年月日答辩评语及成绩 答辩教师签名： 年月日 教研室意见 总成绩： 教研室主任签名： 年月日 课程设计任务书 2012—2013学年第二学期 专业班级：10普本信息与计算科学学号：100111014 姓名：刘银朋 课程设计名称：数值分析Ⅰ、Ⅱ 设计题目：追赶法解三对角方程组 完成期限：自2013 年05月21 日至2013年05 月31日共10天 设计依据、要求及主要内容： 一、设计目的 理解追赶法,掌握追赶法的算法设计以及关于追赶法的分析和综合应用,能 够较熟练的应用Matlab软件编写求解追赶法的程序和应用Matlab软件数据库软 件. 二、设计内容 （1）认真挑选有代表性的三对角方程组. （2）认真梳理解三对角方程组的解题思路. （3）比较追赶法和高斯消去法的计算精度. 三、设计要求 1．先用Matlab数据库中的相应的函数对选定的方程,求出具有一定精度的解. 2．然后使用所用的方法编写Matlab程序求解. 3.对于使用多个方程解同意问题的,在界面上要设计成菜单的形式. 计划答辩时间：2013年06 月 5 日 工作任务鱼工作量要求： 查阅文献资料不少于3篇,课程设计报告1篇不少于3000字. 指导教师（签字）：教研室主任（签字）： 批准日期：2013 年05 月20 日 习题 3.1 1. 求下列方阵的秩： (1)??? ?? ??--340313021201;(2)????? ??----174034301320;(3)??????? ? ?---------12433023221453334 311 ;(4)??????? ??------34732038234202173132. 2. 求下列方阵的逆矩阵： (1) ?? ? ?? ? ?323513123； (2) ????? ?? ??-----1210232112201023. 3. 解下列矩阵方程 (1) 设 ???? ? ??--=????? ??--=1322 31,113122214B A ,求X 使B AX =; (2) 设 ??? ? ??-=? ???? ??---=132 321,433312120B A ,求X 使B XA =； （3） ?? ??? ??-=????? ??-=????? ??-=112510324, 123011113,1120111111C B A ,求X 使C AXB =. 4. 求下列行列式 （1）? ? ? ??? ??????71 1 0251020214214 ；（2）????????????-260523211213 141 2；（3）?? ? ???????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4） ????????????---d c b a 100110011001. 5. 判断下列线性方程组解的情况，如果有唯一解，则求出解. ???????=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(432143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x x ? ? ???????=+=++=++=++=+;15,065,065,065,165)2(545434323212 1x x x x x x x x x x x x x (3) ? ?? ??=-++=-+-=-+-;3222, 2353, 132432143214321x x x x x x x x x x x x (4) ?????=---=--+=+++.034,0222,022432143214321x x x x x x x x x x x x 习题 3.2 1. 用回代法解上三角形线性方程组 （1）??? ????==+-=-+=++;63,3,6333,8484443432321x x x x x x x x x （2）?? ???? ?-=-=+--=+--=-+.63,1032,92,9244343242 1x x x x x x x x x 2. 用回代法解下三角形线性方程组 迭代法解线性方程组作业 沈欢00986096 北京大学工学院，北京100871 2011年10月12日 摘要 由所给矩阵生成系数矩阵A和右端项b，分析系数矩阵A，并用Jacobi迭代法、GS迭代法、SOR(逐步松弛迭代法)解方程组Ax=b 1生成系数矩阵A、右端项b,并分析矩阵A 由文件”gr900900c rg.mm”得到了以.mm格式描述的系数矩阵A。A矩阵是900?900的大型稀 疏对称矩阵。于是，在matlaB中，使用”A=zeros(900,900)”语句生成900?900的零矩阵。再 按照.mm文件中的描述，分别对第i行、第j列的元素赋对应的值，就生成了系数矩阵A，并 将A存为.mat文件以便之后应用。 由于右端项是全为1的列向量，所以由语句”b=ones(900,1)”生成。 得到了矩阵A后，求其行列式，使用函数”det(A)”,求得结果为”Inf”,证明行列式太大，matlaB无法显示。由此证明，矩阵A可逆，线性方程组 Ax=b 有唯一解。 接着，判断A矩阵是否是对称矩阵(其实，这步是没有必要的，因为A矩阵本身是对称矩阵，是.mm格式中的矩阵按对称阵生成的)。如果A是对称矩阵，那么 A?A T=0 。于是，令B=A?A T,并对B求∞范数。结果显示： B ∞=0,所以，B是零矩阵，也就是：A是对称矩阵。 然后，求A的三个条件数： Cond(A)= A ? A?1 所求结果是，对应于1范数的条件数为：377.2334;对应于2范数的条件数为：194.5739;对应 于3范数的条件数为：377.2334; 1 从以上结果我们看出，A是可逆矩阵，但是A的条件数很大，所以，Ax=b有唯一解并且矩阵A相对不稳定。所以，我们可以用迭代方法来求解该线性方程组，但是由于A的条件数太大迭代次数一般而言会比较多。 2Jacobi迭代法 Jacobi迭代方法的程序流程图如图所示： 图1:Jacobi迭代方法程序流程图 在上述流程中，取x0=[1,1,...,1]T将精度设为accuracy=10?3，需要误差满足： error= x k+1?x k x k+1 数值分析实验报告 0 a 12 K a 1,n 1 K a 2,n 1 U O M 则有： 第一步： Jacobi 迭代法 a 1n a 2n M , 则有： A D L U a n 1,n Ax b A A x D b L U (D L U)x b Dx (L U)x b x D (L U)x D b 令 J D (L U) 则称 J 为雅克比迭代矩阵 f D b 由此可得雅克比迭代的迭代格式如下： x (0) , 初始向量 x (k 1) Jx (k) f ,k 0,1,2,L 第二步 Gauss-Seidel 迭代法 Ax b (D L U )x b (D L)x Ux b x (D L) Ux (D L) b A D L U a 11 a 12 L a 1n a 11 A a 21 a 22 L a 2n a 22 M MM MO a n1 a n2 L a nn a 11 得到 D a 22 O a nn 由 a 21 0 M M O a n 1,1 a n 1,2 L 0 a nn a n1 a n2 L a n,n a 21 L M M O a n 1,1 a n 1,2 L a n1 a n2 L a n,n 1 a 12 K a 1,n 1 a 1n 0 K a 2,n 1 a 2n O M M a n 1,n 10 令 G (D L) U ，则称G 为Gauss-Seidel 迭代矩阵 f (D L) b 由此可得 Gauss-Seidel 迭代的迭代格式如下： x (0) , 初始向量 第三步 SOR 迭代法 w0 AD L U 1 ( D 1 wL ((1 w)D wU )) (D 1 wL) ((1 w)D wU ) w w w 令M w 1 (D wL), N 1 ((1 w)D wU )则有：A MN w w Ax b AM L W N M (M N )x b Mx Nx b x M Nx M b N M, 令W f Mb 带入 N 的值可有 L W ((1 w)D wU) (D wL) 1((1 w)D wU) (D wL) f 1 b w 1(D wL) 1b 1 (D wL) w 称 L W 为 SOR 迭代矩阵，由此可得 SOR 迭代的迭代格式如下： x (0) ,初始向量 二、算法程序 Jacobi 迭代法的 M 文件： function [y,n]=Jacobi(A,b,x0,eps) %************************************************* %函数名称 Jacobi 雅克比迭代函数 %参数解释 A 系数矩阵 % b 常数项 % x0 估计解向量 x (k 1) Gx (k) f ,k 0,1,2,L (k 1) f,k 0,1,2,L 3）三对角形线性方程组 123456789104100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014x x x x x x x x x x -????????--????????--????--????????--????--????????--????--???????--??????-???? 7513261214455????????-?? ?? ??=??-?? ???? -?? ?????? ???-?? *(2,1,3,0,1,2,3,0,1,1)T x =--- 二、数学原理 设系数矩阵为三对角矩阵 1 122233111000000000 000000 n n n n n b c a b c a b A a b c a b ---?? ? ? ?= ? ? ? ? ?? ? 则方程组Ax=f 称为三对角方程组。 设矩阵A 非奇异，A 有Crout 分解A=LU ，其中L 为下三角矩阵，U 为单位上三角矩阵，记 1 122 233 1 10 00010 000 0001000 000100,00000000 00 0001n n n n b L U γαβγββγβ--???? ? ? ? ? ? ??== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 可先依次求出L ，U 中的元素后，令Ux=y ，先求解下三角方程组Ly=f 得出y ，再求解上三角方程组Ux=y 。 事实上，求解三对角方程组的2追赶法将矩阵三角分解的计算与求解两个三角方程组的计算放在一起，使算法更为紧凑。其计算公式为： 1111, 1111 ,111 ,2,3,,,1,2,,1i i i i i i i i i i i i i i n n i i i i c f b y i n c a b a f y y x y i n n x y x βγββαβγγβαβγ--+? ===?? =?? ?==-= ??? -?=?? =??=--?=-??对对(*) 三、程序设计 function x=chase(a,b,c,f) %求解线性方程组Ax=f,其中A 是三对角阵 %a 是矩阵A 的下对角线元素a(1)=0 %b 是矩阵A 的对角线元素 %c 是矩阵A 的上对角线元素c(n)=0 %f 是方程组的右端向量 n=length(f); x=zeros(1,n);y=zeros(1,n); d=zeros(1,n);u= zeros(1,n); %预处理 d(1)=b(1); for i=1:n-1 u(i)=c(i)/d(i); d(i+1)=b(i+1)-a(i+1)*u(i); end %追的过程 y(1)=f(1)/d(1); for i=2:n y(i)=(f(i)-a(i)*y(i-1))/d(i); end %赶的过程 x(n)=y(n); for i=n-1:-1:1 x(i)=y(i)-u(i)*x(i+1); end 一． 问题描述 用Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值。使用了两倍的存储空间，浪 费了存储空间。若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量) 1(+k i x 时， 用最新分量) 1(1 +k x ，???+) 1(2 k x ) 1(1 -+k i x 代替旧分量)(1k x ，???) (2 k x ) (1-k i x ，可以起到节省存储 空间的作用。这样就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel 迭代法。 二． 算法设计 将A 分解成U D L A --=，则b x =A 等价于b x =--U)D (L 则Gauss-Seidel 迭代过程 ) ()1()1(k k k Ux Lx b Dx ++=++ 故 )()1()(k k Ux b x L D +=-+ 若设1 )(--L D 存在，则 b L D Ux L D x k k 1)(1)1()()(--+-+-= 令 b L D f U L D G 11)()(---=-=， 则Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式为 f Gx x k k +=+)()1( 其迭代格式为 T n x x x x )()0()0(2)0(1)0(，，，???= (初始向量)， )(1111 1 )() 1()1(∑∑-=-+=++--=i j i i j k j ij k j ij i ii i i x a x a b a x )210i 210(n k ???=???=，，，；，，， 或者 ?? ???--=???=???==?+=∑∑-=-+=+++) (1)210i 210(111 1)() 1()1()()1(i j i i j k j ij k j ij i ii i i i k i k i x a x a b a x n k k x x x ，，，；，，， 三． 程序框图 目录 1 引言 (2) 1.1 概念 (3) 1.2 解的情况及其通解 (4) 2 线性方程组的常见解法 (4) 2.1 高斯消元法 (4) 2.2 矩阵初等变换法 (6) 2.2.1 LU分解 (6) 2.2.2 追赶法 (7) 2.3平方根法 (10) 3 线性方程组解法探讨 (12) 3.1 线性方程组的直接方法 (12) 3.2 线性方程组的多项式矩阵的初等变换法 (16) 4结束语 (19) 参考文献 (20) 线性方程组的解法 摘要: 线性方程组是线性代数中一个最基础的内容，广泛应用于现代科学的许多分支。其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。本文先简要介绍了线性方程组的概念，然后给出线性方程组解的结构，重点介绍了解线性方程组的几种方法:高斯消元法，追赶法，平方根法，直接法，初等变换法等求解线性方程组的方法。说明研究线性方程组求解问题的探讨及本文的写作意义。 关键词: 线性方程组；高斯消元法；平方根法；追赶法；直接法；初等变换法 1 引言 线性方程组即各个方程关于未知量均为一次的方程组。对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。 线性方程组是线性代数的主要内容，它主要包括线性方程组有解性的判定、线性方程组的求解和线性方程组解的结构等。线性方程组的核心问题是研究它何时有解，以及解是什么。本节主要对线性方程组解的情况进行讨论，给出当解不唯一时通解的表示形式。另外还介绍了几种特殊的线性方程组的求解方法。线性方程组可以分成两类，一类是未知量个数与方程的个数相等，另一类是未知量个数与方程的个数不等。对于前一类特殊的线性方程组，我们可以采用克拉默法则，对于后一种线性方程组我们可以采用高斯消元法。而且随着现代工业的发展，线性方程组的应用出现在各个领域，伴随着大量方程和多未知数的出现，而追赶法是数值计算中解线性方程组的一种直接法，它能在无舍入误差存在的情况下，经过有限步运算即可求得方程组的精确解的算法。用矩阵初等变化 用Gauss-Seidel迭代法解线性方程组的C语言源代码：#include ptr2->link=ptr1; ptr2=ptr1; } } j++; } if(ptr2!=NULL){ ptr2->link=NULL; ptr2=NULL; } if(Rhead!=NULL){ p1=(struct Line*)malloc(sizeof(Line)); if(p1==NULL){ printf("内存分配错误!\n"); exit(1); } p1->L=i; p1->head=Rhead; if(p2==NULL){ Lhead=p1; p2=p1; } else{ p2->next=p1; p2=p1; } } i++; Rhead=NULL; j=1; } if(p2!=NULL) p2->next=NULL; return Lhead; } struct Line *Change(struct Line*Lhead,int n){ struct Line*p1,*p2,*p3,*p; struct Row*ptr; int i=1,k,j; float max,t; if(Lhead==NULL){ printf("链表为空!\n"); 实验课程名称计算机数值计算 实验项目名称追赶法 年级10级 专业信计 学生姓名成富 学号1007010167 理学院 实验时间：2012 年 3月 26 日 学生实验室守则 一、按教学安排准时到实验室上实验课，不得迟到、早退和旷课。 二、进入实验室必须遵守实验室的各项规章制度，保持室内安静、整洁，不准在室内打闹、喧哗、吸烟、吃食物、随地吐痰、乱扔杂物，不准做与实验内容无关的事，非实验用品一律不准带进实验室。 三、实验前必须做好预习（或按要求写好预习报告），未做预习者不准参加实验。 四、实验必须服从教师的安排和指导，认真按规程操作，未经教师允许不得擅自动用仪器设备，特别是与本实验无关的仪器设备和设施，如擅自动用或违反操作规程造成损坏，应按规定赔偿，严重者给予纪律处分。 五、实验中要节约水、电、气及其它消耗材料。 六、细心观察、如实记录实验现象和结果，不得抄袭或随意更改原始记录和数据，不得擅离操作岗位和干扰他人实验。 七、使用易燃、易爆、腐蚀性、有毒有害物品或接触带电设备进行实验，应特别注意规范操作，注意防护；若发生意外，要保持冷静，并及时向指导教师和管理人员报告，不得自行处理。仪器设备发生故障和损坏，应立即停止实验，并主动向指导教师报告，不得自行拆卸查看和拼装。 八、实验完毕，应清理好实验仪器设备并放回原位，清扫好实验现场，经指导教师检查认可并将实验记录交指导教师检查签字后方可离去。 九、无故不参加实验者，应写出检查，提出申请并缴纳相应的实验费及材料消耗费，经批准后，方可补做。 十、自选实验，应事先预约，拟订出实验方案，经实验室主任同意后，在指导教师或实验技术人员的指导下进行。 十一、实验室内一切物品未经允许严禁带出室外，确需带出，必须经过批准并办理手续。 第三章 解线性方程组的直接法 3.1 引言 许多科学技术问题要归结为解含有多个未知量x 1, x 2, …, x n 的线性方程组。例如，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，三次样条函数问题，解非线性方程组的问题，用差分法或有限元法解常微分方程、偏微分方程的边值等，最后都归结为求解线性代数方程组。关于线性方程组的数值解法一般有两类：直接法和迭代法。 1. 直接法 直接法就是经过有限步算术运算，可求得线性方程组精确解的方法（假设计算过程中没有舍 入误差）。但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组的近似解。本章将阐述这类算法中最基本的高斯消去法及其某些变形。 2. 迭代法 迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，迭代法需要的计算机存储 单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变，这些都是迭代法的优点；但是存在收敛性和收敛速度的问题。迭代法适用于解大型的稀疏矩阵方程组。 为了讨论线性方程组的数值解法，需要复习一些基本的矩阵代数知识。 3.1.1 向量和矩阵 用n m ?R 表示全部n m ?实矩阵的向量空间，n m C ?表示全部n m ?复矩阵的向量空间。 此实数排成的矩形表，称为m 行n 列矩阵。 ?????? ? ??=?∈n n x x x M 21x R x x 称为n 维列向量 矩阵A 也可以写成 其中 a i 为A 的第i 列。同理 其中T i b 为A 的第i 行。 矩阵的基本运算： （1） 矩阵加法 )( ,n m n m R C ,R B ,R A B A C ???∈∈∈+=+=n m ij ij ij b a c . （2） 矩阵与标量的乘法 ij j a ci αα== ,A C 解线性方程组的迭代法 Haha 送给需要的学弟学妹 摘要:因为理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的，但是实际情况是否如此，需要我们来具体检验。系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，是著名的病态问题。因而决定求解Hx b =此线性方程组来验证上述问题。 详细过程是通过用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法求解Hx b =线性方程组。 关键词：病态方程组、Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法、SOR 迭代法 目录： 一、问题背景介绍 二、建立正确额数学模型 三、求解模型的数学原理 1、Gauss 消去法求解原理 2、Jacobi 迭代法求解原理 3、G-S 迭代法求解原理 4、SOR 迭代法求解原理 5、Jacobi 和G-S 两种迭代法收敛的充要条件 四、计算过程 （一）Hilbert 矩阵维数n=6时 1、Gauss 消去法求解 2、Jacobi 迭代法求解 3、G-S 迭代法求解 4、SOR 迭代法求解 （二）Hilbert 矩阵维数n=20、50和100时 1、G-S 迭代法求解图形 2、SOR 迭代法求解图形 五、编写计算程序 六、解释计算结果 1、Gauss 消去法误差分析 2、G-S 迭代法误差分析 3、SOR 迭代法误差分析 G-S 迭代法与SOR 迭代法的误差比较 七、心得体会 正文： 一、问题背景介绍。 理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？ 二、建立正确的数学模型。 考虑方程组Hx b =的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵， ,,1 (), , ,1,2, ,1 i j n n i j H h h i j n i j ?== =+- 这是一个著名的病态问题。通过首先给定解（为方便计算，笔者取x 的各个分量等于1），再计算出右端,b Hx =这样Hx b =的解就明确了，再用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法分别求解,Hx b =将求解结果与给定解比较，而后求出上述四种方法的误差，得出哪种方法比较好。 三、求解模型的数学原理。 1、Gauss 消去法求解原理 对于Ax b =（A 非奇异）求解时，可以先将A 分解成一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U 的乘积，即A LU =，就可以通过追赶法求解三对角线性方程组
Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组
追赶法解三对角方程组
第三章 解线性方程组的直接方法
迭代法解线性方程组
实验解线性方程组的基本迭代法实验
【良心出品】MATLAB 追赶法求解三对角方程组的算法原理例题与程序
Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组
线性方程组的求解问题1
迭代法解线性方程组(C语言描述)
数值计算实验解三对角线性方程组的追赶法
解线性方程组直接法
解线性方程组的迭代法
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- 第五章 解线性方程组的直接法 习题五 1 用 解 本题是
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